corr mini conc ii 2015

H.Med
Correction :Maths II (Mini-concours Ipest :2015)
Partie 1 : Matrices de permutation
1. Soit 2Sn;et M= (mij )1i;jn;alors mij =i;(j);de plus les colonnes de M
forment une b.o.n de Rn(c’est la base canonique), donc M2O(n):
2. Soit 2Sn:Si on note fl’endomorphisme de Rnqui envoie eisur e(i)alors
M=mat
(e1;::;en)(f):Ainsi
M1M2=mat
(e1;::;en)(f1)mat (e1;::;en)(f2) = mat (e1;::;en)
0
@
f12
z }| {
f1f2
1
A=M12
de plus, si M=Inalors f=Id c’est à dire 8i2[[1; n]]; e(i)=eic’est à dire
s=Id
3. Comme P= Im 'alors Pest un sous groupe de O(n)et puisque 'est injective
alors P= Im 'est isomorphe à Sn:D’ou Card (P) = n!:
4. f(M)k; k 2Ng  P
Partie 2 : Matrices magiques
1. Soit 2Sn;et M2P; alors M=i;(j)1i;jn:Soit i2[[1; n]];alors
n
X
k=1
i;(k)= 1
car (k)prend la valeur iune unique fois. De même
n
P
k=1
k;(i)= 1:
2. On a Hest un hyperplan vectoriel de Rnet X0=2Halors
HV ect (X0) = Rn:
(cours)
1

3. Supposons que M= (mij )est magique. Alors
MX0=s(M)X0
et donc Dest stable par M. de plus H=D?(pour le produit scalaire canonique
de Rn);ainsi si h2Halors
< Mh; X0>=th
magique
z}|{
tM X0
| {z }
s(tM)X0
=stM< h
|{z}
2D?
; X0
|{z}
2H
>= 0
c’est à dire si h2Halors Mh 2D?=Het donc Hest stable par M. Réciproque-
ment, si Mstabilise Het Dalors
fMX0=X0(somme des coe¤ de chaque ligne de M=)
de plus si h2Halors
0 = < Mh
|{z}
2Hcar Hest stable par M
; X0>=thtMX0=< h;tMX0>
=)tMX02H?=V ect (X0)
alors 8
>
>
>
<
>
>
>
:
MX0=X0(somme des coe¤ de chaque ligne de M=)
et
tMX0=X0(somme des coe¤ de chaque colonne M=)
Or
n =
n
X
i=1
n
X
j=1
mij
| {z }
=
n
X
j=1
n
X
i=1
mij
| {z }
=n
Donc
=
C’est à dire Mest magique.
2

4. La matrice Inest magique avec s(In) = 1. Si M; N sont magiques, ;  2Ralors
(M +N)X0=MX0+NX0
=s(M)X0+s(N)X0
= (s(M) + s(N))X0
(somme des coe¤ de chaque ligne) et de même
tX0(M +N) = tX0M+tX0N
=s(M)tX0+s(N)tX0
= (s(M) + s(N))tX0
, En vertu de la question précédente, M +N 2 M et s(M +N) = s(M) +
s(N). En…n
MNX0=M(s(N)X0) = s(M)s(N)X0
et de même
tX0MN =s(M)tX0N=s(M)s(N)tX0:
5. Voir 4)
6. Soit M2 M inversible. L’application linéaire
M ! M :A7! AM
est bien dé…nie et injective (car Minversible) donc c’est un isomorphisme (car M
est de dimension …nie) et comme In2 M alors 9M02 M tq MM0=Inc’est à dire
M1=M02 M:Puisque MM1=Inalors s(M)s(M1) = s(MM1) = s(In) =
1c’est à dire
sM1=s(M)1
7. On sait que HV ect (X0) = Ret que Mest magique ssi Het V ect (X0)sont
3

stables par M: On considère alors l’application :
:M ! Mn1(R)V ect (X0)
M7!(M=H ;M X0)
est un isomorphisme donc
dim M= dim (Mn1(R)V ect (X0))
= dim (Mn1(R)) + dim V ect (X0)
= (n1)2+ 1:
8. On a U2 M et U2=nU 2Z. Par récurrence sur n0: on a U0=In; U; U22Z.
Supposons Un2Z. Alors il existe ;  2Rtels que Un=In+U. Donc
Un+1 =U +U22Z:
Donc Zest un sous-espace vectoriel de Mcontenant In. Il est stable par produit
car les produits des générateurs de Zsont encore dans Z.
9. Montrons que Z=Z(M)(centre de M). Soit M2 M alors MU =s(M)U
et UM =tMtU(véri…cation facile)=tMU (Uest symétrique)=s(tM)U(tMest
aussi magique)s(M)=s(tM) =s(M)U; ainsi MU =UM c.à.d U2Z(M)et comme
In2Z(M)alors ZZ(M):Réciproquement, Soit M2Z(M);Puisque M
commute à Pi;j , on a
M=Pi;j MPi;j
Or Pij MPij est la matrice sur Mlaquelle on a e¤ectué les opérations Ci ! Cjet
Li ! Lj,donc si on note Pij MPij =m0
ij et M= (mij )on obtient alors
8
>
>
>
<
>
>
>
:
mp;q =m0
p;q si p; q 62 fi; jg
mi;q =m0
j;qsi q 62 fi; jget mp;i =m0 p;j si p 62 fi; jg
mi;i =m0
j;j ; mi;j =m0 j;i et mj;i =m0 i;j :
4

donc puisque Pij MPij =Malors
mi;i =mj;j et mi;j =mj;i
donc en posant =mi;i et =mi;j on obtient
M=U + ()In2Z:
10. L’application
s:M ! R:M7! s(M)
est une forme linéaire non nulle sur Mdonc ker sest un hyperplan de M:Comme
U =2ker salors
M= ker sV ect (U)
Partie 3 : Matrices super-magiques
On note SM l’espace vectoriel des matrice super-magique (c’est un sev de M).
Comme U2 SM et V ect (U)ker s=Malors on a bien V ect (U)et SM \ ker s
sont supplémentaire dans SM:Ainsi
dim SM = dim V ect (U) + dim (SM \ ker s)
or si on note l’application linéaire
:M3(R)! R8
A=(aij )1i;j37!(s1;s2;s3;s0
1;s0 2;s0 3;s7;s8)
avec s7=
3
P
i=1
aii; s8=a13 +a22 +a31;8i2[[1;3]] si:somme de la ligne i,8j2[[1;3]]
s0
j:somme de la colonne j. Alors
SM \ ker s= ker
5