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Les constructions à la règle et au compas répondent à un idéal de précision qui a fasciné les mathématiciens de
toutes les époques. Dans le présent article, nous allons voir ce qu’il est possible de construire avec ces outils.
Points constructibles
Partons de deux points distincts
et
. A partir de ceux-ci, nous construisons
la droite
et le cercle de centre
passant par
. L’intersection de ces
deux objets définit le point
, symétrique de
par rapport à
. A l’aide des
points
et
, on construit la perpendiculaire en
à la droite
puis un
point
sur cette droite vérifiant
.
Ainsi, de proche en proche, à partir des premiers points
et
, nous pouvons
construire des droites et des cercles et les intersections de ces objets
déterminent de nouveaux points qui sont qualifiés de constructibles.
Rappelons qu’il est facile à la règle et au compas de construire :
• la médiatrice d’un segment, et donc son milieu,
• la perpendiculaire à une droite passant par un point donné,
• la parallèle à une droite passant par un point donné,
et bien d’autres choses encore...
Nombre constructibles
Munissons le plan du repère d’origine
et de vecteurs de base
et
. Un réel est dit constructible lorsqu’il
est en valeur absolue égal à la distance entre deux points constructibles. A partir de deux réels constructibles, il
est facile de construire un point dont les coordonnées sont les réels en question. La détermination des points
constructibles est donc équivalente à celle des réels constructibles.
Comme il est possible de graduer la droite
en y reportant la distance
, nous pouvons affirmer que les
nombres entiers sont constructibles et donc que tout point à coordonnées entières est constructible.
Il est facile de faire la somme ou la différence de réels constructibles. Il est aussi possible de faire le produit ou le
rapport de deux réels constructibles en exploitant le théorème de Thalès.
Les nombres rationnels sont donc des réels constructibles. Ce ne sont pas les seuls, le nombre irrationnel
l’est aussi car égal à la longueur
. Plus généralement si
est un réel positif constructible, il est possible d’en
construire la racine carrée en exploitant la relation :
2 2
a a
a
+ −
= −
Cette relation permet de percevoir
comme étant la longueur d’un côté d’un triangle rectangle dont
l’hypoténuse est de longueur
et l’autre côté de longueur
. La construction de ce triangle
est illustrée ci-contre :