Nombres premiers, PGCD, etc.

Chapitre I
Calculs de base (Rappels)
I.1 Diviseurs et multiples
I.1.1 Définitions
On a : 12 =3×4. On dit que 3 et 4 sont des diviseurs de 12, ou que 12 est un multiple de 3 et de 4.
DÉFINITION I.1.1
Soit aet bdeux entiers.
Dire que aest multiple de b, ou que best un diviseur de a, signifie qu’il existe un entier ctel que : a=bc.
Notations et vocabulaire En langage mathématique, « b divise a » s’écrit « b|a » et « b ne divise pas a » s’écrit « b∤a ».
Exemples
1. Les diviseurs naturels de
15 sont : 1 ; 3 ; 5 et 15 .
2. Les multiples naturels de
15 sont : 0 ; 15 ; 30 ; 45 ; etc.
On a : 6 =1×6. Donc 1 et 6 sont des diviseurs de 6. Plus généralement, on a le théorème suivant.
THÉORÈME I.1.1
Tout nombre entier est divisible par 1 et par lui-même.
Notations et vocabulaire Ces deux diviseurs ( 1 et lui-même) sont dits triviaux . Tout diviseur naturel non trivial est dit
propre
Exemple Les diviseurs triviaux de 12 sont 1 et 12 , alors que ses diviseurs naturels propres sont : 2 ; 3 ; 4 ; 6 .
Remarque Les diviseurs d’un nombre peuvent s’associer pour former ce nombre par produit. Par exemple, dans les
diviseurs de
12 , 3 et 4 sont associés car 3×4=12 . On dit que 4 est le diviseur conjugué de 3 par rapport à 12 .
DÉFINITION I.1.2
Soit aet bdeux entiers non nuls.
Effectuer la division euclidienne de apar b, c’est déterminer deux entiers qet rtels que : ½a=bq +r
0Ér<b.
Notations et vocabulaire Le nombre q est appelé quotient et le nombre r est
appelé reste.
Exemple Pour diviser 1 234 par
23 , on peut poser l’opération (voir ci-contre). Le
quotient est
53 , et le reste est 15 . On a : 1234 =23×53+15 .
1 2 3 4
8 4
1 5
2 3
5 3
THÉORÈME I.1.2
Soit aet bdeux entiers non nuls.
bdivise asi, et seulement si, le reste de division euclidienne de apar best nul.
1

2 I. Calculs de base (Rappels)
I.1.2 Multiples particuliers
multiples de 2 Les multiples de 2 sont les nombres pairs, c’est-à-dire les nombres dont le dernier chiffre est : 0 ; 2 ; 4 ;
6 ou 8. Par exemple 13 578 est multiple de 2, alors que 4 621 ne l’est pas.
multiples de 3 Les multiples de 3 sont les nombres dont la somme de chiffres est multiple de 3. Par exemple 13 578
est multiple de 3, car 1+3+5+7+8=24 =3×8 alors que 4 621 ne l’est pas car 4+6+2+1=13 =3×4+1.
multiples de 4 Les multiples de 4 sont les nombres dont le nombre composé des deux derniers chiffres est multiple
de 4. Par exemple 13 576 est multiple de 4, car il se termine par 76 et 76 =4×19 alors que 4 621 ne l’est pas car il
se termine par 21 et 21 =4×5+1.
multiples de 5 Les multiples de 5 sont les nombres dont le dernier chiffre est : 0 ou 5. Par exemple 13 575 est multiple
de 5, alors que 4 621 ne l’est pas.
multiples de 9 Les multiples de 9 sont les nombres dont la somme de chiffres est multiple de 9. Par exemple 13 878
est multiple de 9, car 1+3+8+7+8=27 =9×3 alors que 4 621 ne l’est pas car 4+6+2+1=13 =9×1+4.
multiples de 10 Les multiples de 10 sont les nombres dont le dernier chiffre est : 0. Par exemple 13 570 est multiple
de 10, alors que 4 621 ne l’est pas.
multiples de 25 Les multiples de 25 sont les nombres dont le nombre composé des deux derniers chiffres est multiple
de 25. Par exemple 13 575 est multiple de 25, car il se termine par 75 et 75 =25×3 alors que 4 621 ne l’est pas car
il se termine par 21 et 21 =0×25+21.
multiples de 100 Les multiples de 100 sont les nombres dont les deux derniers chiffres sont : 00. Par exemple 135 700
est multiple de 100, alors que 46 210 ne l’est pas.
I.1.3 Propriétés
On a, 48 =3×16 et 480 =48 ×10, on en déduit que, 3 |48 et 48 |480. Mais on en déduit aussi que, 480 =48 ×10 =
3×16×10 =3×160, d’où : 3 |480.
Plus généralement, on a le théorème suivant.
THÉORÈME I.1.3
Soit a,b,ctrois nombres entiers.
Si ½adivise b
bdivise c, alors : adivise c.
Exercice I.1.1. 2 345 678 est-il multiple de 48 ?
Solution La somme des chiffres de 2 345 678 est
35 , qui n’est pas multiple de 3 , donc 2 345 678 n’est pas multiple de 3 .
Or
48 est multiple de 3 , donc si 2 345 678 était multiple de 48 , alors 2 345 678 serait multiple de 3 . Donc, 2 345 678 n’est
pas multiple de
48 .
On a : 56 =7×8 ; 77 =7×11 et 56+77 =133.
Ainsi, 133 est la somme de multiples de 7 et 133 est lui-même multiple de 7, car : 133 =56 +77 =7×8+7×11 =
7(8+11) =7×19.
Plus généralement, pour tout entier n, la somme ou la différence de deux multiples de nest multiple de n.
On a : 560 =10×56 =10×7×8=7×80.
Plus généralement, le produit d’un multiple de 7 par un entier est un multiple de 7.
Plus généralement, le théorème suivant est admis.
THÉORÈME I.1.4
Soit nun entier naturel non nul et a,bdes entiers.
(1) Si aest multiple de n, alors −aest multiple de n.
(2) Si ½aest multiple de n
best multiple de n, alors : a+best multiple de n.
(3) Si ½aest multiple de n
best multiple de n, alors : a−best multiple de n.
(4) Si ½aest multiple de n
bn’est pas multiple de n, alors : a+bn’est pas multiple de n.
(5) Si ½aest multiple de n
bn’est pas multiple de n, alors : a−bn’est pas multiple de n.
(6) Si ½aest multiple de n
best un entier , alors : ab est multiple de n.
Démonstration (1) Il existe un entier ktel que : a=kn. Donc : −a= −kn =n(−k)
| {z }
∈
.
ÉCOLE EUROPÉENNE BRUXELLES I – - 4e

I.2. Les nombres premiers 3
(2) Il existe deux entiers ket k′tels que : a=kn et b=k′n. Donc : a+b=kn +k′n=n¡k+k′¢
| {z }
∈
.
(3) De même : a−b=kn −k′n=n¡k−k′¢
| {z }
∈
.
(4) Posons : c=a+b. On a donc : b=c−a. Ainsi, si cétait multiple de n, alors d’après (3),c−a, c’est-à-dire b, serait multiple de nce qui
contredit l’hypothèse initiale. Donc, a+bn’est pas multiple de n.
(5) Posons : c=a−b. On a donc : b=a−c. Ainsi, si cétait multiple de n, alors d’après (3),a−c, c’est-à-dire b, serait multiple de nce qui
contredit l’hypothèse initiale. Donc, a−bn’est pas multiple de n.
(6) Il existe un entier ktel que : a=kn. Donc : ab =knb =n(kb)
|{z}
∈
.ä
L
L
Les propriétés (4) et (5) du théorème I.1.4 sont démontrées en utilisant un raisonnement par l’absurde. Pour démontrer qu’une
proposition est vraie, on suppose que sa négation est vraie et on en déduit une proposition fausse.
Exercice I.1.2. 3 578 est-il multiple 11 ?
Solution On a :
3578 =3300+278 =3300+220
| {z }
multiple de 11
+58
|{z}
non multiple de 11
. Donc :
3 578 n’est pas multiple
11 .
Exercice I.1.3. 3 567 est-il multiple 29 ?
Solution On a :
3567 =2900+667 =2900+580
| {z }
multiple de 29
+87
|{z}
multiple de 29
. Donc :
3 567 est multiple
29 .
I.1.4 Exercices
I.1.a. Énumérer les diviseurs de 70.
I.1.b. Énumérer les diviseurs de 48.
I.1.c. Énumérer les dix premiers multiples de 5.
I.1.d. Énumérer les dix premiers multiples de 6.
I.1.e. Effectuer le division de 4 321 par 32.
I.1.f. Effectuer le division de 5 432 par 43.
I.1.g. 5 432 est-il multiple de 3 ?
I.1.h. 5 432 est-il multiple de 4 ?
I.1.i. 5 422 est-il multiple de 4 ?
I.1.j. 5 422 est-il multiple de 2 ?
I.1.k. 5 422 est-il multiple de 9 ?
I.1.l. 5 732 est-il multiple de 9 ?
I.1.m. 5 732 est-il multiple de 5 ?
I.1.n. 5 730 est-il multiple de 5 ?
I.1.o. 5 730 est-il multiple de 25 ?
I.1.p. 3 750 est-il multiple de 25 ?
I.1.q. 3 750 est-il multiple de 11 ?
I.1.r. 3 751 est-il multiple de 11 ?
I.1.s. 3 751 est-il multiple de 13 ?
I.1.t. 3 753 est-il multiple de 13 ?
I.2 Les nombres premiers
I.2.1 Définitions et propriétés
Le nombre 12 admet des diviseurs propres, par exemple, 4, et on a la décomposition : 12 =4×3. On dit que 12 est un
nombre composé. Le nombre 4 est lui-même composé. Si on veut pousser la décomposition de 12 jusqu’à ce qu’il ne
reste plus aucun facteur composé, on obtient : 12 =22×3. Les facteurs 2 et 3 n’ont pas de décomposition non triviale,
on dit que ce sont des nombres premiers.
DÉFINITION I.2.1
Un nombre premier est un entier naturel supérieur ou égal à 2 qui n’a pas d’autre diviseur naturel que 1 et lui-même.
Un nombre premier est donc un entier naturel supérieur ou égal à 2 qui n’a pas de diviseur propre.
Exemples
1.
2 , 3 , 5 , 7 sont des nombres premiers.
2.
1 n’est pas un nombre premier.

4 I. Calculs de base (Rappels)
3. 4 , 6 , 8 , 10 ne sont pas des nombres premiers car ils ont 2 comme diviseur propre.
Les 170 premiers nombres premiers est donnée dans la table I.1.
TABLE I.1 – Liste des 170 premiers nombres premiers
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139
149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233
239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337
347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439
443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557
563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653
659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769
773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883
887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013
La décomposition de 12, 12 =22×3, suggère le théorème suivant qui est admis.
THÉORÈME I.2.1 THÉORÈME FONDAMENTAL DE L’ARITHMÉTIQUE
Tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 peut se décomposer de façon unique en produit de facteurs premiers.
Notations et vocabulaire Cette décomposition est aussi appelée écriture primaire du nombre.
Exemples Voici quelques écritures primaires :
–
24 =23×3 ;
–
5=5 ;
–
60 =22×3×5 .
Remarque L’unicité est réalisée en imposant de ranger les facteurs premiers par ordre croissant et de ne faire figurer
dans l’écriture ni plusieurs fois un même facteur premier, ni un facteur d’exposant nul.
Ainsi les écritures, «
24 =2×22×3 », « 24 =3×23 » ou « 24 =23×3×50 », bien que mathématiquement exactes ne sont
pas considérées comme des écritures primaires.
Exemples
1. En pratique pour décomposer un nombre en produits de facteurs premiers, on peut utiliser l’algorithme suivant.
Entrée Le nombre à décomposer.
Initialisation Tracer une barre verticale et placer le nombre à décomposer en haut à gauche.
Traitement Écrire à gauche du nombre, après la barre verticale, l’un de ses diviseurs premiers
(de préférence le plus petit), puis écrire sous le nombre son quotient par le diviseur pre-
mier choisi.
Réitérer l’opération en remplaçant le nombre par son quotient jusqu’à ce que le quotient
prenne la valeur
1 .
Résultat Écrire le produit des nombres à droite de la barre verticale.
240 2
120 2
60 2
30 2
15 3
55
1
Ainsi, pour décomposer 240 en produit de facteurs premiers on obtient le schéma ci-dessus et on en déduit que :
240 =24×3×5 .
2. Dans les cas simples, on peut aussi procéder à une détermination directe. On a :
240 =24×10 =23×3×2×5 , donc :
240 =24×3×5 .
Les théorèmes suivants sont admis.
THÉORÈME I.2.2
Il y a une infinité de nombres premiers.
THÉORÈME I.2.3
Pour qu’un entier nsupérieur ou égal à 2 soit premier, il suffit qu’il ne soit divisible par aucun des nombres premiers,
p, vérifiant : p2Én.
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I.3. PGCD et PPCM de deux entiers 5
Exercice I.2.1. Déterminer l’écriture primaire de 2310.
Solution D’après le schéma ci-contre :
2310 =2×3×5×7×11 .
2310 2
1155 3
385 5
77 7
11 11
1
Exercice I.2.2. Déterminer l’écriture primaire de 6 400.
Solution On a :
6400 =64×100 =26×22×52 . Donc :
6400 =28×52.
Exercice I.2.3. Sans utiliser la table I.1, déterminer si 223 est un nombre premier.
Solution Les nombres premiers dont le carré est inférieur ou égal à
223 , sont : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 et 13 .
Il suffit donc de tester la divisibilité de
223 par chacun de ces nombres.
D’après les critères de divisibilité usuels,
223 n’est divisible ni par 2, ni par 3 ni par 5.
On a :
223 =7×30+13 et 7∤13 . Donc : 7∤223 .
On a :
223 =11×20 +3 et 11 ∤3 . Donc : 11 ∤223 .
On a :
223 =13×17 +2 . Donc : 13 ∤223 .
223 est un nombre premier.
I.2.2 Exercices
I.2.a. Donner les écritures primaires de : 12 ; 24 ; 48 ; 96 ;
192.
I.2.b. Donner les écritures primaires de : 21; 42 ; 84; 168.
I.2.c. Déterminer l’écriture primaire de 168.
I.2.d. 167 est-il un nombre premier ?
I.2.e. 165 est-il un nombre premier ?
I.2.f. 437 est-il un nombre premier ?
I.2.g. 271 est-il un nombre premier ?
I.3 PGCD et PPCM de deux entiers
I.3.1 Définitions et propriétés
Les entiers naturels divisant 12 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ;12.
Les entiers naturels divisant 15 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 15.
On constate que le Plus Grand Commun Diviseur de ces deux npombres est : 3. On écrit : PGCD(12;15)=3.
Les entiers naturels multiples de 12 sont : 0 ; 12 ; 24 ; 36 ; 48 ; 60 ; 72 ; etc.
Les entiers naturels multiples de 15 sont : 0 ; 15 ; 30 ; 45 ; 60 ; 75 ; etc.
On constate que le Plus Petit Commun Multiple non nul de ces deux nombres est : 60. On écrit : PPCM(12;15)=60.
DÉFINITIONS I.3.1
(1) Le PGCD de deux nombres entiers est leur grand diviseur commun.
(2) Le PPCM de deux nombres entiers est leur petit multiple commun ntaurel non nul.
(3) Deux entiers premiers entre eux sont deux entiers dont le PGCD est 1.
Remarques Pour tous entiers naturels a et b .
1.
PGCD(a;b)Éa et PGCD(a;b)Éb .
2.
PPCM(a;b)Êa et PPCM(a;b)Êb .
Soit aet bdeux entiers et pun diviseur premier (s’il en existe) de PGCD(a;b). On a, p|PGCD(a;b), PGCD(a;b)|aet
PGCD(a;b)|a, donc d’apères le théorème I.1.3 :p|aet p|b.
Autrement dit, tous les diviseurs premiers de PGCD(a;b)sont des diviseurs premiers commun à aet à b.
On admet que réciproquement, les diviseurs premiers commun à aet à bsont des diviseurs premiers de PGCD(a;b).
On en déduit le théorème suivant.
THÉORÈME I.3.1
Les nombres premiers entre eux sont les nombres qui n’ont pas de diviseur premier commun.