A.1.VI LOIS DE COMPOSITIONS R. FERRÉOL 13/14

A.1.VI LOIS DE COMPOSITIONS R. FERRÉOL 13/14
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VI) LOIS DE COMPOSITION INTERNES ; STRUCTURES ALGÉBRIQUES.
1) Définitions.
DEF : une loi de composition (ou opération) interne (ou en abrégé ”loi”) dans un ensemble E est une application de E 2
dans E ;
au lieu d’utiliser une notation fonctionnelle "f (x, y)", on utilise une notation opératoire "x ∗ y” : avec cette notation,
f (f (x, y) , z) s’écrit plus simplement : (x ∗ y) ∗ z.
Q1 : combien existe-t-il donc de lois dans un ensemble E ayant n éléments ?
Table de la loi (!!) dans le cas fini :
2) Exemples.
a) Lois notées additivement.
Remarque : deux opérations n’ayant pas le même ensemble de définition ne devraient pas être notées de la même façon ;
mais c’est ce que nous ferons tout de même pour toutes les opérations notées +, pour simplifier les notations.
L’addition + est définie au départ dans N par :
∀n ∈ N
1. n + 0 = n
+
2. ∀m ∈ N n + m+ = (n + m)
La notation n+ signifiant l’entier juste après n (que l’on ne peut pas noter n + 1, avant d’avoir défini + !!).
Elle est ensuite prolongée à Z par :
∀n, m ∈ N
Puis à Q par :



n + (−m) = (−m) + n =
n − m si n m
− (m − n) si n m
(−n) + (−m) = − (n + m)
∀a, c ∈ Z, ∀b, d ∈ N∗
Puis à R par : (le réel x étant limite des rationnels (rn )n∈N
a c
ad + bc
+ =
b d
bd
et le réel y limite de (sn )n∈N )
x + y = lim (rn + sn )
Et enfin à C par :
Re (z + z ′ ) = Re (z) + Re (z ′ ) , Im (z + z ′ ) = Im (z) + Im (z ′ )
On définit aussi + dans Rn par
(x1 , ..., xn ) + (y1 , ..., yn ) = (x1 + y1 , ..., xn + yn )
−
→
−
→
Vous avez aussi défini une addition dans l’ensemble P des vecteurs du plan, ainsi que dans l’ensemble E3 des vecteurs
de l’espace.
b) Lois notées multiplicativement.
On rappelle que la multiplication est notée par ×, par . ou par rien du tout, s’il n’y a pas d’ambiguïté.
La multiplication × est définie au départ dans N par :
∀n ∈ N
1. n × 0 = 0
2. ∀m ∈ N n (m + 1) = nm + n
Elle est ensuite prolongée à Z par :
∀n, m ∈ N
n (−m) = (−m) n = −nm
(−n) (−m) = nm
1
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Puis à Q par :
ac
ac
=
bd
bd
et le réel y limite de (sn )n∈N )
∀a, c ∈ Z, ∀b, d ∈ N∗
Puis à R par : (le réel x étant limite des rationnels (rn )n∈N
xy = lim (rn sn )
Et enfin à C par :
Re (zz ′ ) = Re (z) Re (z ′ ) − Im (z) Im (z ′ ) , Im (zz ′ ) = Re (z) Im (z ′ ) + Im (z) Re (z ′ )
ATTENTION : le produit scalaire des vecteurs n’est pas une loi de composition interne !!!
c) La soustraction.
Elle est définie par rapport à l’addition par x − y = x + (−y) .
Attention : la soustraction n’est pas une loi de composition interne dans N !
d) La division ÷.
Elle est définie par rapport à la multiplication par x ÷ y =
x
y
=x
1
si y = 0.
y
Attention : c’est une loi de composition interne dans Q∗ , dans R∗ et dans C∗ , mais ni dans Z∗ , ni dans D∗ , ni dans Q
etc...
e) L’exponentiation.
Voir la définition de ab dans le cours sur les fonctions usuelles.
C’est une loi de composition interne dans N, et dans R+ , mais pas dans Z, ni même Z∗ !!
f) Le produit vectoriel ∧.
−
→
C’est une loi dans E3 .
g) La réunion ∪, l’intersection ∩, la différence \, la différence symétrique △.
Ce sont des lois dans P (E) (il y en a donc autant que d’ensembles E).
h) La composition des applications ◦.
C’est une loi dans l’ensemble E E des applications de E dans E (mais pas dans F E avec E = F !!!)
i) min et max dans R = R ∪ {−∞, +∞}.
Remarquer qu’ici, ces deux lois ont une notation fonctionnelle ; mais on emploie parfois une notation opératoire :
min (x, y) = x ∧ y, max (x, y) = x ∨ y
j) pgcd et ppcm dans N.
On rappelle :
d divise a et b
si d′ divise a et b alors d′ divise d
a et b divisent m
m =ppcm(a, b) ⇔
si a et b divisent m′ alors m divise m′
d =pgcd(a, b) ⇔
On emploie aussi une notation opératoire : pgcd(a, b) = a ∧ b et ppcm(a, b) = a ∨ b (s’il n’y a pas de confusion possible
avec min et max).
3) Commutativité.
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DEF : une loi ∗ définie dans un ensemble E est dite commutative si
∀x, y ∈ E x ∗ y = y ∗ x
Q2 : Comment cette propriété se voit-elle dans la table de la loi (dans le cas fini) ?
Q3 : Déterminer parmi les exemples de lois donnés ci-dessus celles qui ne sont pas commutatives.
4) Associativité.
DEF : une loi ∗ définie dans un ensemble E est dite associative si
∀x, y, z ∈ E
(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)
On supprime donc dans ce cas les parenthèses : x ∗ y ∗ z.
REMARQUE : Cette propriété ne se voit pas clairement dans la table de la loi dans le cas |E| = n ; il faut donc vérifier
la propriété (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) pour les n3 triplets (x, y, z) de E 3 .
Q4 : Déterminer parmi les lois internes définies ci-dessus celles qui ne sont pas associatives.
5) Distributivité d’une loi par rapport à une autre.
DEF : deux lois ∗ et △ étant définies dans un ensemble E, on dit que ∗ est distributive sur △ si
∀x, y, z ∈ E
x ∗ (y △ z) = (x ∗ y) △ (x ∗ z) (distributivité à gauche de ∗ sur △ )
(x △ y) ∗ z = (x ∗ z) △ (y ∗ z) (distributivité à droite de ∗ sur △ )
Q5 : Déterminer parmi les couples de lois internes définies ci-dessus ceux ayant cette propriété.
6) Élément neutre.
DEF : un élément e d’un ensemble E muni d’une loi ∗ est dit neutre si :
∀x ∈ E
x ∗ e = x (e est neutre à droite)
e ∗ x = x (e est neutre à gauche)
Q6 : Comment remarque-t-on sur une table de loi qu’il y a un élément neutre ?
Q7 : Déterminer parmi les lois définies ci-dessus celles ayant un élément neutre.
PROP : une loi possède un élément neutre au plus.
D1
Notations : en notation additive, l’élément neutre, s’il existe, sera appelé l’élément nul, et noté 0E , et en notation
multiplicative, il sera appelé l’élément unité, et sera noté 1E .
7) Élément absorbant.
DEF : un élément a d’un ensemble E muni d’une loi ∗ est dit absorbant si :
∀x ∈ E
x ∗ a = a (a est absorbant à droite)
a ∗ x = a (a est absorbant à gauche)
Q8 : Comment remarque-t-on sur une table de loi qu’il y a un élément absorbant ?
Q9 : Déterminer parmi les lois définies ci-dessus celles qui possèdent un élément absorbant.
PROP : une loi possède un élément absorbant au plus.
3
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D2
8) Symétrique d’un élément pour une loi possédant un élément neutre.
DEF : soient x et x′ deux éléments d’un ensemble E possédant une loi ∗ ayant un élément neutre e. Alors on dit que x′
est un symétrique de x pour la loi ∗ si
x ∗ x′ = e (x′ est symétrique à droite)
x′ ∗ x = e (x′ est symétrique à gauche)
Un élément ayant au moins un symétrique est dit symétrisable.
Q10 : comment remarque-t-on dans une table de loi qu’un élément possède un ou plusieurs symétriques ?
Exemple de loi où un élément possède deux symétriques : E1.
PROP : si la loi ∗ est associative, un élément de E possède un symétrique au plus.
D3
Notation : dans ce cas, le symétrique de x pour la loi ∗ sera noté (s’il existe) : sym∗ (x) et simplifié en −x (oppposé de
x) si la loi est additive, ou x−1 si la loi est multiplicative ; dans ce cas x−1 est appelé l’inverse de x et x est dit inversible
1
au lieu de symétrisable ; mais la notation , dangereuse, est strictement réservée au cas commutatif.
x
Remarque : sym∗ (e) = e et si x a un symétrique, sym∗ (sym∗ (x)) = x.
PROP : La loi ∗ étant supposée associative et d’élément neutre e, alors le composé par ∗ de deux éléments symétrisables
est un élément symétrisable, et
sym∗ (x ∗ y) =sym∗ (y) ∗sym∗ (x) (
attention à l’inversion de l’ordre)
Ce qui, en notations additive et multiplicative, donne :
− (x + y) = −y + (−x) et (xy)−1 = y −1 x−1
D4
EXEMPLES : E2.
9) Éléments simplifiables (ou réguliers).
DEF : un élément x d’un ensemble muni d’une loi ∗ est dit simplifiable (ou régulier ) pour ∗ si
∀y1 , y2 ∈ E
x ∗ y1 = x ∗ y2 =⇒ y1 = y2 (x est simplifiable à gauche)
y1 ∗ x = y2 ∗ x =⇒ y1 = y2 (x est simplifiable à droite)
Q10 : comment remarque-t-on que dans une table de loi un élément est simplifiable ?
PROP : si la loi est associative et possède un élément neutre, tout élément symétrisable est simplifiable, mais la réciproque
est fausse.
D5
EXEMPLES : E3
10) Partie stable pour une loi de composition interne ; loi induite.
4
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DEF : une partie A d’un ensemble E muni d’une loi ∗ est dite stable pour la loi ∗ si
∀x, y ∈ A x ∗ y ∈ A
Dans ce cas, on peut définir la loi ∗A dans l’ensemble A par
∀x, y ∈ A x ∗A y = x ∗ y
La loi ∗A est appelée la loi induite par ∗ sur la partie A.
Remarque : les lois ∗A et ∗ ne diffèrent que par leur ensemble de définition et, en général, on confond leur écriture, mais
il faut faire attention que, par exemple, l’une peut avoir un élément neutre et l’autre pas !!!
EXEMPLES : E4.
PROP :
1. Les lois induites d’une loi commutative restent commutatives.
2. Idem pour l’associativité.
3. Si e est un élément neutre de ∗ ET SI e appartient à la partie stable A, alors e est neutre pour ∗A .
4. Si de plus x est un élément de A ayant un symétrique x′ pour ∗ QUI APPARTIENT À A, alors x′ est un symétrique
de x pour ∗A .
D6
VII. STRUCTURES ALGÉBRIQUES.
1) Groupes.
a) Définition.
DEF ∗ étant une loi de composition interne dans un ensemble G, on dit que (G, ∗) est un groupe si
1. La loi ∗ est associative.
2. ∗ possède un élément neutre i.e. : ∃e ∈ G / ∀x ∈ G x ∗ e = e ∗ x = x
3. Tout élément de G possède un symétrique pour la loi ∗ i.e. : ∀x ∈ G ∃x′ ∈ G / x ∗ x′ = x′ ∗ x = e
Si de plus la loi ∗ est commutative, le groupe est dit commutatif (ou abélien en l’honneur du mathématicien Abel).
Remarques :
R1. On dit ”souvent G muni de ∗” au lieu de (G, ∗) , et lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté, on écrit G tout court au lieu de
(G, ∗) ; par exemple, on parle du groupe R au lieu de (R, +) ou du groupe R∗ au lieu de (R∗ , ×) .
R2. La loi de groupe ∗ étant associative, le symétrique de x est unique ; on le notera x−1 ; mais en notation additive, ce
sera −x.
R3. On a toujours, dans un groupe :
e−1 = e, x−1
−1
= x et (x ∗ y)−1 = y −1 ∗ x−1
Ce qui, en notation additive donne :
−0G = 0G , − (−x) = x et − (x + y) = −y + (−x)
R4 : En notation additive, on définit la soustraction − par :
∀x, y ∈ G
x − y = x + (−y)
R5 : Dans un groupe tout élément est simplifiable (puisque symétrisable) ; donc dans la table d’un groupe fini, apparaît
dans chaque ligne et dans chaque colonne tous les éléments de G une fois et une seule.
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PROP : si E est un ensemble muni d’une loi associative ∗ possédant un élément neutre e, alors l’ensemble S (E) des
éléments symétrisables de E est stable par ∗ et S (E) muni de la loi induite ∗S(E) est un groupe.
D7
Exemples : E5.
b) Itérés d’un élément.
DEF : x étant un élément d’un groupe (G, ∗) d’élément neutre e, et n un entier naturel, on défini le n − ième itéré de x,
noté xn par
x0 = e
∀n ∈ N xn+1 = xn ∗ x (donc, si n 1 : xn = x ∗ x ∗ ... ∗ x)
n fois
De plus : x
−n
−1 n
sera par définition x
.
Remarque : en notation additive, tout ceci devient :
0x = 0G
∀n ∈ N (n + 1) x = nx + x (donc, si n
1 : nx = x + x + ... + x)
n fois
(−n) x = − (nx)
On a alors les propriétés, pour x et y dans G et n entier relatif :
P1 . xn ∗ xm = xn+m (qui donne en additif : nx + mx = (n + m) x)
P2. (xn )m = xnm = (xm )n (qui donne en additif : m (nx) = (nm) x = n (mx))
D8
c) Sous-groupes.
Soit (G, ∗) un groupe d’élément neutre e et H une partie de G.
DEF : H est un sous-groupe de G si H est stable pour la loi ∗, et si H muni de la loi induite ∗H est un groupe.
CNS1 : H est un sous-groupe de G ssi

 1. e ∈ H
2. ∀x, y ∈ H x ∗ y ∈ H (autrement dit H est stable)

3. ∀x ∈ H x−1 ∈ H
REM : en notation additive, ceci devient :

 1. 0G ∈ H
2. ∀x, y ∈ H x + y ∈ H (autrement dit H est stable)

3. ∀x ∈ H − x ∈ H
CNS2 : H est un sous-groupe de G ssi
1. e ∈ H
2’. ∀x, y ∈ H x ∗ y −1 ∈ H
D9
REM : la CNS 2 est plus compacte, mais je conseille quand même d’utiliser la CNS1, plus facile à mettre en oeuvre.
6
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Exemples triviaux : {e} et G sont des sous groupes de G ; les autres sous-groupes sont dits ”non triviaux”.
Autres exemples : E6.
2) Anneaux.
a) Définition.
DEF Un ensemble A muni de deux lois notées + et × est appelé un anneau si
1.
2.
3.
4.
(A, +) est un groupe commutatif (ce qui fait 4 propriétés).
La loi × est associative.
Elle est aussi distributive sur +.
La loi × possède un élément neutre différent de celui de +.
Si de plus la multiplication est commutative, l’anneau est dit commutatif.
Notation : l’élément nul (i.e. neutre pour l’addition) sera noté 0A et l’élément unité (i.e. neutre pour ×) noté 1A .
REM : l’appellation ”anneau” est la traduction de l’allemand ”Ring” qui peut signifier ”cercle d’habitués”.
Exemples : E7.
b) Calculs dans un anneau.
On définit la soustraction dans A par a − b = a + (−b), l’itération additive na (n entier relatif et a ∈ A) comme on a dit
ci-dessus, et l’exponentiation an pour n entier NATUREL par
a0 = 1A
∀n ∈ N an+1 = an a (donc, si n
1 : an = a × a × ... × a)
n fois
Sauf pour la commutativité de × et autres exceptions dûment signalées ci-dessous, presque tous les réflexes acquis pour
les calculs dans les réels pourront être conservés pour les calculs dans un anneau ; on a en particulier les propriétés pour a
et b dans A :
P1 : a0A = 0A a = 0A (0A est absorbant)
P2 : a (−b) = (−a) b = − (ab) (donc simplifié en −ab)
P3 : a (b − c) = ab − ac et (a − b)c = ac − bc.
a2 + b2 + ab + ba
P4 : (a + b)2 =
a2 + b2 + 2ab seulement si a et b commutent (i.e. ab = ba)
a2 − b2 + ba − ab
P5 : (a + b) (a − b) =
a2 − b2 seulement si a et b commutent
n
n
P6 : (a + b)n =
an−k bk si a et b commutent
k
k=0
n−1
P7 : an − bn = (a − b)
an−1−k bk
si a et b commutent.
k=0
D10
c) Problème des diviseurs de zéro ; anneaux intègres.
On était habitués à ce que dans R on ait : ab = 0 ⇒ (a = 0 ou b = 0), propriété utilisée lors de la résolution des équations
; ceci n’est malheureusement plus exact dans un anneau quelconque (et en particulier dans l’anneau des matrices qui sera
étudié cette année).
DEF : un élément non nul a de l’anneau A tel qu’il existe un élément b non nul de A tel que ab = 0A , s’appelle un diviseur
de zéro de A ; un anneau sans diviseur de zéro est dit intègre.
PROP : A est intègre ⇔ ∀a, b ∈ A ab = 0 ⇒ (a = 0A ou b = 0A ) .
7
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D11
CNS : a est un diviseur de zéro ssi a est non nul et non simplifiable ; un anneau intègre est donc un anneau où tout
élément non nul est simplifiable.
D12
d) Sous-anneaux.
Soit A un anneau et B une partie de A.
DEF : B est un sous-anneau de A si B est stable pour l’addition et la multiplication, et si B muni des lois induites +B
et ×B est un anneau ayant le même élément unité que A.
CNS : B est un sous-anneau de A ssi

1.∀a, b ∈ B a + b ∈ B (autrement dit B est stable pour +)



2. ∀a ∈ B −a ∈ B
3. ∀a, b ∈ B ab ∈ B (autrement dit B est stable pour ×)



4.1A ∈ B
Exemples : Z1A = {n1A / n ∈ Z} et A sont des sous-anneaux de A.
Autres exemples : E8.
3) Corps.
a) Définition.
DEF : un corps K est un anneau où tous les éléments non nuls sont inversibles :
∀x ∈ K\{0K } ∃x′ ∈ K / xx′ = x′ x = 1K
L’ensemble K\{0K } est noté traditionnellement K ∗ .
Exemples : E9
CNS : (K, +, ×) est un corps ssi
1. (K, +, ×) est un anneau
2. (K ∗ , ×) est un groupe
D13
Remarque : un corps est un anneau intègre, mais la réciproque est fausse (ctre-exemple Z).
b) Sous-corps.
Soit K un corps et L une partie de K.
DEF : L est un sous-corps de K si L est stable pour l’addition et la multiplication, et si L muni des lois induites +L et
×L est un corps.
CNS : L est un sous-corps de K ssi
1. L est un sous-anneau de K
2. ∀x ∈ L\{0K } x−1 ∈ L
D14
4) Morphismes (hors programme).
a) Définitions.
8
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DEF : l’ensemble E étant muni d’une loi ∗ et F d’une loi △, on dit qu’une application f de E vers F est un morphisme
de (E, ∗) vers (F, △) si elle vérifie :
∀x, y ∈ E f (x ∗ y) = f (x) △f (y)
Lorsque E = F et ∗ = △ on parle d’endomorphisme de (E, ∗).
Un morphisme bijectif est appelé un isomorphisme.
Deux ensembles munis d’opération tels qu’il existe un isomorphisme de l’un vers l’autre sont dits isomorphes, et ceci se
note :
(E, ∗) ≈ (F, △) (simplifié en E ≈ F s’il n’y a pas d’ambiguité)
Un endomorphisme bijectif est appelé un automorphisme.
EXEMPLES :
- idE est un automorphisme de (E, ∗) .
- ln est un isomorphisme de R∗+ , × sur (R, +) ; ces deux ensembles sont donc isomorphes.
- deux ensembles finis munis de lois sont isomorphes si, au nom des éléments près, les tables sont identiques.
- autres exemples E10
b) Propriétés.
P1 : une composée de morphismes est un morphisme ; plus précisément, si f est un morphisme de (E, ∗) vers (F, △) et
g un morphisme de (F, △) vers (G, ▽) (prononcer ”atled”) alors g ◦ f est un morphisme de (E, ∗) vers (G, ▽) .
D15
REM : une composée d’endo, iso, ou auto-morphismes est donc un endo, iso, ou auto-morphisme.
P2 : La réciproque d’un isomorphisme est un isomorphisme.
D16
CORO 1 : la relation d’isomorphie est une relation d’équivalence, à savoir :
(E, ∗) ≈ (E, ∗)
(E, ∗) ≈ (F, △) ⇒ (F, △) ≈ (E, ∗)
(E, ∗) ≈ (F, △)
⇒ (E, ∗) ≈ (G, ▽)
(F, △) ≈ (G, ▽)
CORO 2 : l’ensemble des automorphismes de (E, ∗) , noté AUT∗ (E) , est un sous-groupe de BIJ (E) muni de ◦.
D17
c) Morphismes de groupes (partie au programme).
DEF si (G, ∗) et (H, △) sont deux groupes , un morphisme de groupe de G vers H est un morphisme de (G, ∗) vers
(H, △) .
REM : on a alors, avec des notations évidentes : f (eG ) = eH et (f (x))−1 = f x−1 .
D18
PROP (transport de la structure de groupe) : si (G, ∗) est un groupe et s’il existe un morphisme surjectif de (G, ∗) sur
(H, △) alors (H, △) est un groupe ; si f est bijective, ces deux groupes sont isomorphes.
D19
d) Morphismes d’anneaux.
9
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DEF si (A, +, ×) et (B, +, ×) sont deux anneaux , un morphisme d’anneaux de A vers B est un morphisme f de (A, +, ×)
vers (B, +, ×) vérifiant de plus f (1A ) = 1B .
E11
REM : on a alors, avec des notations évidentes : f (0A ) = 0B , f (−x) = −f (x) et si x est inversible, f(x) aussi et
−1
(f (x)) = f x−1 .
D20
PROP (transport de la structure d’anneau): si A est un anneau et s’il existe un morphisme surjectif non nul f de (A, +, ×)
sur (B, +, ×) alors B est un anneau ; si f est bijective, ces deux anneaux sont isomorphes.
D21
e) Morphismes de corps.
DEF si K et L sont deux corps , un morphisme de corps de K vers L est un morphisme d′ anneaux de K vers L.
REM : on a alors, avec des notations évidentes : f (0K ) = 0L , f (−x) = −f (x) et si x = 0K (f (x))−1 = f x−1 .
D22
PROP : un morphisme de corps est toujours injectif.
D23 : chercher d’abord les antécédents de 0.
PROP (transport de la structure de corps) : si K est un corps et s’il existe un morphisme surjectif (donc forcément
bijectif) de (K, +, ×) sur (L, +, ×) alors L est un corps isomorphe à K.
D24
10