Table des matières - Nicolas Patrois

Table des matières
1 Homotpie et revêtement 6
1.1 Introduction ............................. 6
1.2 Revêtements ............................. 6
1.3 Groupes d’homotopie ........................ 7
1.3.1 Homotopie des chemins, groupe fondamental ....... 7
1.3.2 Composantes connexes par arcs .............. 8
1.3.3 Groupe fondamental .................... 8
1.4 Revêtement ............................. 11
1.4.1 Revêtement universel .................... 12
1.5 Exemples .............................. 12
1.5.1 Groupe fondamental du cercle s1.............. 12
1.5.2 Groupe fondamental des groupes classiques ........ 13
1.5.3 Revêtement universel du groupe des rotations SO(3) . . . 13
2 Variétés différentielles 17
2.1 Introduction ............................. 17
2.2 Variétés topologiques ........................ 19
2.3 Variétés différentiables ....................... 19
2.4 sous-Variétés ............................ 20
2.4.1 Sous-variétés de Rn.................... 20
2.4.2 Sous-variétés de variété. .................. 22
2.5 Exemples(Variétés différentiables) ................. 24
2.5.1 Quelques exemples .................... 24
2.5.2 Sphère unité Sn....................... 24
2.5.3 Tore T2........................... 25
2.5.4 Espace projectif Pn(R)................... 25
2.6 Exemples(sous-Variétés ) ...................... 26
2.7 Grassmanniennes Gr,n ....................... 28
2.8 Varièté quotient ........................... 29
1

2.9 Compléments ............................ 29
3 Champs de vecteurs et flots 32
3.1 Introduction ............................. 33
3.2 Problème de Cauchy ........................ 33
3.2.1 Dèfinitions ......................... 33
3.2.2 L’èxistence et l’unicitè de solutions ............ 34
3.2.3 Théoreme de Cauchy-Lipshitz ............... 35
3.3 Champ de vecteurs ......................... 35
3.3.1 Champ de vecteurs sur un ouvert de Rn.......... 35
3.3.2 Champ de vecteurs sur une variété ............. 36
3.4 flot local ............................... 36
3.4.1 Définition .......................... 36
3.4.2 L’existence et l’unicitè ................... 36
3.5 champ de vecteurs complet ..................... 37
3.5.1 Définition .......................... 37
3.5.2 champ de vecteur à support compact ............ 37
3.5.3 champ de vecteur sur une variété compacte ........ 38
3.5.4 Champ de vecteur invariant à gauche ........... 39
3.6 le flot et derivée de lie ........................ 39
3.6.1 Théoreme : ......................... 40
3.7 L’application expontielle ...................... 41
3.7.1 L’expontielle d’une matrice : ................ 41
3.7.2 L’expontielle sur une variété : ............... 41
4 Théorème de Frobenius et feuilletages 45
4.1 Redressement des champs de vecteurs .............. 45
4.1.1 Théorème ......................... 45
4.1.2 la Preuve .......................... 46
4.1.3 Proposition ......................... 46
4.1.4 la Preuve .......................... 46
4.2 Théorème de Froebenius ...................... 48
4.2.1 Feuilletage de variétés ................... 48
4.2.2 Théorème de Froebenius : ................. 51
4.2.3 Démonstration du théorème de Froebenius : ....... 51
4.3 Références Bibleographiques .................... 54
5 Introduction aux fibrés 55
2

6 Introduction et Histoire 56
6.1 Introduction ............................. 56
6.2 Espace tangent ........................... 57
6.2.1 Vecteurs tangents ...................... 57
6.2.2 Espace tangent ....................... 58
7 Fibrations 62
7.1 Fibré tangent ............................ 62
7.1.1 Fibré cotangent ....................... 63
7.1.2 Fibré localement trivial ................... 64
7.1.3 Fibré vectoriel ....................... 67
7.1.4 Fibré des repères, fibré orientable ............. 70
7.1.5 Champs de vecteurs .................... 71
7.1.6 parallélisation ........................ 72
7.2 Fibré principal ............................ 72
7.2.1 Généralités ......................... 72
7.2.2 Fibration d’un groupe Gen sous groupes Hau dessus de
G/H ............................ 74
7.3 Fibration de Hopf .......................... 76
7.3.1 Définition et exemples ................... 76
7.3.2 Construction dans un plan complexe ............ 77
7.3.3 Quelques photos ...................... 78
8 Introduction aux Algèbres de Lie 83
9 Théorèmes de Lie 84
9.1 Introduction ............................. 85
9.1.1 l’intérêt ........................... 85
9.1.2 Historique .......................... 85
9.1.3 Excuses .......................... 85
9.1.4 Remerciements ....................... 86
9.2 Rappels ............................... 87
9.2.1 Définitions de base ..................... 87
9.3 Théorèmes de Lie .......................... 89
9.3.1 Premier théorème de Lie .................. 89
9.3.2 Deuxième théorème de Lie ................ 89
9.3.3 Troisième théorème de Lie ................ 90
9.4 Théorème d’Ado .......................... 90
9.4.1 Enocé du théorème ..................... 90
9.4.2 Remarque1 : ........................ 90
9.4.3 Remarque2 : ........................ 91
3

9.5 FORMULE DE BACKER- CAMPBELLE- HAUSDORF ..... 91
9.5.1 Séries entières formelles .................. 91
9.5.2 Transporter un champ de vecteurs de l’algèbre de lie au
groupe ........................... 91
9.5.3 Enoncé du résultat ..................... 92
9.5.4 Trois règles pour calculer avec C?............. 92
9.5.5 Exemple de calcule ..................... 92
9.5.6 Les outiles ......................... 93
9.5.7 Comparaison des champs de vecteurs ........... 93
9.5.8 Démonstration de formule et des règles de calcul ..... 94
9.5.9 Finitude de l’algorithme .................. 94
9.6 bibliography ............................. 96
10 Métriques riemanniennes 97
11 Produit scalaire 98
11.1 Introduction ............................. 98
11.1.1 Définitions et propriétés algébriques premières ...... 99
11.1.2 Définitions équivalentes et propriétés ...........101
11.2 Métriques riemanniennes et leurs variantes .............101
11.2.1 Métriques pseudo-riemanniennes .............101
11.2.2 Métriques lorentziennes ..................103
11.2.3 Métriques sous-riemannienne ...............103
11.2.4 Métriques Finsleriennes ..................104
11.3 Partition de l’unité .........................104
11.3.1 Rappels ...........................104
11.3.2 La justification demandée .................105
11.4 Complétude .............................106
11.4.1 Complétude des variétés pseudo-riemanniennes homogènes 106
11.5 Théorème de Hopf-Rinow .....................107
12 Connexions et courbures 110
12.1 Introduction .............................111
12.1.1 Variétés Différentielles ...................111
12.1.2 Groupe de Lie .......................113
12.2 GEOMETRIE RIEMANNIENE ..................114
12.2.1 Proposition .........................114
12.2.2 définition ..........................114
12.2.3 Remarque ..........................114
12.2.4 Connexion lineaire .....................115
12.2.5 Les tenseurs .........................115
4

TABLE DES MATIÈRES c PG. Géométrie 5
12.2.6 Torsion et Courbure ....................116
12.3 CONNEXION DE LEVI-CEVITA .................116
12.3.1 définition ..........................117
12.3.2 Théorème ..........................117
12.3.3 Symboles des cristoffel ...................117
12.3.4 Tenseur du courbure de Riemann ..............117
12.3.5 Sectionel de courbure ....................118
12.3.6 Tenseur de Ricci ......................118
12.4 EXEMPLES .............................118
12.4.1 Exemple 1 .........................118
12.4.2 Exemple 2 .........................122
12.5 le tenseur sur une variétè : .....................122
12.5.1 definition : .........................122
12.5.2 les conventions de sommation d’Einstein : .........123
12.6 la connexion linéaire : ........................123
12.6.1 definition : .........................123
12.6.2 remarque : .........................124
12.7 la connexion de Levi-Cevita : ....................124
12.7.1 definition : .........................124
12.7.2 formule de Koszul : .....................124
12.7.3 Symboles de Christoffel : ..................125
12.7.4 Torsion : ..........................126
12.7.5 L’existance et l’unicité de la connexion de Levi-Cevita : . 127
12.8 les Courbures : ...........................128
12.8.1 la Courbure .........................128
12.8.2 Lemme(les proprieté) ...................129
12.8.3 Remarque .........................129
12.8.4 peuve de Lemme ......................129
12.8.5 sectionnelle courbure ....................131
12.8.6 la courbure de Ricci ....................132
12.8.7 la courbure scalaire .....................132
12.8.8 Isomerie ..........................132
12.8.9 Homothetie .........................133
12.9 Coordonnés normales .......................134