Chapitre 1 Une particule quantique sans spin, à 1 dimension (I)

x
F V (x)
F(x) = −dV/dx
x∈R
ψ:x∈R→ψ(x)∈C

H
ψ1, ψ2∈ H
ψ1, ψ2∈ H λ∈C:
ϕ= (ψ1+ψ2)∈ H
φ=λψ1∈ H
ψ ψ(x)
x
ψ
|ψi
|ϕi=|ψ1i+|ψ2i,
|φi=λ|ψ1i.
x→ψ(x)
H
H
G . : (G, G)→G
∀a, b, c, a.(b.c) = (a.b).c 1
1.g =g.1 = g, ∀g∈G g ∈G g−1
∀g∈G, ∃g−1∈G, g.g−1=g−1.g = 1
∀g, h ∈G g.h =h.g
+g.h =g+h
E+ (E, +)
.(C, E)→E
+λ. (v+w) = λ.v +λ.w
(R, E)→E

ψ(x)
ψ1 (x) ψ2
(x)
ψ(x)= ψ2
(x)
ψ1 (x) ψ1 (x)
|ψ >
1
|ψ >
1
x
ψ1 (x)+
φ(x)= λ
|ψ>
H
|ψ >
2
|φ>=|ψ >+|ψ >
1 2
|φ>=λ|ψ >
1
Vision fonction d’ondes Vision vectorielle (Dirac)
p∈R
ψp(x) = 1
√2π~exp ipx
~
|pi:
x0∈R
p0∈Rσ∈R

p > 0
ψx0,p0,σ(x) = 1
(πσ2)1/4exp ip0x
~exp −(x−x0)2 2σ2!
|x0, p0, σi:
◦
◦σ→ ∞
p0

|ψ1i |ψ2i
hψ1|ψ2i
hψ1|ψ2i=ZR ψ1(x)ψ2(x)dx
ψ1(x)ψ1(x)
hψ1|ψ2i
|ψ1i |ψ2i hψ1|
ψ1(x)
hψ1|ψ2i
|ψ2i |ψ1i
hψ1|ψ2iψ2(x)
ψ1(x)
2
11
|ψ >
1
|ψ >
1
<ψ1
2
|ψ >
(<ψ |ψ >) |ψ >
hψ1|ψ2i= 0
kψk2=hψ|ψi
ψ
kψk2=hψ|ψi=ZR|ψ(x)|2dx > 0
hψ1|ψ2i ∈ CH
hψ2|ψ1i=hψ1|ψ2i
hψ1|λψ +µϕi=λhψ1|ψi+µhψ1|ϕi
hψ|ψi ≥ 0|ψi= 0
hλψ +µϕ|φi=λhψ|φi+µhϕ|φi
kψk2∈R|ψ(x)|2dx
ψ(x) 1/√