Degré d`un sommet Propriétés des graphes : la connexité Propriétés

Degré d'un sommet
Dans un graphe non orienté
on appelle degré d'un sommet le nombre d'arêtes qui lui
sont incidentes
Dans un graphe orienté
on appelle degré sortant (ou degré extérieur) d'un
sommet le nombre d'arcs qui partent de ce sommet
on appelle degré entant (ou degré intérieur) d'un sommet
le nombre d'arcs qui arrivent à ce sommet
On appelle degré d'un sommet la somme
degré entrant + degré sortant
Propriétés des graphes : la connexité
Un graphe non orienté est connexe ssi pour tout couple
de sommets (u, v) il existe au moins une chaîne entre les
sommets u et v
Dans un graphe non connexe, on définit la composante
connexe d’un sommet u comme l’ensemble des
sommets qui sont reliés à u par au moins une chaîne
Un graphe orienté est faiblement connexe ssi le graphe
non-orienté correspondant est connexe. Il est fortement
connexe ssi pour tout couple de sommets (u, v) il existe
au moins un chemin entre les sommets u et v
Propriétés des graphes : la connexité
Ce graphe a deux composantes connexes
A
F G
D
B H
C E I
K-connexité
Un graphe non orienté est k-connexe
ssi
il reste connexe après suppression d'un
ensemble quelconque de k-1 arêtes et
s'il existe un ensemble de k arêtes qui
« déconnecte » le graphe
il existe au moins k chaînes
indépendantes entre chaque couple de
sommets

Propriétés des graphes : la connexité
Ce graphe est 1- connexe
A
F G
D
B H
E I
Propriétés des graphes : la connexité
Ce graphe est 1- connexe
A
F G
D
B H
E I
Propriétés des graphes : la connexité
si on lui enlève 2 arêtes il perd sa propriété de connexité...
A
F G
D
B H
E I
Connexité : exemples
u
Un graphe orienté est non connexe s’il existe deux sommets non liés
par aucun chemin
1 2
4
3
u
Un graphe orienté est faiblement connexe s’il existe toujours un
chemin entre deux sommets mais sans tenir compte de l’orientation
des arcs.
1 2
4
3
u
Un graphe orienté est fortement connexe si deux sommets
quelconques sont toujours extrémités initiale et terminale de chemins
les unissant
1 2
4
3

Exemple
Ce graphe est : réflexif, antisymétrique,
transitif, connexe et complet
Un graphe particulier...
u
Soit G = < S, A > un graphe non orienté ayant n sommets
u
Les propriétés suivantes sont équivalentes
u
G est connexe sans cycle
u
G est connexe et si on supprime une arête il ne l’est plus
u
G est connexe et a n-1 arêtes
u
G est sans cycle et en ajoutant une arête on en crée un
u
G est sans cycles et a n-1 arêtes
u
tout couple de sommets est relié par une chaîne et une seule
Type abstrait Graphe
u
Les problèmes qui peuvent se poser à propos d’un graphe sont
- l’existence d’un arc (une arête) entre deux sommets
- l’existence d’un sommet particulier parmi les successeurs d’un
sommet
- l’énumération de tous les sommets
- la suppression ou l’insertion d’un sommet, d’un arc (d’une arête)
- l’étiquetage des sommets
Fonctions de base
u
Graphe_vide
u
est_sommet
u
est_arc, est_arête
u
aj_sommet
u
aj_arc, aj_arête
u
degré+, degré-, degré
u
suppr_sommet
u
suppr_arc, suppr_arête

Axiomes
u
est_sommet (s, graphe_vide) = FAUX
u
(s = t) ==> est_sommet (s, aj_sommet(t,G)) = VRAI
u
(s <>t) ==> est_sommet(s, aj_sommet(t,G)) =
est_sommet(s,G)
u
est_arc(s,t, graphe_vide) = FAUX
u
...
3
Problème 1 : recherche du plus court
chemin dans un graphe valué non
orienté
Algorithme de Dijkstra
A
F 5 G
5 2
D 1 4
B 1 H
2 2
2 1
E I
Problème 1 : recherche du plus court
chemin dans un graphe valué non
orienté
Algorithme de Dijkstra
Phase 1 : mise en place : on part du sommet I
On désigne par Σ l’ensemble dans lequel on met les
sommets au fur et à mesure de leur marquage définitif
A chaque sommet S, on associe le couple (dist(S), p(S))
où dist(S) désigne la distance (provisoire ou définitive) de
I à S, et p(S) le prédécesseur de S
Problème 1 : recherche du plus court
chemin dans un graphe valué non
orienté
Algorithme de Dijkstra
Phase 2 : initialisation
Attribuer au sommet I, le couple (0, I)
Attribuer à chaque sommet adjacent à I, le couple (poids
de l’arc le reliant à I, I)
Attribuer aux autres sommets, le couple (+ ∞, ?)

Problème 1 : recherche du plus court
chemin dans un graphe valué non
orienté
Algorithme de Dijkstra
(0,A)
A 3
5 2 (+ ∞, ?)
(+ ∞, ?)
F 5
(+ ∞, ?)
G
B
(+ ∞, ?)
D 1 4
1 H
2
2
E
(+ ∞, ?)
2
1
I
(+ ∞, ?) (+ ∞, ?)
Problème 1 : recherche du plus court
chemin dans un graphe valué non
orienté
Algorithme de Dijkstra
Phase 3 : fonctionnement
Tant que tous les sommets ne sont pas dans Σ, ou que le
sommet F n’est pas affecté de la plus petite distance
provisoire
Choisir parmi les sommets non placés dans Σ, un dont la
distance provisoire est minimale : appelons-le S
Mettre S dans Σ
Pour chacun des sommets Yi qui lui sont adjacents et qui
ne sont pas dans Σ
• Calculer s = dist(S) + poids de l’arc [S, Yi] ;
• Si s est inférieur à la distance provisoire de Yi,
attribuer à Yi le couple (s, S); (dist(Yi) := min{dist(S) +
poids de l’arc [S, Yi] , dist(Yi)})
Problème 1 : recherche du plus court
chemin dans un graphe valué non
orienté
Algorithme de Dijkstra
A 3
5 2 (2, A)
D 1
(3, A)
F 5
4
(+ ∞, ?)
G
B
(5, A)
1 H (+ ∞, ?)
2 2
2 1
E I
(+ ∞, ?) (+ ∞, ?)
Problème 1 : recherche du plus court
chemin dans un graphe valué non
orienté
Algorithme de Dijkstra
A 3
5 2 (2, A)
D 1
(3, A)
F 5
4
(+ ∞, ?)
G
B
(5, A)
(3, D)
1 H (+ ∞, ?)
2 2
2 1
E I
(4, D) (+ ∞, ?)