FACULTE DES SCIENCES D’ EL JADIDA COURS DE THERMODYNAMIQUE

UNIVERSITE CHOUAIB DOUKKALI
FACULTE DES SCIENCES D’ EL JADIDA
COURS DE THERMODYNAMIQUE
MODULE : PHYSIQUE 1
PROFESSEUR : S. SAHNOUN

PROFESSEUR SAHNOUN 2012-2013
1
CHAPITRE I : DEFINITIONS - GENERALITES
Préliminaire mathématique
Soit f = f(x,y) une fonction de 2 variables.
Sa différentielle est
dy
y
f
dx
x
f
f
x
y
∂
∂
+
∂
∂
=
δ
ou
QdyPdxf += δ
Avec
y
x
f
∂
∂est la dérivée de la fonction f par rapport à x en considérant y
comme constante et
x
y
f
∂
∂
est la dérivée de la fonction f par rapport à y en considérant x comme
constante.
δF sera une différentielle totale exacte si
∂
∂
=
∂
∂
y
Q
x
P
c-à-d
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
y
xx
f
yy
f
x
Remarque : par convention : df : différentielle totale exacte, δf : forme
différentielle quelconque
- f1(x,y) = x(y+x2) , calculer la différentielle δf
Réponse : on a
y
x
f
∂
∂= (y + 3x2 ) et
x
y
f
∂
∂
=x donc δf1 = (y+3x2 )dx + xdy
est ce que δf1est elle exacte
∂
∂
∂
∂
y
f
x
=1 et
∂
∂
∂
∂
x
f
y
=1
- soit δf =(2x + y) dx + (y3+ 2x) dy est elle exacte ?
Réponse :

PROFESSEUR SAHNOUN 2012-2013
2
On a
∂
∂
∂
∂
y
f
x
=2 et
∂
∂
∂
∂
x
f
y
=1
Donc elle n’est pas exacte
EXERCICES
- Soit la fonction
V
nRT
TVP =),(
Calculez la forme différentielle de la pression
dV
V
P
dT
T
P
PTV )) ∂
∂
+
∂
∂
=
δ
? est elle
une différentielle totale exacte ?
On calcule Les dérivées partielles de P
V
nR
T
P
V
=
∂
∂)
;
2
)V
nRT
V
PT−=
∂
∂
donc
dV
V
P
dT
T
P
PTV )) ∂
∂
+
∂
∂
=
δ
d’où
dV
V
nRT
dT
V
nR
P
2
−= δ
Montrons si elle est exacte
On calcul les dérivées mixtes :
VT
V
P
T))(∂
∂
∂
∂
et
TV
T
P
V))(∂
∂
∂
∂
On trouve que
2
))( V
nR
V
P
TVT −=
∂
∂
∂
∂
et
2
))( V
nR
T
P
VTV −=
∂
∂
∂
∂
donc elle est une
différentielle totale exacte
- Soit δ f = y(1 + 2x) dx + x(1 + x) dy
Rep :
On a
x
x
f
∂
∂
= y(1 + 2x) et
x
y
f
∂
∂
= x(1 + x)
∂
∂
∂
∂
x
f
y
= (1 + 2x) et
∂
∂
∂
∂
y
f
x
= (1 + 2x) donc δf est une différentielle totale
exacte et
df= y(1 + 2x) dx + x(1 + x) dy

PROFESSEUR SAHNOUN 2012-2013
3
Calculons sa primitive F(x,y)
Posons
x
x
f
∂
∂
= y(1 + 2x) et
x
y
f
∂
∂
= x(1 + x) (2) on aura alors f(x,y)
)()()(),( 2ygxxyygdx
x
f
yxf
x
++=+
∂
∂
=∫
(3)
Calculons g(y) à partir de (2) et (3) on obtient :
)(')1()(')(
)()((),( 2
2ygxxygxx
yygxxy yyxF
x
x
++=++=
∂
++∂
=
∂
∂ d’où g(y)=Cste
Conclusions f(x,y) = y(x+x2) + Cste
Exercices
* Intégrer les formes différentielles suivantes si elles sont exactes :
δ f = (4x + xy2) dx + (x2y - 1 + y3) dy
dyydx
y
x
g)1(
1
2
−+
+
= δ
* Les coefficient thermoélastiques d’ un fluide homogène sont
1)
Pp T
V
V)
1
∂
∂
=
α
:c’est le coefficient de dilatation isobare .il représente la
variation relative du volume du fluide par degré de variation de sa
température
L’unité de
p
α
:
1−
kelvin
2) TT
P
V
V
)
1
∂
∂
−= χ
: c’est le coefficient de compressibilité isotherme. Il représente
au signe – près la variation relative du volume du fluide par unité de variation
de sa pression .
L’unité de
T
χ
:1−
pascal

PROFESSEUR SAHNOUN 2012-2013
4
3)
VV
T
P
P)
1
∂
∂
=
β
: c’est le coefficient d’augmentation de pression isochore .il
représente la variation relative de la pression du fluide par degré de variation
de sa température
L’unité de
V
β
:
1−
kelvin
1°) Calculer les coefficients thermoélastiques du gaz parfait c à d :
α∂∂
=1
VV
TP
( )
,
β∂
∂
=1
pp T
V
( )
,
χ∂∂
T T
VV p
=− 1( )
.
2°) Vérifier que : α=βpχT
3°) Montrer que les coefficients α et χT vérifient toujours la relation :
∂α
∂p
T
= -
∂χT
∂T
p
.
4°) A partir des valeurs de α et β, essayez de retrouvez l’équation du
Gaz parfait PV=nRT. (On effectue le calcul inverse car les données
expérimentales sont les coefficients thermoélastiques).
Rép : 1°) α=β=1/T et χT=1/p 2°) pβχT=α 3°) PV/T=cste=nR
Exercice : Construction d’une équation d’état à partir des coefficients
thermoélastiques.
On définit le coefficient de dilatation isobare α et le coefficient de
compressibilité isotherme χT par :