Jean-François Bertazzon - Institut de Mathématiques de Marseille

Université de la Méditerranée
Faculté des sciences de Luminy
THÈSE
pour obtenir le grade de
Docteur de l’Université de la Méditerranée
Aix-Marseille Université
Spécialité : Mathématiques
préparée au laboratoire de l’Institut de Mathématiques de Luminy
dans le cadre de l’École Doctorale en Mathématiques et Informatique de Marseille
présentée et soutenue publiquement
par
Jean-François Bertazzon
le 3 décembre 2010
Titre:
SYSTÈMES DYNAMIQUES TOPOLOGIQUES ET MESURÉS
Directeur de thèse: Serge Troubetzkoy
Co-directeur de thèse: Xavier Bressaud
Rapporteurs
M. Karl Petersen
M. Livio Flaminio
Jury
M. Livio Flaminio, Rapporteur
M. Pierre Arnoux, Examinateur
M. François Blanchard, Examinateur
M. Emmanuel Lesigne, Examinateur
M. Serge Troubetzkoy, Directeur de thèse
M. Xavier Bressaud, Co-directeur de thèse

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Remerciements
Je tiens à remercier mes directeurs de thèse pour leur accompagnement durant ces années. Chacun à
leur manière, ils m’ont énormément apporté. Xavier Bressaud pour sa passion communicative des maths et
les longues heures de discussions enfumées. Serge Troubetzkoy pour ses conseils, son écoute et sa présence
bienveillante.
Il y a trois ans, après mon stage de master II, je me lançais dans l’étude d’un article de Bernard Host et
Bryna Kra qui faisait référence à tout un tas de notions auxquelles je ne comprenais rien. C’est ainsi que j’ai
découvert un monde mathématique que je ne connaissais pas. Je tiens à remercier Emmanuel Lesigne qui
m’a aidé à m’y orienter, et qui a toujours répondu gentiment et efficacement à toutes mes questions, quitte
à me consacrer un temps qu’il n’avait pas toujours.
Je remercie également Bernard Host. Ses explications et ses remarques m’ont été précieuses pour mieux
comprendre certains objets mathématiques.
Cette thèse a été rapportée par Karl Petersen et Livio Flaminio, que je remercie vivement pour leur
investissement et l’intérêt qu’ils ont porté à mon travail.
Je tiens à remercier l’ensemble des membres du Jury pour leur présence lors de ma soutenance. Merci
donc à Pierre Arnoux, François Blanchard, Xavier Bressaud, Livio Flaminio, Emmanuel Lesigne et Serge
Troubetzkoy. Je suis sincèrement honoré par votre présence.
Je tiens également à remercier les personnes qui sont intervenues dans mon travail à divers niveaux, afin
de m’expliquer certains points qui me posaient problème. Et plus particulièrement Pierre Arnoux, Pascal
Hubert, Anthony Quas, Bryna Kra et Alejandro Maass.
Je veux aussi remercier toutes les personnes, qui ont partagé mon quotidien pendant ces années, merci à
Élise, Vincent, Isma, Tarek, Etienne, Thomasz, Marie-Claire, Yann... Je remercie également Patrick Delorme
pour ses encouragements et les trocs café/cigarette toujours corrects. Merci aussi à Nicolas et Arnaud de
m’avoir accueilli cette année à la faculté de Saint-Jérôme.
J’ai également passé la plupart de ces années de thèse, à Aubagne, dans un lieu qui m’a apporté énor-
mément de moments de bonheur. Merci Rem, Astrid, Pawlak, Perrine, Mathieu, Trib et Mireille. Je remercie
tous mes potes du Stakki Football Club, grâce à qui, j’attends le lundi avec impatience pour bien attaquer
la semaine. Merci Ju, Président, Nono, Vicken, Gérard, Laurent, Doumé, Patou, Mika, Rian et Etienne. Je
remercie aussi les proches : Ben, Nine, Krys, Pauline, Viscenzo, Thomas, Manue, Armand, Régine....
Je remercie également mes parents pour à peu près tout ce vous avez fait pour moi. Ma petite méme, je
pense à toi. Mon frère, Vivi et bébé Margot, pour tous ces moments heureux passés ensemble et à venir.
Enfin, pour avoir relu ces pages, pour ton soutien et ton réconfort, merci ma Sam.
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REMERCIEMENTS
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Résumé
Il y a de nombreuses manières d’aborder l’étude des systèmes dynamiques. De manière générale, on
munit un espace initial de structures adaptées et on s’intéresse au comportement moyen des itérés
d’une application qui préserve les structures initiales. Les propriétés intéressantes peuvent être par
exemple, d’origine topologique, mesurable, algébrique ou encore différentiable. La théorie ergodique est
principalement concentrée sur les systèmes dynamiques mesurés. D’autre part, une autre branche de la
théorie ergodique s’intéresse à des questions dites de représentation des systèmes dynamiques mesurés.
Un des aspects de cette théorie est de lier les systèmes dynamiques mesurés aux systèmes dynamiques
topologiques. On s’intéressera plus particulièrement au lien entre les systèmes dynamiques topologiques,
mesurés et algébriques.
Les nilsystèmes ont pris ces dernières années une nouvelle dimension en théorie ergodique. Ils généralisent
très naturellement les translations sur des groupes abéliens compacts, et en particulier, les rotations du
cercle. On fera un lien partiel entre les propriétés algébriques et symboliques d’une famille bien choisie
de nilsystèmes. On s’intéressera notamment à la notion d’induction pour de tels systèmes.
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