M

CORRIGÉ DE L'EXERCICE 3 (SPÉCIALITÉ)
1. Les sommets étant classés dans l'odre alphabétique, les termes de la matrice
chaînes de longueur 3 reliant deux sommets quelconques.
M 3 donnent le nombre de
Le graphe n'est pas orienté et la matrice T n'est pas symétrique par conséquent, la matrice T ne
convient pas.
Il existe au moins une chaîne de longueur 3 qui relie les sommets C et F par exemple C-B-E-F or
r3,6 = 0 et r6,3 = 0 donc la matrice R ne convient pas.
La matrice S est la seule des trois matrices proposées susceptible d'être égale à M 3
2.
Le graphe est d'ordre 7 et aucun des sommet n'est de degré 6 donc le graphe n'est pas complet.
La chaîne A-B-C-D-E-F-G contient tous les sommets du graphe. Par conséquent, pour toute
paire de sommets distincts, il existe une chaîne les reliant donc le graphe est connexe.
3. Déterminons le degré de chacun des sommets.
Sommets
A
B
C
D
E
F
G
Degré
4
4
3
5
4
2
4
Le graphe est connexe et il existe deux sommets de degré impair, il existe donc une chaîne eulérienne
commençant par un des deux sommets de degré impair (C ou D) et finissant par le deuxième sommet
de degré impair. Par exemple la chaîne : C - A - B - E - F - G - E - D - G - A - D - B - C - D.
D
F
G
E
B
A
C
Chaîne eulérienne
4.
a. Pour déterminer le trajet le plus court pour aller de C à D, on utilise l'algorithme de Dijkstra.
D
F
18
29
38
9
5
G
6
43
E
11
8
B
8
30
A
6
C
35
Algorithme de Dijkstra
A
B
C
D
E
F
G
Sommet
sélectionné
!
!
0
!
!
!
!
C (0)
35 (C)
6 (C)
43
(C)
!
!
!
B (6)
35 (C)
43
(C)
14
(B)
!
!
E (14)
35 (C)
43
(C)
20
(E)
25 (E)
F (20)
35 (C)
43
(C)
25 (E)
G (25)
33 (G)
43
(C)
A (33)
42
(A)
D (42)
Le sommet D étant marqué, pour lire la chaîne de poids minimal, on part de D et on "remonte" la
chaîne en suivant les prédécesseurs. D ← A ← G ← E ← B ← C.
Le trajet le plus court possible pour aller de C à D est C-B-E-G-A-D. La distance parcourue
est de 42 km.
b. Le parcours obtenu à l'aide de l'algorithme de Dijkstra ne permet pas au représentant de visiter le
client F or la chaîne E-F-G a un poids égal à celui de l'arête E-G
Le trajet C-B-E-F-G-A-D permet au représentant de visiter tous ses clients en parcourant la
même distance de 42 km.