Correctionépreuve de mathématiques

Correction épreuve de mathématiques
Exercice 1: (2 points)
a) 4𝑥 − 2(1 − 3𝑥) = 10(𝑥 − 1)
4𝑥 − 2 + 6𝑥 = 10𝑥 − 10
10𝑥 − 10𝑥 = 2 − 10
0𝑥 = −8
Cette équation n’admet pas de solution.
b)
3−2𝑥
5
−
𝑥
10
=
5𝑥+2
2
+
1
5
2(3 − 2𝑥) 𝑥
5(5𝑥 + 2) 2
−
=
+
10
10
10
10
2(3 − 2𝑥) 𝑥
5(5𝑥 + 2) 2
−
=
+
10
10
10
10
2(3 − 2𝑥) − 𝑥 = 5(5𝑥 + 2) + 2
6 − 4𝑥 − 𝑥 = 25𝑥 + 10 + 2
−5𝑥 − 25𝑥 = −6 + 10 + 2
−30𝑥 = 6
6
𝑥=
−30
1
𝑥=−
5
1
La solution de cette équation est −
5
Exercice 2: (2 points)
3 2
=
5 5
2
des chocolats dans la boîte sont amers.
1−
5
1 3
1
× =
9 5 15
1
des chocolats au lait sont en forme de boules.
15
1 2
1
× =
4 5 10
1
des chocolats amers sont en forme de boules.
10
1
1
3+2
5
1
+
=
=
=
10 15
30
30 6
1
Dans la boîte, des chocolats sont en forme de boules.
6
Exercice 3: (4,5 points)
1) 𝐴 = 8𝑥 2 𝑦 4 − 12𝑥𝑦 2 𝑧 + 24𝑥𝑦 3 𝑧
𝐴 = 4𝑥𝑦 2 (2𝑥𝑦 2 − 3𝑧 + 6𝑦𝑧)
𝐵 = 3𝑥(𝑥 − 7) + (9𝑥 + 2)(𝑥 − 7) − 15(𝑥 − 7)
𝐵 = (𝑥 − 7)(3𝑥 + 9𝑥 + 2 − 15)
𝐵 = (𝑥 − 7)(12𝑥 − 13)
Correction épreuve de mathématiques
2) 𝐶
𝐶
𝐶
𝐶
= (𝑥 + 2)(𝑥 − 2) − (3𝑥 − 2)(𝑥 + 8)
= 𝑥 2 − 2𝑥 + 2𝑥 − 4 − (3𝑥 2 + 24𝑥 − 2𝑥 − 16)
= 𝑥 2 − 4 − 3𝑥 2 − 24𝑥 + 2𝑥 + 16
= −2𝑥 2 − 22𝑥 + 12
𝐷 = 𝑥 2 (𝑥 + 3𝑦) + 𝑦 2 (2𝑥 + 𝑦) + 1
𝐷 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 𝑦 + 2𝑥𝑦 2 + 𝑦 3 + 1
3) Pour 𝑥 = 2 et 𝑦 = −1 :
𝐷 = 23 + 3 × 22 (−1) + 2 × 2 × (−1)2 + (−1)3 + 1
𝐷 = 8 − 12 + 4 − 1 + 1
𝐷=0
Exercice 4: (1.5 points)
Soit x le prix de la calculatrice.
Soit 2x le prix du livre.
Soit x-5 le prix du stylo.
𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 − 5 = 55
4𝑥 − 5 = 55
4𝑥 = 55 + 5
4𝑥 = 60
60
𝑥=
= 15
4
Le prix de la calculatrice est 15€.
Le prix du livre est 30€.
Le prix du stylo est 10€.
Exercice 5: (2 points)
On a (𝐶𝐵) // (𝐴𝐷) (par donnée)
̂ et 𝐷𝐴𝐶
̂ sont deux angles correspondants formés par les droites parallèles (BC) et (AD)
De plus, 𝐸𝐶𝐽
coupées par la sécante (AC)
̂ = 𝐷𝐴𝐶
̂ = 47°
Donc 𝐸𝐶𝐽
̂ et 𝐴𝐵𝐻
̂ sont deux angles alternes-internes formés par les droites parallèles (BC) et (AD)
On a 𝐷𝐴𝐵
coupées par la sécante (AB)
̂ = 𝐴𝐵𝐻
̂ = 94°
Donc 𝐷𝐴𝐵
̂ = 𝐷𝐴𝐵
̂ − 𝐷𝐴𝐶
̂ = 94° − 47° = 47°
𝐶𝐴𝐵
̂ = 𝐷𝐴𝐶
̂
Par suite, 𝐶𝐴𝐵
̂
Alors, [AC) est la bissectrice de 𝐵𝐴𝐷
̂ = 𝐴𝐶𝐵
̂ = 47° (angles opposés par le sommet)
On a 𝐸𝐶𝐽
̂
̂ = 47°
Donc 𝐶𝐴𝐵 = 𝐴𝐶𝐵
Par suite, ABC est un triangle isocèle en B ayant deux angles égaux.
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Exercice 6: (8 points)
1) ABC est un triangle isocèle en A (par donnée)
[AH] est la médiane relative à [BC]
Or dans un triangle isocèle la médiane issue du sommet principal
est confondue avec la hauteur
Donc [AH] hauteur relative à [BC]
Par suite, (𝐴𝐻) ⊥ (𝐵𝐶)
On a (𝐴𝐻) ⊥ (𝐵𝐶) (déjà démontre) et (𝐴𝐻) ⊥ (𝐽𝐹) (par donnée)
Or si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième
alors elles sont parallèles entre elles.
Donc (𝐵𝐶)//(𝐽𝐹)
2) On considère les deux triangles AEF et EFH, ils ont :
 AE = EH (car E milieu de [AH])
̂ = 𝐹𝐸𝐻
̂ = 90° (car (𝐴𝐻) ⊥ (𝐽𝐹))
 𝐴𝐸𝐹
 [EF] côté commun
Ces deux triangles sont donc superposables ayant un angle égal compris entre deux côtés
respectivement égaux.
̂ = 𝐸𝐹𝐻
̂
̂ ; 𝐹𝐻𝐸
̂ = 𝐹𝐴𝐸
Tous leurs éléments homologues sont égaux: AF = FH ; 𝐴𝐹𝐸
3) a) ABC est un triangle isocèle en A (par donnée)
[AH] est la médiane relative à [BC]
Or dans un triangle isocèle la médiane issue du sommet principal est confondue avec la
bissectrice
̂
Donc [AH) bissectrice de 𝐵𝐴𝐶
̂ = 𝐸𝐴𝐹
̂
Par suite 𝐽𝐴𝐸
̂ = 𝐸𝐻𝐹
̂
Or 𝐸𝐴𝐹
̂ = 𝐸𝐴𝐹
̂ = 𝐸𝐻𝐹
̂
Donc 𝐽𝐴𝐸
̂ = 𝐸𝐻𝐹
̂
En particulier, 𝐽𝐴𝐸
̂ = 𝐸𝐻𝐹
̂
b) On a 𝐽𝐴𝐸
̂ et 𝐸𝐻𝐹
̂ sont deux angles alternes-internes formés par les droites parallèles (AB) et (FH) coupées par
𝐽𝐴𝐸
la sécante (AH)
Donc (AB) et (FH) sont parallèles.
̂ et 𝐴𝐵𝐶
̂ sont deux angles correspondants formés par les droites parallèles (AB) et (FH) coupées
4) On a 𝐹𝐻𝐶
par la sécante (HB)
̂ = 𝐴𝐵𝐶
̂ = 70°
Donc 𝐹𝐻𝐶
̂ = 𝐴𝐵𝐶
̂ = 70° (par donnée)
Or 𝐴𝐶𝐵
̂
̂
Donc 𝐹𝐻𝐶 = 𝐴𝐶𝐵
Par suite, FHC est un triangle isocèle en F ayant deux angles égaux.