A.1.VI LOIS DE COMPOSITIONS R. FERRÉOL 13/14

COURS MPSI A.1.VI LOIS DE COMPOSITIONS R. FERRÉOL 13/14
VI) LOIS DE COMPOSITION INTERNES ; STRUCTURES ALGÉBRIQUES.
1) Définitions.
DEF : une loi de composition (ou opération) interne (ou en abrégé ”loi”) dans un ensemble Eest une application de E
2
dans E;
au lieu d’utiliser une notation fonctionnelle "f(x, y)", on utilise une notation opératoire "x∗y”: avec cette notation,
f(f(x, y), z)s’écrit plus simplement : (x∗y)∗z.
Q1 : combien existe-t-il donc de lois dans un ensemble Eayant néléments ?
Table de la loi (!!) dans le cas fini :
2) Exemples.
a) Lois notées additivement.
Remarque : deux opérations n’ayant pas le même ensemble de définition ne devraient pas être notées de la même façon ;
mais c’est ce que nous ferons tout de même pour toutes les opérations notées +, pour simplifier les notations.
L’addition +est définie au départ dans Npar :
∀n∈N1. n+ 0 = n
2.∀m∈Nn+m
+
= (n+m)
+
La notation n
+
signifiant l’entier juste après n(que l’on ne peut pas noter n+ 1,avant d’avoir défini +!!).
Elle est ensuite prolongée à Zpar :
∀n, m ∈N
n+ (−m) = (−m) + n=n−msi nm
−(m−n)si nm
(−n) + (−m) = −(n+m)
Puis à Qpar :
∀a, c ∈Z,∀b, d ∈N
∗
a
b+c d=ad +bc bd
Puis à Rpar : (le réel xétant limite des rationnels (r
n
)
n∈N
et le réel ylimite de (s
n
)
n∈N
)
x+y= lim (r
n
+s
n
)
Et enfin à Cpar :
Re (z+z
′
) = Re (z) + Re (z
′
),Im (z+z
′
) = Im (z) + Im (z
′
)
On définit aussi +dans R
n
par
(x
1
, ..., x
n
) + (y
1
, ..., y
n
) = (x
1
+y
1
, ..., x
n
+y
n
)
Vous avez aussi défini une addition dans l’ensemble −→ Pdes vecteurs du plan, ainsi que dans l’ensemble −→ E
3
des vecteurs
de l’espace.
b) Lois notées multiplicativement.
On rappelle que la multiplication est notée par ×,par .ou par rien du tout, s’il n’y a pas d’ambiguïté.
La multiplication ×est définie au départ dans Npar :
∀n∈N1. n×0 = 0
2.∀m∈Nn(m+ 1) = nm +n
Elle est ensuite prolongée à Zpar :
∀n, m ∈Nn(−m) = (−m)n=−nm
(−n) (−m) = nm
1

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Puis à Qpar :
∀a, c ∈Z,∀b, d ∈N
∗
a
b
c
d=ac bd
Puis à Rpar : (le réel xétant limite des rationnels (r
n
)
n∈N
et le réel ylimite de (s
n
)
n∈N
)
xy = lim (r
n
s
n
)
Et enfin à Cpar :
Re (zz
′
) = Re (z) Re (z
′
)−Im (z) Im (z
′
),Im (zz
′
) = Re (z) Im (z
′
) + Im (z) Re (z
′
)
ATTENTION : le produit scalaire des vecteurs n’est pas une loi de composition interne !!!
c) La soustraction.
Elle est définie par rapport à l’addition par x−y=x+ (−y).
Attention : la soustraction n’est pas une loi de composition interne dans N!
d) La division ÷.
Elle est définie par rapport à la multiplication par x÷y=x
y=x1 ysi y= 0.
Attention : c’est une loi de composition interne dans Q
∗
,dans R
∗
et dans C
∗
,mais ni dans Z
∗
,ni dans D
∗
, ni dans Q
etc...
e) L’exponentiation.
Voir la définition de a
b
dans le cours sur les fonctions usuelles.
C’est une loi de composition interne dans N, et dans R
+
,mais pas dans Z,ni même Z
∗
!!
f) Le produit vectoriel ∧.
C’est une loi dans −→ E
3
.
g) La réunion ∪,l’intersection ∩,la différence \,la différence symétrique △.
Ce sont des lois dans P(E)(il y en a donc autant que d’ensembles E).
h) La composition des applications ◦.
C’est une loi dans l’ensemble E
E
des applications de Edans E(mais pas dans F
E
avec E=F!!!)
i) min et max dans R=R∪ {−∞,+∞}.
Remarquer qu’ici, ces deux lois ont une notation fonctionnelle ; mais on emploie parfois une notation opératoire :
min (x, y) = x∧y, max (x, y) = x∨y
j) pgcd et ppcm dans N.
On rappelle :
d=pgcd(a, b)⇔ddivise aet b
si d
′
divise aet balors d
′
divise d
m=ppcm(a, b)⇔aet bdivisent m
si aet bdivisent m
′
alors mdivise m
′
On emploie aussi une notation opératoire : pgcd(a, b) = a∧bet ppcm(a, b) = a∨b(s’il n’y a pas de confusion possible
avec min et max).
3) Commutativité.
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DEF : une loi ∗définie dans un ensemble Eest dite commutative si
∀x, y ∈E x ∗y=y∗x
Q2 : Comment cette propriété se voit-elle dans la table de la loi (dans le cas fini) ?
Q3 : Déterminer parmi les exemples de lois donnés ci-dessus celles qui ne sont pas commutatives.
4) Associativité.
DEF : une loi ∗définie dans un ensemble Eest dite associative si
∀x, y, z ∈E(x∗y)∗z=x∗(y∗z)
On supprime donc dans ce cas les parenthèses : x∗y∗z.
REMARQUE : Cette propriété ne se voit pas clairement dans la table de la loi dans le cas |E|=n; il faut donc vérifier
la propriété (x∗y)∗z=x∗(y∗z)pour les n
3
triplets (x, y, z)de E
3
.
Q4 : Déterminer parmi les lois internes définies ci-dessus celles qui ne sont pas associatives.
5) Distributivité d’une loi par rapport à une autre.
DEF : deux lois ∗et △étant définies dans un ensemble E, on dit que ∗est distributive sur △si
∀x, y, z ∈Ex∗(y△z) = (x∗y)△(x∗z)(distributivité à gauche de ∗sur △)
(x△y)∗z= (x∗z)△(y∗z)(distributivité à droite de ∗sur △)
Q5 : Déterminer parmi les couples de lois internes définies ci-dessus ceux ayant cette propriété.
6) Élément neutre.
DEF : un élément ed’un ensemble Emuni d’une loi ∗est dit neutre si :
∀x∈Ex∗e=x(eest neutre à droite)
e∗x=x(eest neutre à gauche)
Q6 : Comment remarque-t-on sur une table de loi qu’il y a un élément neutre ?
Q7 : Déterminer parmi les lois définies ci-dessus celles ayant un élément neutre.
PROP : une loi possède un élément neutre au plus.
D1
Notations : en notation additive, l’élément neutre, s’il existe, sera appelé l’élément nul, et noté 0
E
,et en notation
multiplicative, il sera appelé l’élément unité, et sera noté 1
E
.
7) Élément absorbant.
DEF : un élément ad’un ensemble Emuni d’une loi ∗est dit absorbant si :
∀x∈Ex∗a=a(aest absorbant à droite)
a∗x=a(aest absorbant à gauche)
Q8 : Comment remarque-t-on sur une table de loi qu’il y a un élément absorbant ?
Q9 : Déterminer parmi les lois définies ci-dessus celles qui possèdent un élément absorbant.
PROP : une loi possède un élément absorbant au plus.
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D2
8) Symétrique d’un élément pour une loi possédant un élément neutre.
DEF : soient xet x
′
deux éléments d’un ensemble Epossédant une loi ∗ayant un élément neutre e. Alors on dit que x
′
est un symétrique de xpour la loi ∗si
x∗x
′
=e(x
′
est symétrique à droite)
x
′
∗x=e(x
′
est symétrique à gauche)
Un élément ayant au moins un symétrique est dit symétrisable.
Q10 : comment remarque-t-on dans une table de loi qu’un élément possède un ou plusieurs symétriques ?
Exemple de loi où un élément possède deux symétriques : E1.
PROP : si la loi ∗est associative, un élément de Epossède un symétrique au plus.
D3
Notation : dans ce cas, le symétrique de xpour la loi ∗sera noté (s’il existe) : sym
∗
(x)et simplifié en −x(oppposé de
x) si la loi est additive, ou x
−1
si la loi est multiplicative ; dans ce cas x
−1
est appelé l’inverse de xet xest dit inversible
au lieu de symétrisable ; mais la notation 1
x, dangereuse, est strictement réservée au cas commutatif.
Remarque : sym
∗
(e) = eet si xa un symétrique, sym
∗
(sym
∗
(x)) = x.
PROP : La loi ∗étant supposée associative et d’élément neutre e, alors le composé par ∗de deux éléments symétrisables
est un élément symétrisable, et
sym
∗
(x∗y) =sym
∗
(y)∗sym
∗
(x)( attention à l’inversion de l’ordre )
Ce qui, en notations additive et multiplicative, donne :
−(x+y) = −y+ (−x)et (xy)
−1
=y
−1
x
−1
D4
EXEMPLES : E2.
9) Éléments simplifiables (ou réguliers).
DEF : un élément xd’un ensemble muni d’une loi ∗est dit simplifiable (ou régulier) pour ∗si
∀y
1
, y
2
∈Ex∗y
1
=x∗y
2
=⇒y
1
=y
2
(xest simplifiable à gauche)
y
1
∗x=y
2
∗x=⇒y
1
=y
2
(xest simplifiable à droite)
Q10 : comment remarque-t-on que dans une table de loi un élément est simplifiable ?
PROP : si la loi est associative et possède un élément neutre, tout élément symétrisable est simplifiable, mais la réciproque
est fausse.
D5
EXEMPLES : E3
10) Partie stable pour une loi de composition interne ; loi induite.
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DEF : une partie Ad’un ensemble Emuni d’une loi ∗est dite stable pour la loi ∗si
∀x, y ∈A x ∗y∈A
Dans ce cas, on peut définir la loi ∗
A
dans l’ensemble Apar
∀x, y ∈A x ∗
A
y=x∗y
La loi ∗
A
est appelée la loi induite par ∗sur la partie A.
Remarque : les lois ∗
A
et ∗ne diffèrent que par leur ensemble de définition et, en général, on confond leur écriture, mais
il faut faire attention que, par exemple, l’une peut avoir un élément neutre et l’autre pas !!!
EXEMPLES : E4.
PROP :
1. Les lois induites d’une loi commutative restent commutatives.
2. Idem pour l’associativité.
3. Si eest un élément neutre de ∗ET SI eappartient à la partie stable A, alors eest neutre pour ∗
A
.
4. Si de plus xest un élément de Aayant un symétrique x
′
pour ∗QUI APPARTIENT À A, alors x
′
est un symétrique
de xpour ∗
A
.
D6
VII. STRUCTURES ALGÉBRIQUES.
1) Groupes.
a) Définition.
DEF ∗étant une loi de composition interne dans un ensemble G, on dit que (G, ∗)est un groupe si
1. La loi ∗est associative.
2. ∗possède un élément neutre i.e. : ∃e∈G / ∀x∈G x ∗e=e∗x=x
3. Tout élément de Gpossède un symétrique pour la loi ∗i.e. : ∀x∈G∃x
′
∈G / x ∗x
′
=x
′
∗x=e
Si de plus la loi ∗est commutative, le groupe est dit commutatif (ou abélien en l’honneur du mathématicien Abel).
Remarques :
R1. On dit ”souvent Gmuni de ∗”au lieu de (G, ∗),et lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté, on écrit Gtout court au lieu de
(G, ∗); par exemple, on parle du groupe Rau lieu de (R,+) ou du groupe R
∗
au lieu de (R
∗
,×).
R2. La loi de groupe ∗étant associative, le symétrique de xest unique ; on le notera x
−1
; mais en notation additive, ce
sera −x.
R3. On a toujours, dans un groupe :
e
−1
=e, x
−1
−1
=xet (x∗y)
−1
=y
−1
∗x
−1
Ce qui, en notation additive donne :
−0
G
= 0
G
,−(−x) = xet −(x+y) = −y+ (−x)
R4 : En notation additive, on définit la soustraction −par :
∀x, y ∈G x −y=x+ (−y)
R5 : Dans un groupe tout élément est simplifiable (puisque symétrisable) ; donc dans la table d’un groupe fini, apparaît
dans chaque ligne et dans chaque colonne tous les éléments de Gune fois et une seule.
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