Feuille d`exercices – Arithmétique

MPSI 1 2006-2007
Feuille d’exercices – Arithmétique
Exercice 1 : [Calcul de congruence]
1. Combien valent 122006 [7] et 5641 [22] ?
2. Soit nun entier relatif. Montrer que n3−nest divisible par 6et que n5−nest
divisible par 30.
3. Soit n∈N. Montrer que 11 divise 3n+3 −44n+2 et que 19 divise 226n+2 + 3.
4. * Quel est le dernier chiffre décimal de 7777777 ?
5. * Soit anle dernier chiffre décimal de n. Déterminer
2005
X
k=1
ak.
Exercice 2 : Résoudre dans Z2les équations
529x+ 391y= 23 368x+ 161y= 253 585x+ 287y= 23 10101x+ 1001y= 101.
Exercice 3 :
1. Soient aet bdeux entiers. Quelle est la congruence modulo 4de a2+b2? Montrer que
si pest un nombre premier différent de 2qui s’écrit comme somme de deux carrés,
alors p−1est un multiple de 4.
2. Montrer qu’un entier au carré est congru à 0ou 1modulo 4et à 0,1ou 4modulo 8.
Une somme de trois carrés d’entiers peut-elle être congrue à −1modulo 8?
Exercice 4 :* [Nombres de Fermat, de Mersenne et d’Euclide]
1. Soit 2n−1un nombre premier. Montrer que nest premier. (Les nombres premiers
de cette forme sont appelés nombres de Mersenne. Quelle est la particularité de leur
développement en base 2 ?)
2. On appelle nombre d’Euclide enles nombres définis par récurrence par e1= 2 et
en+1 =e1e2···en+ 1. Montrer que deux nombres d’Euclide distincts sont premiers
entre eux. En combien d’étape l’algorithme d’Euclide appliqué à deux nombres d’Eu-
clide termine-t-il1?
3. Soit 2n+ 1 un nombre premier. Montrer que nest une puissance de 2.
On appelle nombre de Fermat Fnles nombres de la forme 22n+ 1. Montrer que deux
nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux. (Regarder modulo un diviseur
des deux.)
Exercice 5 :
1. Soit n∈Nun entier composé, i.e. non premier. Montrer que nadmet un diviseur
d≤√n.
2. * Montrer que l’ensemble des entiers ndivisibles par tous les entiers d≤√nest fini
et le déterminer.
Exercice 6 :
1. Résoudre les équations 24x≡1 [17],5x≡2 [21],2x≡3 [7].
1affreux néologisme provenant de l’informatique
1

2. Résoudre les équations 24x≡1 [9],24x≡3 [9],24x≡12 [9].
Exercice 7 :* [Critère de primalité de Fermat] Montrer que nest composé si et seulement
s’il existe un entier atel que 1< a < n et an−16= 1 mod n. Un tel as’appelle un témoin
de Fermat. Il fournit un certificat de non-primalité pour n.
Exercice 8 :* Soit S(n)la somme des diviseurs de l’entier n. Montrer que si net msont
premiers entre eux, S(nm) = S(n)S(m). (Utiliser la décomposition en facteurs premiers.)
Exercice 9 : Démontrer les affirmations suivantes concernant l’entier n:
nest divisible par 2si et seulement si son chiffre des unités est divisible par 2.
nest divisible par 3si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
nest divisible par 4si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est
divisible par 4.
nest divisible par 5si et seulement si son dernier chiffre est divisible par 5.
nest divisible par 9si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
nest divisible par 11 si et seulement si la somme "alternée" de ses chiffres est divisible par
11. La somme alternée des nombres a1,a2,...,akest la somme a1−a2+a3−. . .+(−1)kak.
Exercice 10 :* Résoudre les systèmes d’équations :
x≡2 [23]
x≡3 [13] 7x≡5 [19] 3x≡1 [11] x≡8 [12] x≡1 [21]
Exercice 11 :* Sous la dynastie des Tang, au 7esiècle en Chine, l’empereur voulut
connaitre le nombre exact des ses soldats. Bien qu’il en eût un nombre presque innombrable,
il savait qu’il en avait moins d’un demi-million. Il fit alors ranger ses soldats en carrés de
trente personnes de coté. Il en resta 156. Il les fit alors se ranger en carrés de trente et une
personnes de coté. Il en resta alors 448.
Combien de soldats avait l’armée de l’empereur ?
Exercice 12 :* Soit pun nombre premier. On note vp(n)le plus grand entier tel que pvp(n)
divise n. L’entier vp(n)s’appelle la valuation p-adique de n.
1. Exprimer que ndivise men utilisant les valuations p-adiques.
2. Montrer que vp(n!) = Pk≥1E(n
pk).
3. Déterminer le nombre de 0 terminant l’écriture décimale de 100!.
4. ** Montrer que pour tous n, m ∈N,(2n)!(2m)!
n!m!(n+m)! ∈N.
Exercice 13 :** Une fonction f:N→Rest dite multiplicative si pour tout couple (m, n)
d’entiers premiers entre eux, f(mn) = f(m)f(n).
1. Montrer que fest multiplicative si et seulement si m7→ g(m) = Pd|mf(d)est
multiplicative.
2. En déduire que les fonctions ϕ« indicatrice d’Euler », S« somme des diviseurs » et
τ« nombre de diviseurs » sont multiplicatives.
Exercice 14 :** [four numbers game]
Let f:N4→N4be the map defined by f(a, b, c, d)=(|b−a|,|c−b|,|d−c|,|a−d|).
Show that for any (a, b, c, d)∈N4, there exists a positive integer nsuch that fn(a, b, c, d) =
(0,0,0,0).
Exercice 15 :*** [Vraiment dur...]
Résoudre dans Z2l’équation diophantienne x2+ 2 = y3. (Indications : travailler dans
Z[i√2], et y batir une théorie euclidienne comme dans Z...)
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