Feuille d`exercices – Arithmétique
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MPSI 1 2006-2007 Feuille d’exercices – Arithmétique Exercice 1 : [Calcul de congruence] 1. Combien valent 122006 [7] et 5641 [22] ? 2. Soit n un entier relatif. Montrer que n3 − n est divisible par 6 et que n5 − n est divisible par 30. 3. Soit n ∈ N. Montrer que 11 divise 3n+3 − 44n+2 et que 19 divise 22 4. * Quel est le dernier chiffre décimal de 77 77 6n+2 + 3. 7 77 ? 5. * Soit an le dernier chiffre décimal de n. Déterminer 2005 X ak . k=1 Exercice 2 : Résoudre dans Z2 les équations 529x + 391y = 23 368x + 161y = 253 585x + 287y = 23 10101x + 1001y = 101. Exercice 3 : 1. Soient a et b deux entiers. Quelle est la congruence modulo 4 de a2 +b2 ? Montrer que si p est un nombre premier différent de 2 qui s’écrit comme somme de deux carrés, alors p − 1 est un multiple de 4. 2. Montrer qu’un entier au carré est congru à 0 ou 1 modulo 4 et à 0, 1 ou 4 modulo 8. Une somme de trois carrés d’entiers peut-elle être congrue à −1 modulo 8 ? Exercice 4 :* [Nombres de Fermat, de Mersenne et d’Euclide] 1. Soit 2n − 1 un nombre premier. Montrer que n est premier. (Les nombres premiers de cette forme sont appelés nombres de Mersenne. Quelle est la particularité de leur développement en base 2 ?) 2. On appelle nombre d’Euclide en les nombres définis par récurrence par e1 = 2 et en+1 = e1 e2 · · · en + 1. Montrer que deux nombres d’Euclide distincts sont premiers entre eux. En combien d’étape l’algorithme d’Euclide appliqué à deux nombres d’Euclide termine-t-il1 ? 3. Soit 2n + 1 un nombre premier. Montrer que n est une puissance de 2. n On appelle nombre de Fermat Fn les nombres de la forme 22 + 1. Montrer que deux nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux. (Regarder modulo un diviseur des deux.) Exercice 5 : 1. Soit n ∈ N un entier composé, i.e. non premier. Montrer que n admet un diviseur √ d ≤ n. √ 2. * Montrer que l’ensemble des entiers n divisibles par tous les entiers d ≤ n est fini et le déterminer. Exercice 6 : 1. Résoudre les équations 24x ≡ 1 [17], 5x ≡ 2 [21], 2x ≡ 3 [7]. 1 affreux néologisme provenant de l’informatique 1 2. Résoudre les équations 24x ≡ 1 [9], 24x ≡ 3 [9], 24x ≡ 12 [9]. Exercice 7 :* [Critère de primalité de Fermat] Montrer que n est composé si et seulement s’il existe un entier a tel que 1 < a < n et an−1 6= 1 mod n. Un tel a s’appelle un témoin de Fermat. Il fournit un certificat de non-primalité pour n. Exercice 8 :* Soit S(n) la somme des diviseurs de l’entier n. Montrer que si n et m sont premiers entre eux, S(nm) = S(n)S(m). (Utiliser la décomposition en facteurs premiers.) Exercice 9 : Démontrer les affirmations suivantes concernant l’entier n : n est divisible par 2 si et seulement si son chiffre des unités est divisible par 2. n est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3. n est divisible par 4 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. n est divisible par 5 si et seulement si son dernier chiffre est divisible par 5. n est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9. n est divisible par 11 si et seulement si la somme "alternée" de ses chiffres est divisible par 11. La somme alternée des nombres a1 , a2 , . . . , ak est la somme a1 −a2 +a3 −. . .+(−1)k ak . Exercice 10 :* Résoudre les systèmes d’équations : 7x ≡ 5 [19] x ≡ 2 [23] 3x ≡ 1 [11] x ≡ 3 [13] x ≡ 8 [12] x ≡ 1 [21] Exercice 11 :* Sous la dynastie des Tang, au 7e siècle en Chine, l’empereur voulut connaitre le nombre exact des ses soldats. Bien qu’il en eût un nombre presque innombrable, il savait qu’il en avait moins d’un demi-million. Il fit alors ranger ses soldats en carrés de trente personnes de coté. Il en resta 156. Il les fit alors se ranger en carrés de trente et une personnes de coté. Il en resta alors 448. Combien de soldats avait l’armée de l’empereur ? Exercice 12 :* Soit p un nombre premier. On note vp (n) le plus grand entier tel que pvp (n) divise n. L’entier vp (n) s’appelle la valuation p-adique de n. 1. Exprimer que n divise m en utilisant les valuations p-adiques. P 2. Montrer que vp (n!) = k≥1 E( pnk ). 3. Déterminer le nombre de 0 terminant l’écriture décimale de 100!. 4. ** Montrer que pour tous n, m ∈ N, (2n)!(2m)! n!m!(n+m)! ∈ N. Exercice 13 :** Une fonction f : N → R est dite multiplicative si pour tout couple (m, n) d’entiers premiers entre eux, f (mn) = f (m)f (n). P 1. Montrer que f est multiplicative si et seulement si m 7→ g(m) = d|m f (d) est multiplicative. 2. En déduire que les fonctions ϕ « indicatrice d’Euler », S « somme des diviseurs » et τ « nombre de diviseurs » sont multiplicatives. Exercice 14 :** [four numbers game] Let f : N4 → N4 be the map defined by f (a, b, c, d) = (|b − a|, |c − b|, |d − c|, |a − d|). Show that for any (a, b, c, d) ∈ N4 , there exists a positive integer n such that f n (a, b, c, d) = (0, 0, 0, 0). Exercice 15 :*** [Vraiment dur...] Résoudre dans Z2 l’équation diophantienne x2 + 2 = y 3 . (Indications : travailler dans √ Z[i 2], et y batir une théorie euclidienne comme dans Z...) 2
