Séries enti`eres - Jean

30 novembre 2009
S´eries enti`eres
PC*2
30 novembre 2009
Introduction
Ce nouvel ´episode de la saga des s´eries se d´ecompose en plusieurs chapitres
d’importances diverses suivant les ambitions des lecteurs.
– Le chapitre 1aborde de nouvelles questions sur les s´eries num´eriques
(produit de Cauchy, groupement de termes) qui sont trop d´elicates pour
ˆetre abord´ees en d´ebut d’ann´ee.
– Le chapitre 2couvre l’int´egralit´e du programme sur les s´eries enti`eres.
Le lecteur "normal"pourra largement s’en contenter.
– Dans le chapitre 3j’approfondis certaines m´ethodes de d´eveloppement
de fonctions en s´eries enti`eres en flirtant souvent avec les limites du pro-
gramme (prolongement analytique, d´eveloppement de produits infinis)
voire en le d´epassant franchement (fonctions absolument monotones).
`
A conseiller aux ´etudiants ambitieux et d´ej`a `a l’aise avec le chapitre
pr´ec´edent.
– Le chapitre 4, qui d´ecrit des m´ethodes de calculs de sommes de s´eries,
est en revanche destin´e `a tous les publics.
– Enfin dans le chapitre 5on aborde modestement des techniques de com-
portement de la somme d’une s´erie enti`ere au bord du disque de conver-
gence avec des applications `a la d´etermination de rayons de convergence
dans des cas d´elicats. Si l’´etude de l’exemple 34 page 55 est conseill´ee `
a
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tous la suite est, comme on dit, "`a recommander aux lecteurs avertis".
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Table des mati`eres
1 Compl´ements sur les s´eries 7
1.1 Produit de Cauchy de deux s´eries `a termes complexes . . . . . 7
1.2 Groupement de termes ...................... 7
2 S´eries enti`eres 9
2.1 Rayon de convergence d’une s´erie enti`ere ............ 10
2.1.1 Comment d´eterminer un rayon de convergence . . . . . 12
2.1.2 R´egularit´e de la somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Op´erations ´el´ementaires sur les s´eries enti`eres ......... 14
2.3 S´eries enti`eres d’une variable r´eelle ............... 15
2.3.1 S´erie d´eriv´ee ........................ 15
2.3.2 Fonction d´eveloppable en s´erie enti`ere sur un intervalle 17
2.3.3 D´eveloppement des fonctions classiques . . . . . . . . . 18
S´eries g´eom´etriques, exponentielles et trigonom´etriques 18
Le d´eveloppement du binˆome .............. 18
Fonctions se ramenant aux pr´ec´edentes par d´erivation
ou int´egration .................. 20
R´esum´e des formules `a connaitre . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Des exemples ........................... 22
3 D´eveloppement de fonctions en s´erie enti`ere 25
3.1 Fonctions d’une variable r´eelle .................. 25
3.1.1 M´ethode de l’´equation diff´erentielle ........... 25
3.1.2 M´ethode d’int´egration terme `a terme . . . . . . . . . . 27
3.1.3 Majoration du reste int´egral . . . . . . . . . . . . . . . 28
Principe de la m´ethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Fonctions absolument monotones ............ 30
3.1.4 M´ethode de l’´equation fonctionnelle ........... 31
3

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3.1.5 Interversion de symboles divers ............. 34
3.2 Fonctions d’une variable complexe ................ 38
3.2.1 Utilisation d’une fonction auxiliaire d’une variable r´eelle 38
Principe de la m´ethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
La d´etermination principale du logarithme complexe . 39
3.2.2 Recherche `a priori des coefficients ............ 42
Minoration du rayon de convergence .......... 42
3.2.3 Prolongement analytique ................. 44
3.2.4 Cas des fractions rationnelles .............. 44
4 Calcul de sommes de s´eries 47
4.1 Cas des s´eries enti`eres ...................... 47
4.1.1 S´eries de la forme PP(n)zn.............. 47
Principe de la m´ethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1.2 S´eries de la forme PF(n)xn............... 48
4.1.3 S´eries de la forme PP(n)
n!xn............... 48
4.1.4 S´eries de la forme Panzno`u an+1
anest une fraction ra-
tionnelle simple ...................... 48
Principe de la m´ethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1.5 S´eries `a lacunes r´eguli`eres ................ 52
4.1.6 Interversion de symboles ................. 52
4.2 M´ethode g´en´erale dans les autres cas .............. 53
5 Propri´et´es de la somme au bord du disque de convergence 55
5.1 Limite radiale ........................... 55
5.2 Exemple de comportement asymptotique ............ 55
5.3 Utilisation de propri´et´es de la somme au bord du disque de
convergence pour d´eterminer le rayon de convergence ..... 56
5.3.1 Un exemple "simple"................... 56
5.3.2 D´eveloppement en s´erie enti`ere de l’exponentielle d’une
fonction .......................... 58
5.3.3 Une application ...................... 60
6 Travaux dirig´es 65
6.1 Calculs de rayons de convergence ................ 65
6.2 Calculs de sommes ........................ 67
6.3 Fonctions g´en´eratrices de suites r´ecurrentes ........... 69
6.4 Comportements aux bords de l’ouvert de convergence ..... 71
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6.5 D´eveloppements en s´erie enti`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
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