Théorie des probabilités

Théorie des probabilités
• Un phénomène aléatoire est un phénomène
qui ne donne pas toujours le même résultat
(exemples: loterie, rendement des actions)
• Un événement aléatoire est un phénomène
dont la fréquence relative de réalisation
approche une limite stable lorsque n∞
• La probabilité de l’événement est cette
valeur limite (ex. pile ou face: p=0.5)
FREQUENCE DES TIRAGES DU SWISSLOTTO
FREQUENCE DES TIRAGES DU SWISSLOTTO
1/1986-68/2007
7/45=0.1555…
FREQUENCES DES TIRAGES DU SWISSLOTTO
1/1986-68/2007
7/45=0.1555…
FREQUENCE DU NUMERO 4
0.20
FREQ.
fréquence théorique
0.15
fréquence empirique
0.10
0
500
1000
tirages
1500
(‘000)
Théorie des probabilités
• Les événements:
• Événement certain = espace d’échantillonnage
(description de tous les résultats possibles): S
• Soit un événement E. Son complément est le
cas ou E n’arrive pas
• L’intersection de deux événements E et F est le
cas où les deux arrivent en même temps
• La réunion des deux événements E et F est le
cas où E ou F ou les deux arrivent
Description des événements
• Le sous-événement: E est un sous-événement
de F si lorsque E arrive, F arrive aussi
• Deux événements sont mutuellement exclusifs
s’ils ne peuvent pas arriver en même temps
• Un événement est impossible s’il ne peut pas
se produire
• Un événement est certain s’il arrive toujours
E et son complément
S
• Diagramme de Venn
E
E
L’intersection
• Les deux événement arrivent en même temps
E∩F
E
F
E∩F
La réunion
• E ou F ou les deux arrivent
E
F
E∪F
Le sous-événement
• Si E arrive, F arrive aussi:
E
E⊂F
E F
Evénements mutuellement exclusifs
• Ne peuvent pas arriver en même temps:
E∩F =O
EE
F
Théorie axiomatique
•
•
•
•
Axiomes:
1) P(E) ≥ 0
2) P(S)=1
3) P(E U F)= P(E) + P(F) si E et F sont deux
événements mutuellement exclusifs
• Théorème de l’addition des probabilités:
• P(E U F) = P(E)+ P(F) – P(E ∩ F)
E
F
F ∩E
F = (F ∩ E) ∪ (F ∩ E )
P( F ) = P( F ∩ E ) + P( F ∩ E )
P( F ∩ E ) = P( F ) − P( F ∩ E )
E ∪ F = E ∪ (F ∩ E)
P( E ∪ F ) = P( E ) + P( F ∩ E )
P( E ∪ F ) = P( E ) + P( F ) − P( E ∩ F )
Exemple
• Phénomène aléatoire: on jette un dé et on
s’intéresse au chiffre qui sort.
• S={1,2,3,4,5,6} ; E={1,2,3} ; F={2,4,6}
• Le complément de E est E={4,5,6}
• E est un sous-événement de S: E ⊂ S
• Intersection: E ∩ F = {2}
• Réunion: E ∪ F = {1,2,3,4,6}
• P(S)=P({1})+P{2}+ . . .+ P{6}=1 P{i}=1/6
P( E ∪ F ) = P( E ) + P( F ) − P( E ∩ F )
3 3 1 5
P( E ∪ F ) = + − =
6 6 6 6
Exemple
• Quelle est la probabilité que le 13ème jour d’un
mois soit un vendredi (le fameux vendredi 13):
• Premier modèle S={LU,MA,ME,JE,VE,SA,DI}
• Evénement également probables: la probabilité
est alors 0.14286=1/7
• Deuxième modèle: le calendrier a une périodicité de 400 ans. Si l’on examine les 12 x 400 =
4800 jours on trouve 688 vendredi. La
probabilité est alors 0.14333=688/4800
• On trouve 684 jeudi et 687 dimanche
Analyse combinatoire
• Soient les trois lettres A, B, C. Calculer toutes les
permutations et toutes les combinaisons de deux
lettres (sans répétitions):
•
permutations
combinaisons
•
AB
•
BA
AB
•
AC
•
CA
AC
•
BC
•
CB
BC
•
3x2=6
3=6/2
Permutations
• n éléments tirés d’une population de M (n≤M)
• Permutations (l’ordre compte: AB ≠ BA):
• a) sans répétition (tirage exhaustif: sans remise):
M!
M × ( M − 1) × ( M − 2) × ... × ( M − [n − 1]) =
( M − n)!
• !=factorielle ; M!=1 x 2 x 3 x … x M (!0=1)
• b) avec répétition (tirage non exhaustif: avec remise):
M
n
Cas spécial
• Lorsque n=M et des éléments sont identiques, le
nombre de permutations sans répétition n’est pas M!
mais:
M!
k1!k 2 !...k s !
• où k1,k2,…,ks sont les nombres d’éléments identiques
• Exemple: atterrir (M=8 et 3r, 2 t)
8!
= 3360
3! 2!
Exemple
• Dix chevaux participent à une course. En supposant
que tous les chevaux ont la même probabilité
d’arriver dans des ordres différents, quelle est la
probabilité qu’un joueur qui choisit au hasard trouve
les noms et le bon ordre d’arrivée des trois premiers?
• Permutations avec M=10 et n=3:
10!
1
= 8 × 9 ×10 = 720 ⇒ P =
(10 − 3)!
720
Exemple
• a) Calculer toutes les permutations possibles des
jours d’anniversaire de n personnes
• b) Calculer la probabilité que n personnes n’aient
pas le même jour d’anniversaire
• a) 365n . Si n=2 on trouve 133225
• b)
365!
(365 − n)!
P=
365n
• Si n=2 P=0.997
• Si n=40 P=0.109
• Si n=64 P=0.003
Combinaisons
• n éléments tirés d’une population de M
• Combinaison (l’ordre ne compte pas: AB=BA)
• a) sans répétition (tirage exhaustif: sans remise):
M!
=
( M − n)!n!
(
)
( )
M
n
• b) avec répétition (tirage non exhaustif: avec remise):
M +n −1
n
Commande TI-83/84
•
•
•
•
•
•
Taper la valeur de M (n pour la TI)
Aller dans MATH/PRB et choisir 2:nPr pour
les permutations
Taper la valeur de n (r pour la TI)
En pressant ENTER vous obtenez le nombre
de permutations
Aller dans MATH/PRB et choisir 3:nCr pour
les combinaisons
Taper le valeur de n (r pour la TI)
En pressant ENTER vous obtenez le nombre
de combinaisons
Commandes MINITAB et EXCEL
• Pour MINITAB, mettre la valeur de M dans C1
et celle de N dans C2. Aller dans la fenêtre
Session et tapez %PERMUT C1-C2 pour les
permutations et %COMBIN C1-C2 pour les
combinaisons. Ces programmes ne font pas
partie des programmes standard de MINITAB.
• Pour EXCEL, chercher Permutation dans les
fonctions statistiques ou Combin dans le
groupe math. Vous pouvez aussi taper, dans
une cellule, par exemple :=Permutation(45,7)
pour les permutations et :=Combin(45,7) pour
les combinaisons.
Exemple
• Quelle est la probabilité de gagner le premier prix en
jouant:
• au Swisslotto (6 numéros sur 45)
1
( )
45
6
1
=
8'145'060
• à l’euro-million (5 numéros sur 50 + 2 étoiles sur 9)
• 1 sur
( )× ( ) = 76'275'360
50
5
9
2
Théorème du binôme
• Les combinaisons sont utilisées dans le théorème
du binôme:
M
( a + b) = ∑
M
n =0
( )a b
M
n
n
M −n
• Si M=2 on a: b2 + 2 ab + a2
• Si a=b=1 on a le nombre de tous les échantillons
M
2 =∑
M
n =0
( )
M
n
Probabilité conditionnelle
• Probabilité que B arrive étant donné que A est
arrivé
AA
B
P( A ∩ B)
P( B / A) =
P( A)
Théorème de multiplication
• Multiplication des probabilités:
• P(A ∩ B) = P(A) x P(B/A)
• Evénements indépendants: deux événements
sont statistiquement indépendants si
•
P(B/A)=P(B)
• Dans ce cas on a:
•
P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
Exemple
• On jette un dé. Soit A un nombre pair et B un nombre
supérieur à 2. A et B sont-ils indépendants?
•
1 2 4 6 3 5
• A={2,4,6} ; B={3,4,5,6} ;
A ∩ B = {4,6}
P( A ∩ B) 2 / 6 2
P ( B / A) =
=
= = P( B)
P ( A)
3/ 6 3
• A et B sont statistiquement indépendants
Exemple
• On jette un dé. Soit A un nombre pair et B un nombre
supérieur à 3. A et B sont-ils indépendants?
•
1 3 2 4 6 5
• A={2,4,6} ; B={4,5,6} ;
A ∩ B = {4,6}
P( A ∩ B) 2 / 6 2
P( B / A) =
=
= ≠ P( B)
P ( A)
3/ 6 3
• A et B sont statistiquement dépendants
Arbre de probabilité
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Hommes(H) Femmes(F) Total
Suisses (CH) 200
300
500
Etrangers (E) 900
600
1500
Total
1100
900
2000
H
0.4 P (CH ∩ H ) = 0.10
0.6 P (CH ∩ F ) = 0.15
CH
F
0.25
H
0.6 P ( E ∩ H ) = 0.45
E
0.75
F
0.4 P ( E ∩ F ) = 0.30
Total
1.00
probabilité conditionnelle
probabilité jointe
Formule de Bayes
P(B)=P(B∩C1)+P(B∩C2)=P(B/C1)xP(C1)+P(B/C2)xP(C2)
C1
B
C1
C2
P ( B ∩ C1 )
P( B / C1 ) P(C1 )
P (C1 / B) =
=
P( B)
P ( B / C1 ) P (C1 ) + P( B / C2 ) P(C2 )
Formule de Bayes
•
Probabilité conditionnelle
Probabilité a priori
P( B / C1 ) P(C1 )
P(C1 / B) =
P( B / C1 ) P(C1 ) + P( B / C2 ) P(C2 )
Probabilité a posteriori
Exemple
• On vient de développer un test qui permet de
détecter dans le sang une maladie très rare (1 cas
sur 10000). Le test est fiable à 90% (10% de faux
négatifs) et, d’autre part, dans 1 cas sur 1000 il
donne un résultat faux (0.1 % de faux positifs). Si le
test est positif (TP), quelle est la probabilité que la
personne ait cette maladie (M)?
P(TP / M ) P( M )
P ( M / TP ) =
P(TP / M ) P( M ) + P (TP / M ) P ( M )
0.9 × 0.0001
P ( M / TP ) =
= 0.0826
0.9 × 0.0001 + 0.001× 0.9999
•
Bière
Cantine I 400
cantine II 300
Total
700
Etat de la nature
Probabilité a priori (1)
Vin
200
100
300
Total
600
400
1000
(3)/Σ(3)=Probabilité a posteriori
(1)x(2)=Probabilité jointe (3)
Probabilité conditionnelle (2)
•
• E.N. A priori Conditionnelle Jointe A posteriori
.
bière vin bière vin bière vin
C.I
0.6
2/3
1/3
0.4 0.2 4/7 2/3
C.II
0.4
3/4
1/4
0.3 0.1 3/7 1/3
1.0
0.7 0.3 1.0 1.0
numérateur
dénominateur
Commande TI-83/84
• Introduire les probabilités a priori dans L1 et
les probabilités conditionnelles dans L2 en
utilisant la commande STAT / EDIT.
• Aller dans PRGM et choisir BAYES
• En pressant ENTER vous obtenez les
probabilités jointes dans L3 et les probabilités
a posteriori dans L4
• Ce programme ne fait pas partie des
programmes standard de la TI. Vous devez le
télécharger (voir page web du cours)
Probabilités subjectives
• La formule de Bayes permet de tenir compte
à la fois des probabilités subjectives et des
données objectives tirées de l’observation de
phénomènes similaires. Les probabilités
subjectives sont les probabilités a priori et les
données tirées des observations sont les
probabilités conditionnelles.
• On parle alors de méthodes bayesiennes.
Exemple avec méthodes classiques
0.6
0.75
0.871 (27/31)
Exemples de probabilités subjectives
• 1) Rapport du Rectorat de l’Université de
Lausanne sur l’évolution du système
universitaire suisse (1.10.2001):
• Statu quo:
25%
• Universités fédérales:
20%
• Regroupement:
50%
• Universités concordataires: 5%
• Disparition:
0%
• 2) Alain Greenspan: 50% de probabilité de
récession
Distributions de probabilité
• Lorsqu’une expérience est répétée
plusieurs fois, on obtient une distribution
des différents résultats.
• Exemple: on jette 4 pièces de monnaie et
on compte le nombre de « pile » obtenu.
• L’expérience est répétée 2000 fois. La
distribution de « pile » (de 0 à 4) peut être
comparée avec des valeurs théoriques.
2000 JETS DE 4 PIECES DE MONNAIE
800
EMPIRIQUE
THEORIQUE
Somme de PILE
700
600
500
400
300
200
100
0
1
2
3
NOMBRE DE PILE PAR JET
4
dés
2000 JETS DE 4 DE
1000
•
EMPIRIQUE
THEORIQUE
900
800
Somme de 6
700
600
500
400
300
200
100
0
0
1
2
3
NOMBRE DE 6 PAR JET
4
Modèle théorique
•
•
•
•
•
•
•
•
4 jets. Nombre de « pile » (P=pile, F=face)
0: FFFF (1 cas)
1: PFFF FPFF FFPF FFFP (4)
2: PPFF PFPF PFFP FPPF FFPP FPFP (6)
3: PPPF PPFP PFPP FPPP (4)
4: PPPP (1)
Fréquence théorique:
0: 1/16 ; 1: 4/16 ; 2: 6/16 ; 3: 4/16 ; 4: 1/16
Moyenne théorique
• Nombre moyen de « pile »:
0 × 1 + 1× 4 + 2 × 6 + 3 × 4 + 4 × 1
µ=
=2
16
1
4
6
4
1
µ = 0 × + 1× + 2 × + 3 × + 4 ×
16
16
16
16
16
µ = ∑ x =0 xp( x)
4
• p(x)= probabilité d’obtenir x « pile »
Variance théorique
• Variance du nombre de « pile »:
2
2
2
2
2
−
+
−
+
−
+
−
+
−
(
0
2
)
4
(
1
2
)
6
(
2
2
)
4
(
3
2
)
(
4
2
)
2
σ =
=1
16
1
4
6
2
2
2
σ = (0 − 2) + (1 − 2) + (2 − 2)
16
16
16
2
4
1
4
2
2
2
+ (3 − 2) + (4 − 2) = ∑ x =0 p( x)( x − µ )
16
16
Variable aléatoire
• Fonction définie sur le résultat d’un phénomène
aléatoire. Elle définit un nouvel espace d’échantillonnage. Ex: on jette 2 dés. x=nombre de 4
• 11 12 13 14 15 16
x
p(x)
• 21 22 23 24 25 26
0
25/36
• 31 32 33 34 35 36
1
10/36
• 41 42 43 44 45 46
2
1/36
• 51 52 53 54 55 56
• 61 62 63 64 65 66 P{44}=1/36
Distribution binomiale
• Soit x le nombre de « pile » et n le nombre de
pièces de monnaie. Le nombre de cas avec x
« pile » est:
n!
=
x!(n − x)!
()
n
x
• La probabilité de x « pile » est alors:
P( x) =
( )p
n
x
x
(1 − p )
• où p est la probabilité de « pile » (1/2)
n− x
Moyenne et variance
• La moyenne de la distribution binomiale est:
µ = ∑ x( ) p (1 − p)
n
x
x
n− x
= np
• et la variance:
σ =∑x
2
• (q=1-p)
( )p
2 n
x
x
(1 − p )
n− x
− µ = npq
2
Fonction de probabilité discrète
P(x)
•
•
•
•
•
•
Conditions:
1) 0 ≤ P(x) ≤ 1
2) Σ P(x) = 1
Exemple: distribution binomiale
TI83: P(x=s)=binompdf(n,p,s)
Fonction de répartition:
s
P( x ≤ s ) = ∑ P( x)
x =0
• TI83: P(x ≤ s)=binomcdf(n,p,s)
DISTRIBUTION BINOMIALE, n=4, p=0.5
0.4
Somme de C2
0.3
0.2
0.1
0
1
2
pile
3
4
FONCTION DE REPARTITION, DIST. BINOMIALE, n=4, p=0.5
1.0
Somme cumulé de C2
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
1
2
pile
3
4
Commande TI-83/84
•
•
•
•
•
•
Ex: calcul de b(x=31,n=80,p=0.4)
Presser la touche DISTR (2nd Vars)
Déplacer le curseur jusqu’à 0:binompdf( ou
taper 0). Presser ENTER
Taper 80,0.4,31) (c’est-à-dire n,p,x)
En pressant ENTER vous obtenez la
probabilité de 31 succès
P(x=31)=0.08889
Pdf= Probability Density Function (fonction de
probabilité)
Commande TI-83/84
Fonction de répartition: P(x≤y)=∑yx=0 P(x)
Calcul de P(x≤31)=∑b(x,80,0.4)=∑31x=o P(x)
Presser la touche DISTR (2nd Vars)
Déplacer le curseur jusqu’à A:binomcdf( ou
taper A)
• Taper 80,0.4,31) (c’est-à-dire n,p,y)
• En pressant la touche ENTER vous obtenez
la probabilité P(x≤31)=0.457621
• CDF=Cumulative Distribution Function
(fonction de répartition)
•
•
•
•
Commandes MINITAB et EXCEL
• Pour MINITAB, mettre la valeur de x (ex. 31) dans la
colonne C1
• Aller dans Calc / Lois de probabilité / Binomiale
• Cocher Probabilité (ou Probabilité cumulée)
• Mettre le nombre d’essais (ex. n=80) et la probabilité
de succès (ex. p=0.4)
• Sélectionner la colonne d’entrée
En cliquant sur OK vous obtenez P(x) [ou P(x≤31)]
• Dans EXCEL, choisir parmi les formules statistiques
Loi.Binomiale. Introduire x et p
• Choisir faux dans cumulative pour P(x) et vrai pour
P(x≤31) (fonction de répartition)
Applications
• La distribution binomiale s’applique à tous les
phénomènes aléatoires avec deux cas
possibles (« succès » ou « échec »). Lorsqu’il
y a n épreuves et des événements
statistiquement indépendants, la probabilité de
x succès est donnée par la distribution
binomiale.
• Exemples: pile ou face, pièce conforme ou
défectueuse, garçon ou fille, achat ou pas,
acceptation ou refus, etc.
NOMBRE DE FILLES DANS 505 FAMILLES AVEC 3 ENFANTS
Dénombrement de FILLES
200
EMPIRIQUE
THEORIQUE
100
0
0
1
2
3
FILLES
Données tirées de l’enquête sur la consommation de 10176 ménages
Distribution continue
f(x)
• La fonction f(x) ne peut pas donner la probabilité
la probabilité est donnée par la surface sous la
courbe qui représente la distribution
P( x1 ≤ x ≤ x2 ) =
x2
∫ f ( x) dx
x1
• Condition:
• 1) f(x) ≥ 0
• 2)
∞
∫ f ( x) dx = 1
−∞
Exemple
• Le nombre de jours entre un accident rare et le
suivant est décrit par la densité de probabilité:
f ( x) = 0.002e
−0.002 x
pour x ≥ 0
-e-0.06+e-0.02
• Calculer:
30
P(10 ≤ x ≤ 30) = ∫ 0.002e
− 0.002 x
dx = − e
− 0.002 x 30
10
= 0.384
10
30
P ( x ≤ 30) = F (30) = ∫ 0.002e
0
− 0.002 x
dx = − e
− 0.002 x 30
0
= 0.582
Distribution normale
• Lorsqu’un phénomène subit l’influence de
nombreux effets, petits et indépendants, il suit une
distribution normale
1
f ( x) =
e
σ 2π
• µ=moyenne ; σ = écart-type
 x−µ 
− 0.5

 σ 
2
DISTRIBUTION NORMALE
0.4
•
C2
0.3
0.2
0.1
0.0
-4
-3
-2
-1
0
C1
1
2
3
4
DISTRIBUTION NORMALE [N(0,1)]
0.4
f(z)
0.3
95%
0.2
0.1
0.0
-4
-3
-2
-1
0
z
1
2
3
4
DISTRIBUTION NORMALE [N(0,1)]
0.4
f(z)
0.3
99%
0.2
0.1
0.0
-4
-3
-2
-1
0
z
1
2
3
4
•
Moyenne=médiane=mode
Moyenne et variance
• La distribution normale dépend de deux
paramètres, la moyenne (µ) et la variance (σ2).
• Pour utiliser les tables de la distribution normale, il
faut standardiser les valeurs.
• La variable normale standardisée est:
z=
x−µ
σ
• Sa distribution a une moyenne nulle et un écarttype égal à 1.
MOYENNE DIFFERENTE (0 ET 3)
0.4
•
C2
0.3
0.2
0.1
0.0
-3
-2
-1
0
1
2
C1
3
4
5
6
ECART-TYPE DIFFERENT (1 ET 1.5)
0.4
•
C2
0.3
0.2
0.1
0.0
-4
-3
-2
-1
0
C1
1
2
3
4
Indice de masse corporelle (IMC):
< 20 : maigre
25-30: OK
>30: obèse
33% d’obèses aux E.U.
poids en kg
BMI =
70
=
(taille en mètres)2
= 22.9
1.752
•
RENDEMENT ACTIONS SUISSES EN 2006 (mu=23.7% , s=28%)
60
•
50
Effectif
40
30
20
10
0
-50
0
50
RENDEMENT
100
150
•
Histogramme de age, avec courbe normale
•
Effectif
200
100
0
10
15
20
25
30
age
35
40
45
DEPENSE MENSUELLE POUR LE LOYER ET L`ENERGIE
•
Effectif
100
50
0
0
1000
C1
2000
DISTRIBUTION DES POINTS D`UN EXAMEN
Effectif
•
300
200
100
0
0
10
20
30
40
50
60
POINTS
70
80
90 100
Commande TI-83/84
• Calcul de P(304≤x≤696) [N(500,100)]
• Presser la touche DISTR (2nd Vars)
• Déplacer le curseur jusqu’à 2:normalcdf( ou
taper 2)
• Taper 304,696,500,100) (c’est-à-dire borne
inférieure, borne supérieure, moyenne, écarttype)
• En pressant la touche ENTER vous obtenez
la probabilité P(304≤x≤696)=0.95
Commandes MINITAB et EXCEL
• Pour MINITAB, mettre les valeurs de x1 et x2 (ex. 304
et 696) dans la colonne C1
• Aller dans Calc / Lois de probabilité / Normale
• Mettre la moyenne et l’écart-type
• Sélectionner la colonne d’entrée et celle de stockage
En cliquant sur OK vous obtenez P(x≤304) et P(≤696)
(fonctions de répartition)
• Dans la fenêtre Session, taper Let C3=C1(2)-C1(1)
pour obtenir P(304≤x≤696)
• Dans EXCEL, choisir parmi les formules statistiques
Loi.Normale. Introduire x, µ et σ
• Choisir vrai dans cumulative
DISTRIBUTION NORMALE
0.4
•
C2
0.3
0.2
?
0.1
0.0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
C1
NORMALCDF(-2,3,0,1) =0.976
4
DISTRIBUTION NORMALE
0.4
•
C2
0.3
0.2
0.1
0.1586
0.0
-4
-3
-2
?
0
1
C1
invNorm(0.1586,0,1)=-1
2
3
4
FONCTION DE REPARTITION, DIST. NORMALE N(0,1)
F(x)
1.0
0.5
0.0
-4
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
4
Applications
• La distribution normale est utilisée lorsque le
phénomène aléatoire subit l’influence de
nombreuses causes indépendantes et très
petites. On verra plus tard une utilisation
importante dans le théorème limite central.
• La distribution normale peut être utilisée
comme approximation de beaucoup d’autres
distributions. Par exemple, lorsque n∞ la
distribution binomiale tend vers une
distribution normale avec µ=np et σ2=npq. On
obtient un intervalle en ajoutant et en enlevant
0.5 à la valeur de x.
Approximation de la distribution
binomiale par la loi normale
•
2000 JETS DE 10 PIECES DE MONNAIE
np=5
500
npq=2.5
Somme de PILE
400
Binompdf(10,0.5,7)=0.117
300
Normalcdf(6.5,7.5,5,√2.5)=0.114
200
100
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Test de normalité
• On peut tester de plusieurs manières si une
distribution suit une loi normale:
• 1) méthodes graphiques: on calcule les scores
normaux (nscore) et on regarde si l’on obtient une
droite avec xi et nscorei ou on dessine la droite
d’Henry en prenant la variable standardisée z.
3
i−
zi
2
1 − 0 .5 x
x µ
8
nscore = ∫
e
dx =
;z= −
−∞
1
σ σ
2π
n+
4
Ex: i=1,2,…,9 (n=9)
• 2) faire un test comme celui de Anderson-Darling
Commandes MINITAB
• Pour MINITAB, mettre les valeurs dans la colonne
C1
• Aller dans Calc / Calculatrice. Sélectionner dans
Fonction: scores normaux. Mettre C1. Choisir C2
pour le résultat. Faire ensuite un graphique de C1 et
C2 avec Graphique / Diagramme.
• Pour la droite de Henry et le test de normalité
choisir Stat / Statistiques élémentaires / Test de
normalité
• Vous pouvez aussi choisir Graphique / Diagramme
de probabilité. Vous obtenez les intervalles de
confiance.
Espérance mathématique
• Les paramètres d’une distribution théorique sont
définis en utilisant le concept d’espérance
mathématique. On introduit cette notion avec
l’exemple suivant:
• On jette un dé et on gagne 10 fois le chiffre qui est
sorti. Quelle somme espérez-vous gagner?
1
1
1
1
1
1
10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 60 = 35 Frs
6
6
6
6
6
6
• En général:
6
E[ g ( x)] = ∑ g ( x) p ( x)
x =1
(avec g(x)=10 x et p(x)=1/6)
• Si g(x)=x on obtient la moyenne théorique:
E ( x) = ∑ xp( x) = µ
• Lorsque la distribution est continue on a:
E ( x) =
∞
xf
(
x
)
dx
∫
−∞
• L’opérateur espérance mathématique a les
propriétés suivantes:
• (a) E(c)=c
• (b) E[cg(x)]=cE[g(x)]
• (c) E[g1(x)+g2(x)]=E[g1(x)]+E[g2(x)]
Les moments théoriques
•
•
•
•
Moment d’ordre n:
µn=E[xn]
Si n=1 on a la moyenne: µ1=E(x)=µ
Moment centré d’ordre n:
µ = E[( x − µ ) ]
c
n
n
• Si n=2 on a la variance:
µ = E[( x − µ ) ] = E ( x ) − µ = σ = µ 2 − µ
c
2
2
2
2
2
2
Distribution de probabilité jointe
• Si plusieurs variables influencent le résultat d’une
épreuve il faut utiliser les probabilités jointes. La
fonction de probabilité jointe doit satisfaire les critères
n
n
suivants:
p ( x, y ) = 1
• (a) p(x,y) ≥ 0 ; (b)
x =0 y =0
• La covariance de x et y est:
∑∑
cov( x, y ) = E{[ x − E ( x)][ y − E ( y )]} = E ( xy ) − E ( x) E ( y )
cov( x, y ) = ∑∑ p ( x, y )[ xy ] − µ x µ y
x
y
• Coefficient de corrélation: ρ ( x, y ) =
cov( x, y )
σ xσ y
σ xy
=
σ xσ y
Probabilité jointe et indépendance
statistique
•
•
•
•
A = résultat 1er dé: 3 ; B = résultat 2ème dé: 5
11
P(A∩B) = P(A) P(B/A) =
= P(A) x P(B)
66
Soit x=1er dé et y=2ème dé. On a:
11
1
P(x=3;y=5)=
=P(x=3) x P(y=5)=
66
36
• E(xy)= ∑∑ p ( x, y ) xy
x
y
• Si x et y sont indépendants on a p(x,y)=p(x)p(y) et:
• E(xy)= ∑∑ p ( x) p ( y ) xy = ∑ xp( x)∑ yp( y ) = E ( x) E ( y )
x
y
x
y
Indépendance et corrélation
•
•
•
•
Cov(x,y)=E(xy)-E(x) E(y)
Indépendance corrélation nulle:
E(xy)=E(x)E(y) Cov(x,y)=0
Corrélation non nulle dépendance
•
•
•
•
Corrélation nulle ? (souvent indépendance)
var(ax+by)=a2 var(x)+b2 var(y)+2ab cov(x,y)
Var(ax+by)=a2 σx2+ b2 σy2+2 ab ρxy σxσy
ρ=0 var(ax+by)=a2 var(x)+b2 var(y)
Pas de corrélation
Dépendance
Indépendance
RHO=0
RHO=0
8
15
7
6
10
4
C2
C3
5
3
5
2
1
0
0
1
2
3
4
5
C4
6
7
8
0
1
2
3
4
C1
5
6
7
8
Distribution marginale
Distributions marginales
n
• P(x) =
∑ p ( x, y )
y =0
∞
• f(x) =
∫ f ( x, y)dy
−∞
n
• P(y) =
∑ p ( x, y )
x =0
∞
• f(y) =
∫ f ( x, y)dx
−∞
Commande TI-83/84
Le programme LISTABLE décompose le tableau
afin de pouvoir utiliser les commandes pour le
calcul de la moyenne, de la variance, de la
covariance et du coefficient de corrélation.
• Mettre le tableau, y compris les valeurs des
variables, dans la matrice A (ex. 0 0 1 2 3 pour la
première ligne et 2 340 505 645 190 pour la
dernière ligne).
• Aller dans PRGM et choisir LISTABLE
• En pressant ENTER vous obtenez les données
désagrégées de X dans L1, celles de Y dans L2 et
le fréquences dans L3.
Distribution de Poisson
• La distribution de Poisson est une
distribution discrète très utilisée dans le
cas d’événements rares, d’accidents,
d’erreurs, de rupture de machines ou de
circuits. Sa fonction de probabilité est:
• P(x)=e-µ µx/x!
Pour x=0,1,2,…
• La moyenne est µ et la variance aussi
Distribution de Poisson
NOMBRE DE DECES EN OUVRANT LA PORTE DE L`AUTO
•
Dénombrement de DECES
7
EMPIRIQUE
THEORIQUE
6
5
4
3
2
1
0
0
P(x)=e-µ µx / x!
1
2
DECES
3
Commande TI-83/84
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
x=2 ; µ=3 ; P(2) = ?
Presser la touche DISTR (2nd Vars)
Déplacer le curseur jusqu’à B:poissonpdf(
Taper 3,2)
En pressant ENTER, vous obtenez P(x=2)=0.224
Fonction de répartition: P(x≤y)=∑yx=0 P(x)
Calcul de P(x≤2)=∑2x=o P(x)
Presser la touche DISTR (2nd Vars)
Déplacer le curseur jusqu’à C:poissoncdf(
Taper 3,2)
En pressant la touche ENTER vous obtenez la
probabilité P(x≤2)=0.423
Commandes MINITAB et EXCEL
• Pour MINITAB, mettre la valeur de x (ex. 2) dans la
colonne C1
• Aller dans Calc / Lois de probabilité / Poisson
• Cocher Probabilité (ou Probabilité cumulée)
• Mettre la moyenne
• Sélectionner la colonne d’entrée (C1)
En cliquant sur OK vous obtenez P(x) [ou P(x≤2)]
• Dans EXCEL, choisir parmi les formules statistiques
Loi.Poisson. Introduire x et µ (ex. 2 et 3)
• Choisir faux dans cumulative pour P(x) et vrai pour
P(x≤2) (fonction de répartition)
Approximation de la distribution
binomiale par la distribution de Poisson
• Lorsque n est grand et p petit de telle
sorte que np < 5, on ne peut pas prendre
l’approximation de la loi binomiale par la
loi normale. Dans ce cas, il faut prendre la
distribution de Poisson.
• Exemple: binompdf(200,0.01,3)=0.18136
• µ=np=2 ; poissonpdf(2,3)=0.18045
Distribution exponentielle
• Cette distribution continue est utilisée pour
des problèmes de queues (files d’attente)
ou du temps qui passe entre un
événement et le suivant. La densité de
probabilité est:
• f(x)=λe-λx
pour x≥ 0
• On a alors P(a≤x≤b)=e-aλ-e-bλ
• Sa moyenne et son écart-type sont 1/λ
Distribution exponentielle
JOURS ENTRE UN ACCIDENT ET LE SUIVANT
•
C2
0.003
0.002
0.001
0
100
200
jours
300
400
Commandes MINITAB et EXCEL
• Pour MINITAB, mettre les valeurs de x1 et x2 (ex. 15 et
30) dans la colonne C1
• Aller dans Calc / Lois de probabilité / Exponentielle
• Mettre la moyenne (ex. 10)
• Sélectionner la colonne d’entrée et celle de stockage
En cliquant sur OK vous obtenez P(x≤15) et P(≤30)
(fonctions de répartition)
• Dans la fenêtre Session, taper Let C3=C1(2)-C1(1)
pour obtenir P(15≤x≤30)
• Dans EXCEL, choisir parmi les formules statistiques
Loi.Exponentielle. Introduire x et λ (1/µ)
• Choisir vrai dans cumulative
Distribution binomiale négative
• Si l’on s’intéresse au nombre d’échecs (x) avant
d’obtenir certain nombre (r) de succès, il faut utiliser
la distribution binomiale négative:
P( x) =
(
x + r −1
r −1
• µ=rq/p ; σ2 = rq/p2
)p (1 − p)
r
x
Distribution hypergéométrique
• Si l’échantillon est exhaustif, on ne peut pas utiliser la
distribution binomiale car les épreuves ne sont pas
indépendantes. Il faut alors prendre la distribution
hypergéométrique:
(
)(
)
P( x) =
( )
X
x
N−X
n− x
N
n
• N et X se réfèrent à la population et n, x à l’échantillon
• On a µ=np et σ2 = npq(N-n)/(N-1). Si N∞, on obtient
la distribution binomiale (voir polycopié, p. 216)
Distribution hypergéométrique
ECHANTILLON DE 5 PIECES (N=20, X=4)
•
Somme de PIECES DEF.
0.5
BINOMIALE
HY PERGEOM.
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
1
2
3
4
NOMBRE DE PIECES DEFECTUEUSES
5
Distribution lognormale
• Distribution continue non symétrique utilisée pour la
distribution des revenus ou les pertes bancaires sur
débiteurs.
•
•
f ( x) =
µ =e
1
xσ 2π
µ + 0.5σ 2
e
;σ =e
2
− (ln x − µ ) 2 / 2σ 2
( 2 µ +σ 2 )
σ2
(e
− 1)
Distribution lognormale
REVENU MENSUEL SELON ERC98
•
Effectif
1000
500
0
0
10000
20000
30000
REVENU
40000
50000
ACRA
ACRA: Actuarial Credit Risk Accounting
Distribution uniforme
• Distribution très simple, utilisée pour les erreurs
d’arrondis. Sa densité est constante:
1
f ( x) =
b−a
a≤ x≤b
1/(b-a)
a
a+b
µ=
2
b
(b − a) 2
; σ =
12
2
x
Méthodes bayesiennes
• L’analyse statistique est souvent utilisée pour prendre des décisions en
situation d’incertitude. Les méthodes bayesiennes proposent un critère de
décision: la maximisation du profit espéré ou de l’utilité espérée.
• Exemple: un boulanger doit décider s’il doit produire une ou deux fournées
(200 ou 400 kg de pain). S’il fait beau, il peut vendre 400 kg tandis que s’il
pleut il vend 180 kg. Le prix de vente est de 5 Fr et le coût de fabrication de
4 Fr. Les invendus sont repris par un paysan au prix de 3.50 Fr.
• On peut calculer le profit brut en fonction de la décision prise et du temps
qu’il fera. Voici la table de payoff et celle des pertes implicites:
Profit brut
• État de la nature
•
• beau temps (p)
• pluie (1-p)
action
A (200 kg)
B (400 kg)
200
400
170
70
• E(πA) = 200p + 170(1-p)
• E(πB) = 400p + 70(1-p)
• Si p=1/3 on a E(πA)=E(πB) et E(LA)=E(LB)
Pertes implicites
A
B
200
0
0
100
E(LA)=200p
E(LB)=100(1-p)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Décision à prendre, en fonction de probabilités:
E(πA)=200p + 170(1-p) ; E(LA)=200p
E(πB)=400p+70(1-p) ; E(LB)=100(1-p)
Profit brut
Pertes implicites
p
A
B
A
B coût incertitude
0.0 170 70
0
100
0
0.2 176 136
40
80
40
1/3 180 180
662/3 662/3
662/3
0.4 182 202
80
60
60
1.0 200 400
200
0
0
maximisation
minimisation
profit espéré
pertes implicites
Coût de l’incertitude
• Le coût de l’incertitude donne la somme maximale
qu’on peut payer pour éliminer l’incertitude. Il
correspond à la valeur espérée de l’information
parfaite (EVPI = expected value of perfect
information).
• Deux possibilités de calculer cette valeur:
• 1) EVPI= perte implicite minimale
• 2) EVPI=EPPI-EP*
• EPPI=expected profit with perfect information
• EP* = profit espéré avec décision optimale
Distribution a priori discrète
•
Il y a souvent de nombreux états de la nature. Supposons que les probabilités
de ces états soient données par une distribution discrète.
• Exemple: La demande de pain varie entre 180 kg et 400 kg. Le prix de vente
est de 5 Fr et le coût de fabrication de 4 Fr. Les invendus sont repris par un
paysan au prix de 3.50 Fr. Quelle quantité faut-il produire?
• Calculons le profit brut et les pertes implicites espérées.
• État
profit brut
pertes implicites espérées
• nature p
action (production)
action (production)
demande
180 200 250 300 350 400
180 200 250 300 350 400
• 180 0.1 180 170 145 120 95 70
0 10 35 60 85 110
• 200 0.2 180 200 175 150 125 100
20
0 25 50 75 100
• 250 0.2 180 200 250 225 200 175
70 50
0 25 50 75
• 300 0.2 180 200 250 300 275 250
120 100 50
0 25 50
• 350 0.2 180 200 250 300 350 325
170 150 100 50
0 25
• 400 0.1 180 200 250 300 350 400
220 200 150 100 50
0
• Total 1.0 180 197 225 237 235 217
98 81 54 41 44 61
•
•
•
Tableau des pertes implicites: maximum de la ligne du profit brut – valeur des
éléments de la ligne Le tableau des pertes implicites ne contient jamais de
valeursCnégatives
o=0.5 ; !Cu = 1 ; [Cu/(Co+Cu)]=0.67 ; F(300)=0.7
EPPI=0.1x180+0.2x200+0.2x250+0.2x300+0.2x350+0.1x400=278
EVPI=278-237=41
Commande TI-83/84
• Mettre les probabilités a priori dans la matrice
A (vecteur-ligne: toutes les valeurs sur une
ligne; matrice 1 x N où N=nombre d’états)
• Mettre dans la matrice B les profits bruts
• Exécuter le programme DECISION
• Les profits bruts espérés sont dans la matrice
C (vecteur-ligne)
• Les pertes implicites sont dans la matrice D
• Les pertes implicites espérées sont dans la
matrice E (vecteur-ligne)
Perte implicite en deux parties
• Si les pertes implicites sont linéaires en deux parties
on a:
•
Co (a-x)
si x < a
0
si x = a
si x > a
•
Cu (x-a)
• où
• Co = perte implicite si on produit une unité de trop
Cu = perte implicite si on produit une unité de moins
a = quantité choisie (production)
x = demande.
L ( a, x ) = {
L’utilité
• La maximisation du profit espéré peut conduire à
des décisions peu réalistes.
• Paradoxe de Bernoulli: on jette une pièce de
monnaie et on gagne 2n où n est le nombre de jets
nécessaires pour obtenir « pile ».
2
3
1
1
1
2
3
E (g ) =   × 2 +   × 2 +   × 2 + ⋅ ⋅ ⋅ = ∞
2
2
2
• Mais si le casino met une limite à 230 (~1 milliard),
alors le gain espéré n’est plus que de 30.
• Bernoulli propose alors de prendre l’utilité du
gain: u=ln(g).
• Cette valeur pourrait être obtenue en proposant
de choisir entre une somme certaine X et un
billet ayant une chance p de gagner une
certaine somme (ex. 500 Fr). Indifférence:
• Si 70 ~ 500 avec p=0.14 profit espéré
• Si 70 ~ 500 avec p=0.32 aversion au risque
• Si 200 ~ 500 avec p=0.40 profit espéré
• Si 200 ~ 500 avec p=0.64 aversion au risque
• Si 400 ~ 500 avec p=0.80 profit espéré
• Si 400 ~ 500 avec p=0.91 aversion au risque
u(g), p
argent certain
Décision avec utilité espérée
•
•
•
•
•
•
•
•
État de la nature
action
A (200 kg) B (400 kg)
beau temps (p)
200
400
pluie (1-p)
170
70
E(uA) = 0.64p + 0.58(1-p)
E(uB) = 0.91p + 0.32(1-p)
Si p=0.49 on a E(uA)=E(uB)
Si p > 0.49 on produit 400 kg (B).
Utilité
A
B
0.64
0.91
0.58
0.32
Diagramme de décision
• Construire un arbre de décision. Un carré
représente une décision à prendre et un
cercle un événement aléatoire.
• Introduire ensuite les éléments financiers et
les probabilités.
• En commençant par la fin et en remontant
vers l’origine, calculer la valeur espérée si
événement aléatoire ou couper les branches
moins profitables si décision à prendre.
41/6
41/6
•
21/30
-0.5
-0.1
21/30
0.5
VENDRE