thèse - ETH E

Prom.-Nr. 1009
SUR LES
SOUS-GROUPES FERMES CONNEXES
D'UN GROUPE DE LIE CLOS
THÈSE
PRÉSENTÉE
A
L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE,
ZURICH
POUR L'OBTENTION DU GRADE DE
DOCTELR
ES SCIENCES MATHÉMATIQUES
PAR
JEAN DE SIEBENTHAL
DE
SAANEN
(BERNE)
RAPPORTEUR: PROF. DR E. STIEEEL
CORAPPORTEUR: PROF. DR H. HOPF
19 5 1
ORELL
FÛSSLI
ARTS
GRAPHIQUES
ZURICH
S.A.
Sur les sous-groupes fermés
connexes
d'un groupe de Lie clos
Par Jean De
Siebenthal, Lausanne
Introduction
L'étude d'un groupe G
1.
ne
peut s'achever si l'on n'en connaît pas
les sous-groupes. Lorsque G est un groupe de Lie, on peut se proposer de
rechercher tous les sous-groupes continus connexes de ce groupe ; en se
plaçant au point de vue local, S. Lie a montré qu'on peut se ramener à
problème purement algébrique, théoriquement résoluble dès qu'on
G1). De façon plus précise, si
est
base
de
l'anneau
R (G) du groupe G, avec la
une
Xj, X2,
X„
un
connaît les constantes de structure de
...,
n
loi de
composition [X(, X}]
=
Z ctjk Xk,
on
peut
trouver tous les
sous-
fc=i
groupes
connexes
de G
qui
sont des groupes de Lie
déterminant tous les
sous-anneaux
espaces R de
tels que
posé,
le
R
problème
(G)
de
X, Y
e
R(G),
R
au
sens
local
c'est-à-dire tous les
entraînent
[X, Y]
e
R.
en
sous-
Ainsi
n'est pas facile à aborder.
simplifications s'imposent d'emblée : d'abord, il suffit de chercher
chaque classe de sous-groupes conjugués ; ensuite,
on peut se borner à la recherche des plus grands
sous-groupes de G,
cette expression désignant ici les sous-groupes propres connexes qui ne
Deux
un
sous-groupe dans
sont pas contenus dans
Le
2.
un
autre sous-groupe propre
problème envisagé
(a) Déterminer les
(ou compact).
connexe
de G.
est le suivant
sous-groupes
fermés
connexes
d'un groupe de Lie clos
Tout sous-groupe continu d'un groupe de Lie étant un groupe de Lie2),
peut appliquer la méthode algébrique décrite ci-dessus, et déterminer
on
1)
S. Lie, Théorie der
Transformationsgruppen,
t.
I, p. 209 (Teubner, Leipzig
1888).
2)
E.
Carton, La théorie des groupes finis
22).
Se. Math., t. 42, 1930, p.
210
et
continus et
l'analysis
situs
(Mém.
tous les sous-anneaux R de
sous-groupe fermé
connexe
R(G). Cela fait,
engendré par R a
il reste à examiner si le
même dimension que R
(voir chapitre II, § 4).
problème algébrique basé sur les constantes de structure peut à son
un problème plus simple ; en effet, le groupe clos G
supposé semi-simple est déterminé localement par ses paramètres angu¬
±(im(x)> x étant
laires3), qui sont 2m formes linéaires ziz/u1(x),
un point d'un espace euclidien R1 à l dimensions, dont la métrique est
donnée par la forme quadratique 27 [/^ (a;)]2 ; l'entier l est le rang du
0
groupe. La figure constituée par l'espace R1 et par les plans [it{x)
(mod. 1) est le diagramme de G10) ; le diagramme Rh d'un sous-groupe
est alors un sous-diagramme du précédent. A ce point de vue, le problème
Le
tour être réduit à
..
.
,
=
s'énonce ainsi
Trouver les conditions nécessaires et
(b)
espace linéaire de R1 soit le
sous-groupe
fermé
suffisantes
pour
qu'un
sous-
support d'un sous-diagramme représentant
un
connexe.
sous-diagramme peut repré¬
isomorphes, dont il serait
intéressant de savoir s'ils sont conjugués. Le groupe G n'est pas distingué
des groupes clos qui lui sont localement isomorphes.
On peut donner au problème (b) un aspect plus intuitif ; soit \.i,- le vec¬
qu'un
Il convient de remarquer
senter
R1
de
teur
même
sous-groupes, naturellement
plusieurs
défini par
Hi(x)
=
—
(it-x
.
Il
dans
existe
l'ensemble
'
il" vecteurs fondamentaux cplt..., <pt (çv cpt < 0)
qui déterminent le diagramme et l'anneau R(G) ; ils vérifient certaines
conditions simples énoncées par van der Waerden3). Les h vecteurs
±i«i> rt^2>
Q!,...,Qh,
•
•
)
fondamentaux pour le sous-groupe
de
binaisons linéaires
citées.
Qi,
(2)
q!,..., Qh
van
der
,
vérifient
encore
les
com-
conditions
est
fondamentaux du
groupe clos G ;
ayant les propriétés suivantes
Qh
->
..,.,.
sont des combinaisons linéaires de
Qh
forment
Waerden,
t.
..,
qui
des
sont
->
->
->-
(1)
3)
Qlt.
<p,
l vecteurs
<px, $%,... ,<pv
trouver h vecteurs
(Math. Zeitschr.,
l,...,
correspondant
L'énoncé
Soient
(c)
<p
étudié,
Die
la
figure fondamentale
Klassifikation
der
q>1,...
,
<pt.
d'un groupe clos.
einfachen
Lieschen
Gruppen
37, 1933, p. 448).
211
Il existe dans G
(3)
A
3.
un
sous-growpe
fermé
connexe
admettant q1
,...,
oh
figure fondamentale.
comme
connaissance, le problème posé
ma
systématiquement
sens
ou non
ces
;
n'a
(a)
indiqué en (b) ou
grand nombre d'énoncés
au
ment l'existence d'un
groupes de Lie clos
jamais été abordé
(c). Cela n'empêche nulle¬
en
sur
les sous-groupes des
énoncés ouvrent diverses voies
:
Les sous-groupes commutatifs maximums d'un groupe clos G ont fait
l'objet d'études précises, par E. Cartan4) au point de vue infinitésimal,
et par H.
Hopf5)
au
de
point
vue
global.
La notion de sous-groupe
mutatif maximum est d'ailleurs à la base de la
son
représentation
com-
de G par
diagramme.
d'isotropie Gx des espaces symétriques clos ont été
façon systématique par E. Cartan6), en partant des automorphismes involutifs de G dont ces sous-groupes sont caractéristiques.
Je signale encore que A. Malcev1) a déterminé les sous-groupes semisimples des groupes de Lie complexes, à l'aide des représentations liné¬
Les sous-groupes
étudiés de
aires de
ces
groupes.
La résolution
exemple
GfG-L,
de faire
en
plupart
être abordé
:
en
(a) permettrait par
homogènes clos
étude d'ensemble des espaces
une
et de savoir
contient la
problème posé
du
complète
particulier si la
premiers ou
des
étant donné
classe des espaces
non.
groupe
un
Un autre
clos G et
symétriques
problème pourrait
sous-groupe fermé
à zéro dans G (au sens de la
un
connexe G^ de G, quand G-± est-il homologue
topologie combinatoire) ? On sait d'après E. Cartan qu'un
simple à trois paramètres n'est jamais homologue à zéro ;
même de tout sous-groupe invariant fermé
Dans
un
autre ordre
clos
sous-groupe
il
en
est de
connexe.
d'idées, je mentionne qu'on peut démontrer le
n'y a dans le diagramme D (G) d'un groupe clos G
sous-diagrammes D (Gj). De plus, toute chaîne de
cG
G1cG2c
peut être représentée dans D (G) par
sous-groupes
D
D
chaîne
l'ensemble de ces chaînes est
une
c D (G) ;
(Gj) c
(G2) c
encore fini. Il serait peut-être intéressant d'étudier ces ensembles finis,
théorème suivant
qu'un
:
il
nombre fini de
•
•
et de savoir de
4)
à
E. Cartan, La
quelles
•
•
structures
géométrie
on
des groupes
pourrait
les munir.
simples (Annali
di
Mat.,
t.
4, 1927, p. 212
214).
5)
Hopf, Ober den Rang geschlossener Liesoher Gruppen (Comment. Math.
13, 1940, p. 119—143).
H.
Helv.,
t.
6) E.Cartan,
7)
A. Maleev,
simple (Ann.
Ec. Norm.
Onsemi-simplesubgroupsofLiegroups (Bull. Acad. Soi. TJ.
1944). D'après le résumé: Math. Rev., t. 6, p. 146.
Sér. Math. 8, p. 143—174,
212
remarquables des géo(3) XLIV, 1927, p. 345—467).
Sur certaines formes riemanniennes
métries à groupe fondamental
R. S. S.,
indique que le problème (a) est résolu dans le
égal au rang du groupe8). D'ailleurs, ce
même problème est aussi résolu lorsque le rang du sous-groupe est égal
à un9). Les pages qui suivent n'apportent pas la solution complète ; elles
présentent un certain nombre de résultats généraux, appliqués à un cas
Une note
4.
cas
déjà
parue
où le rang du sous-groupe est
particulier important.
Le chapitre I pose les notions classiques relatives à un groupe clos G,
d'après E. Stiefel10) : diagramme, ensemble E(G) des paramètres angu¬
laires de G, groupe fini &(G) des automorphismes intérieurs de G qui
laissent invariant
duis
=
de
<Pk
=
plus
0 ;
la
sous-groupe commutatif maximum donné ;
un
notion
q>k+i
=
•
•
de
<fi ^ 0,
=
•
et la
j'intro¬
diagramme : cp1
<p2
figure de Schlàfli 5 (G) qui re-
par l
points
du
diagonale
présente
figure <p1} <p2,..., cpl
Cela posé, j'associe (chapitre II)
la
=
•
•
•
reliés par certains traits.
groupe G et
au
=
au
sous-groupe
G1
un
tableau
&
:
Qi
j
,
•
•
Qu'- Yi>
dans
•
,
/5„2
>Ynh
son^ ^
paramètres angulaires fondamentaux
E(G) qui se réduisent à gx_dans
Rh..
Le tableau I est le principal objet de cette étude (§ 5, 6, 7). Dans
ce même chapitre, je montre qu'il suffit de considérer les sous-groupes de
lequel
gj, g2
>
•
•
•
de G ; oclt «2,..., ocn
>
Qh
sont les formes de
.
G
qui
ne
de G ;
sont pas contenus dans
ce
un
sous-groupe propre de rang maximum
(H). Alors,
une
combi¬
III et IV contiennent l'étude des sous-groupes
remar¬
sont les sous-groupes
tout
a> e
L'(G)
est
naison linéaire à coefficients entiers des formes du tableau I.
Les chapitres
quables dont le
paramètres angulaires fondamen¬
taux et ceux-là seulement (sous-groupes (-H)0)- La figure de Schlàfli
5(G) doit être appliquée d'une certaine façon sur ce tableau (§ 9, 10, 11).
La discussion fournit les résultats suivants : si le rang h de G1 est au
moins égal à 2, les seuls sous-groupes (H)0 des groupes clos simples sont
les sous-groupes caractéristiques d'automorphismes involutifs externes11),
8)
A. Borel et J. de Siébenthal, C. R. Aead. Se, t. 226, p. 1662—1664; voir aussi: Com¬
ment. Math.
8)
tableau I contient l
Helv.,
t.
23, 1949,
p. 200—221.
J. de Siébenthal, C. R. Acad. Se, t. 230, 1950, p. 910—912.
10)
E.
n)
E. Cartan, cf. note 6.
Stiefel, Comment. Math. Helv.,
t.
14, 1942, p. 350—380.
213
exceptions près: G2(B3, G2cA6, 6?2 c jD412). Les inclusions
C4 c -B6 et Dh c ^42A_i ne rentrent pas dans le cas étudié.
Le cas où le rang du sous-groupe (H)0 est égal à un est très différent :
tout groupe clos G non abélien contient un sous-groupe (H)0 de rang un,
dit sous-groupe principal. Ce sous-groupe admet une définition indépen¬
dante du diagramme : un sous-groupe (H) de rang un est dit principal
s'il contient un élément régulier dans G. Lorsque G est de l'un des types
Bv (l > 3), Gt (l>2), Ft, 2?,, E8, le sous-groupe principal est toujours
à trois
maximum.
CHAPITKE I
Groupes
§
Diagramme d'un groupe
vue
topologique, G est un
espace de Hausdorfï
connexe
bicompact13),
G, il convient de
sehs de N. Bourbaki. Pour étudier
au
clos
Toroïdes maximums. Soit Oun groupe de Lie clos
1.
de
1.
clos
;
ou
du
point
compact
mettre
évi¬
en
dence les sous-groupes commutatifs maximums de G, ou toroïdes maxi¬
mums T de G ; ils sont tous connexes et ont la même dimension (chaque
T est
On
un
les
a
produit direct de l cercles)
propriétés suivantes14) :
Etant donné
(a)
contient
un
élément
Si
(c)
a
bTb~x
est
un
=
T'
Groupe fini 0(G).
2.
T est
un
riant de
a
échangeable
;
appartient
Le normalisateur
l'une d'elles est
N(T). Soit
->axa"1,
x
a
un
eG induit
0 (G)
A
élément
avec
tous les éléments d'un
N(T)
du toroïde maximum
un
nombre fini de composantes
transformation de T
une
groupe fini
sur
lui-même
; toutes
0{G) isomorphe
au
groupe
groupe clos G est ainsi associé
un
groupe
un
chaque
de transformations du toroïde T.
12)
Ces inclusions sont bien
13)
voir note 2 de l'introduction; cf. No. 9.
connues.
voir note 5 de l'introduction et H.
No 4, Hilfssatz
214
un
précisément T, qui est un sous-groupe inva¬
élément de N(T); l'automorphisme intérieur
transformations forment
quotient N(T)/T.
T', il existe
à T.
sous-groupe de G constitué par
connexes
14)
qui
(E.Cartan).
élément de G
toroide maximum T de G,
fini
toroïde maximum T
un
a.
tel que
beG
ces
eG, il existe
Etant donnés deux toroïdes maximums T et
(b)
x
a
; l'entier l est le rang du groupe G.
4).
Hopf
et
H. Samelson
(Comment. Math. Hclv.,
t.
13,