Les Angles - Vandymath

Les Angles
z
Dans les exigibles du socle, il y a reproduire un angle au compas
Il y a également l'utilisation du rapporteur.
y
I.Angles complémentaires et supplémentaires (pas dans le socle)
Deux angles sont complémentaires lorsque leur somme est égale à 90 °.
a
xOy et a
yOz sont complémentaires.
x
O
y
Deux angles sont supplémentaires lorsque leur somme est égale à 180 °.
x
z
a
xOy et a
yOz sont supplémentaires.
O
z
II.
Angles adjacents
Deux angles sont adjacents lorsque:
i.
ils ont le même sommet
ii.
ils ont un côté commun
iii.
ils sont situés de part et d’autre de ce côté commun.
y
a
xOy et a
yOz sont adjacents.
O
x
III. Angles opposés par le sommet.(pas dans le socle)
Deux angles sont opposés par le sommet lorsqu’ils sont symétriques par rapport à ce sommet.
x
y'
O
y
Théorème : Si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils sont égaux.
a
xOy et a
x'Oy' sont opposés par le sommet, donc a
xOy = a
x'Oy'
x'
IV.
Angles et droites .(pas dans le socle)
1) Définitions
On considère deux droites d et d' coupées par une sécante ∆.
On appelle angles alternes internes des angles situés entre d et d', de part et d'autre de ∆, et n'ayant pas le
même sommet.
∆
d
d
a et d
b sont alternes-internes.
d
b
d'
d
a
On considère deux droites d et d' coupées par une sécante ∆.
On appelle angles alternes externes des angles qui ne sont situés entre d et d', de part et d'autre de ∆, et
n'ayant pas le même sommet.
∆
d
a
d
d'
d
b
d
a et d
b sont alternes-externes.
On considère deux droites d et d' coupées par une sécante ∆.
On appelle angles correspondants deux angles situés du même côté de ∆, l'un situé entre d et d', l'autre pas, et
n'ayant pas le même sommet.
∆
d
a
d
d'
d
a et d
b sont correspondants.
d
b
2)
Théorèmes
Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes formés sont
égaux.
Comme d // d' et d
a et d
b sont alternes-internes,
on peut affirmer que: d
a =d
b
(on utilisera en contrôle l'expression "comme")
∆
d
d
a
d
b
d'
Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-externes formés sont
égaux.
Comme d // d' et d
a et d
b sont alternes-externes,
on peut affirmer que: d
a =d
b
(on utilisera en contrôle l'expression "comme")
∆
d
a
d
d'
d
b
Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles correspondants formés sont
égaux.
Comme d // d' et d
a et d
b sont correspondants,
on peut affirmer que: d
a =d
b
(on utilisera en contrôle l'expression "comme")
3)
∆
d
a
d
d'
d
b
Reconnaître le parallélisme – Théorèmes admis.(pas dans le socle)
Si deux droites sont coupées par une sécante en formant des angles alternes-internes égaux,
alors ces deux droites sont parallèles.
Comme d
a et d
b sont alternes-internes et égaux,
les droites d et d' sont parallèles.
(on utilisera en contrôle l'expression "comme")
∆
d
d
a
d
b
d'
Si deux droites sont coupées par une sécante en formant des angles alternes-externes égaux,
alors ces deux droites sont parallèles.
Comme d
a et d
b sont alternes-externes et égaux,
les droites d et d' sont parallèles.
(on utilisera en contrôle l'expression "comme")
∆
d
a
d
d'
d
b
Si deux droites sont coupées par une sécante en formant des angles correspondants égaux,
alors ces deux droites sont parallèles.
Comme d
a et d
b sont correspondants et égaux,
les droites d et d' sont parallèles.
(on utilisera en contrôle l'expression "comme")
∆
d
a
d
d
b
d'
V.
1)
Somme des angles d'un triangle(dans le socle)
C
Triangle quelconque
La somme des angles d'un triangle est égale à 180 °.
Dans le triangle ABC, d
A +d
B +d
C = 180 °
Application: On considère un triangle ABC tel que d
A = 70 ° et d
B = 50 °.
A
B
Donner une mesure de l'angle d
C.
ABC est un triangle.
donc d
A +d
B +d
C = 180°
Donc d
C = 180 – d
A –d
B
d
C = 180° – 70° – 50°
A
d
C = 60 °
2) Triangle isocèle
Si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base principale sont égaux.
ABC est isocèle en A, donc a
ABC = a
ACB
Si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle.
Dans ABC, a
ABC = a
ACBdonc ABC est isocèle en A
B
C
3)
Triangle équilatéral
Si un triangle est équilatéral, alors ses trois angles mesurent 60 °.
ABC est équilatéral, donc d
A =d
B = d
C = 60 °
Si un triangle à trois angles égaux, alors il est équilatéral.
Dans ABC, d
A =d
B = d
C = 60 °, donc ABC est équilatéral.
4) Triangle rectangle
Si un triangle est rectangle, alors ses angles non droits sont complémentaires.
Si un triangle a deux angles complémentaires, alors il est rectangle.
5)
Triangle rectangle isocèle
Si un triangle est rectangle isocèle, alors ses angles aigus mesurent 45 °.
Si un triangle a deux angles égaux à 45 °, alors il est rectangle isocèle.