Les Angles - Vandymath

Les Angles
Dans les exigibles du socle, il y a reproduire un angle au compas
Il y a également l'utilisation du rapporteur.
I.Angles complémentaires et supplémentaires (pas dans le socle)
Deux angles sont complémentaires lorsque leur somme est égale à 90 °.
a
xOy et a yOz sont complémentaires.
Deux angles sont supplémentaires lorsque leur somme est égale à 180 °.
a
xOy et a yOz sont supplémentaires.
II. Angles adjacents
Deux angles sont adjacents lorsque:
i. ils ont le même sommet
ii. ils ont un côté commun
iii. ils sont situés de part et d’autre de ce côté commun.
a
xOy et a yOz sont adjacents.
III. Angles opposés par le sommet. (pas dans le socle)
Deux angles sont opposés par le sommet lorsqu’ils sont symétriques par rapport à ce sommet.
Théorème : Si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils sont égaux.
a
xOy et a x'Oy' sont opposés par le sommet, donc
a
xOy = a x'Oy'
O
z
y
x
x
y
z
O
x
z
y
O
O
x
x '
y
y '

IV. Angles et droites . (pas dans le socle)
1) Définitions
On considère deux droites d et d' coupées par une sécante ∆
∆∆
∆ .
On appelle angles alternes internes des angles situés entre d et d', de part et d'autre de ∆
∆∆
∆ , et n'ayant pas le
même sommet.
d
a et d b sont alternes-internes.
On considère deux droites d et d' coupées par une sécante ∆
∆∆
∆ .
On appelle angles alternes externes des angles qui ne sont situés entre d et d', de part et d'autre de ∆
∆∆
∆ , et
n'ayant pas le même sommet.
d
a et d b sont alternes-externes.
On considère deux droites d et d' coupées par une sécante ∆
∆∆
∆ .
On appelle angles correspondants deux angles situés du même côté de ∆
∆∆
∆ , l'un situé entre d et d', l'autre pas, et
n'ayant pas le même sommet.
d
a et d b sont correspondants.
∆
d'
d
d
b
d
a
∆
d'
d
d
b
d
a
∆
d'
d d
b
d
a

2) Théorèmes
Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes formés sont
égaux.
Comme d // d' et d a et d b sont alternes-internes,
on peut affirmer que: d a = d b
(on utilisera en contrôle l'expression "comme")
Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-externes formés sont
égaux.
Comme d // d' et d a et d b sont alternes-externes,
on peut affirmer que: d a = d b
(on utilisera en contrôle l'expression "comme")
Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles correspondants formés sont
égaux.
Comme d // d' et d a et d b sont correspondants,
on peut affirmer que: d a = d b
(on utilisera en contrôle l'expression "comme")
3)
∆
d'
d
d
b
d
a
∆
d'
d
d
b
d
a
∆
d'
d
d
b
d
a

Reconnaître le parallélisme – Théorèmes admis. (pas dans le socle)
Si deux droites sont coupées par une sécante en formant des angles alternes-internes égaux,
alors ces deux droites sont parallèles.
Comme d a et d b sont alternes-internes et égaux,
les droites d et d' sont parallèles.
(on utilisera en contrôle l'expression "comme")
Si deux droites sont coupées par une sécante en formant des angles alternes-externes égaux,
alors ces deux droites sont parallèles.
Comme d a et d b sont alternes-externes et égaux,
les droites d et d' sont parallèles.
(on utilisera en contrôle l'expression "comme")
Si deux droites sont coupées par une sécante en formant des angles correspondants égaux,
alors ces deux droites sont parallèles.
Comme d a et d b sont correspondants et égaux,
les droites d et d' sont parallèles.
(on utilisera en contrôle l'expression "comme")
V. Somme des angles d'un triangle (dans le socle)
1) Triangle quelconque
La somme des angles d'un triangle est égale à 180 °.
Dans le triangle ABC, d A + d B + d C = 180 °
Application: On considère un triangle ABC tel que d A = 70 ° et d B = 50 °.
Donner une mesure de l'angle d C .
ABC est un triangle.
donc d A + d B + d C = 180°
Donc d C = 180 – d A – d B
d
C = 180° – 70° – 50°
d
C = 60 °
2) Triangle isocèle
Si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base principale sont égaux.
ABC est isocèle en A, donc a ABC = a ACB
Si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle.
Dans ABC, a ABC = a ACBdonc ABC est isocèle en A
A
C
B
A
B C
∆
d'
d
d
b
d
a
∆
d'
d
d
b
d
a
∆
d'
d
d
b
d
a

3) Triangle équilatéral
Si un triangle est équilatéral, alors ses trois angles mesurent 60 °.
ABC est équilatéral, donc d A = d B = d C = 60 °
Si un triangle à trois angles égaux, alors il est équilatéral.
Dans ABC, d A = d B = d C = 60 °, donc ABC est équilatéral.
4) Triangle rectangle
Si un triangle est rectangle, alors ses angles non droits sont complémentaires.
Si un triangle a deux angles complémentaires, alors il est rectangle.
5) Triangle rectangle isocèle
Si un triangle est rectangle isocèle, alors ses angles aigus mesurent 45 °.
Si un triangle a deux angles égaux à 45 °, alors il est rectangle isocèle.