Arithmétique et applications, combinatoire et graphes Cours No. 1

Arithm´etique et applications, combinatoire et graphes
Cours No. 1, Corps finis
Rappels :
Groupe : Un groupe est un ensemble Gmuni d’une op´eration binaire associative ∗
admettant un ´el´ement neutre etel que pour chaque ´el´ement xde l’ensemble, il existe
un ´el´ement y, appel´e ´el´ement sym´etrique, v´erifiant x∗y=y∗x=e. Si pour tout
x, y ∈Gon a x∗y=y∗xon dit que le groupe est commutatif ou ab´elien.
Exemples: 1. (Z,+), l’ensemble des entiers muni de l’addition.
2. (Z/kZ,+), l’ensemble des entiers modulo kmuni de l’addition.
3. ((Z/pZ)∗,·), l’ensemble des entiers modulo un nombre premier ppriv´e de 0 muni
de la multiplication.
4. (C,+), l’ensemble des nombres complexes muni de l’addition.
5. (C∗,·), l’ensembles des nombres complexes priv´es de 0 muni de la multiplication.
6. D4, le groupe di´edral qui consiste des 8 rotations et reflexions du carr´e muni de
composition comme op´eration binaire.
7. Sn, le groupe de n! permutations de nobjets muni de composition comme op´eration
binaire.
8. Ap, l’ensemble des fonction f(x) = ax +bavec a∈(Z/pZ)∗et b∈Z/pZ(ppremier)
muni de composition comme op´eration binaire.
Parmi ces groupes, lequels sont commutatifs ?
Groupe quotient : Soit Gun groupe qu’on suppose ab´elien et soit Hun sous-groupe
de G. On ´ecrit ∗pour la multiplication dans Get y−1pour l’´el´ement sym´etrique de y.
Alors la relation (´equivalence modulo H)
x∼y⇔y−1∗x∈H ,
est une relation d’´equivalence sur G. La classe d’´equivalence de y∈Gest
y∗H={y∗h:h∈H}.
Par exemple, si G=Z,∗est l’op´eration d’addition + et H=nZ, alors
x∼y⇔x−y∈nZ.
La classe de y∈Zest y+H=y+nZ={y+nk :k∈Z}.
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2On ´ecrit G/H pour l’ensemble des classes d’´equivalence ; il s’agit d’un groupe. Si on
note ypour la classe y∗H, on a
xy := x∗yet y−1:= y−1.
Le cardinal |G/H|de G/H s’appelle l’indice de Hdans G. Le cardinal |G|s’appelle
l’ordre de G.
Th´eor`eme (Lagrange) : Soient Gun groupe fini (ab´elien) et K,Hdeux sous-groupes
tels que K⊂H. On a
|G/K|=|G/H|×|H/K|.
En particulier, pour tout sous-groupe Hde Gon a |G|=|G/H|×|H|.
Soit Gun groupe fini; l’ordre d’un ´el´ement a∈Gest le plus petit entier ntel que
an=a∗a∗ ··· ∗ a=eo`u eest l’´el´ement neutre. En appliquant le th´eor`eme de
Lagrange au sous-groupe H=<a>engendr´e par a:H={e, a, a2, a3, . . .}, on obtient
le corollaire:
Corollaire :L’ordre de tout ´el´ement de Gdivise le cardinal de G.
Groupe cyclique : Il s’agit d’un groupe Gengendr´e par un seul ´el´ement : il existe
a∈G, tel que G=< a >.
Anneau : Un anneau est un groupe ab´elien Anot´e additivement muni d’une loi de
multiplication A×A→A, (a, b)7→ ab v´erifiant les propri´et´es suivantes :
•il existe un ´el´ement 1 ∈Atel que pour tout a∈A, 1a=a1 = a(´el´ement neutre
pour la multiplication) ;
•pour tous a,bet cdans A, (ab)c=a(bc) (associativit´e) ;
•pour tous a,bet cdans A,a(b+c) = ab +ac et (b+c)a=ba +ca (distributivit´e
de la multiplication sur l’addition).
Remarque : Ce qu’on vient de d´efinir est un anneau unitaire, car il poss`ede l’´el´ement
neutre 1 pour la multiplication – on peut, plus g´en´eralement, ´etudier des anneaux qui
ne contient pas 1.
Anneau commutatif : pour tous aet bdans A,ab =ba (commutativit´e).
Anneau int`egre :ab = 0 ⇒a= 0 ou b= 0.
Anneau euclidien : il s’agit d’un anneau commutatif int`egre Apour lequel il existe
une application δ:A∗→N, appel´ee jauge (ou parfois stathme) v´erifiant les deux
propri´et´es suivantes :
• ∀ a, b ∈A∗, δ(ab)≥max{δ(a), δ(b)};

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• ∀ a, b ∈A∗, b 6= 0,∃q, r ∈At.q. a =bq +ret r= 0 ou δ(r)< δ(b).
Exemples :•L’anneau Zdes entiers est un anneau euclidien avec δ(x) = |x|.
•L’anneau K[x] des polynˆomes en une variable est euclidien, avec δ(P(x)) = degr´e
de P.
Id´eal : On appelle id´eal d’un anneau commutatif Atout sous-groupe (pour l’addition)
I⊂Atel que pour tout a∈Iet tout x∈A,xa ∈I. Parfois on utilise la notation
IRpour indiquer que Iest un id´eal dans A.
Anneau quotient : Soit Aun anneau commutatif et Iun id´eal de A. On peut
d´efinir une relation d’´equivalence sur A:x∼y⇔x−y∈I. On note l’ensemble des
classes d’´equivalence par A/I : il s’agit de l’anneau quotient. On peut munir A/I de la
structure d’un anneau comme suite. Soit x+I:= {x+r:r∈I}la classe d’´equivalence
qui contient x; alors on d´efinit:
(x+I)+(y+I) := (x+y) + Iet (x+I)·(y+I)=(x·y) + I .
Dans la suite on ´ecrit xpour la classe x+I.
Exercice : montrer que ces op´erations sont bien d´efinies et donnent `a A/I la structure
d’un anneau.
Exemple :nZest un id´eal de l’anneau Z. Alors l’anneau quotient Z/nZest l’ensemble
de classes de congruences modulo n.
Caract´eristique d’un anneau : Soit Aun anneau commutatif et soit cl’ homom-
rophisme :
c:Z→A
n7→ n·1
Alors c(Z) est un sous-anneau de Aet ker cest un id´eal de Z. Deux cas peuvent se
pr´esenter :
1. Soit cn’est pas injective, et donc son noyeau est un id´eal non-trivial dans Z,
n´ecessairement de la forme ker c=qZet dans ce cas c(Z) est isomorphe `a Z/qZ.
2. Soit cest injective et ker c={0}. Dans ce cas Acontient un sous-anneau infini
isomorphe `a Z. on pose dans ce cas q= 0.
D´efinition : l’entier qs’appelle la caract´eristique de l’anneau Aet sera not´ee car(A).
Corps: Un corps est un anneau Atel que A\{0}(0 l’´el´ement neutre pour l’addition)
est un groupe par rapport `a la multiplication. Il y a une diff´erence culturelle dans la

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d´efinition ! En France un corps n’est pas n´ecessarairement commutatif, dans les pays
anglophones on comprend la condition de commutativit´e. De toute mani`ere on a
Th´eor`eme de Wedderburn : Tout corps fini est commutatif.
(dans les pays anglophones ce th´eor`eme affirme : tout anneau int`egre fini est un corps
et en particulier commutatif).
Id´eal maximal : Soit Aun anneau commutatif. On dit qu’un id´eal Ide Aest maximal
si I6=Aet si les seuls id´eaux de Acontenant Isont Aet I.
Exemples:•Les id´eaux de Zsont de la forme nZavec n∈Z; si ndivise m, alors
mZ⊂nZ. Par suite, les id´eaux maximaux de Zsont les id´eaux pZ, o`u pest un nombre
premier.
•Si Kest un corps, les id´eaux maximaux de l’anneau K[x] de polynˆomes en xsont
les id´eaux engendr´es par un polyno ˆme irr´eductible.
Th´eor`eme : Soit Aun anneau commutatif. Un id´eal Ide Aest maximal si et seulement
si l’anneau A/I est un corps.
Mod`ele d’un corps fini :Z/pZest un corps fini pour tout nombre premier p. On
consid`ere l’anneau euclidien (Z/pZ)[x]. Soit f(x)∈(Z/pZ)[x] irr´eductible de degr´e n
et soit I= (f(x)) l’id´eal engendr´e par f(x). Alors (Z/pZ)[x]/I est un corps. Chaque
´el´ement de (Z/pZ)[x]/I est une classe d’´equivalence de la forme g(x)+I. Par la division
euclidienne, on peut ´ecrire
g(x) = a(x)f(x) + r(x)
o`u le reste r(x) est de degr´e < n et par suite
g(x) + I=r(x) + I .
Il s’ensuit que les ´el´ements de (Z/pZ)[x]/I sont en corr´espondance avec les polynˆomes
r(x) `a coefficients dans Z/pZtel que deg r(x)< n. Il y a ppossibilit´es pour chaque
coefficient et donc pntels polynˆomes. On voit alors que ce corps contient pn´el´ements.
Remarque : Si deg f(x) = 2, pour montrer que f(x) est irr´eductible, il suffit de v´erifier
que f(a)6= 0 pour tout a∈Z/pZ(Exercice : pourquoi ?)
Th´eor`eme : Tout corps fini est de caract´eristique un nombre premier pet poss`ede pn
´el´ements o`u n∈N∗.
Preuve : Soit Kun corps fini et soit Hle sous-groupe additif engenr´e par 1. Supposons
que |H|=mn pour des entiers positifs m, n 6= 1. Alors 0 = (mn)1 = (m1)(n1), ce

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qui contredit le fait que Kest un corps (donc int`egre). D’o`u |H|=ppour un nombre
premier pet H=Z/pZ. Il s’ensuit que Kest un espace vectoriel sur H, et puisque K
est fini il poss`ede une base avec un nombre fini d’´el´ements ndisons. L’ordre de Kest
le nombre de combinaisons lin´eaires des ´el´ements de la base : pn.
Th´eor`eme (Existence et unicit´e des corps finis) : Soit q=pno`u pd´esigne un nombre
premier et n∈N∗. Il existe un corps `a q´el´ements et ce corps est unique `a isomorphisme
pr`es.
D´efinition : Le corps fini `a q´el´ements est not´e Fqou GF (q). C’est le corps de Galois
d’ordre q.
Remarque : On omet la preuve du th´eor`eme, mais en fait Fq={x∈K:xq−x= 0}
o`u Kd´esigne une clˆoture alg´ebrique du corps Z/pZ.
Th´eor`eme : Soit Kun corps fini. Alors le groupe multiplicatif K∗est cyclique.
Preuve : Clairement K∗est un groupe multiplicatif commutatif. Soit nl’ordre de ce
groupe est soit n=pn1
1pn2 2···pnt
tla d´ecomposition de nen facteurs premiers. Soit Si
un sous-groupe d’ordre pni
ipour chaque i= 1, . . . , t (dont l’existence est assur´e par le
th´eor`eme de Sylow). Soit ki=pni−1
i. S’il existe un itel que Sin’est pas cyclique, alors
aki= 1 pour tout a∈Si. Mais dans ce cas f(x) = xki−1 a pni
iracines dans K, une
contradiction (car il s’agit d’un polynˆome de degr´e pni−1
i). Il s’ensuit que chaque Siest
cyclique avec un g´en´erateur ai. Soit b=a1a2···at. Puisque l’ordre de best l’ordre de
K∗, l’´el´ement best un g´en´erateur de K∗.
D´efinition : On appelle ´el´ement primitif de Fqtout g´en´erateur du groupe multiplicatif
F∗
q.
Corollaire : Toute extension finie d’un corps fini Fqest une extension simple, i.e. de la
forme Fq(α).
Preuve : Si Fq⊂Fret si αest un ´el´ement primitif de Fr, alors F∗
r={1, α, α2, . . . , αr−1}
donc Fr=Fq(α).
Corollaire : Pour tout entier n≥1 il existe au moins un polynˆome irr´eductible de
degr´e ndans Fq[x].
Preuve : Soit αun ´el´ement primitif de Fqn. On a Fqn=Fq(α). Le polynˆome minimal f
de αdans Fq[x] est irr´eductible, et de degr´e npuisque Fq(α) est isomorphe `a Fq[x]/(f)