13 Notion de loi à densité Ouverture

13
Notion de loi à densité
3.Déterminer
Ouverture
Réponse à la question
La demi-vie τ du fluor 18 est environ égale à 2 h.
Le nombre de noyaux radioactifs encore présents
N
au bout de 4 h (= 2τ) est : N(4 h) = N0 e–2 ln2 =  0 .
4
Vérifier ses acquis
1 a. Les espérances valent respectivement 2,5 ;
5 ; 7 et 1. Classement : (d) (a) (b) (c).
b.Les variances valent respectivement : 1,875 ;
2,5 ; 2,1 ; 0,9.
2 a.
x
Úln2 e-t , pour x > ln2 ; puis
x
lim
e-2t dt . Que
x Æ ln 2
x
1. e-xdx 1 - e-x
0
Ú
remarque-t-on ?
Ú
2.L’intégrale vaut 1/2 pour a = ln2.
x
1
1
3.
e-xdx - e-x tend vers quand x tend
ln2
2
2
vers +∞.
La droite d’équation x = a partage le domaine
situé entre la courbe et l’axe des abscisses en
deux surfaces égales de valeur 0,5.
Ú
5 1. Pour chaque lancer, la probabilité de non
5
.
6
2.Réponse a. : échec au 1er lancer et au 2ème et
… au (k – 1)ème puis succès au kème.
apparition d’un as vaut
Classe
]0 ; 0,5]
]0,5 ; 1,5]
]1,5 ; 2,5]
Effectifs
83
35
26
Effectifs
cumulés
83
118
144
Fréquences
cumulées
0,469
0,667
0,814
Classe
]2,5 ; 6,5]
]6,5 ; 10,5]
]10 ; 26,5]
Effectifs
18
4
11
Effectifs
cumulés
162
166
177
Fréquences
cumulées
0,915
0,938
1
6 Seule l’expérience a. entre dans le cadre binomial.
Après n itérations, le « nombre de boules rouges
tirées » est une variable aléatoire distribuée selon
la loi binomiale (n, p) où p est la proportion de
boules rouges de l’urne non modifiée.
Activités d’introduction
b. Polygone des fréquences cumulées croissantes :
Activité 1
On note B′ et D′ les points de la droite  d’ordonnées respectives 1 et –1.
1 X(W) = ˘˙ - p ; p ÍÈ .
˚ 2 2Î
2 Dans le premier dispositif, le point T est situé
0
5
10
15
20
25
30
3 1. Seules les propositions b et d sont justes.
2. Seules les propositions c et d sont justes.
4 Dans l’exemplaire élève, l’énoncé a été modifié comme suit :
296 n
Chapitre 13 n Notion de loi à densité
sur la droite  et tout point de cette droite est
susceptible d’être atteint par le faisceau lumineux, d’où Y(W) = R.
Dans le deuxième dispositif, le point T est situé
sur la demi-droite de  issue de B′ (projeté orthogonal de B sur ) et au-dessous de B’. Tout point
de cette demi-droite est susceptible d’être atteint
par le faisceau lumineux, d’où Y(W) = ]–∞ ; 1].
© éditions Belin, 2012.
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
Dans le troisième dispositif, le point T est situé sur le segment [B′D′] et chaque point de ce segment est
susceptible d’être atteint par le faisceau lumineux d’où Y(W) = [−1 ; 1].
Activité 2
A.
1
Numéro
1
2
3
4
5
Classe
[0 ; 5[
[5 ; 10[
[10 ; 20[
[20 ; 30[
[30 ; 45]
Amplitude
5
5
10
10
15
Effectifs
4
10
23
10
3
Effectifs cumulés croissants
4
14
37
47
50
Fréquences
0,08
0,20
0,46
0,20
0,06
2 On construit le diagramme des fréquences cumulées croissantes en joignant par des segments les
6 points Mk(xk, yk) dont les ordonnées figurent dans le tableau suivant :
k
1
xk
0
5
10
yk
0
0,08
0,28
2
3
4
5
6
20
30
45
0,74
0,94
1
3 a.
Numéro
1
2
3
4
5
Classe
[0 ; 5[
[5 ; 10[
[10 ; 20[
[20 ; 30[
[30 ; 45]
Amplitude
5
5
10
10
15
Fréquences
0,08
0,20
0,46
0,20
0,06
Densités
0,016
0,040
0,046
0,020
0,004
Valeur
de F(x)
0,016x
0,04(x – 5) + 0,08
0,046(x – 10) + 0,28
0,02(x – 20) + 0,74
0,004(x – 30) + 0,94
b.Densité × amplitude = fréquence.
1 a. La probabilité vaut :
P(7,5 ≤ X ≤ 25) = P(X ≤ 25) – P(X ≤ 7,5).
Or P(X ≤ 25) = 0,02(25 – 20) + 0,74 = 0,84
et P(X ≤ 7,5) = 0,04(7,5 – 5) + 0,08 = 0,18.
Donc P(7,5 ≤ X ≤ 25) = 0,84 – 0,18 = 0,66.
b.La surface bleue vaut
(7,5 – 2) × 0,04 + (20 – 10) × 0,046 + (25 – 20)
× 0,02 = 0,66.
c. Ces quantités sont égales. Ainsi la probabilité
de l’événement 7,5 ≤ X ≤ 25 est égale à la surface de la portion d’histogramme limitée par les
droites d’équation x = 7,5 et x = 25.
d.P(0 ≤ X ≤ 5) = 0,08 et P(10 ≤ X ≤ 20) = 0,46.
2 a. La probabilité qu’un tir soit mauvais vaut
P(X > 20) = 1 – F(20) = 0,26.
b.La probabilité qu’un mauvais tir soit très mauP(X 30)
0, 06
@ 23,1.
vais vaut :
 = 
P(X 20) 0, 026
Activité 3
1 a.Pour x < 0, aucun point de l’intervalle
]–∞ ; x] n’est pesant, d’où : P(X ≤ x) = 0.
b.Pour 0 ≤ x ≤ 15, les x quinzièmes de la règle
se trouvent dans l’intervalle ]–∞ ; x], d’où
x
P(X ≤ x) =  .
15
c.Pour x > 15, tous les points de la règle se
trouvent sur l’intervalle ]–∞ ; x], d’où P(X ≤ x) = 1.
Chapitre 13 n Notion de loi à densité n 297
© éditions Belin, 2012.
B.
2 a.
c. d. e.
1
15
0
5
1
100
10 15
0
a
b 100
0
a
b 100
1
1
F(10)
F(a)
F(5)
F(b)
5
10 15
b.Nous remarquons que f(x) = l si 0 < x < 15 et
f(x) = 0 si x < 0 ou x > 15.
10
1
c. P(5 ≤ X ≤ 10) =   =  f(x) dx correspond à
5
3
l’aire grise sur le schéma précédent.
P(5 ≤ X ≤ 10) = F(10) – F(5) marquée en gris sur
le schéma précédent.
d.Pour 0 < a < 15 et pour n > max(a ; 15 – a),
1 2
P a- 1 X a 1 ¥
n
n 15 n
dont la limite vaut 0 quand n tend vers +∞.
Comme [X = a] entraîne Èa - 1 X a 1˘,
ÎÍ
n
n˚˙
on peut écrire :
1 2
0 P(X a) ¥
15 n
Le théorème des gendarmes donne P(X = a) = 0.
On note que : F′(a) = f(a) =  1 .
15
3 L’abscisse du point de coupe est un réel X
strictement compris entre 0 et 100.
0 si
x0
ÔÔ
a. P(X ≤ x) = Ì x si 0 x 100
Ô 100
ÔÓ 1 si 100 x
b.Si a n’est pas compris dans l’intervalle
]0 ; 100[, [X = a] = ∅, d’où : P (X = a) = 0.
Si 0 < a < 100, pour n > max(a ; 15 – a),
1
2
P a- 1 X a 1 ¥
n
n 100 n
dont la limite vaut 0 quand n tend vers +∞.
Comme l’événement [X = a] est inclus dans
chaque événement Èa - 1 X a 1˘, on peut
ÍÎ
n
n˙˚
écrire :
2
1
0 P(X a) ¥ .
100 n
Le théorème des gendarmes donne P(X = a) = 0.
Ú
298 n
Chapitre 13 n Notion de loi à densité
Pour 0 < a + h < b + h < 100,
P(a + h ≤ X ≤ b + h) =  b h - (a h) b - a .
100
100
Activité 4
1 L’image de l’intervalle ]0 ; 1[ par la fonction
x a −ln(1 – x) est l’intervalle ]0 ; +∞[. D’où :
Y(W) = ]0 ; +∞[.
2 On pose F : t a P(X ≤ t) et G : t a P(Y ≤  t).
Comme X suit une loi uniforme sur ]0 ; 1[,
0 si t 0
Ô
F(t) = P(X ≤ t) = Ì t si 0 t 1 .
Ô 1 si 1 t
Ó
a.Pour t > 0 :
ÈÎY t˘˚ ÈÎ- ln(1 - X) t˘˚ ÈÎexp ln(1 - X) exp(-t)˘˚
ÈÎ1 - X exp(-t)˘˚
ÈÎ1 - exp(-t) X ˘˚ .
b.Donc pour t > 0 : G(t) = P(Y ≤ t) =
P(X ≤ 1 – exp(−t)) = F(1 – e−t) = 1 – e−t.
3 a.[Y ≤ a] et [a < Y < b] sont deux événements incompatibles dont la réunion est [Y ≤ b].
Donc P(Y ≤ a) + P(a < Y ≤ b) = P(Y ≤ b), d’où
P(a < Y ≤ b) = G(b) – G(a) = 1 – e−b – (1 – e−a) 
= e−a – e−b.
b.[Y = a] = [X = 1 – exp(−a)], dont la probabilité
est nulle donc P(Y = a) = 0.
Par conséquent, P(a ≤ Y ≤ b) =
P(a < Y ≤ b) – P(Y = a) = e−a – e−b.
© éditions Belin, 2012.
0
4 a. Y(W) = ]0 ; +∞[ par conséquent [Y ≤ t]
pour t ≤ 0 est un événement impossible, d’où :
P(Y ≤ t) = 0.
b. 1
0,5
0
Densité g
G(t)
0
0,5
1
1,5
2
0
2,5
Fonction de répartition
G : t → P(Y ≤ t)
t
0
1
1,5
2
2,5
5 a.Pour t > 0,
P(t Y t h) e-(t h) - e-t
eh - 1
e-t ¥
h
h
h
P t Y t h
t
Donc lim
e  = g(t).
h
hÆ 0
b.Ainsi, pour 0 ≤ a ≤ b,
P(a ≤ Y ≤ b) = G(b) – G(a) = 
1ˆ
Ê
P Á Z A ¥ 0, 025 n˜ 0, 025,
ÁË
˜¯
d’où :
ln 0,975
ln 0,025ˆ
Ê
n
n ˜
P ÁZ ¥ e
A Z ¥e
ÁË
˜¯
1
G(t)
1ˆ
Ê
Il en résulte : P Á Z A ¥ 0, 975 n˜ 0, 975 et
ÁË
˜¯
b
Úa g(t) dt .
0, 975 - 0, 025 0, 95.
b.On remarque que l’événement [Z ≤ t] est
impossible pour t < 0, et certain pour t ≥ a donc :
0
si t 0
Ô
n
ÔÊ t ˆ
P(Z t) ÌÁ ˜ si 0 t A.
ÔË A¯
Ô1
si A t
Ó
c. On vérifie par exemple que la fonction f définie ci-dessous est une densité de Z :
0
si t 0
Ô
1
Ô
f(t) Ìn ¥
¥ t n-1 si 0 t A.
An
Ô
ÔÓ0
si A t
d.Soit E(Z) l’espérance de Z. On a :
Travaux pratiques
1TP TICE 1 Fonction de plusieurs variables
A
1 È t n1 ˘
n
¥Í
¥ A.
˙ n
0
n
n
1
1
A
ÍÎ
˙˚0
Ên 1
ˆ
¥ Z˜ A .
Par conséquent : E Á
Ë n
¯
E(Z) 1
Ú
t ¥ f(t) dt  = n ¥
suivant une loi uniforme
2 a. Z ¥ e
-
ln 0,975
n
A Z ¥e
-
ln 0,025
n
1
1
€ A ¥ 0, 0025 n Z A ¥ 0, 975 n.
Or, pour 0 ≤ t ≤ A,
ÈÎMax X1, X2,L, X n t˘˚ ÈÎX1 t˘˚ I ÈÎX2 t˘˚ I L I ÈÎX n t˘˚
n
Êtˆ
dont la probabilité vaut Á ˜ compte tenu de
Ë A¯
l’indépendance des événements
ÈÎX1 t˘˚ , ÈÎX2 t˘˚ ,K et ÈÎX n t˘˚ et du fait que :
n
Ê tˆ
P(X1 t) P(X2 t) L P(X n t) Á ˜ .
Ë A¯
2TP TICE 2 Durée de vie sans vieillissement
1 a.Soient t et h deux réels strictement positifs
(pour simplifier l’écriture on a renommé t0, t).
Considérons les quatre événements suivants :
• Vt = « Le matériel est encore vivant à l’instant t »
• Vt+h = « Le matériel est encore vivant à l’instant
t + h »
• V0 = « Le matériel est encore vivant à l’instant 0 »
• Vh = « Le matériel est encore vivant à l’instant h »
L’hypothèse selon laquelle la variable aléatoire est
sans mémoire conduit à :
PV (Vt h) PV (Vh) P(Vh) car V0 W.
t
0
En effet, on considère que le matériel est vivant
lors de sa mise en service à l’instant t = 0.
b.On remarque que le fait que le matériel soit
encore vivant à l’instant t + h implique qu’il
l’était à l’instant t, d’où :
Vt h Õ Vt soit : Vt h I Vh Vt h.
Chapitre 13 n Notion de loi à densité n 299
© éditions Belin, 2012.
1 Le nombre de fois où l’intervalle IA(w)
contient la valeur A = 325 suit la loi binomiale
(100 ; 0,95). L’espérance de ce nombre d’intervalles contenant la valeur A vaut donc 95 sur les
100 intervalles.
d.Il en résulte :
P [X t0 h] I [X t0]
P(X t0 h)
P(X t0)
P(X t0)
P(Vt h I Vt) P(Vt h)
P(Vt)
P(Vt)
On peut conclure : P(Vh) ¥ P(Vt) P(Vt h).
PV (Vt h) t
2 a. "x 0, P(X x) lim
Ú
A
AÆ x
h) e-lh
le-ltdt
e-lx
P(X t0) e-lt0 et P(X b.Le fait que l’événement [X t0 h] soit réalisé
implique que l’événement [X t0] l’est aussi,
d’où : [X t0 h] Õ [X t0] soit :
[X t0 h] I [X t0] [X t0 h].
c.D’après a. : P(X t0 h) e-l(t0 h).
e-l(t0 h)
P(X h).
e-lt0
e. Compte tenu de ce résultat et du fait que X est
une variable à densité, on peut écrire indifféremment :
PX t (X t0 h) P(X h) ou encore :
0
PX t (X t0 h) P(X h)
0
La variable aléatoire X est donc sans mémoire.
3 1. a.
Classe
[0 ; 5[
[5 ; 10[
[10 ; 15[
[15 ; 20[
[20 ; 25[
[25 ; 30[
[30 ; 35[
X
573
186
89
40
26
18
13
Y
193
350
284
132
31
10
0
Z
401
205
143
104
53
42
19
Taux évolutif X
0,573
0,436
0,369
0,263
0,232
0,209
0,191
Taux évolutif Y
0,193
0,434
0,621
0,763
0,756
1,000
Taux évolutif Z
0,401
0,342
0,363
0,414
0,361
0,447
0,365
Classe
[35 ; 40[
[40 ; 45[
[45 ; 50[
[50 ; 55[
[55 ; 60[
[60 ; 65[
[65 ; 70[
X
10
6
7
2
7
6
17
Y
0
0
0
0
0
0
0
Z
11
7
6
3
3
2
1
Taux évolutif X
0,182
0,133
0,179
0,063
0,233
0,261
1,000
0,333
0,318
0,400
0,333
0,500
0,667
1,000
Taux évolutif Y
Taux évolutif Z
300 Ci
2,5
7,5
12,5
17,5
22,5
27,5
32,5
Classe
[0 ; 5[
[5 ; 10[
[10 ; 15[
[15 ; 20[
[20 ; 25[
[25 ; 30[
[30 ; 35[
X
573
186
89
40
26
18
13
Y
193
350
284
132
31
10
0
Z
401
205
143
104
53
42
19
X ¥ Ci
1 432,50
1 395,00
1 112,50
700,00
585,00
495,00
422,50
Y ¥ Ci
482,50
2 625,00
3 550,00
2 310,00
697,50
275,00
0,00
Z ¥ Ci
1 002,50
1 537,50
1 787,50
1 820,00
1 192,5
1 155
617,50
n
Chapitre 13 n Notion de loi à densité
© éditions Belin, 2012.
b.Calcul des moyennes
Ci
37,5
42,5
47,5
52,5
57,5
62,5
67,5
Classe
[35 ; 40[
[40 ; 45[
[45 ; 50[
[50 ; 55[
[55 ; 60[
[60 ; 65[
[65 ; 70[
X
10
6
7
2
7
6
17
Y
0
0
0
0
0
0
0
Z
11
7
6
3
3
2
1
X ¥ Ci
375,00
255,00
332,50
105,00
402,50
375,00
1 147,50
Y ¥ Ci
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
Z ¥ Ci
412,50
297,50
285,00
157,50
172,50
125,00
67,50
MOYENNE X
9,14
MOYENNE Y
9,94
MOYENNE Z
10,63
avec l’âge ce qui explique un taux de mortalité
croissant avec l’âge.
Dans la situation 3, le taux fluctue de manière
aléatoire autour d’une valeur moyenne. On est
manifestement en face de causes accidentelles
extérieures indépendantes d’incident sans usure
du procédé de mise en bouteille.
On note que les moyennes d’échantillons observées sont proches de 10 unités.
On vérifie l’adéquation du modèle à un modèle
exponentiel de paramètre l = 1/10.
La probabilité de l’événement [a < Z < a + 5]
vaut selon cette hypothèse :
p(a) = exp(–a/10) – exp(–(a + 5)/10).
L’espérance du nombre d’incidents sur
1 000 incidents vaut : 1 000 × p(a)
Ci
2,5
7,5
12,5
17,5
22,5
27,5
32,5
Classe
[0 ; 5[
[5 ; 10[
[10 ; 15[
[15 ; 20[
[20 ; 25[
[25 ; 30[
[30 ; 35[
X
573
186
89
40
26
18
13
Y
193
350
284
132
31
10
0
Z
401
205
143
104
53
42
19
Effectifs
théoriques
393,5
238,7
144,7
87,79
53,25
32,3
19,59
Ci
37,5
42,5
47,5
52,5
57,5
62,5
67,5
Classe
[35 ; 40[
[40 ; 45[
[45 ; 50[
[50 ; 55[
[55 ; 60[
[60 ; 65[
[65 ; 70[
X
10
6
7
2
7
6
17
Y
0
0
0
0
0
0
0
Z
11
7
6
3
3
2
1
Effectifs
théoriques
11,88
7,207
4,371
2,651
1,608
0,975
0,592
Chapitre 13 n Notion de loi à densité n 301
© éditions Belin, 2012.
2.Dans la situation 1, les taux diminuent ; les
jeunes conducteurs qui ne font pas partie des
573 ayant eu un accrochage dans la période
[0 mois ; 5 mois[ ont emmagasiné de l’expérience et constituent une nouvelle population
plus fiable, pour laquelle la proportion d’accidents dans les cinq mois qui suivent ne vaut plus
que 0,436 au lieu de 0,573, etc. Échappant au
statut de jeunes conducteurs, ils verront au bout
de quelques années leurs primes d’assurances
globalement diminuer.
Dans la situation 2, on a clairement un phénomène d’usure des batteries. Une batterie vit plus
ou moins selon la vie qu’elle mène. Même sage,
elle se fatigue et son espérance de vie diminue
4 1. a. L’événement « le noyau se désintègre
entre les instants t et t + s » s’écrit : [t X t s].
La probabilité demandée est :
P(t X t s)
PX t(t X t s) .
P(X t)
On trouve après factorisation puis simplification :
PX t(t X t s) e-ls .
b.Ce résultat ne dépend pas de t.
2.La durée de vie moyenne des noyaux de
l’échantillon est égale à l’espérance de vie de l’un
1
d’entre eux soit : E(X) =  .
l
3.Pour chaque noyau père, la probabilité qu’il
ne se soit pas désintégré avant l’instant t vaut
e-lt . N(t) est donc distribuée selon la loi binomiale (N0 , e-lt) dont l’espérance vaut N0 ¥ e-lt .
4.Le nombre moyen de noyaux radioactifs à
l’instant t vaut N0 ¥ e-lt . Il est divisé par 2 lorsque
e-lt 1 . La période de « demi-vie » vaut donc
2
1
t ln 2
l
3TP Algorithmique Lois exponentielles
en série et en parallèle
1 Partie 1
a.Si l’élément n’est pas tombé en panne dans
l’intervalle [0 ; t], X(w) t et réciproquement.
Il en résulte pour t 0, P(X t) e-t d’où :
P(X t) 1 - e-t.
b.On note que :
si t 0
Ô0
P(X t) Ì
t
ÓÔ1 - e si t 0
t
si x 0
Ô0
f(x) dx où f(x) Ì
-
ÔÓe-x si x 0
X suit donc la loi exponentielle de paramètre 1.
Ú
2 Partie 2
Le tableau de données suivant a été ajouté dans
l’exemplaire élève :
X1(t)
X2(t)
X3(t)
X4(t)
X5(t)
X6(t)
X7(t)
1,09
2,28
1,11
1,80
0,24
2,09
0,26
1.a. Les éléments qui sont déjà tombés en panne
à l’instant t = 1,5 sont les éléments 1, 3, 5, 7.
302 n
Chapitre 13 n Notion de loi à densité
b.Suivant le même principe, on peut compléter
le tableau suivant :
t = 0
t = 0,5 t = 1,5
t = 2
t = 2,5
t = 3
D1
1
1
0
0
0
0
D2
1
1
1
0
0
0
D3
1
0
0
0
0
0
2.Les réponses à ces questions ont été données
dans la partie 1 :
si t 0
Ô0
P(X1 t) Ì
ÔÓ1 - e-t si t 0
3.Pour t strictement compris entre 0 et 1, l’événement ÎÈ- ln(random()) t˘˚ est égal à l’événement
Èrandom() e-t ˘ dont le contraire est l’événeÎ
˚
ment ÈÎrandom() e-t ˘˚ de probabilité e-t puisque
random() suit la loi uniforme sur ]0 ; 1[.
Ainsi, X ÎÈ1˘˚ - ln(random()) est bien distribuée
selon la loi exponentielle de paramètre 1.
3 Partie 3
1.Il faut simuler 1 000 fois l’expérience et comparer les fréquences observées aux probabilités
proposées.
2.a. Il convient de calculer les moyennes des 1 000
durées de vie observées pour chaque dispositif.
b.• Si une panne survient sur le dispositif 1
entre les instants 0 et t, c’est que l’un ou l’autre
des éléments 1 et 2 sont tombés en panne sur cet
intervalle de temps [0 ; t] et réciproquement.
Donc : ÈÎY1 t˘˚ ÈÎX1 t˘˚ U ÈÎX2 t˘˚
Or : P ÈÎX1 t˘˚ U ÈÎX2 t˘˚ P X1 t P X2 t - P ÈÎX1 t˘˚ I ÈÎX2 t˘˚
et du fait de l’indépendance des événements
[X1 t] et [X2 t] on a :
P [X1 t] I [X2 t] P(X1 t) ¥ P(X2 t)
Par conséquent :
P(Y1 t) 1 - e-t 1 - e-t - (1 - e-t)(1 - e-t)
1 - e-2t
• Si une panne survient sur le dispositif 2 entre
les instants 0 et t, c’est que l’un et l’autre des
éléments 3 et 4 sont tombés en panne sur cet
intervalle de temps [0 ; t] et réciproquement.
Donc : [Y2 t] [X3 t] I [X4 t].
Du fait de l’indépendance des événements
[X3 t] et [X4 t] on a :
P([X3 ≤ t] ∩ [X4 ≤ t]) = P([X3 ≤ t]) × P([X4 ≤ t]).
Par conséquent : P(Y2 t) (1 - e-t)(1 - e-t).
© éditions Belin, 2012.
On constate que les valeurs des 1 000 valeurs de
Z observées sont en adéquation, aux fluctuations
d’échantillonnage près, avec les effectifs théoriques prévus par la loi exponentielle
• Si une panne survient sur le dispositif 3 entre
les instants 0 et t, c’est que l’élément 5 et l’un ou
l’autre des éléments 6 et 7 sont tombés en panne
sur cet intervalle de temps [0 ; t] et réciproquement. Donc :
[Y3 t] [X5 t] I [X6 t] U [X7 t] .
Du fait de l’indépendance des événements
[X5 t], [X6 t] et [X7 t] on a :
P(Y3 t) P(X5 t) ¥ P [X6 t] U [X7 t] .
Par ailleurs :
P [X6 t] U [X7 t] P [X1 t] U [X2 t] .
On obtient : P(Y3 t) (1 - e-t) ¥ (1 - e-2t).
c.Les variables aléatoires Y1, Y2 , Y3 prennent
leurs valeurs dans l’intervalle [0 ; +[ ; les fonctions : F1 : t a P(Y1 t) 1 - e-2t ,
F2 : t a P(Y2 t) (1 - e-t)2,
F3 : t a P(Y1 t) (1 - e-t)(1 - e-2t) sont continues
sur cet intervalle et dérivables sur ]0 ; [. Les
variables aléatoires Y1, Y2 , Y3 admettent donc
pour densité les fonctions f1, f2 , f3 définies respectivement par :
Ô0
si t 0
f1(t) Ì
2
t
si t 0
ÔÓF1¢(t) e
3 P(a X b) correspond à l’aire hachurée en
bleu.
Ê 1
d.Les espérances des variables Yk valent :
E(Yk) lim
Ú
A
AÆ 0
t fk(t) dt
1
.
l
1
1 3
On obtient alors : E(Y1)  ; E(Y2) 2 -  ;
2
2 2
1 1 7
E(Y3) 1 - 2 3 6
Il a été établi en cours que : lim
Ú
A
AÆ 0
lt e-lt dt 1
1
Ê
1
-
1ˆ
5 1.b.
2. b. et c.
3.a. et b., sous réserve que les limites existent.
6 d. La longueur de l’intervalle vaut 4.
7 a. L’intervalle est centré sur 0.
8 a. et b.
9 b.
10 c.
Appliquer les capacités attendues
12 a.
0,5
Ô0
si t 0
f2(t) Ì
t
2
t
si t 0
ÓÔF2¢(t) 2e - 2e
Ô0
si t 0
f3(t) Ì
.
t
2
t
3
t
si t 0
ÓÔF3¢(t) e 2e - 3e
1ˆ
4 d. P Á- Y ˜ ¥ ¥ Á1 - e 2˜ .
2¯ 2 2 2 ÁË
˜¯
Ë 2
–8
b.
Ú0
–4
0
e-tdt 1 d’où :
4
8
1
1
Ú- f(t) dt 2 ¥ 1 2 ¥ 1 1.
1 -1 -2
(e - e ) et
2
1
P(-3 X -2) (e-3 - e-2)
2
1
1
P(-2 X 1) 1 - e-1 - e-2 .
2
2
c. P(1 X 2) 13 a.
1,5
1
0,5
Maîtriser le cours
1 d.
–1
0
1
2
3
b.f est positive et l’intégrale de f sur le segment
[0,1] vaut 1.
Ê1
3ˆ
c. P Á X ˜ 4¯
Ë2
3
11
Ú14 f(t) dt 32
2
2 La densité d’une variable aléatoire à valeurs
dans I a une intégrale sur I égale à 1.
Cette densité est à valeurs positives ou nulle.
Chapitre 13 n Notion de loi à densité n 303
© éditions Belin, 2012.
Exercices
14 a.
2. a. b.
8
9
1
0,5
0,5
–1
0
1
2
3
b.f est positive et l’intégrale de f sur le segment
[0,1] vaut 1.
Ê1
2ˆ
c. P Á X ˜ 3¯
Ë2
2
3 f(t) dt
1
2
Ú
6 7 2
.
3
16
1,5
1
0,5
0
1
2
0
2
3
1
2
3
Ê 1
3ˆ 243
3. P Á- X ˜ .
2
2¯ 256
Ë
18 a. f est positive sur [-1 ; +[ et nulle en
15 a. Le nombre a vaut 12.
–1
–1
3
Ê
1ˆ 11
b.P(-1 X 1) 1 et P Á0 Y ˜ et
2¯ 16
Ë
Ê 1
ˆ
P Á- X 2˜ 1.
Ë 2
¯
16 1.a. La fonction f est continue sur R pour
b = 2.
Nous choisirons alors b = 2 dans la suite de l’exercice.
3
b.f est alors une densité pour a - .
4
0,6
0,4
0,2
dehors de cet intervalle et l’intégrale de f sur
1
1
[-1 ; +[ vaut ¥ 1 ¥ 1 1. f est donc une den2
2
sité de probabilité.
Ê1
ˆ
1
1
b.P Á X 1˜  ;
Ë2
¯ 2 e 2e
1
1
P(1 X 3)  ; P - 1 X 1 3 - 1
2
4 2e
2e 2e3
19 L’énoncé est conforme à la figure : f est définie par 0 sur [2 ; +∞[.
a. f est positive sur ]– ; 2[ et nulle en dehors de
cet intervalle et l’intégrale de f sur ]– ; 2[ vaut
1
1
¥ 1 ¥ 2 1. f est donc une densité de proba3
3
bilité.
1
1
b.P(-2 X -1)  ;
3e 3e2
2 1
P(-1 X 1) .
3 3e
21 a. Courbe représentative de la fonction f :
0,6
0
1
2
3
0,5
c. La droite d’équation x = 1 est axe de symétrie
de la courbe.
Ê 1
ˆ
Ê1
3ˆ 1
2. a. b. P Á- X 1˜ P Á X ˜ .
2¯ 2
Ë 2
¯
Ë2
17 1.a. La fonction f est continue sur R pour
b = 2.
Nous choisirons alors b = 2 dans la suite de l’exercice.
3
b.f est alors une densité pour a .
4
0,4
0,3
0,2
0,1
–10
b.
–5
0
5
12
Ú- f(x) dx Ú0 3 x dx Ú1
1
È x2 ˘
2
Í ˙ ÍÎ 3 ˙˚0 3
Pour t 1, on a :
t
1
Ú1
2
dx
3x2
1
dx.
x2
È-1˘
n
Chapitre 13 n Notion de loi à densité
t
1
Ú1 x2 dx ÍÎ x ˙˚1 1 - t , donc en
faisant tendre t vers , on a :
304 10
Ú1
1
dx 1.
x2
© éditions Belin, 2012.
–1
On obtient donc :
1
23 a. Courbe représentative de la fonction f :
2
Ú- f(x) dx 3 3 1.
1
De plus, f est positive sur R donc f est une fonction densité d’une variable X.
x
2 x1
c.Pour x 1, tf(t) dt dt .
1
3 1 t
x1
On a :
dt ln x et lim ln x donc
1 t
x Æ
Ú
Ú
0,5
Ú
lim
Ú
x
x Æ 1
tf(t) dt .
–10
–5
0
d.D’après ce qui précède, X n’admet pas d’espérance.
5
10
–0,5
22 a. Courbe représentative de la fonction f :
1
–1
0,8
0,4
0,2
–10
b.
–5
0
5
1
Ú- f(x) dx Ú0 x dx Ú1
1
È x2 ˘
Í ˙ ÍÎ 2 ˙˚0
Pour t 1, on a :
t
Ú1
10
1
dx x3
1
1
dx 2
x3
È -1 ˘
1
t
1
Ú1
1
dx.
x3
1
Ú1 x3 dx ÍÎ2x2˙˚1 2 - 2t2 ,
donc en faisant tendre t vers , on a :
1
1
dx .
1 x3
2
1 1
On obtient donc :
f(x) dx 1.
-
2 2
De plus, f est positive sur R donc f est une fonction densité d’une variable X.
x
x 1
c.Pour x 1, tf(t) dt dt .
1
1 t2
x 1
x
1
tf(t) dt 1.
On a :
dt 1 - donc : lim
1 t2
x
x Æ 1
d.D’après ce qui précède, X admet une espérance.
1
1
E(x) tf(t)d t2 dt dt -
0
1 t2
Ú
Ú
Ú
Ú
Ú
Ú
Ú
Ú
1
Èt3 ˘
4
Í ˙ 1 .
3
3
ÍÎ ˙˚0
Ú
b.
Ú-
f(x) dx 2
p
2
p
Ú
f(x) dx correspond à l’aire
2
d’un demi-disque de rayon R . On a donc :
p
1 2
f(x) dx pR 1.
-
2
De plus, f est positive sur R donc f est une fonction densité d’une variable X.
c. L’utilisation de la courbe permet de conjecturer
que la fonction f est paire. On vérifie cette conjecture en s’assurant que, pour tout x Œ°, on a :
f(-x) f(x) .
Le calcul de l’espérance de X conduit à calculer
Ú
Ú-
xf(x) dx 2
p
2
p
Ú
xf(x) dx.
La parité de f induit que la fonction x a xf(x) est
impaire. On a donc :
On a donc : E(x) 0.
2
p
2
p
Ú
xf(x) dx 0.
Chapitre 13 n Notion de loi à densité n 305
© éditions Belin, 2012.
0,6
È 2
2˘
Pour x Œ Í;
˙ , cette courbe a pour équap˚
Î p
2
2
tion y - x2 , on a donc : x2 y 2 avec
p
p
y 0.
Cette courbe est donc le demi-cercle situé au-dessus de l’axe des abscisses de centre O et de rayon
2
.
p
25 a. Courbe représentative de f :
Ê
pˆ p 1 1
b.P Á0 q ˜ ¥ et
2¯ 2 p 2
Ë
Êp
3pˆ Ê 3p pˆ 1 1
PÁ q ˜ Á - ˜ ¥ .
4 ¯ Ë 4 2¯ p 4
Ë2
0,15
0,10
–5
0
5
10
b.D’après le cours, on a :
0
si x -p
Ô
Ôx p
P(X x) Ì
si x Π[-p ; p].
Ô 2p
si x p
ÔÓ1
La représentation de la fonction de répartition est
la suivante :
0,5
0,4
0,3
1
0,2
0,8
0,1
0,6
–10
0,4
0,2
–4
–2
0
2
4
p
1
2
dx
0 2p
Ê
pˆ
1 p
c. P Á0 X ˜ ¥ 0, 25 .
2¯
2p 2
Ë
Cette probabilité correspond à l’aire de la partie
du plan délimitée par l’axe des abscisses, la
courbe de f, l’axe des ordonnées et la droite
p
d’équation x .
2
D’après ce qui précède, on a :
xp
F(x) si x Π[-p ; p].
2p
p
p 3
Ê pˆ
p
1
et F(0) Ainsi : F Á ˜ 2
d’où
2p
4
2p 2
Ë 2¯
Ú
Ê pˆ
3 1 1
F Á ˜ - F(0) - .
4 2 4
Ë 2¯
On peut donc vérifier que :
Ê
Ê pˆ
pˆ
P Á0 X ˜ F Á ˜ - F(0).
2¯
Ë
Ë 2¯
p
p x
1 È x2 ˘
1 È p2 p2 ˘
dx d.E(x) Í ˙ Í - ˙ 0.
- p 2p
2p ÍÎ 2 ˙˚
2p ÎÍ 2
2 ˙˚
-p
Ú
26 a. La variable aléatoire q est distribuée suivant la loi uniforme sur [0 ; p].
306 n
Chapitre 13 n Notion de loi à densité
–5
0
5
10
Sa fonction de répartition F définie par :
0
si x 0
Ô
Ô x
si x Œ ÈÎ0 ; 2 2˘˚
F(x) Ì
Ô2 2
ÔÓ1
si x 2 2
est représentée ci-dessous :
1
0,8
0,6
0,4
0,2
–10
–5
0
5
10
b.La probabilité de l’événement « M appartient
à [BC] » correspond à
1 2 - 1
2
P 1 X 1 2 .
2 2
2 2
La probabilité de l’événement « M appartient à la
ligne brisée (M1BCM2) » correspond à
Ê3
ˆ 1
2˜ Ê1
ˆ ÁË 2
3
¯ 2 1 2
P Á X 2˜ .
2
Ë2
¯
2 2
2 2
© éditions Belin, 2012.
–10
b- a
.
p
27 a. La variable aléatoire X est distribuée suivant la loi uniforme sur ÎÈ0 ; 2 2˘˚ .
Sa fonction densité f définie par :
1
si x Œ ÈÎ0 ; 2 2˘˚
Ô
f(x) Ì2 2
Ô0
sinon
Ó
est représentée ci-dessous :
c.Pour 0 a b p, on a : P(a q b) 0,05
29 La variable aléatoire X égale au nombre choisi
au hasard dans l’intervalle ]0 ; 1[ est distribuée
suivant la loi uniforme sur ]0 ; 1[.
0, 4 - 0, 3
a. P(0, 3 X 0, 4) 0,1.
1
b.P(0, 5 X 1) 0, 5 .
c. On note A l’événement : « le second chiffre
est 1 ».
P(X Œ [0, 31 ; 0, 32[»... » [0, 91 ; 0, 92[)
P(X 0,3)(A) P(X 0, 3)
7 ¥ 0, 01 1
P(X 0,3)(A) .
0, 7
10
30 La variable aléatoire X égale au temps d’attente, en minutes, à un arrêt de tramway est
distribuée suivant la loi uniforme sur [0 ; 30].
20 - 15 1
a. P(15 X 20) .
30
6
30 - 20 1
b.P(20 X 30) .
30
3
0 30
c. E(x) 15 ce qui permet de conclure
2
que le temps moyen d’attente est de 15 minutes.
15
P(X 15) 30 3
d.P(X 10)(X 15) .
P(X 10) 20 4
30
Èe-2x ˘
l
32 1. a.
f(x) dx le-2x dx l Í
˙ .
-
0
ÍÎ -2 ˙˚0 2
Ú
Ú
Ainsi, pour l 2, f est positive et
Ú- f(x) dx 1.
f est donc la densité de la loi exponentielle de
paramètre 2.
1
b.E(x) 0, 5 .
l
2. a. D’après le cours, on a :
si x 0
Ô0
P(X x) Ì
.
ÔÓ1 - e-2x si x 0
b.P(1 X 2) 2
2
Ú1 2e-2x dx ÈÎ-e-2x˘˚1 e-2 - e-4.
F(2) - F(1) (1 - e-4) - (1 - e-2) e-2 - e-4 .
On a donc : P(1 X 2) F(2) - F(1).
c. P(-1 X 2) P(0 X 2) F(2) - F(0)
donc : P(-1 X 2) F(2) 1 - e-4 .
Èe-lx ˘
a
ae-lx dx a Í
˙ .
-
0
ÍÎ -l ˙˚0 l
Ainsi, pour que f soit une densité, il faut que :
a
1 soit a l.
l
Comme a et l vérifient al 2, on a donc : a2 2.
Ainsi, a et l étant positifs, on a : a l 2. f est
donc la densité de la loi exponentielle de paramètre 2.
1
2
b.E(x) .
l
2
2. a. D’après le cours, on a :
Ô0
si x 0
P(X x) Ì
.
2
x
si x 0
ÓÔ1 - e
33 1. a. Ú
f(x) dx b.P(1 X 2) 2
Ú1
Ú
2e-
2 x dx
È-eÎ
2
2 x˘
˚1
e- 2 - e-2 2.
F(2) - F(1) (1 - e-2 2) - (1 - e- 2) e- 2 - e-2 2.
On a donc : P(1 X 2) F(2) - F(1).
c. P(-2 X 2) P(0 X 2) F(2) - F(0)
donc P(-2 X 2) F(2) 1 - e-2 2.
Èe-lx ˘
a
ae-lx dx a Í
˙ .
-
0
ÍÎ -l ˙˚0 l
Ainsi, pour que f soit une densité, il faut que :
a
1 soit a l.
l
Or : a l 2 donc 2a 2 d’où a 1. f est donc la
densité de la loi exponentielle de paramètre 1.
1
b.E(x) 1.
l
2. a. D’après le cours, on a :
Ô0
si x 0
P(X x) Ì
.
-x
ÓÔ1 - e si x 0
34 1. a. Ú
f(x) dx b.P(1 X 2) 2
Ú
2
Ú1 e-x dx ÈÎ-e-x˘˚1 e-1 - e-2.
F(2) - F(1) (1 - e-2) - (1 - e-1) e-1 - e-2.
On a donc : P(1 X 2) F(2) - F(1).
c. P(-2 X 2) P(0 X 2) F(2) - F(0)
donc : P(-2 X 2) F(2) 1 - e-2 .
35 a.Si X est une variable aléatoire distribuée
suivant la loi exponentielle de paramètre l, on a :
1
E(X) .
l
1
On a E(X) 25 donc l .
25
Chapitre 13 n Notion de loi à densité n 307
© éditions Belin, 2012.
28 La variable aléatoire X égale au nombre choisi
au hasard dans l’intervalle [10 ; 100] est distribuée suivant la loi uniforme sur [10 ; 100].
50 - 20 30 1
a. P(20 X 50) .
100 - 10 90 3
50 5
60 - 10
b.P(10 X 60) .
100 - 10 90 9
100 - 90 10 1
c. P(90 X 100) .
100 - 10 90 9
-
m
-
m
On obtient donc :
0
si x 5
Ô
P(Y x) Ìx - 5 si x Œ [5 ; 6].
Ô1
si x 6
Ó
b.P(X m) 0, 5 € 1 - e 25 0, 5 € e 25 0, 5.
1
m
P(X m) 0, 5 € ln € m 25 ln 2.
25
2
On a donc : m ; 17, 3.
c. D’après la fonction de répartition de Y, on peut
conclure que Y suit la loi uniforme sur [5 ; 6].
3. E(Y) 5, 5 et E(X) 2, 5 donc : E(Y) E(X) 3.
1
3
1
€ 1 - e 25 € e 25 4
4
4
3
1
m
3
P(X q) € ln € m -25 ln .
4
25
4
4
On a donc : q ; 7, 2 .
38 1. La fonction densité f est définie par :
q
m
c. P(X q) 36 La variable aléatoire X égale à la durée de vie
(en jours) d’un composant électronique est distribuée suivant la loi exponentielle de paramètre
l = 0,001 25.
1. a. P(100 X 200) 200
200
Ú100 le-lx dx ÈÎ-e-lx˘˚100
P(100 X 200) e-100l - e-200l
e-0,125 - e-0,25.
La probabilité qu’un composant ait une durée de
vie comprise entre 100 et 200 jours est d’environ
0,104.
500
Ú0
500
le-lx dx ÈÎ-e-lx ˘˚
0
P(X 500) 1 - e-500l 1 - e-0,625.
La probabilité qu’un composant ait une durée de
vie inférieure à 500 jours est d’environ 0,465.
c. P(X 600) 1 - P(X 600) donc :
P(X 600) e-600l e-0,75.
La probabilité qu’un composant fonctionne au
bout de 600 jours est d’environ 0,472.
1
2. E(X) 800.
0, 00125
Ces composants électroniques ont une durée de
vie moyenne de 800 jours.
b.P(X 500) S’entraîner
37 1. La fonction densité f est définie par :
0 si x œ [2 ; 3]
f(x) Ì
.
ÓÔ1 si x Œ [2 ; 3]
2. a. X prend ses valeurs dans [2 ; 3] donc
Y = X + 3 prend ses valeurs dans [5 ; 6].
b.P(Y x) P(X 3 x) P(X x - 3) .
D’après le cours, on a :
0
si x 2
Ô
P(X x) Ìx - 2 si x Œ [2 ; 3].
Ô1
si x 3
Ó
308 n
Chapitre 13 n Notion de loi à densité
0 si x œ [1 ; 6]
f(x) Ì
.
ÔÓ1 si x Œ [1 ; 6]
2. a. X prend ses valeurs dans [1 ; 6] donc
Y = X – 5 prend ses valeurs dans [–4 ; 1].
b.P(Y x) P(X - 5 x) P(X x 5).
D’après le cours, on a :
0
si x 1
Ô
Ôx - 1
si x Π[1 ; 6].
P(X x) Ì
Ô 5
si x 6
ÔÓ1
On obtient donc :
0
si x -1
Ô
Ôx 4
si x Π[-4 ; 1].
P(Y x) Ì
Ô 5
si x 1
ÔÓ1
c. D’après la fonction de répartition de Y, on peut
conclure que Y suit la loi uniforme sur [–4 ; 1].
3. E(Y) -1, 5 et E(x) 3, 5 donc : E(Y) E(X) - 5.
39 1. La fonction densité f est définie par :
0 si x œ [0 ; 4]
f(x) Ì
.
ÓÔ1 si x Œ [0 ; 4]
2. a. X prend ses valeurs dans [0 ; 4] donc
Y = X + a prend ses valeurs dans [a ; a 4].
b.P(Y x) P(X a x) P(X x - a).
D’après le cours, on a :
0 si x 0
Ô
Ôx
P(X x) Ì si x Œ [0 ; 4].
Ô4
ÔÓ1 si x 4
On obtient donc :
0
si x a
Ô
Ôx - a
si x Π[a ; a 4].
P(Y x) Ì
Ô 4
si x a 4
ÔÓ1
c. D’après la fonction de répartition de Y, on peut
conclure que Y suit la loi uniforme sur [a ; a + 4].
3. E(Y) a 2 et E(X) 2 donc : E(Y) E(X) a.
© éditions Belin, 2012.
La fonction de densité f de X est donc définie par :
0
si x 0
Ô
f(x) Ì 1 - x
.
Ô e 25 si x 0
Ó25
0 si x œ [0 ; 2]
f(x) Ì
.
ÔÓ1 si x Œ [0 ; 2]
2. a. X prend ses valeurs dans [0 ; 2] donc Y = 2X
prend ses valeurs dans [0 ; 4].
Ê
xˆ
b.P(Y x) P(2X x) P Á X ˜ .
2¯
Ë
D’après le cours, on a :
0 si x 0
Ô
Ôx
P(X x) Ì si x Œ [0 ; 2].
Ô2
ÔÓ1 si x 2
On obtient donc :
0 si x 0
Ô
Ôx
P(Y x) Ì si x Œ [0 ; 4].
Ô4
ÔÓ1 si x 4
c. D’après la fonction de répartition de Y, on peut
conclure que Y suit la loi uniforme sur [0 ; 4].
3. E(Y) 2 et E(X) 1 donc : E(Y) 2E(X).
41 1. La fonction densité f est définie par :
0 si x œ [2 ; 4]
f(x) Ì
.
ÔÓ1 si x Œ [2 ; 4]
2. a. X prend ses valeurs dans [2 ; 4] donc Y = –X
prend ses valeurs dans [-4 ; - 2].
b.P(Y x) P(-X x) P(X -x) 1- P(X -x).
D’après le cours, on a :
0
si x 2
Ô
Ôx - 2
si x Π[2 ; 4].
P(X x) Ì
Ô 2
si x 4
ÔÓ1
On obtient donc :
0
si x -4
Ô
Ôx 4
si x Π[-4 ; - 2].
P(Y x) Ì
Ô 2
si x -2
ÔÓ1
c. D’après la fonction de répartition de Y, on peut
conclure que Y suit la loi uniforme sur [–4 ; –2].
3. E(Y) -3 et E(X) 3 donc : E(Y) -E(X).
42 1. La fonction densité f est définie par :
0 si x œ [-1 ; 3]
f(x) Ì
.
ÓÔ1 si x Œ [-1 ; 3]
2. a. X prend ses valeurs dans [–1 ; 3]. Ainsi :
si a > 0 alors Y = aX prend ses valeurs dans
[-a ; 3a] ;
si a < 0 alors Y = aX prend ses valeurs dans
[3a ; - a].
b.Pour a > 0 :
Ê
xˆ
P(Y x) P(aX x) P Á X ˜ .
a¯
Ë
D’après le cours, on a :
0
si x -1
Ô
Ôx 1
si x Π[-1 ; 3].
P(X x) Ì
Ô 4
si x 3
ÔÓ1
On obtient donc :
0
si x -a
Ô
Ôx a
si x Π[-a ; 3a].
P(Y x) Ì
Ô 4a
si x 3a
ÔÓ1
D’après la fonction de répartition de Y, on peut
conclure que Y suit la loi uniforme sur [–a ; 3a].
Pour a < 0 :
Ê
Ê
xˆ
xˆ
P(Y x) P(aX x) P Á X ˜ 1 - P Á X ˜ .
a¯
a¯
Ë
Ë
On obtient donc :
0
si x 3a
Ô
Ô x - 3a
si x Π[3a ; - a].
P(Y x) Ì
Ô -4a
si x -a
ÔÓ1
D’après la fonction de répartition de Y, on peut
conclure que Y suit la loi uniforme sur [3a ; –a].
3. E(Y) -2a et E(X) 2 donc : E(Y) aE(X).
43 Le temps moyen d’attente est de 6 minutes
donc E(X) 6. Or, X suit la loi uniforme sur [a ; b]
a b
donc : E(X) . On obtient : a b 12.
2
60 % des voyageurs attendent plus de 5 minutes
donc : P(X 5) 0, 6 soit : P(X 5) 0, 4 . On a
5-a
donc :
0, 4 d’où : 3a 2b 25 . De plus :
b- a
a b 12
a 1
équivaut à Ì
.
Ì
ÓÔ3a 2b 25
ÓÔb 11
44 On note X la variable aléatoire égale à la durée
d’une communication (exprimée en heures).
X suit la loi uniforme sur [0 ; 2].
1, 25
1. a. P(X 1, 25) 0, 625
2
La probabilité qu’une communication dure au
plus 1 h 25 min est égale à 0,625.
1
Ê
Ê
5
1ˆ
1ˆ
b.P Á X ˜ 1 - P Á X ˜ 1 - 3 .
2 6
3¯
3¯
Ë
Ë
La probabilité qu’une communication dure au
moins 20 min est environ égale à 0,833.
Chapitre 13 n Notion de loi à densité n 309
© éditions Belin, 2012.
40 1. La fonction densité f est définie par :
45 1. a. La fonction de densité f de la variable
aléatoire X de loi uniforme sur [15 ; 20] est définie par :
0 si x œ [15 ; 20]
f(x) Ì
.
ÓÔ1 si x Œ [15 ; 20]
a b
17, 5. La durée moyenne du tra2
jet de Rafael est de 17,5 min.
17 - 15 2
c. P(X 17) P(15 X 17) 20 - 15 5
La probabilité que Rafael mette moins de 17 min
pour se rendre au lycée est égale à 0,4.
2. P(X 19) P(19 X 20) 0, 2.
On note Y la variable aléatoire égale au nombre
de jours où le trajet a duré plus de 19 min.
Y suit la loi binomiale (5 ; 0,2).
P(Y 1) 1 - P(Y 0) 1 - 0, 85.
La probabilité qu’au moins un jour le trajet de
Rafael dure plus de 19 minutes est d’environ 0,672.
b.E(X) 46 Dans l’exemplaire élève, l’énoncé a été modifié comme suit : b. On considère la variable
aléatoire « temps d’attente au feu », notée T.
Déterminer P(T = 
0) ainsi que P(T ≤ x) pour
x ∈ ]0 ;1,5].
a.Le feu clignote 2 min et est rouge durant 1
min 30 s.
On note X la variable aléatoire égale au temps
écoulé (en min) depuis le début d’un cycle constitué ainsi : le feu clignote pendant 2 min puis
passe au rouge durant 1 min et 30 s.
X suit la loi uniforme sur [0 ; 3,5].
La probabilité qu’une voiture arrive alors que le
2
4
feu clignote est égale à P(X 2) soit
3
,
5
7
environ 0,57.
b.La variable aléatoire T n’est ni une variable aléatoire discrète ni une variable aléatoire à densité.
Pour définir sa loi, on détermine P(T 0) et
P(T x) pour x Œ]0 ; 1, 5].
4
D’après ce qui précède, P(T 0) P(X 2) .
7
310 n
Chapitre 13 n Notion de loi à densité
Pour tout x > 0, on a :
P(T x) P [T x] « [X 2] P [T x] « [X 2]
P(T x) P(X 2) P[X 2] [0 T x] ¥ P(X 2)
x
2
1, 5 4 2x
P(T x) ¥
3, 5 1, 5 3, 5
7
42 6
c. P(T 1) .
7
7
La probabilité qu’une personne attende moins
d’une minute est environ égale à 0,857.
47 1. a. X prend ses valeurs dans [0 ; L].
b.X suit la loi uniforme sur [0 ; L] et son espéL
rance est E(X) .
2
2. a. Si le promeneur trouve ses deux trousseaux
en parcourant une distance D sur le chemin du
retour, cela signifie que la distance de parcours
avec chaque clef est supérieure à L - D .
D
Or : P(X L - D) P(L - D X L) donc la
L
probabilité que le promeneur ait retrouvé ses
2
Ê Dˆ
deux trousseaux de clefs est égale à Á ˜ .
Ë L¯
b.La probabilité que le promeneur n’ait retrouvé
aucun des deux trousseaux de clefs est égale à
2
Ê L - Dˆ
donc la probabilité que le promeneur ait
ËÁ L ¯˜
retrouvé au moins un de ses trousseaux de clefs
2
2
Ê L - Dˆ
D Ê Dˆ
est égale à 1 - Á
2 -Á ˜ .
L Ë L¯
Ë L ˜¯
48 1.Soit X la variable aléatoire égale au
nombre de minutes écoulées entre le début du
cours et le moment où Violette sort pour boire.
X suit la loi uniforme sur [0 ; 115].
a. P(X = 15) = 0 donc la probabilité que Violette
sorte à 10 h 30 exactement est nulle.
30
6
b.P(45 X 75) donc la probabilité
115 23
que Violette sorte pour boire entre 11 h et
11 h 30 est environ égale à 0,26.
3
15
c. P(X 15) donc la probabilité que
115 23
Violette sorte pour boire avant 10 h 30 est environ égale à 0,13.
11
55
d.P(X 60) donc la probabilité que
115 23
Violette sorte après 11 h 15 est environ égale à
0,478.
2.Violette est sortie boire à 11 h 10 donc Violette est retournée en cours à 11 h 15 (60 min
après le début du cours).
© éditions Belin, 2012.
4 3
Ê3
4ˆ
7
c. P Á X ˜ 3 4 .
3¯
2
24
Ë4
La probabilité qu’une communication dure entre
45 min et 1 h 20 min est environ égale à 0,292.
a b
2. E(X) 1. Le temps moyen d’une com2
munication est donc d’une heure.
49 1. La fonction densité de X est définie sur R.
2. a. X prend ses valeurs dans [0 ; +[ donc
Y = X + 2 prend ses valeurs dans [2 ; +[.
b.P(Y x) P(X 2 x) P(X x - 2) .
D’après le cours, on a :
si x 0
Ô0
P(X x) Ì
.
ÔÓ1 - e-lx si x 0
On obtient donc :
si x 2
Ô0
P(Y x) Ì
.
l
(
x
2
)
1
e
si x 2
ÓÔ
c. La variable Y ne suit pas une loi exponentielle.
3. La fonction de densité f de X est définie par :
si x 0
Ô0
f(x) Ì
alors que la fonction de
l
x
l
e
si x 0
ÓÔ
densité g de la variable Y est définie par :
si x 2
Ô0
g(x) Ì
.
l
(
x
2
)
si x 2
ÓÔle
On a donc, pour tout x réel, g(x) f(x - 2).
1
4. D’après le cours, on a : E(X) .
l
E(Y) Ú2
lxe- l(x - 2) dx e2 l
Ú2
lxe- lx dx donc
Ê
È Ê
˘
1ˆ
1ˆ
E(Y) e2 l Í- Á x ˜ e- lx˙ e2 l Á2 ˜ e- 2l .
l
l
Ë
¯
Ë
¯
Î
˚2
1
On obtient donc : E(Y) 2 soit : E(Y) E(X) 2.
l
50 1. La fonction densité de X est définie sur R.
2. a. X prend ses valeurs dans [0 ; +[ donc
Y = X + a prend ses valeurs dans [a ; +[ .
b.P(Y x) P(X a x) P(X x - a).
D’après le cours, on a :
si x 0
Ô0
P(X x) Ì
.
ÔÓ1 - e-lx si x 0
si x a
Ô0
On obtient donc : P(Y x) Ì
.
ÔÓ1 - e-l(x - a) si x a
c. La variable Y ne suit une loi exponentielle que
pour a = 0.
3.La fonction de densité f de X est définie par :
si x 0
Ô0
f(x) Ì
alors que la fonction de
ÔÓle- lx si x 0
densité g de la variable Y est définie par :
Ô0
si x 2
g(x) Ì
.
l
(
x
a
)
si x 2
ÓÔle
On a donc, pour tout x réel, g(x) f(x - a).
1
4.D’après le cours, on a : E(X) .
l
E(Y) Úa
lxe- l(x - a) dx e a l
Úa
lxe- lx dx donc :
Ê
È Ê
˘
1ˆ
1ˆ
E(Y) e a l Í- Á x ˜ e- lx ˙ e a l Á a ˜ e- al .
l
l
Ë
¯
Ë
¯
Î
˚a
1
On obtient donc : E(Y) a soit : E(Y) E(X) a.
l
51 1. La fonction densité de X est définie sur R.
2. a. X prend ses valeurs dans [0 ; +[ donc Y = 2X
prend également ses valeurs dans [0 ; +[.
Ê
xˆ
b.P(Y x) P(2X x) P Á X ˜ .
2¯
Ë
D’après le cours, on a :
si x 0
Ô0
P(X x) Ì
.
l
x
1
e
si x 0
ÓÔ
On obtient donc la fonction de répartition de Y
définie par :
0
si x 0
Ô
F(x) P(Y x) Ì
.
l
- x
ÔÓ1 - e 2 si x 0
c.D’après ce qui précède, F est la fonction de
répartition associée à la loi exponentielle de paral
mètre . On peut éventuellement utiliser les
2
fonctions de densité.
La fonction de densité f de X est définie par :
Ô0
si x 0
f(x) Ì
alors que la fonction de
l
x
si x 0
ÓÔle
densité g de la variable Y est définie par :
0
si x 0
Ô
l
g(x) Ìl - x
.
Ô e 2 si x 0
Ó2
1
2
3.D’après le cours, on a : E(X) et E(Y) .
l
l
On obtient donc : E(Y) 2E(X).
52 L’énoncé reste conforme à l’exemplaire du professeur : 3. Calculer les espérances de X et Y et les
Chapitre 13 n Notion de loi à densité n 311
© éditions Belin, 2012.
On note Y la variable aléatoire égale au nombre
de minutes écoulées entre le début du cours et le
moment où Sarah sort pour boire.
Y suit la loi uniforme sur [0 ; 115].
8
40
a. P(Y 75) donc la probabilité que
115 23
Sarah sorte au moins 15 min après le retour de
Violette est environ égale à 0,348.
b.P(Y 55) 0 donc la probabilité que les deux
copines sortent à 11 h 10 est nulle.
Il s’agit d’un événement presque impossible.
2
10
c. P(50 Y 60) donc la probabilité
115 23
que les deux copines se croisent durant la pause
est environ égale à 0,087.
D’après le cours, on a :
Ô0
si x 0
P(X x) Ì
.
l
x
si x 0
ÓÔ1 - e
On obtient donc la fonction de répartition de Y
définie par :
0
si x 0
Ô
F(x) P(Y x) Ì
.
l
ÔÓ1 - e- a x si x 0
c.D’après ce qui précède, F est la fonction de
répartition associée à la loi exponentielle de paral
mètre .
a
1
a
3. D’après le cours, on a : E(X) et E(Y) .
l
l
On a donc : E(Y) aE(X).
53 L’énoncé doit être modifié comme suit : 3.a.
Déterminer l’espérance de X. b. On admet le
a
résultat suivant : E(Y) =  p. À l’aide de la calcu2
latrice, conjecturer la valeur de a.
1. La fonction densité de X est définie sur R.
2. a. X prend ses valeurs dans [0 ; +[ donc
Y X prend également ses valeurs dans [0 ; +[.
b.Pour tout x 0, on a :
P(Y x) P X x P(X x2).
D’après le cours, on a :
P(X x) 1 - e-lx si x 0.
On obtient donc la fonction de répartition de Y
définie par :
Ô0
si x 0
.
F(x) P(Y x) Ì
2
l
x
si x 0
ÓÔ1 - e
c. D’après ce qui précède, F n’est pas la fonction
de répartition associée à la loi exponentielle donc
Y ne suit pas une loi exponentielle.
1
3. a. D’après le cours, on a : E(X) =  .
l
b.En dérivant F, on obtient la fonction de densité g de la variable Y définie par :
Ô0
si x 0
g(x) Ì
.
2
l
x
si x 0
ÓÔ2lxe
D’après le cours, on a :
E(Y) 312 Ú0
2
2lx2e-lx dx .
n
Chapitre 13 n Notion de loi à densité
2
La fonction x a 2lx2e-lx n’admet pas de primitive explicite mais on peut utiliser un logiciel de
calcul formel pour calculer l’intégrale.
Par exemple, pour l 1, on trouve :
p
1 p
E(Y) .
2
1 2
p
1
1 p
Pour l , on trouve : E(Y) 2
.
2
2
1 2
2
1 p
On peut donc conjecturer que : E(Y) .
l 2
Donc : a E(X).
À noter que le résultat précédent pourra être justifié au chapitre suivant notamment dans le cas
1
l .
2
En effet, l’objectif est de calculer :
E(Y) Ú0
x2e
-
x2
2
dx .
-
x2
On considère la fonction j définie par j(x) e 2 .
Cette fonction est 2 fois dérivable et on a :
j¢(x) -xe
-
x2
2
et j¢¢(x) (-1 x2)e
Ainsi : j¢¢(x) e
On a donc :
Ú0
x2e
-
x2
2
-
x2
2
x2e
Ú0
dx -
x2
2
-
x2
2.
pour tout x réel.
j¢¢(x) dx -
Ú0
e
x2
2
dx .
x2
2
2p
2
en utilisant la fonction densité de probabilité
associée à la loi (0 ; 1).
Il s’avère que  :
Ainsi :
E(Y) Ú0
Ú0
Ú0
j¢¢(x) dx 0 et
-
Ú0
-
x2
2
dx -
x2
2
2p
donc
2
dx 2p
.
2
x2e
x2e
e
dx 54 1. a. Pour tout x 0, f(x) 0.
De plus, f est un quotient de fonctions continues
sur ° * donc f est continue sur ° *.
e- x Ê
1ˆ
Pour tout x 0, f ¢(x) 1
0 donc f
4x ÁË
x ˜¯
est strictement croissante sur ° *.
b.La fonction x a e- x admet pour dérivée la
-1 - x
fonction x a
e
. On en déduit que, pour
2
x
x > 0 :
x e- t
Ú1
2 t
x
dt È- e- t ˘ e-1 - eÎ
˚1
x.
© éditions Belin, 2012.
comparer. Dans la version élève la question 3. a
été modifiée : merci de ne pas en tenir compte.
1. La fonction densité de X est définie sur R.
2. a. X prend ses valeurs dans [0 ; +[ donc
Y = aX prend également ses valeurs dans [0 ; +[.
Ê
xˆ
b.P(Y x) P(aX x) P Á X ˜ .
a¯
Ë
1 e- t
Úx 2
dt e-
t
d.
x
Ú1 f(t) dt e-1 - e- x
- e-1 ce qui per-
1 e- t
x Æ 0 Úx 2
met de conclure que : lim
x
t
donc : lim
dt 1 - e-1.
Ú
x
x Æ 1
f(t) dt e-1.
e. D’après les deux questions précédentes, on a :
Ú0
f(t) dt 1
Ú0 f(t) dt Ú1
f(t) dt 1 - e-1 e-1 1.
f étant positive, on peut conclure que f est une
densité de probabilité.
2. a. Une densité f de X suivant la loi exponentielle de paramètre 1 est définie par :
Ôe-x si x 0
f(x) Ì
.
ÓÔ0 si x 0
b.X suit la loi exponentielle de paramètre 1 donc
X prend ses valeurs dans [0 ; +[ donc Y X 2
prend également ses valeurs dans [0 ; +[.
c. Pour tout x 0, on a : P(Y x) 0.
d.Pour tout x 0, on a :
P(Y x) P(X 2 x) P 0 X x
car X prend ses valeurs dans [0 ; +[.
Ú0 e-t dt.
x
x
e. P 0 X x Ú e-t dt ÈÎ-e-t ˘˚ 1 - e- x .
0
0
P 0 X x x
3. a. La fonction t a -e- t admet pour dérivée
1 - t
la fonction t a
e . On en déduit que, pour
2
t
x > 0 :
x e- t
Ú0 2
x
dt È- e- t ˘ 1 - e- x .
Î
˚0
t
b.Y suit une loi à densité de probabilité.
Sa fonction de densité est la fonction f définie à
la partie 1.
55 a.
1
1
Ú0 4e-4t dt ÈÎ-e-4t˘˚0 1 - e-4
2
2
a1 P(1 X 2) Ú 4e-4t dt ÈÎ-e-4t ˘˚ e-4 - e-8
1
1
n1
n1
an P(n X n 1) Ú 4e-4t dt ÈÎ-e-4t ˘˚
n
n
a0 P(0 X 1) e-4n - e-4(n1)
b.an P(n X n 1) F(n 1) - F(n).
an1 P(n 1 X n 2) e-4(n1) - e-4(n 2)
e-4 ÈÎe-4n - e-4(n1)˘˚
On obtient : an1 e-4an pour tout entier n.
La suite (an) est donc une suite géométrique de
raison q e-4 et de premier terme a0 1 - e-4 .
56 1. X a une espérance car
et est finie.
Ú0
lte-lt dt existe
1
l
2. a. La fonction de répartition F de X est définie
si x 0
Ô0
par : F(x) Ì
.
l
x
si x 0
ÓÔ1 - e
Sa courbe représentative est la suivante :
On a : E(x) 1
0,8
0,6
0,4
0,2
–4
–2
0
2
4
b.L’aire  de la partie du plan délimitée par , la
droite d’équation y = 1 et située à droite de l’axe
des ordonnées est définie par :
1

1 - (1 - e-lx) dx e-lx dx .
0
0
l
On a donc :  E(x).
Ú
Ú
57 1. La variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre l.
1
1
On a : E(X) 20 donc l .
l
20
2. a. La variable aléatoire Y suit la loi exponentielle de paramètre l¢ .
1 1
On a : E(Y) donc l¢ 3.
l¢ 3
Ainsi, Y suit la loi exponentielle de paramètre 3.
1
3
Ê
-3¥ ˆ
Ê
Ê
1ˆ
1ˆ
b.P ÁY ˜ 1- P ÁY ˜ 1- Á1- e 2˜ e 2 .
2¯
2¯
ÁË
˜¯
Ë
Ë
On peut également calculer P(X 30).
La probabilité que l’automobiliste survive plus
d’une demi-heure est environ égale à 0,223.
58 a. La variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre l.
1
1
On a : E(x) 8 donc l .
l
8
1
Ê
- ¥ 8ˆ
b.P(X 8) 1 - P(X 8) 1 - Á1 - e 8 ˜ e-1.
˜¯
ÁË
La probabilité qu’un écran ait une durée de vie
supérieure à 8 ans est environ égale à 0,368.
1
Ê
- ¥10ˆ
P(X 10) 1 - P(X 10) 1 - Á1 - e 8 ˜ e-1,25
˜¯
ÁË
Chapitre 13 n Notion de loi à densité n 313
© éditions Belin, 2012.
c. On a donc :
P(X 10) e-1,25
e-1.
P(X 2)
e-0,25
On constate que : P(X 2)(X 10) P(X 8).
Cette relation est caractéristique des phénomènes
avec absence de mémoire.
c. P(X 2)(X 10) 59 a. La variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre l.
P(X 7) 1 - e-7l . Ainsi :
1
1
ln 2
P(X 7) € e-7l € l .
2
2
7
5
- ln 2
b.P(X 5) 1 - e 7
La probabilité qu’un four ait une durée de vie
inférieure à 5 ans est environ égale à 0,39.
12
Ê
- ln 2ˆ
c. P(X 12) 1 - P(X 12) 1 - Á1 - e 7 ˜
ÁË
˜¯
-
12
ln 2
e 7
La probabilité qu’un four ait une durée de vie
supérieure à 12 ans est environ égale à 0,305.
5
- ln 2
5) e 7 .
d.P(X 7)(X 12) P(X 5) 1- P(X
La probabilité qu’un four ait une durée de vie
supérieure à 12 ans sachant qu’il fonctionne
depuis 7 ans est environ égale à 0,61.
1
7
e. On a : E(X) donc la durée de vie
l ln 2
moyenne de ces fours à micro-onde est d’environ
10 ans.
60 1. La variable aléatoire X suit la loi exponen-
30
tielle de paramètre l .
4
1
2
On a : E(X) donc, à 19 h, l’espérance de
l 15
2
son temps d’attente est égale à
heure soit
15
8 min.
2. a. À 19 h 30, personne ne l’a pris. Son temps
d’attente est donc supérieur à une demi-heure.
Pour tout t 0, on a :
P(X 0,5)(X 0, 5 t) P(X t) 1- P(X t) e-lt.
si t 0
Ô0
Ainsi : P(Y t) Ì
.
l
t
si t 0
ÓÔ1 - e
La variable aléatoire Y suit donc la loi exponen30
tielle de paramètre l .
4
314 n
Chapitre 13 n Notion de loi à densité
1
2
donc, à 19 h 30, l’espél 15
rance de son temps d’attente demeure égale à
8 min, ce qui n’est guère rassurant…
b.On a : E(Y) 61 La variable aléatoire X égale au temps d’attente pour la réception du message suit la loi
exponentielle de paramètre l 2. À l’instant t, le
message n’est pas reçu.
Soit Y la variable aléatoire égale au temps d’attente à partir de t pour la réception du message.
Pour tout t 0, on a :
P(X t)(X t t) P(X t) 1 - P(X t) e-lt .
si t 0
Ô0
Ainsi : P(Y t) Ì
.
ÔÓ1 - e-lt si t 0
La variable aléatoire Y suit donc la loi exponentielle de paramètre l 2.
62 1. Considérons la variable aléatoire X égale
au temps d’attente en minutes de ce client.
On note A l’événement : « le client choisit l’une des
1
3 caisses dont le temps moyen d’attente est  ».
l
3
1
On a : P(A) donc, pour tout réel positif
18 6
x, on a :
P(X x) P [X x] « A P [X x] « A
1
5
P(X x) (1 - e-lx) (1 - e-mx).
6
6
2.La fonction de répartition de X, notée F, est
donc définie par :
0
si x 0
Ô
F(x) Ì 1
.
5
-lx - e-mx si x 0
Ô1 - e
Ó 6
6
En dérivant, on obtient la densité de probabilité f
de X définie par :
0
si x 0
Ô
f(x) Ìl
.
5
m
-lx e-mx si x 0
Ô e
Ó6
6
1
5
3. a. P(X 15) 1 - e-15l - e-15m
6
6
1
5
1 - e-0,75 - e-1,5
6
6
La probabilité que ce client attende moins de
15 min est environ égale à 0,735.
b.P(5 X 20) F(20) - F(5)
5
1
P(5 X 20) (e-5l - e-20l) (e-5m - e-20m)
6
6
5
1
P(5 X 20) (e-0,25 - e-1) (e-0,5 - e-2)
6
6
La probabilité que ce client attende entre 5 et
20 min est environ égale à 0,46.
© éditions Belin, 2012.
La probabilité qu’un écran ait une durée de vie
supérieure à 10 ans est environ égale à 0,287.
On constate que la probabilité que l’écran fonctionne au bout de 10 ans est inférieure à la
probabilité que l’écran fonctionne au bout de 8 ans.
Si on considère l’année 2012, la catastrophe de
Tchernobyl a eu lieu il y a 26 ans.
P(X 26) e-26l.
Pour l’iode 131, la probabilité d’en retrouver en
2012 est presque nulle.
b.Pour le césium 137, la durée de demi-vie est
ln2
de 30 ans. On a donc : l .
30
Pour le césium 137, la probabilité d’en retrouver
en 2012 est environ égale à 0,55.
Il est à noter que cette probabilité est nécessairement supérieure à 0,5 lorsqu’on a un délai de
26 ans puisque le césium 137 a une demi-vie
égale à 30 ans.
64 1. La variable aléatoire X suit la loi uniforme
sur [0 ; 1[. On considère l 0 donc la variable
- ln(1 - X)
aléatoire Y prend ses valeurs dans
l
[0 ; +[.
2.On détermine la fonction de répartition F de
la variable Y. Pour x 0, on a :
Ê - ln 1 - X
ˆ
P(Y x) P Á
x˜ P - ln 1 - X lx
l
Ë
¯
soit P(Y x) P(1 - X e-lx) P(X 1 - e-lx) .
Or, x 0 donc 1 - e-lx Œ [0 ; 1[ et X suit la loi uniforme sur [0 ; 1[ donc : P(Y x) 1 - e-lx .
Sa fonction de répartition, notée F, est définie par :
Ô0
si x 0
F(x) Ì
.
l
x
si x 0
ÓÔ1 - e
On peut donc en déduire que Y suit une loi à densité, en l’occurrence la loi exponentielle de
paramètre l.
65 a. La variable aléatoire X suit une loi de den-
È p p˘
sité f : x a a sin x sur I Í- ; ˙ donc :
p
Î 2 2˚
2 f(x) dx 1.
Ú- p
2
Or :
p
2
p
2
Ú
p
2 sin x dx
0
Ú
sin x dx 2
p
2 - cos x 02 2
1
.
2
b.On détermine la fonction de répartition F de la
variable Y. Pour x Œ I, on a :
donc : a P(X x) x
Ú- p sin t dt . On va distinguer deux cas
2
È p ˘
˘ p˘
suivant que x Œ Í- ; 0˙ ou x Œ ˙ 0 ; ˙ .
˚ 2˚
Î 2 ˚
È p ˘
• Pour x Œ Í- ; 0˙ :
Î 2 ˚
Chapitre 13 n Notion de loi à densité n 315
© éditions Belin, 2012.
63 1. a. La variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre l.
Sa densité de probabilité, notée f, est définie par :
si x 0
Ô0
f(x) Ì
.
ÔÓle-lx si x 0
Sa fonction de répartition, notée F, est définie par :
si x 0
Ô0
F(x) Ì
.
ÔÓ1 - e-lx si x 0
b.Pour tous réels t et h, on a :
P(t X t h) F(t h) - F(t) e-lt - e-l(t h).
Ce nombre représente l’aire de la partie du plan
délimitée par l’axe des abscisses, la courbe représentative de f et les droites d’équation y = t et
y = t + h.
P(X t h) e-l(t h)
c. P(X t)(X t h) e-lh.
P(X t)
e-lt
On constate donc que si ce noyau ne se désintègre pas à l’instant t alors la probabilité qu’il ne
se désintègre pas entre les instants t et t + h est
indépendante de t.
1
2. On cherche T tel que : P(X T) soit :
2
1
1
ln2
1 - e-lT donc : e-lT soit : T .
2
2
l
3. a. La durée de demi-vie est inférieure à 30 ans
si on a :
ln2
ln2
30 soit : l .
l
30
ln2
Un minorant de l est donc
.
30
b.On cherche N tel que : P(X N) 0, 999 soit :
1 - e-lN 0, 999.
- ln 0, 001
On a donc : e-lN 0, 001 soit : N l
ln1000
c’est-à-dire : N .
l
ln2
D’après la question précédente, on a : l 30
1
30
30 ln1000
soit : . On en déduit que : N .
l ln 2
ln 2
Ainsi, il faut attendre au moins 299 ans pour
que la probabilité qu’un noyau se désintègre soit
supérieure à 99,9 %.
4.Dans l’exemplaire élève l’énoncé a été modifié comme suit : 4.a. Des mesures effectuées
actuellement devraient-elles mettre en évidence
la présence d’iode 131 ?
ln2
La durée T de demi-vie est telle que : T .
l
a.Pour l’iode 131, la durée de demi-vie est de
8
ln 2
8 jours soit
ans. On a donc : l 365
.
365
8
1
2
1
x
1
x
Ú- p sin t dt 2 ÈÎcos t˘˚- p 2 cos x .
2
˘ p˘
• Pour x Œ ˙ 0 ; ˙
˚ 2˚
1 0
1
P(X x) p sin t dt 2 2
Ú
2
2
2
soit : l = 2a.
b.Courbe représentative de f (a 2) :
x
Ú0 sin t dt 1,5
1 1
x
- cos t 0
2 2
1
P(X x) 1 - cos x .
2
Sa fonction de répartition, notée F, est donc définie par :
p
si x Ô0
2
Ô
È p ˘
Ô 1 cos x
si x Œ Í - ; 0 ˙
Ô2
Î 2 ˚.
F(x) Ì
Ô1 - 1 cos x si x Œ ˘ 0 ; p ˘
˙ 2˙
Ô 2
˚
˚
Ô
p
Ô1
si x ÔÓ
2
Courbe de f :
0,5
0,4
1
0,5
–4
–2
2
Ú
Ú
1
1 - e-lx.
2
Sa courbe représentative est la suivante (l 2) :
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
4
Courbe de F :
1
–3
0,8
0,4
0
2
4
66 a. La variable aléatoire X suit une loi de densité f : x a
ae-l x
Il s’avère que :
e-l
x
dx Ú0
sur R donc :
Ú- f(x) dx 1.
1 -lx
1
dx le
l 0
l
le-lx dx 1 (cf. la fonction de densité de
car
Ú0
Ú0
e-lx dx Ú
probabilité de la loi exponentielle de paramètre l).
En utilisant la parité de f ou un calcul intégral, on a :
316 n
–1
0
1
2
3
d.Sous réserve d’existence, on a :
l
E(X) te-l t dt .
- 2
1 lte-l t dt
Ainsi : E(X) 2 -
1 0
1 ltelt dt lte-lt dt.
-
2
2 0
1
Il s’avère que :
lte-lt dt (on utilise l’espé0
l
rance d’une variable de loi exponentielle de
paramètre l).
En outre, la fonction g : t a telt a pour dérivée
g¢ : t a (1 lt)elt donc la fonction h : t a ltelt
1
admet pour primitive H : t a telt - elt .
l
0
1
Ainsi :
ltelt dt - donc E(X) existe et est
-
l
nulle.
Ú
0,2
–2
–2
Ú
0,6
–4
4
Ú
0,1
0
2
Ú
0,2
–2
0
c. La fonction de répartition F est définie sur R par :
l x -l t
F(x) dt .
e
2 -
x
1 x
1
elx
lelt dt ÈÎelt ˘˚ .
Si x 0, alors F(x) -
2 -
2
2
Si x 0, alors
x
l 0 lt
l x -lt
1 1
F(x) e dt e dt ÈÎ-e-lt ˘˚
0
2 -
2 0
2 2
0,3
–4
2
Ú e-l x dx a l . Il en résulte que : a l 1
a
Chapitre 13 n Notion de loi à densité
Ú
Ú
Ú
Ú
© éditions Belin, 2012.
P(X x) -
E(X) Ú- ate-2a t dt .
On pose l = 2a, ainsi :
1 E(X) lte-l t dt
2 -
1 0
1
ltelt dt 2 -
2
La courbe de f a l’allure suivante (h = 2) :
Ú0
Ú0
lte-lt dt Ú
Ú
Ú
Ú
–3
–2
–1
0
x
Ú0 2h2te-h t
2 2
–1
0,4
0,2
–2
–1
sité f : x a
2 2
3
sur °
donc :
Ú0
1
-
2
3
1
2.
69 1. a. E(1) 1; E(-1) -1; E(2,3) 2 ; E(-1, 7) -2
b.La représentation de la fonction E est la suivante :
4
f(x) dx 1.
Il s’avère que la fonction f admet pour primitive
a -h2x2
xae
donc la limite en est nulle.
2h2
a
Ainsi :
f(x) dx ce qui permet de conclure
0
2h2
2
2
que f : x a axe-h x est une densité si a 2h2 .
Ú
0
P(X m) 1 - e-h m 1 - e
2
2 2
0,6
1
d.m 0 donc :
h 2
1
x
0,8
68 a. La variable aléatoire X suit une loi de den2 2
axe-h x
2 2
1
–3
0
3
La courbe de F a l’allure suivante (h = 2) :
1 -lx
e .
2
Sa courbe représentative est la suivante (l 2) :
–2
2
dt È-e-h t ˘ 1 - e-h x .
Î
˚0
La fonction de répartition F de X est donc définie
Ô0
si x 0
par : F(x) Ì
.
2 x2
h
si x 0
ÓÔ1 - e
P(X x) 1-
–3
1
c. Pour tout x 0, on a :
Ú
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
1
.
h 2
8
7
6
5
4
3
2
1
lte-lt dt.
1
(on utilise l’espél
rance d’une variable de loi exponentielle de
paramètre l).
En outre, la fonction g : t a telt a pour dérivée
g¢ : t a (1 lt)elt donc la fonction h : t a ltelt
1
admet pour primitive H : t a telt - elt .
l
0
1
Ainsi :
ltelt dt - donc E(X) existe et est nulle.
-
l
b.La fonction de répartition F est définie sur R par :
l x -l t
F(X) e
dt .
2 -
x
1 x
1
elx
Si x 0, alors F(x) lelt dt ÈÎelt ˘˚ .
-
2 -
2
2
Si x 0, alors
x
l 0 lt
l x -lt
1 1
F(x) e dt e dt ÈÎ-e-lt ˘˚
0
2 -
2 0
2 2
Il s’avère que :
sur
2 2
f ¢(x) 2h2(1 - 2h2 x2)e-h x .
Ainsi, pour tout x 0, f ¢(x) est du signe de
1 - 2h2 x2 .
f admet donc un maximum m tel que m Ú
Ú
2 x2
b.Étude des variations de f : x a 2h2 xe-h
R+. f est dérivable sur R+ et on a :
2
–4
–2
0
2
4
–2
–4
Chapitre 13 n Notion de loi à densité n 317
© éditions Belin, 2012.
67 Dans l’exemplaire élève, l’énoncé a été modifié comme suit : f : x a ae−2a x, où a est un réel
strictement positif.
a. Sous réserve d’existence, on a :
2. a. X prend ses valeurs dans R+ donc Y E(X)
est une variable aléatoire discrète prenant ses
valeurs dans N.
Pour tout k ≥ 0,
k 1
Úk
1
f(t) dt .
b.Si X suit la loi exponentielle de paramètre l
alors pour tout k 0, P(Y k) e-lk - e-l(k 1).
3. On considère désormais Z X - E(X).
a. Pour tout réel x, on a : E(x) x E(x) 1
donc : 0 x - E(x) 1.
Z prend donc ses valeurs dans [0 ; 1[.
b.Pour tout x Œ[0 ; 1[, on a :
P(Z x) P(X - E(x) x) P(X E(x) x) donc
 P [X E(x) x] « [E(x) k] d’où
P(Z x) P(Z x) k 0
 P(k X k x)
k 0
Â
e-lk
-
k
k 0
Il reste à déterminer :
.
k
 (e-l)
k 0
lim
nÆ
n
k
 (e-l) .
k 0
Il s’avère que, pour tout réel a distinct de 1, on a :
1 - an1
1 a a2 ... an .
1- a
On peut donc en déduire que :
n
k
1 - e-l(n1)
. Or, lim e-l(n1) 0 donc
nÆ
1 - e-l
k 0
1
P(Z x) (1 - e-lx) ¥
.
1 - e-l
c. La densité f de Z s’obtient en dérivant la fonction de répartition F de Z définie ici par :
0
si x 0
Ô
1
Ô
l
x
si 0 x 1.
F(x) Ì(1 - e ) ¥
1 - e-l
Ô
ÔÓ1
si x 1
0
si x œ [0 ; 1[
Ô
On a donc : f(x) Ì le-lx
.
si x Π[0 ; 1[
Ô
Ó1 - e-l
d.Sous réserve d’existence, l’espérance de Z est
définie par
1 lxe-lx
1
1
lxe-lx dx .
E(Z) dx 0 1 - e-l
1 - e-l 0
 (e-l)
Ú
est une variable aléatoire discrète prenant ses
valeurs dans • *.
b.Pour tout entier naturel k non nul, on a :
P(T k) P E(aX) 1 k P E(aX) k - 1 soit :
Êk - 1
kˆ
P(T k) P(k - 1 aX k) P Á
X ˜.
a¯
Ë a
c. X suit la loi exponentielle de paramètre l
donc, pour tout entier naturel k non nul, on a :
Ú
d.Posons : p 1 - e
0e
-
l
a
-
l
a.
-
-
l
a
Œ]0 ; 1[.
1.
On a donc : p 1 - e
De plus : p 1 - e
l
- (k -1)
e a
-
l
a
n
k
Chapitre 13 n Notion de loi à densité
l
0 donc :
a
donc : e
-
l
a
1 - p d’où :
(1 - p)k -1.
On en déduit que, pour tout entier naturel k non
nul, on a : P(T k) p(1 - p)k -1.
Préparer le BAC
Exercices guidés BAC
75 1. a. La variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre l tel que P(X 2) 0, 22 soit
1 - e-2l 0, 22 d’où : e-2l 0, 78 .
1
On a donc : l - ln 0, 78 ; 0,12.
2
b.P(X 10) 1 - P(X 10) 1 - (1 - e-10l)
e5 ln 0,78.
318 k -1
On a donc, pour tout x Œ[0 ; 1[ :
 (e-l)
70 a. Pour tout x Œ °, E(x) Œ• donc T E(aX) 1
-l
-l
Êk - 1
kˆ
PÁ
X ˜ e a - e a donc
a¯
Ë a
1
k -1 Ê
-l
-l ˆ
P(T k) e a Á1 - e a˜ .
˜¯
ÁË
e-l(k x).
k 0
P(Z x) (1 - e-lx)
1 ÈÊ
1ˆ -lx˘
Í x ˜ e ˙ . Z admet donc une
l¯
1 - e-l ÎÁË
˚0
1
È1 - (l 1)e-l˘ .
espérance et on a : E(Z) ˚
l(1 - e-l) Î
E(Z) -
© éditions Belin, 2012.
P(Y k) P(k Y k 1) Dans le cours sur les lois exponentielles, on a vu
Ê
1ˆ
que la fonction x a - Á x ˜ e-lx est une primil¯
Ë
tive de la fonction x a lxe-lx . On a donc :
10
P(A) 1 - ÎÈP(X 15)˘˚
1 - (1 - e7,5 ln 0,78)10
La probabilité qu’au moins un appareil sur 15 ait
une durée de vie supérieure à 15 ans est environ
égale à 0,815.
b.En utilisant le même raisonnement que précédemment, on cherche le nombre minimal n tel
n
que 1 - ÎÈP(X 15)˘˚ 0, 999 soit :
n
ÈÎP(X 15)˘˚ 0, 001.
ln 0, 001
On a donc : n d’où :
ln P(X 15)
ln 0, 001
ln 0, 001
n
avec
; 40, 98.
ln(1 - e7,5 ln 0,78)
ln(1 - e7,5 ln 0,78)
Ainsi, pour que la probabilité qu’au moins un
appareil fonctionne correctement pendant plus
de 15 ans soit supérieure à 0,999, le magasin doit
acheter au moins 41 appareils.
76 1. Notons S l’événement « l’article présente
un défaut de soudure » et C l’événement « l’appareil a un composant électronique défectueux ».
On veut calculer P(S » C) P(S) P(C) - P(S « C)
avec P(S) 0, 03 et P(C) 0, 02. En utilisant l’indépendance des défauts donc des événements C et
S, on a : P(S « C) P(S)P(C).
Ainsi : P(S » C) 0, 03 0, 02 - 0, 03 ¥ 0, 02 0, 0494.
2.La variable X égale au nombre d’éléments
défectueux parmi 800 articles est distribuée suivant la loi binomiale @(800 ; 0,0494).
E(X) 800 ¥ 0, 0494 39, 52.
Ainsi, sur des lots de 800 articles, il y aura en
moyenne 39,52 articles défectueux.
3. a. Notons X la variable aléatoire correspondant au nombre d’articles défectueux parmi 25.
X est distribuée suivant la loi binomiale
(25 ; 0,0494).
Pour tout k Œ 0 ; 1 ; K ; 25 , on a :
Ê25ˆ
P(X k) Á ˜ 0, 0494 k0, 950625 - k
Ë k¯
P(X 2) 1 - ÎÈP(X 0) P(X 1)˘˚ .
La probabilité qu’il y ait au moins deux articles
défectueux dans sa commande est égale à 0,352
à 10-3 près.
b.On cherche n tel que 1 - P(X 0) 0, 5 soit :
ln 0, 5
(1 – p)n = 0, 9506n 0, 5 d’où : n .
ln 0, 9506
ln 0, 5
; 13, 7 donc le commerçant doit
Or,
ln 0, 9506
commander au maximum 13 articles s’il veut que
la probabilité d’avoir au moins un article défectueux soit inférieure à 0,5.
4.La variable aléatoire Y égale à la durée de vie
en jours d’un article suit la loi exponentielle de
paramètre l 0, 000 7.
a. La fonction de densité f de Y est définie par :
Ô0
si x 0
f(x) Ì
.
0
,
000
7
x
si x 0
ÓÔ0,000 7e
b.P(700 Y 1 000) 1 000
Ú700
0, 000 7e-0,000 7t dt.
1 000
P(700 Y 1 000) ÈÎ-e-0,000 7t ˘˚
700
e-0,49 - e-0,7
La probabilité qu’un article ait une durée de vie
comprise entre 700 et 1 000 jours est environ
égale à 0,116.
QCM – Vrai ou faux BAC
77 a. Faux. En effet, pour tout intervalle [a ; b]
b- a
.
20
1
b.Vrai. En effet, P(X 12) P(12 X 22) 2
1
et P(X 12) P(2 X 12) donc :
2
P(X 12) P(X 12).
c. Vrai. En effet,
P(10 X 12)
P(10 X 8)(10 X 12) soit :
P(10 X 18)
2
1
20
P(10 X 8)(10 X 12) .
8
4
20
inclus dans [2 ; 22], on a : P(a X b) 78 1. a. Faux. En effet, on a :
Ô0
si x 0
f(x) Ì
.
0
,
01
x
si x 0
ÓÔ0,01e
1
100.
l
c. Faux. En effet, P(X 100) 1 - e-1 et
P(X 100) e-1 donc P(X 100) P(X 100).
d.Faux. En effet, la relation proposée n’est vraie
que si a 0.
e. Vrai. En effet, cette égalité est une application
de la propriété de non vieillissement de X.
b.Vrai. En effet, on a : E(x) Chapitre 13 n Notion de loi à densité n 319
© éditions Belin, 2012.
La probabilité qu’un appareil fonctionne correctement pendant au moins 10 ans est environ
égale à 0,289.
1
-2
c. On a : E(x) .
l ln 0, 78
La durée de vie moyenne de ces appareils est
d’environ 8 ans.
2. a. Soit A l’événement « au moins un des appareils fonctionne plus de 15 ans ».
P(1 X 3) b. Faux
c. Faux
3
Ú1 le-lt dt e-l - e-3l .
79 La réponse exacte est d. En effet : si f est une
Ú- f(x) dx 1.
01
21
x
x
Or, Ú f(x) dx Ú dx Ú - dx soit
02 4
-
a 2 2a
densité alors
0
2
È x x2 ˘
È x x2 ˘
-a 1
.
f(x) dx Í - ˙ Í - ˙ -
ÍÎ 2 4a˙˚a ÍÎ 2 8 ˙˚0 4 2
-a 1
On doit avoir :
1 soit : a -2.
4 2
80 1. b. Pour t 0, on a :
P(X t) 1 - P(X t) 1 - (1 - e-lt) e-lt .
Ú
2. c. P(X t) 1 - e-lt et P(X t) e-lt. Cela
1
équivaut à 1- e-lt e-lt ce qui conduit à e-lt 2
ln2
soit : t .
l
3. b. D’après l’énoncé, on a : P(X 1) 0,1 soit
1 - e-l 0,1 donc : e-l 0, 9 soit :
Ê10ˆ
l - ln 0, 9 ln Á ˜ .
Ë 9¯
4. a. P(X 2)(X 3) P(X 1) d’après la propriété
de non vieillissement de X.
5. b. P(X 5) e-5l (e-l)5. D’après ce qui précède, on a : e-l 0, 9 donc P(X 5) 0, 95 .
6. a. La probabilité qu’aucun de ces dix aspirateurs ne tombe en panne durant les cinq
premières années est
10
ÈÎP(X 5)˘˚
(0, 95)10 ª 0, 005 1.
Exercice BAC
81 On considère la variable aléatoire X égale au
temps d’attente, exprimé en minutes, au guichet
d’une banque.
X suit une loi exponentielle de paramètre l.
1. P(X 8) 1 - e-8l donc on cherche l tel que :
1 - e-8l 0, 7 soit e-8l 0, 3.
ln 0, 3
On a donc : l soit : l = 0,150 5 à 10–4 près.
8
4
l
2. a. P(X 4) e
0, 3 .
La probabilité qu’un client attende plus de 4 min
est égale à 0,5477 à 10-4 près.
b.P(15 X 20) e-15l - e-20l .
La probabilité qu’un client attende entre 15 et
20 min est égale à 0,0553 à 10-4 près.
320 n
Chapitre 13 n Notion de loi à densité
3.D’après la propriété de non vieillissement de
X, on a : P(X 5)(X 11) P(X 6).
Ainsi, la probabilité qu’un client attende plus de
11 min sachant qu’il attend depuis plus de 5 min
est égale à 0,4054 à 10-4 près.
1
8
4. E(X) donc : E(X) .
ln 0, 3
l
Le temps moyen d’attente est d’environ de 6,6 min.
5. On cherche x tel que : P(X x) 0, 5 soit :
1 - e-lx 0, 5.
1
ln2
On a donc : e-lx donc : x .
2
l
8 ln 2
4, 6 à
La médiane de X est donc égale à ln
0, 3
10-1 près.
Ainsi, la moitié des personnes attendent au guichet moins de 4,6 min.
6. La probabilité qu’un client attende plus de
15 min au guichet est égale à
15 ln 0,3
P(X 15) e-15l e 8 .
a.La variable Y égale au nombre de clients,
parmi dix, dont le temps d’attente au guichet est
supérieur à 15 min est distribuée suivant la loi
15 ln 0,3ˆ
Ê
binomiale  Á10 ; e 8 ˜ .
˜¯
ÁË
On a donc :
6
4
15 ln 0,3ˆ Ê
15 ln 0,3ˆ
Ê 10 ˆ Ê
Áe 8 ˜ Á1 - e 8 ˜
P(Y 6) Á
Ë 6 ˜¯ ËÁ
¯˜ ÁË
¯˜
d’où P(Y 6) 0, 0002 à 10–4 près.
Ainsi, il est très peu probable que 6 personnes sur
10 attendent plus de 15 min.
b.P Y 8 P Y 9 P Y 10
15 ln 0,3ˆ
Ê
ˆÊ
P(Y 8) Á 10 ˜ Áe 8 ˜
˜¯
Ë 9 ¯ ÁË
9
15 ln 0,3ˆ
Ê
Á1 - e 8 ˜
˜¯
ÁË
10
15 ln 0,3ˆ
Ê
Á1 - e 8 ˜ .
˜¯
ÁË
La probabilité que plus de huit clients attendent
plus de 15 min est environ égale à 1, 4 ¥ 10-8.
c. E(Y) = np = 10e–15l ≈ 1,046.
Parmi 10 clients, il y en a en moyenne 1 qui attend
plus de 15 min.
Pour aller plus loin
82 1. Y(w) tan X(w) .
2. a. Soient a et b deux réels quelconques tels
que a < b.
© éditions Belin, 2012.
2. a. Vrai
En effet, on a :
La continuité et la stricte croissance de la fonction
pÈ
˘ p
tan sur ˙ - ; Í et le fait que cette fonction
2Î
˚ 2
p
p
admet pour limite –∞ en - et pour limite +∞ en
2
2
assure l’existence et l’unicité de a et b tels que
a tana et b tanb.
83 1. Pour que l’automobiliste ne soit pas dérangé,
1
il faut et il suffit que : X .
3
È
1˘
[N 0] ÍX ˙ d’où :
3
Î
˚
P(N 0) Ú1
12e-12t dt e-4
3
3. a. Comme U est une primitive de u : x a
U(x) - U(x0)
1
et
U¢(x0) x - x0
1 x02
lim tan(t) tan(t0) .
1
1 x2
lim
x a x0
t a t0
Par composition :
U(tan t) - U(tan t0)
1
lim
.
tan t - tan t0
t a t0
1 tan t02
Ê sin ˆ ¢ cossin¢- cos¢ sin
1
De plus, tan¢ Á
Ë cos˜¯
cos2
cos2
2.Soit t un réel strictement positif puis a et b tels
1
que 0 a b 3
È
1˘
a. Les événements ÍX Y ˙ I [X a] et
3˚
Î
È
1˘
ÍX Y ˙ I [a X b] sont incompatibles et
3˚
Î
È
1˘
leur réunion est égale à : ÍX Y ˙ I [X b].
3
Î
˚
ÊÈ
ˆ
1˘
Donc : D(a) P Á ÍX Y ˙ I [a X b]˜ D(b)
3˚
ËÎ
¯
b.Notons que :
È
1˘
si A = Íb Y ˙ I [a X b] est réalisé, alors
3
Î
˚
È
1˘
B = ÍX Y ˙ I [a X b] est réalisé ;
3˚
Î
È
1˘
si B = ÍX Y ˙ I [a X b] est réalisé, alors
3
Î
˚
d’où : lim
È
1˘
C = Ía Y ˙ I [a X b] est réalisé :
3˚
Î
d’où : A Ã B Ã C donc : P(A) P(B) P(C) soit :
b.V est une primitive de la fonction constante
égale à 1, donc :
ÊÈ
ˆ
˘
1
P Á ÍY - b˙ I [a X b]˜ D(b) - D(a)
3
ËÎ
¯
˚
ÊÈ
ˆ
˘
1
P Á ÍY - a˙ I [a X b]˜ .
3
ËÎ
¯
˚
È
˘
1
c. ÍY - b˙ et [a X b] sont indépendants
3
Î
˚
tan t - tan t0
1
.
t
t
x a x0
cos2 t0
0
Compte tenu de l’égalité mentionnée, nous pouvons conclure :
V(t) - V(t0)
1
lim
¥ cos2 t0 1
t - t0
t a t0
1 tan t02
b
Úa 1dx V(b) - V(a) soit b - a U(tanb) - U(tan a)
c. D’une part : P(a Y b) d’autre part :
b - a U(tan b) - U(tan a) b
Úa u(x) dx
1
Ainsi : P(a Y b) p
b
b-a
et
p
tan b
Útan a U¢(x) dx
b1
Úa u(x) dx Úa
1
dx
p 1 x2
4.Compte tenu de cette dernière égalité, Y est
1 1
une variable aléatoire de densité f : x a
p 1 x2
È
˘
1
ainsi que ÍY - a˙ et [a X b]
3
Î
˚
Ê
ˆ
1
donc : P ÁY - b˜ ¥ P(a X b) D(b) - D(a)
3
Ë
¯
Ê
1 ˆ
P ÁY - a˜ ¥ P(a X b)
3
Ë
¯
soit : 1 - e
Ê1 ˆ
-12Á - b˜
Ë3 ¯
¥
Ê1 ˆ
-12Á - a˜
e Ë3 ¯
e-12b - e-12a
D(b) - D(a)
b- a
b- a
e-12b - e-12a
.
b- a
Pour a t et b t h, les termes extrêmes de
cette inégalité tendent vers la même limite :
1-
¥
Chapitre 13 n Notion de loi à densité n 321
© éditions Belin, 2012.
b.Compte tenu de la stricte croissance de la
fonction tan
a X(w) b € tan a tan X(w) tan b
autrement dit les événements [a X b] et
[a Y b] sont égaux.
pÈ
˘ p
c.Comme X suit la loi uniforme sur ˙ - ; Í ,
2Î
˚ 2
b-a
b-a
P(a X b) d’où : P(a Y b) .
p
p
Ê1 ˆ
Ê
-12 - t ˆ
-12h - 1
Á1 - e ÁË 3 ˜¯˜ ¥ 12e-12t ¥ lim e
˜
Á
hÆ 0 -12h
¯
Ë
Ê 1 ˆˆ
Ê
-12Á - t˜
Á1 - e Ë 3 ¯˜ ¥ 12e-12t.
˜
Á
¯
Ë
D’où :
È
1˘ È
1˘
3.L’événement ÍX Y ˙ I ÍX ˙ n’est autre
3
3
Î
˚ Î
˚
È
1˘
que ÍX Y ˙.
3˚
Î
4.Dans l’exemplaire élève, l’énoncé a été modifié
comme suit : 4. En déduire la valeur de P(N ≤ 1).
Vérifier alors que…
1
Pour 0 a , on a :
3
ÊÈ
Ê 1ˆ
1˘ È
1˘ˆ
0 D Á ˜ - D a P Á ÍX Y ˙ I Ía X ˙˜
3˚ Î
3˚¯
Ë 3¯
ËÎ
Ê
1ˆ
P Á a X ˜ ææææ
Æ 0.
3¯
Ë
1
Le premier terme est l’aire de la partie du plan
contenue, pour 0 ≤ x ≤ x0, entre la courbe  et
la droite d’équation y = 1. Le second terme a
pour limite 0 lorsque x0 tend vers +∞. En effet, la
variable aléatoire a une espérance m et, d’après
Comme 0 ≤ x0
aÆ
Pour x0 > 0 fixe,
x0
Ú0
F(x) x0
Ú0
tf(t) dt x
0
tF ¢(t) dt -
x
tf(t)dt.
x Æ Ú0
tf(t) dt lim
x0
Ú0
t(1 - F ¢(t)) dt , car
Ú0 f(t) dt. On remarque alors que, par
dérivation, on dispose de l’égalité :
(t(1 – F(t)))′ = t(1 – F(t))′ + (1 – F(t)).
322 n
Chapitre 13 n Notion de loi à densité
Úx
f(t) dt 0
0
x0 Æ
d’où : m Ú0
tf(t) dt (car x0 ≤ t),
(1 - F(t)) dt .
85 a. Considérons l’événement Uk défini par
« Le dé tombe sur un 1 au lancer k »
1
• P(X1 1) P(U1) et
6
5 1
P(X1 2) P U1 I U2 ¥
6 6
• Pour h > 2,
h-1
Ê 5ˆ
1
P(X1 h) P U1 I U2 I L I Uh-1 I Uh Á ˜
¥
6
Ë 6¯
b.On calcule
h
Ê 5ˆ
P(X1 h) P U1 I U2 I L I Uh-1 I Uh Á ˜
Ë 6¯
Par conséquent :
P [X1 n h] I [X1 n]
PX n(X1 n h) 1
P(X1 n)
P [X1 n h]
P(X1 n)
h
Il en résulte : P(N 1) e-4 4e-4, soit :
P(N 0) P(N 1) e-4 4e-4.
On en déduit : P(N 1) 4e-4
tf(t) dt 0.
on a : lim x0(1 - F(x0)) 0 ,
3
84 Par définition : m Ú
Úx
(1 – F(x0)) = x0
1
È
1˘
Notons que : [N 2] ÍX Y ˙ d’où :
3˚
Î
Ê 1ˆ
P(N 2) D Á ˜ 1 - e-4 - 4e-4 .
Ë 3¯
x Æ Úx
la définition de m, lim
-12¥
Ê 1ˆ
1
3 - 12 ¥ e-4 .
Donc : D Á ˜ lim D a 1 - e
3
Ë 3¯
1
x0
Ê 5ˆ
ËÁ 6¯˜
n h
Ê 5ˆ
ÁË 6˜¯
n
Ê 5ˆ
Á ˜
Ë 6¯
c.Selon la formule de Joseph Bertrand (18221900), ce serait faire trop d’honneur à un dé que de
lui accorder conscience ou mémoire ; notre calcul est
en ce sens tout à fait « rassurant » puisque la probabilité précédemment calculée ne dépend pas de n.
d.Il n’y a pas de contradiction
• Pour une variable aléatoire X à densité, on a :
PX n(X n h) PX n(X n h)
1
© éditions Belin, 2012.
D(t h) - D(t)
h
Ê 1 ˆˆ
Ê
-12Á - t˜
Á1 - e Ë 3 ¯˜ ¥ 12e-12t.
Á
˜
¯
Ë
d.D est donc une primitive de la fonction
È 1È
d : t a 12e-12t - 12e-4 sur Í 0 ; Í.
Î 3Î
È 1È
De plus, D(0) = 0, donc : pour tout t Œ Í 0 ; Í :
Î 3Î
12
t
4
D(t) 1 - e
- 12 t e .
hÆ 0
3
x0
Ú0 (1 - F(t))dt - Ú0 ÈÎt(1 - F(t))˘˚¢dt
x
Ú (1 - F(t))dt - x0(1 - F(x0)).
0
tf(t)dt 0
Il en résulte : D¢(t) lim
aÆ
x0
Ú0
• Pour la variable aléatoire discrète X1, on a :
P [X1 n h] I [X1 n]
PX n(X1 n h) 1
P(X1 n)
P [X1 n h]
P(X1 n)
h
Ê 5ˆ
ÁË 6˜¯
n h-1
Ê 5ˆ
ÁË 6˜¯
AP 1
n-1
Ê 5ˆ
Á ˜
Ë 6¯
Cette dernière probabilité ne dépend pas non
plus de n.
86 Cet exercice a pour but de montrer que le
mot « moyenne » désignant l’espérance d’une
variable aléatoire ne doit pas être confondu avec
une valeur M jouant le rôle de « médiane » à
savoir telle que : P(T ≤ M) = 0,5.
Considérons par exemple la fonction de densité f
suivante pour la variable aléatoire T :
4
3
p
2 f(x) dx
p
2
Ú
1. La fonction f : θ a cosθ est
È p p˘
positive sur l’intervalle Í- ; ˙, mais
Î 2 2˚
p
2 cosx dx
p
2
Ú
2.
Êp
ˆ
ÁË 4 - 0¯˜ 1
Ê
Ê pˆ
pˆ
2. P Á0 X ˜ F Á ˜ - F(0) 4¯
p
4
Ë
Ë 4¯
1
1
3.E(T) =   = 3 ; l  ;
l
3
-
4
3
1
0
1,5
2,5
T
Ú
Ú
87 On admet que tout se passe sur [0 ; 1]. Les
fonctions densité sont donc nulles hors de [0 ; 1].
Comme y = 1 – u équivaut à u = 1 – y, on réalise
point par point une bijection de [0 ; 1]
sur [0 ; 1]. « Choisir au hasard u sur [0 ; 1] » équivaut donc à « choisir au hasard y sur [0 ; 1] ».
On peut également chercher la fonction F de
répartition de la nouvelle variable y.
y ∈ [0 ; 1] :
F(y)= P(Y ≤ y) = P(1 – u ≤ y) = P(1 – y ≤ u)
1
Ú1- y dt  = y.
On conclut que Y suit la loi uniforme sur [0 ; 1].
1. a. P(Yk ≤ f(Xk)) = P(Y ≤ f(X)) = p.
b.La loi suivie par Sn est la binomiale de paramètres n et p.
S
c.La suite n converge (en probabilité) vers p
n
lorsque n tend vers l’infini. Selon la loi des grands
Ê S
ˆ
nombres, pour tout ε > 0, P Á n - p e ˜ Æ 0
Ë n
¯
lorsque n → ∞. Pour un nombre de couples aléatoires (Xk, Yk) suffisamment grand, la proportion
des couples pour lesquels Yk ≤ f(Xk) fournit une
valeur approchée de p.
2. a. f(x) = –ln(1 – x) pour x ∈ [0 ; 1[. On considère la variable aléatoire Y = –ln(1 – X) où X suit
une loi uniforme sur [0 ; 1].
P(Y ≤ y) = P(–ln(1 – X) ≤ y) = P(X ≤ 1 – e–y)
= 1 – e–y
(car X suit une loi uniforme sur [0 ; 1]) pour
y ∈ [0 ; +∞[.
P(Y ≤ y) = F(y) = 1 – e–y pour y ∈ [0 ; +∞[. La
variable Y suit donc une loi exponentielle de
1
paramètre λ = 1. E(Y) =   = 1. Par ailleurs,
l
1
1
- ln(1 - x) dx x(1 - ln x) 0 1. On a donc :
Ú0
1
Ú0
E(Y) =  f(x) dx .
Chapitre 13 n Notion de loi à densité n 323
© éditions Belin, 2012.
AP 3
Il s’agit bien d’une fonction de densité car f est
positive et l’intégrale sur [0 ; 2,5] est égale à 1.
L’espérance de T est alors :
1,5 4
2,5 1
E(T) tdt tdt ≈ 1,5.
1 3
1,5 3
2
Or P(T ≤ 1,5) =  . Un professeur de taille 1,5 m a
3
une taille « moyenne » et pourtant plus de 65 %
des hommes sont plus petits que lui.
=
1. Si f est une fonction densité pour Θ,
È p p˘
alors pour tout θ dans Í- ; ˙, f ≥ 0 et
Î 2 2˚
P(T ≤ 4) = F(4) = 1– e–4λ = 1 - e
1
3
Accompagnement
personnalisé
n
b.Si la variable
 f(Xk)
k 1
1
Ú
tend vers p =  f(x) dx
0
n
lorsque n tend vers l’infini, alors pour estimer
l’intégrale
1
Ú0 f(x) dx ,
on peut générer un grand
nombre n de variables indépendantes X1, … Xn
suivant une loi uniforme sur [0 ; 1] et calculer la
n
variable
 f(Xk)
k 1
.
n
c.Un algorithme traduisant cette méthode de
calcul est le suivant :
324 n
Chapitre 13 n Notion de loi à densité
© éditions Belin, 2012.
d.La méthode de l’espérance est en général un
peu plus précise que la méthode du rejet.