13 Notion de loi à densité Ouverture

296 n Chapitre 13 n Notion de loi à densité
© éditions Belin, 2012.
Notion de loi à densité
13
Ouverture
Réponse à la question
La demi-vie τ du fluor 18 est environ égale à 2 h.
Le nombre de noyaux radioactifs encore présents
au bout de 4 h (= 2τ) est : N(4 h) = N0 e–2 ln2 = N0
4
.
Vérifier ses acquis
1 a. Les espérances valent respectivement 2,5 ;
5 ; 7 et 1. Classement : (d) (a) (b) (c).
b. Les variances valent respectivement : 1,875 ;
2,5 ; 2,1 ; 0,9.
2 a.
Classe ]0 ; 0,5] ]0,5 ; 1,5] ]1,5 ; 2,5]
Effectifs 83 35 26
Effectifs
cumulés 83 118 144
Fréquences
cumulées 0,469 0,667 0,814
Classe ]2,5 ; 6,5] ]6,5 ; 10,5] ]10 ; 26,5]
Effectifs 18 4 11
Effectifs
cumulés 162 166 177
Fréquences
cumulées 0,915 0,938 1
b. Polygone des fréquences cumulées croissantes :
0 5 10 15 2520 30
1
0,8
0,9
0,7
0,6
0,3
0,4
0,5
0,2
0,1
0
3 1. Seules les propositions b et d sont justes.
2. Seules les propositions c et d sont justes.
4 Dans l’exemplaire élève, l’énoncé a été modi-
fié comme suit :
3. Déterminer e-
Út
x
ln2, pour x > ln2 ; puis
lim ln
x
t
xdt
Æ
-
Úe2
2. Que remarque-t-on ?
1.
ee
--
Ú-
x
xx
dx
01
2. L’intégrale vaut 1/2 pour a = ln2.
3.
ee
--
Ú-
x
xx
dx
ln2
1
2
tend vers 1
2
quand x tend
vers +∞.
La droite d’équation x = a partage le domaine
situé entre la courbe et l’axe des abscisses en
deux surfaces égales de valeur 0,5.
5 1. Pour chaque lancer, la probabilité de non
apparition d’un as vaut 5
6
.
2. Réponse a. : échec au 1er lancer et au 2ème et
… au (k – 1)ème puis succès au kème.
6 Seule l’expérience a. entre dans le cadre bino-
mial.
Après n itérations, le « nombre de boules rouges
tirées » est une variable aléatoire distribuée selon
la loi binomiale (n, p) où p est la proportion de
boules rouges de l’urne non modifiée.
Activités d’introduction
Activité 1
On note B′ et D′ les points de la droite  d’ordon-
nées respectives 1 et –1.
1
X(W) = -
˘
˚
˙È
Î
Í
pp
22
;.
2
Dans le premier dispositif, le point T est situé
sur la droite  et tout point de cette droite est
susceptible d’être atteint par le faisceau lumi-
neux, d’où Y(W) = R.
Dans le deuxième dispositif, le point T est situé
sur la demi-droite de  issue de B′ (projeté ortho-
gonal de B sur ) et au-dessous de B’. Tout point
de cette demi-droite est susceptible d’être atteint
par le faisceau lumineux, d’où Y(W) = ]–∞ ; 1].

Chapitre 13 n Notion de loi à densité n 297
© éditions Belin, 2012.
Dans le troisième dispositif, le point T est situé sur le segment [B′D′] et chaque point de ce segment est
susceptible d’être atteint par le faisceau lumineux d’où Y(W) = [−1 ; 1].
Activité 2
A.
1
Numéro 1 2 3 4 5
Classe [0 ; 5[ [5 ; 10[ [10 ; 20[ [20 ; 30[ [30 ; 45]
Amplitude 5 5 10 10 15
Effectifs 4 10 23 10 3
Effectifs cumulés croissants 4 14 37 47 50
Fréquences 0,08 0,20 0,46 0,20 0,06
2
On construit le diagramme des fréquences cumulées croissantes en joignant par des segments les
6 points Mk(xk, yk) dont les ordonnées figurent dans le tableau suivant :
k1 2 3 4 5 6
xk0 5 10 20 30 45
yk0 0,08 0,28 0,74 0,94 1
3
a.
Numéro 1 2 3 4 5
Classe [0 ; 5[ [5 ; 10[ [10 ; 20[ [20 ; 30[ [30 ; 45]
Amplitude 5 5 10 10 15
Fréquences 0,08 0,20 0,46 0,20 0,06
Densités 0,016 0,040 0,046 0,020 0,004
Valeur
de F(x)0,016x0,04(x – 5) + 0,08 0,046(x – 10) + 0,28 0,02(x – 20) + 0,74 0,004(x – 30) + 0,94
b. Densité × amplitude = fréquence.
B.
1
a. La probabilité vaut :
P(7,5 ≤ X ≤ 25) = P(X ≤ 25) – P(X ≤ 7,5).
Or P(X ≤ 25) = 0,02(25 – 20) + 0,74 = 0,84
et P(X ≤ 7,5) = 0,04(7,5 – 5) + 0,08 = 0,18.
Donc P(7,5 ≤ X ≤ 25) = 0,84 – 0,18 = 0,66.
b. La surface bleue vaut
(7,5 – 2) × 0,04 + (20 – 10) × 0,046 + (25 – 20)
× 0,02 = 0,66.
c. Ces quantités sont égales. Ainsi la probabilité
de l’événement 7,5 ≤ X ≤ 25 est égale à la sur-
face de la portion d’histogramme limitée par les
droites d’équation x = 7,5 et x = 25.
d. P(0 ≤ X ≤ 5) = 0,08 et P(10 ≤ X ≤ 20) = 0,46.
2
a. La probabilité qu’un tir soit mauvais vaut
P(X > 20) = 1 – F(20) = 0,26.
b. La probabilité qu’un mauvais tir soit très mau-
vais vaut : PX
PX
()
()
30
20 = 006 0026 23
1
,
,,@.
Activité 3
1
a. Pour x < 0, aucun point de l’intervalle
]–∞ ; x] n’est pesant, d’où : P(X ≤ x) = 0.
b. Pour 0 ≤ x ≤ 15, les x quinzièmes de la règle
se trouvent dans l’intervalle ]–∞ ; x], d’où
P(X ≤ x) =
x
15
.
c. Pour x > 15, tous les points de la règle se
trouvent sur l’intervalle ]–∞ ; x], d’où P(X ≤ x) = 1.

298 n Chapitre 13 n Notion de loi à densité
© éditions Belin, 2012.
2
a.
105 150
10
5 150
1
15
1
F(10)
F(5)
b. Nous remarquons que f(x) = l si 0 < x < 15 et
f(x) = 0 si x < 0 ou x > 15.
c. P(5 ≤ X ≤ 10) = 1
3
= fx dx()
5
10
Ú correspond à
l’aire grise sur le schéma précédent.
P(5 ≤ X ≤ 10) = F(10) – F(5) marquée en gris sur
le schéma précédent.
d. Pour 0 < a < 15 et pour n > max(a ; 15 – a),
Pa
n
Xa
nn
-
¥
11
1
15
2
dont la limite vaut 0 quand n tend vers +∞.
Comme [X = a] entraîne a
n
Xa
n
-
È
Î
͢
˚
˙
11
 ,
on peut écrire :
01
15
2
PX a
n
()
¥
Le théorème des gendarmes donne P(X = a) = 0.
On note que : F′(a) = f(a) = 1
15
.
3
L’abscisse du point de coupe est un réel X
strictement compris entre 0 et 100.
a. P(X ≤ x) =
00
100 0100
1100
si
si
si
x
xx
x
Ì
Ô
Ô
Ó
Ô
Ô
b. Si a n’est pas compris dans l’intervalle
]0 ; 100[, [X = a] = ∅, d’où : P (X = a) = 0.
Si 0 < a < 100, pour n > max(a ; 15 – a),
Pa
n
Xa
nn
-
¥
11
1
100
2
dont la limite vaut 0 quand n tend vers +∞.
Comme l’événement [X = a] est inclus dans
chaque événement a
n
Xa
n
-
È
Î
͢
˚
˙
11
 , on peut
écrire :
01
100
2
PX a
n
()
¥
.
Le théorème des gendarmes donne P(X = a) = 0.
c. d. e.
ba 1000
b
a1000
1
100
1
F(a)
F(b)
Pour 0 < a + h < b + h < 100,
P(a + h ≤ X ≤ b + h) = bh ah
ba
- -
()
100 100
.
Activité 4
1
L’image de l’intervalle ]0 ; 1[ par la fonction
x a −ln(1 – x) est l’intervalle ]0 ; +∞[. D’où :
Y(W) = ]0 ; +∞[.
2
On pose F : t a P(X ≤ t) et G : t a P(Y ≤ t).
Comme X suit une loi uniforme sur ]0 ; 1[,
F(t) = P(X ≤ t) =
00
01
11
si
si
si
t
tt
t
Ì
Ô
Ó
Ô.
a. Pour t > 0 :
Yt Xt
Xt
È
΢ ˚- -
È
΢ ˚-
-
È
΢ ˚
ln() expln( )exp
()11
- -
È
΢ ˚
- -
È
΢ ˚
1
1
Xt
tX
exp( )
exp( ).
b. Donc pour t > 0 : G(t) = P(Y ≤ t) =
P(X ≤ 1 – exp(−t)) = F(1 – e−t) = 1 – e−t.
3
a. [Y ≤ a] et [a < Y < b] sont deux événe-
ments incompatibles dont la réunion est [Y ≤ b].
Donc P(Y ≤ a) + P(a < Y ≤ b) = P(Y ≤ b), d’où
P(a < Y ≤ b) = G(b) – G(a) = 1 – e−b – (1 – e−a)
= e−a – e−b.
b. [Y = a] = [X = 1 – exp(−a)], dont la probabilité
est nulle donc P(Y = a) = 0.
Par conséquent, P(a ≤ Y ≤ b) =
P(a < Y ≤ b) – P(Y = a) = e−a – e−b.

Chapitre 13 n Notion de loi à densité n 299
© éditions Belin, 2012.
4
a. Y(W) = ]0 ; +∞[ par conséquent [Y ≤ t]
pour t ≤ 0 est un événement impossible, d’où :
P(Y ≤ t) = 0.
b.
0
0,5
1
00,5 1 1,5 22,5
Densité g
G(t)
0
1
0t11,5 22,5
Fonction de répartition
G : t → P(Y ≤ t)
G(t)
5
a. Pour t > 0,
Pt Yth
hhh
th tth
()
()
-¥ -
- --
ee
e
e1
Donc lim
h
t
Pt Yth
h
Æ
-
0
 e = g(t).
b. Ainsi, pour 0 ≤ a ≤ b,
P(a ≤ Y ≤ b) = G(b) – G(a) = gt dt
a
b
()
Ú.
Travaux pratiques
1TP TICE 1 Fonction de plusieurs variables
suivant une loi uniforme
1
Le nombre de fois où l’intervalle IA(w)
contient la valeur A = 325 suit la loi binomiale
(100 ; 0,95). L’espérance de ce nombre d’inter-
valles contenant la valeur A vaut donc 95 sur les
100 intervalles.
2
a. ZAZ
AZA
nn
n
¥¥
€¥ ¥
--
ee
ln
,l
n,
,,
0975 0025
1
00025 097
 55
1
n
.
Or, pour 0 ≤ t ≤ A,
MaxXX Xt
Xt Xt
Xt
n
n
12
12
,,,L
IILI
È
΢ ˚
È
Î
˘
˚
È
Î
˘
˚
È
ÎÎ
˘
˚
dont la probabilité vaut t
A
n
Ê
Ë
Áˆ
¯
˜ compte tenu de
l’indépendance des événements
XtXt
Xt
n12
È
Î
˘
˚
È
Î
˘
˚
È
Î
˘
˚
,,Ket et du fait que :
PX tPXt PX tt
A
n
n
()() ()
12
Ê
Ë
Áˆ
¯
˜
L.
Il en résulte : PZ An
¥
Ê
Ë
Á
Á
ˆ
¯
˜
˜0975 0975
1
,,
et
PZ An ¥
Ê
Ë
Á
Á
ˆ
¯
˜
˜0025 0025
1
,,
,
d’où :
PZ AZ
nn
¥¥
Ê
Ë
Á
Á
ˆ
¯
˜
˜
-
--
ee
ln
,l
n,
,,
0975 0025
0975 002 55095 ,.
b. On remarque que l’événement [Z ≤ t] est
impossible pour t < 0, et certain pour t ≥ a donc :
PZ t
t
t
A
tA
At
n
() Ê
Ë
Áˆ
¯
˜
Ì
Ô
Ô
Ó
Ô
Ô
00
0
1
si
si
si
.
c. On vérifie par exemple que la fonction f défi-
nie ci-dessous est une densité de Z :
ft
t
nA
tt
A
At
n
n
()¥ ¥
Ì
Ô
Ô
Ó
Ô
Ô
-
00
10
0
1
si
si
si
.
d. Soit E(Z) l’espérance de Z. On a :
EZ tf
td
t() ()¥
Ú0
1 = nA
t
n
n
nA
n
nA
¥¥
È
Î
Í
Í
˘
˚
˙
˙¥
1
11
1
0
.
Par conséquent : En
n
ZA
¥
Ê
Ë
Á
ˆ
¯
˜
1.
2TP TICE 2 Durée de vie sans vieillissement
1
a. Soient t et h deux réels strictement positifs
(pour simplifier l’écriture on a renommé t0, t).
Considérons les quatre événements suivants :
• Vt = « Le matériel est encore vivant à l’instant t »
• Vt+h = « Le matériel est encore vivant à l’instant
t + h »
• V0 = « Le matériel est encore vivant à l’instant 0 »
• Vh = « Le matériel est encore vivant à l’instant h »
L’hypothèse selon laquelle la variable aléatoire est
sans mémoire conduit à :
PV PV PV
VthV
hh
t() ()
()
0 car V0
W
.
En effet, on considère que le matériel est vivant
lors de sa mise en service à l’instant t = 0.
b. On remarque que le fait que le matériel soit
encore vivant à l’instant t + h implique qu’il
l’était à l’instant t, d’où :
VV
th t
Õ soit : VVV
th hth
I.

300 n Chapitre 13 n Notion de loi à densité
© éditions Belin, 2012.
PV PV V
PV
PV
PV
Vthth t
t
th
t
t()()
()
()
()
I
On peut conclure : PV PV PV
ht th
() ()
()
¥ .
2
a. " 
Æ
--
Ú
xPXx dt
A
t
x
Ax
0, ()lim l
ll
ee
PX tPXh
th
() ()
00
--
ee
te
ll
b. Le fait que l’événement
[]
Xth0 soit réalisé
implique que l’événement
[]Xt
0 l’est aussi,
d’où :
[][]
XthXt
00
Õ soit :
[]
[]
[]
XthXtX
th
000
I.
c. D’après a. : PX th
th
()
()
00
-
el.
d. Il en résulte :
PX th Xt
PX t
PX th
PX t
[][]
()
()
()
(
00
0
0
0
-
I
eltth
tPX h
0
0
-
)
().
e
l
e. Compte tenu de ce résultat et du fait que X est
une variable à densité, on peut écrire indifférem-
ment :
PXthPX h
Xt
00
()
()
 ou encore :
PXthPX h
Xt
00
()
()
La variable aléatoire X est donc sans mémoire.
3
1. a.
Classe [0 ; 5[ [5 ; 10[ [10 ; 15[ [15 ; 20[ [20 ; 25[ [25 ; 30[ [30 ; 35[
X573 186 89 40 26 18 13
Y193 350 284 132 31 10 0
Z401 205 143 104 53 42 19
Taux évolutif X0,573 0,436 0,369 0,263 0,232 0,209 0,191
Taux évolutif Y0,193 0,434 0,621 0,763 0,756 1,000
Taux évolutif Z0,401 0,342 0,363 0,414 0,361 0,447 0,365
Classe [35 ; 40[ [40 ; 45[ [45 ; 50[ [50 ; 55[ [55 ; 60[ [60 ; 65[ [65 ; 70[
X10 6 7 2 7 6 17
Y0 0 0 0 0 0 0
Z11 7 6 3 3 2 1
Taux évolutif X0,182 0,133 0,179 0,063 0,233 0,261 1,000
Taux évolutif Y
Taux évolutif Z0,333 0,318 0,400 0,333 0,500 0,667 1,000
b. Calcul des moyennes
Ci 2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5
Classe [0 ; 5[ [5 ; 10[ [10 ; 15[ [15 ; 20[ [20 ; 25[ [25 ; 30[ [30 ; 35[
X573 186 89 40 26 18 13
Y193 350 284 132 31 10 0
Z401 205 143 104 53 42 19
X ¥ Ci 1 432,50 1 395,00 1 112,50 700,00 585,00 495,00 422,50
Y ¥ Ci 482,50 2 625,00 3 550,00 2 310,00 697,50 275,00 0,00
Z ¥ Ci 1 002,50 1 537,50 1 787,50 1 820,00 1 192,5 1 155 617,50