Jean-François Bertazzon - Institut de Mathématiques de Marseille

Université de la Méditerranée
Faculté des sciences de Luminy
THÈSE
pour obtenir le grade de
Docteur de l’Université de la Méditerranée
Aix-Marseille Université
Spécialité : Mathématiques
préparée au laboratoire de l’Institut de Mathématiques de Luminy
dans le cadre de l’École Doctorale en Mathématiques et Informatique de Marseille
présentée et soutenue publiquement
par
Jean-François Bertazzon
le 3 décembre 2010
Titre:
SYSTÈMES DYNAMIQUES TOPOLOGIQUES ET MESURÉS
Directeur de thèse: Serge Troubetzkoy
Co-directeur de thèse: Xavier Bressaud
Rapporteurs
M. Karl Petersen
M. Livio Flaminio
Jury
M.
M.
M.
M.
M.
M.
Livio Flaminio,
Pierre Arnoux,
François Blanchard,
Emmanuel Lesigne,
Serge Troubetzkoy,
Xavier Bressaud,
Rapporteur
Examinateur
Examinateur
Examinateur
Directeur de thèse
Co-directeur de thèse
ii
Remerciements
Je tiens à remercier mes directeurs de thèse pour leur accompagnement durant ces années. Chacun à
leur manière, ils m’ont énormément apporté. Xavier Bressaud pour sa passion communicative des maths et
les longues heures de discussions enfumées. Serge Troubetzkoy pour ses conseils, son écoute et sa présence
bienveillante.
Il y a trois ans, après mon stage de master II, je me lançais dans l’étude d’un article de Bernard Host et
Bryna Kra qui faisait référence à tout un tas de notions auxquelles je ne comprenais rien. C’est ainsi que j’ai
découvert un monde mathématique que je ne connaissais pas. Je tiens à remercier Emmanuel Lesigne qui
m’a aidé à m’y orienter, et qui a toujours répondu gentiment et efficacement à toutes mes questions, quitte
à me consacrer un temps qu’il n’avait pas toujours.
Je remercie également Bernard Host. Ses explications et ses remarques m’ont été précieuses pour mieux
comprendre certains objets mathématiques.
Cette thèse a été rapportée par Karl Petersen et Livio Flaminio, que je remercie vivement pour leur
investissement et l’intérêt qu’ils ont porté à mon travail.
Je tiens à remercier l’ensemble des membres du Jury pour leur présence lors de ma soutenance. Merci
donc à Pierre Arnoux, François Blanchard, Xavier Bressaud, Livio Flaminio, Emmanuel Lesigne et Serge
Troubetzkoy. Je suis sincèrement honoré par votre présence.
Je tiens également à remercier les personnes qui sont intervenues dans mon travail à divers niveaux, afin
de m’expliquer certains points qui me posaient problème. Et plus particulièrement Pierre Arnoux, Pascal
Hubert, Anthony Quas, Bryna Kra et Alejandro Maass.
Je veux aussi remercier toutes les personnes, qui ont partagé mon quotidien pendant ces années, merci à
Élise, Vincent, Isma, Tarek, Etienne, Thomasz, Marie-Claire, Yann... Je remercie également Patrick Delorme
pour ses encouragements et les trocs café/cigarette toujours corrects. Merci aussi à Nicolas et Arnaud de
m’avoir accueilli cette année à la faculté de Saint-Jérôme.
J’ai également passé la plupart de ces années de thèse, à Aubagne, dans un lieu qui m’a apporté énormément de moments de bonheur. Merci Rem, Astrid, Pawlak, Perrine, Mathieu, Trib et Mireille. Je remercie
tous mes potes du Stakki Football Club, grâce à qui, j’attends le lundi avec impatience pour bien attaquer
la semaine. Merci Ju, Président, Nono, Vicken, Gérard, Laurent, Doumé, Patou, Mika, Rian et Etienne. Je
remercie aussi les proches : Ben, Nine, Krys, Pauline, Viscenzo, Thomas, Manue, Armand, Régine....
Je remercie également mes parents pour à peu près tout ce vous avez fait pour moi. Ma petite méme, je
pense à toi. Mon frère, Vivi et bébé Margot, pour tous ces moments heureux passés ensemble et à venir.
Enfin, pour avoir relu ces pages, pour ton soutien et ton réconfort, merci ma Sam.
iii
REMERCIEMENTS
iv
Résumé
Il y a de nombreuses manières d’aborder l’étude des systèmes dynamiques. De manière générale, on
munit un espace initial de structures adaptées et on s’intéresse au comportement moyen des itérés
d’une application qui préserve les structures initiales. Les propriétés intéressantes peuvent être par
exemple, d’origine topologique, mesurable, algébrique ou encore différentiable. La théorie ergodique est
principalement concentrée sur les systèmes dynamiques mesurés. D’autre part, une autre branche de la
théorie ergodique s’intéresse à des questions dites de représentation des systèmes dynamiques mesurés.
Un des aspects de cette théorie est de lier les systèmes dynamiques mesurés aux systèmes dynamiques
topologiques. On s’intéressera plus particulièrement au lien entre les systèmes dynamiques topologiques,
mesurés et algébriques.
Les nilsystèmes ont pris ces dernières années une nouvelle dimension en théorie ergodique. Ils généralisent
très naturellement les translations sur des groupes abéliens compacts, et en particulier, les rotations du
cercle. On fera un lien partiel entre les propriétés algébriques et symboliques d’une famille bien choisie
de nilsystèmes. On s’intéressera notamment à la notion d’induction pour de tels systèmes.
v
Abstract
There are many ways to approach the study of dynamical systems. In general, one equips the original
space with an appropriate structure, and is interested in the average behavior of a map which preserves
this structure. For example, the interesting properties could be of topological, measurable, algebraic
or differentiable origin. Ergodic theory is mainly concerned with dynamical systems with an invariant
measure (measured dynamical system). Another branch of ergodic theory studies questions about the
representation of measured dynamical systems. One aspect of this theory is to connect measured dynamical systems with topological dynamical systems. More specifically, we will be interested in the
connection between topological, measured and algebraic dynamical systems.
Recently nilsystems have become important in ergodic theory. They naturally generalize translations of
compact abelian groups, and in particular circle rotations. We will give a partial connection between
algebraic and symbolic properties of a well chosen family of nilsystems. We are particularly interested
in induction of such systems.
vi
Table des matières
Remerciements . .
Résumé . . . . . .
Abstract . . . . . .
Table des matières
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Introduction
1
Systèmes dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Facteurs de systèmes dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Couplage de facteurs dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
Limite projective de systèmes dynamiques . . . . . . . . . . .
3
Quelques facteurs dynamiques mesurés standards : . . . . . . . . . .
3.1
Facteur de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Systèmes à spectre quasi-discret . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
Facteurs de Host-Kra-Ziegler et nilsystèmes . . . . . . . . . .
3.4
Facteurs de Furstenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5
Liens entre ces différents facteurs . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Théorie spectrale associée au facteur de Kronecker et aux facteurs de
4.1
Théorie spectrale associée à l’étude du facteur de Kronecker .
4.2
Les semi-normes de Gowers-Host-Kra . . . . . . . . . . . . .
5
Le groupe d’Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I
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Host-Kra-Ziegler
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15
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19
19
20
21
25
Théorie de représentation des systèmes dynamiques
27
II Structure de la thèse et motivations
31
III Convergence uniforme
1
Structure de l’espace des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Etude des parties minimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Convergence partout des moyennes ergodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Théorèmes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Systèmes avec un nombre fini de mesures ergodiques . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
Convergence des moyennes ergodiques dans les temps passés et futurs quand l’application est un homéomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4
Etude des itérés de T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Cobords et fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Facteur semi-mesurable invariant caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
37
39
42
42
43
vii
44
45
47
50
TABLE DES MATIÈRES
6
Non-existence de facteur topologique maximal pour lequel les moyennes ergodiques des
fonctions continues convergent uniformément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
IV Quelques résultats sur les produits gauches
1
Extensions de rotations pour lesquelles il existe une partie minimale non-uniquement
ergodique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Densité des extensions de rotations minimales et uniquement ergodiques. . . . . . . . . .
3
Propriétés d’induction d’une famille d’extensions de rotations . . . . . . . . . . . . . . .
4
Extensions de rotations non-homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
V Moyennes ergodiques de type Wiener-Wintner
1
Lien entre le facteur de Kronecker et les moyennes ergodiques . . . . . .
2
Lien partiel entre le facteur mesuré maximal à spectre quasi-discret de
convergence de certaines moyennes ergodiques . . . . . . . . . . . . . . .
3
Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Récurrence double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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rang
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fixé et la
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70
72
83
88
91
VI Approche symbolique et induction dans le groupe d’Heisenberg
95
1
Approche symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2
Exemple d’une niltranslation particulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3
Flots et sections de flots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Annexe : retour sur certaines niltranslations
113
Liste des principaux théorèmes utilisés
117
Bibliographie
121
viii
Introduction
Cette thèse propose d’approfondir certains aspects de l’étude des systèmes dynamiques. L’idée est d’itérer une application sur un espace, puis de comprendre la manière dont les points de l’espace se comportent sous l’action de cette application. Il se peut que des applications très simples engendrent une
dynamique qui se révèle très riche et d’une complexité surprenante.
Par exemple, l’étude de l’itération des polynômes quadratiques :
fc : C −→ C définie par fc (z) = z 2 + c où z ∈ C,
est une branche des mathématiques très développée faisant intervenir de nombreux concepts.
Un autre exemple de systèmes sur lesquels nous ne pouvons à l’heure actuelle rien dire ou presque, est
formé par certaines isométries par morceaux du plan. On considère les rotations :
C
T1 :
−→
z
−→
C
z si | z − 1/2 |> 1/2
e2iπa1 (z − 1/2) + 1/2 sinon
et
T2 :
C
z
−→
−→
C
.
e2iπa2 z
On s’intéresse alors à l’itération de l’application T = T2 ◦ T1 . Plus précisément, on définit K, l’ensemble
des points de discontinuité de l’application T , et on pose F l’ensemble des points dont l’orbite ne
s’accumule pas sur K.
Fig. 1 – Représentation graphique de l’ensemble F pour des applications T , où a2 vaut
√
2π
respectivement 2π
6 , 8 et 2π 2.
2π
6 ,
et a1 vaut
La dynamique sur l’ensemble F semble extrêmement complexe alors qu’elle est triviale en dehors de
cet ensemble. Toute la question est alors de donner une mesure de cet ensemble F afin de connaître le
comportement typique des points du disque unité. On aborde ici un autre point de l’étude des systèmes
dynamiques : comprendre quel est le comportement typique d’un point de l’espace.
1
INTRODUCTION
Un autre aspect est d’étudier les états d’équilibre du système. Les états d’équilibre, lorsqu’ils existent,
sont alors donnés par les mesures invariantes du système. (On reviendra sur ces notions dans la suite).
Les mesures invariantes pour lesquelles les points se répartissent de manière «uniforme» pour ces mesures, jouent un rôle particulier et seront appelées mesures ergodiques. C’est le résultat principal du
théorème de Birkhoff. Ce résultat permet en particulier de connaître le comportement typique d’un
système muni d’une mesure et se traduit en théorie des probabilités par la loi forte des grands nombres.
Les liens avec la théorie des probabilités motivent en partie l’étude de la théorie ergodique.
Cependant, ce n’est pas la seule branche des mathématiques concernée par l’étude de la théorie ergodique, puisqu’il est apparu que cette théorie pouvait apporter des réponses et des démonstrations
élégantes à certains problèmes arithmétiques. En effet, H. Furstenberg proposa en 1977, une nouvelle
démonstration du théorème de Szemerédi, qui consistait à résoudre partiellement des problèmes de
récurrences multiples dans l’étude des systèmes dynamiques. Récemment, B. Host et B. Kra puis T.
Ziegler montrèrent l’importance de certains systèmes dynamiques gouvernant ces phénomènes, et étant
étroitement liés à des questions au coeur de questions d’arithmétique : les nilsystèmes. Ces systèmes
ont été étudiés en particluier par L. Auslander, L. Green et F. Hahn dans les années 1960, puis plus
récemment, par E. Lesigne, B. Host, B. Kra, A. Maass et A. Leibman. Moralement, ces objets sont
suffisamment complexes pour que leur compréhension soit difficile, sans pour autant qu’ils créent du
«chaos» (ou mélange).
Notre travail sera de relier certains aspects de la théorie ergodique et de l’étude des systèmes dynamiques topologiques. Nous utiliserons largement des notions élémentaires de théorie de la mesure et
d’analyse fonctionnelle. Nous introduirons par la suite des objets plus spécifiques à l’étude des systèmes
dynamiques que l’on redéfinira au besoin tout ou long de notre travail. On pourra retrouver ces résultats
et définitions dans les ouvrages de K. Petersen [78], P. Walters [89], I.P. Cornfeld, S. V. Formin et Y.
G. Sinaï [18], E. Glasner [33], V. Berthé [12] et Pytheas Fogg [23].
1
Systèmes dynamiques
Un système dynamique mesurable X = (X, B, T ) est la donnée d’un sous-ensemble X mesurable, pour
la tribu des boréliens d’un espace topologique métrique séparable (X, d). On considère alors la tribu B
induite par la tribu des boréliens sur X, et on se donne une application mesurable T de X dans lui-même.
L’hypothèse de séparabilité imposée sur l’espace métrique X nous assure en particulier que pour toute
mesure de probabilité borélienne µ sur X, l’espace mesuré (X, B, µ) est un espace de Lebesgue.
Exemple : L’intervalle [0, 1[ muni de la métrique usuelle, sur lequel on fait agir l’application T : [0, 1[−→
[0, 1[, définie par T (x) = 2x mod 1 est un système dynamique mesurable.
On note M(X) l’ensemble des mesures de probabilité boréliennes sur X, et MX , le sous-ensemble (éventuellement vide) des mesures boréliennes de probabilité µ, sur X invariante par T (c’est-à-dire telle que
pour tout ensemble A ∈ B, µ(T −1 A) = µ(A)).
Certaines mesures jouent un rôle particulier, ce sont les mesures ergodiques. Une mesure est dite
ergodique si pour tout ensemble mesurable A, µ(A) ∈ {0, 1} lorsque µ(A∆T −1 A) = 0. Le système
sera dit uniquement ergodique s’il n’y a qu’une mesure invariante. On remarque que cette mesure
est alors nécessairement ergodique. Un système dynamique mesuré X = (X, B, µ, T ) est la donnée d’un
système dynamique mesurable X et d’une mesure µ ∈ MX . Il est dit ergodique si la mesure µ est
ergodique.
2
INTRODUCTION
Le système dynamique mesurable X est dit topologique si l’espace X est compact dans X et si l’application T est continue. En particulier, l’espace X est un espace métrique, compact et séparable. Il est
alors dit minimal si les seuls sous-ensembles fermés invariants par T sont l’ensemble vide et l’espace
tout entier. Un système dynamique topologique peut toujours être vu comme un système dynamique
mesurable. Si de plus ce système est uniquement ergodique, il peut aussi être considéré comme un système dynamique mesuré, pour lequel on aurait fixé comme mesure, l’unique mesure invariante. Sous ces
hypothèses, on sait que tout système dynamique topologique admet au moins une partie minimale et
une mesure borélienne invariante.
Exemple : translation sur un groupe abélien compact. Soit (G, +) un groupe abélien muni d’une métrique d invariante par la loi + telle que l’espace métrique (G, d) soit compact. Pour tout h ∈ G, on
note Th l’isométrie de G dans lui-même définie par Th (g) = g + h. Le système dynamique (G, d, Th ) est
un système dynamique topologique.
Exemple : systèmes symboliques. Soit M un entier naturel. On pose X = {1, . . . , M }N . On considère
les métriques δ1 et δ2 définies sur l’ensemble X pour tout x = (xn )n≥0 ∈ X et y = (yn )n≥0 ∈ X par :
δ1 (x, y) =
1 X | xn − yn |
et δ2 (x, y) = 2−m où m = inf{n ∈ N; xn 6= yn } ∈ N ∪ {+∞}.
2
2n
n≥0
On peut remarquer que ces deux métriques induisent la même topologie. On définit de plus le décalage
S : X −→ X
pour tout x = (xn )n≥0 ∈ X par : S(x) = (xn+1 )n≥0 .
Soit X un sous-ensemble de X tel que S −1 X = X, alors les triplets (X, δ1 , S) et (X, δ2 , S) sont des
systèmes dynamiques mesurables. De plus, si X est un sous-ensemble fermé de X, ce sont des systèmes
dynamiques topologiques.
Deux systèmes dynamiques mesurables X1 = (X1 , B1 , T1 ) et X2 = (X2 , B2 , T2 ) seront dits mesurablement équivalents, s’il existe un sous-ensemble mesurable X10 de X1 , un autre sous-ensemble mesurable
X20 de X2 , une application φ : X10 −→ X20 bijective et bi-mesurable et une application mesurable et
bijective Φ : MX1 → MX2 tels que :
–
–
–
–
pour
pour
pour
pour
toute mesure µ1 de probabilité borélienne T1 -invariante : µ1 (X10 ) = 1.
toute mesure µ2 de probabilité borélienne T2 -invariante : µ2 (X20 ) = 1.
tout x1 ∈ X10 , on a φ(T1 (x1 )) = T2 (φ(x1 )).
tout A2 ∈ B2 et µ1 ∈ MX1 , Φ(µ1 )(A2 ) = µ1 (φ−1 A2 ).
Exemple : Le décalage sur l’ensemble {0, 1}N muni de la métrique δ1 , la multiplication par 2 modulo 1
sur l’intervalle unité muni de sa métrique usuelle ainsi que l’application carré du cercle unité complexe
muni de sa métrique usuelle sont trois systèmes dynamiques mesurables qui sont mesurablement équivalents.
Lorsque l’on privilégie une mesure particulière, on obtient la définition suivante : deux systèmes dynamiques mesurés X1 = (X1 , B1 , µ1 , T1 ) et X2 = (X2 , B2 , µ2 , T2 ) seront dits équivalents de manière
mesurée, s’il existe un sous-ensemble mesurable X10 de X1 de mesure pleine pour µ1 , un autre sousensemble mesurable X20 de X2 de mesure pleine pour µ2 et une application φ : X10 −→ X20 bijective et
bi-mesurable telle que pour tout x1 ∈ X10 , on a φ(T1 (x1 )) = T2 (φ(x1 )) et pour tout ensemble mesurable
A2 ∈ B2 , µ1 (φ−1 (A2 )) = µ2 (A2 ).
On définit enfin l’équivalent topologique de ces définitions : deux systèmes dynamiques topologiques
X1 = (X1 , d1 , T1 ) et X2 = (X2 , d2 , T2 ) seront dits topologiquement équivalents s’il existe un homéomorphisme φ : X1 −→ X2 tel que pour tout x1 ∈ X1 , φ(T1 (X1 )) = T2 (φ(x)).
3
INTRODUCTION
Exemple : On considère l’endomorphisme positif du groupe libre à deux générateurs (ou substitution)
défini par :
0 7→ 01.
τ:
1 7→ 0.
Il existe une unique suite u = (un )n = 010010 · · · ∈ {0, 1}N telle que τ (u) = u et on lui associe le
sous-espace fermé de {0, 1}N : X = {S n (u); n ∈ N}. Alors, le système symbolique (X, δ1 , S) est mesurablement équivalent à la rotation du cercle d’angle φ, muni de sa métrique usuelle (où φ désigne le
nombre d’or). De plus, ces systèmes possèdent une unique mesure invariante : munis de cette mesure, ce
sont des systèmes équivalents de manière mesurée. Cependant, bien que ces systèmes soient également
des systèmes dynamiques topologiques, ils ne sont pas topologiquement équivalents.
On rappelle qu’un système dynamique mesuré Y = (Y, D, ν, S) est dit standard si l’espace Y est en
bijection mesurable avec l’espace mesuré de référence [0, 1], muni de sa mesure de Lebesgue auquel on
aurait éventuellement rajouté des masses de Dirac de poids fini.
Il est primordial de bien garder à l’esprit que l’on ne travaille qu’avec des mesures de probabilité
et des espaces métriques et compacts. La plupart des résultats étant vraisemblablement faux si on
sort de ce cadre.
Au lieu de travailler sur l’itération d’une application, on peut aussi s’intéresser à l’action d’un groupe
sur un espace : soit X = (X, B, µ) un espace mesuré et G un groupe. On suppose que l’on dispose d’un
morphisme de G dans les automorphismes de l’espace mesuré (X, µ). Si le groupe considéré est R, on
parle alors de flot. On reviendra sur ces notions dans le chapitre VI.
On rappelle quelques résultats incontournables de la théorie ergodique. Soit X = (X, B, µ, T ) un système
dynamique mesuré. Soit B un sous-ensemble mesurable de X et x un élément de B. Le point x est dit
récurrent par rapport à B s’il existe un entier k tel que T k x ∈ B.
Théorème (H. Poincaré (1899 ). Soit X = (X, B, µ, T ) un système dynamique mesuré et B ⊂ X un
ensemble mesurable. Pour la mesure µ, presque tous les points de B sont récurrents par rapport à B.
Théorème (J. Von Neumann (1932) ). Soit X = (X, B, µ, T ) un système dynamique mesuré. On considère le sous-espace vectoriel fermé I = {h ∈ L2 (µ) ; h ◦ T = h} de L2 (µ) et p la projection orthogonale
de L2 (µ) sur I. Alors, pour toute fonction f ∈ L2 (µ),
N −1
1 X
f ◦ T n converge en norme L2 (µ) vers p(f ).
N n=0
Théorème (G. D. Birkhoff (1931) ). Soit X = (X, B, µ, T ) un système dynamique mesuré. On considère
la sous-tribu de B suivante : A = {B ∈ B ; µ(T −1 B∆B) = 0}, où ∆ est la différence symétrique. Alors,
pour toute fonction f ∈ L1 (µ),
N −1
1 X
f ◦ T n converge µ-presque partout vers E(f | A),
N n=0
où E(f | A) est l’espérance conditionnelle de f par rapport à A.
Exemple : On considère la multiplication par un élément e2iπa du cercle complexe. La mesure de
Lebesgue est une mesure invariante pour ce système. C’est une mesure ergodique si et seulement si le
réel a est irrationnel.
4
INTRODUCTION
Exemple : La mesure de Lebesgue est ergodique pour l’application e2iπx 7→ e2iπ2x du cercle unité
complexe dans lui-même. On peut également définir la notion de système dynamique faiblement ou
fortement mélangeant. Muni de la mesure de Lebesgue, ce système est fortement mélangeant.
Exemple : On considère le système topologique X = ([0, 1], d, T ) où d est la métrique usuelle sur [0, 1]
et T est l’application T (x) = x2 . Les mesures ergodiques de ce système sont les mesures de Dirac en 0
et 1 : δ0 et δ1 .
2
2.1
Facteurs de systèmes dynamiques
Définition
Les théorèmes de G. D. Birkhoff et J. Von Neumann nous montrent que les fonctions invariantes et
la tribu des invariants jouent un rôle fondamental dans la convergence des moyennes ergodiques. De
manière générale, la notion de facteur est capitale en théorie ergodique puisqu’elle permet d’extraire du
système des informations.
Le système mesurable X2 = (X2 , B2 , T2 ) est un facteur semi-mesurable du système dynamique
mesurable X1 = (X1 , B1 , T1 ) s’il existe deux sous-ensembles X10 et X20 de X1 et X2 , de mesure pleine pour
toute mesure respectivement de MX1 et MX2 et une application mesurable et surjective π : X10 7→ X20 ,
telle que ∀x ∈ X10 , π(T1 x) = T2 π(x). L’application π est alors appelée application facteur semimesurable de X1 vers X2 .
On dira que le système mesurable X2 est un facteur mesurable du système dynamique mesurable
X1 , et que l’application facteur π est une application facteur mesurable, si de plus, l’application
mesurable Π : MX1 → MX2 définie pour tout A2 ∈ B2 et toute mesure µ1 ∈ MX1 , par Π(µ1 )(A2 ) =
µ1 (π −1 A2 ), est surjective.
Exemple : facteur semi-mesurable mais non mesurable. On considère le système dynamique topologique
minimal et uniquement ergodique X , consistant à faire une multiplication par un complexe e2iπa sur
le cercle unité S1 , où a est un réel irrationnel. On considère de plus le système topologique Y, où
l’application est l’identité sur l’espace {a, b}. Le système (mesurable) Y est un facteur semi-mesurable
du système (mesurable) X sous l’application facteur :
π(ξ) = a si ξ ∈ {e2iπna ; n ∈ N} et b sinon.
Si on note λ la mesure de Lebesgue sur S1 , et δa et δb les mesures Dirac en a et b, il n’existe pas
d’application surjective de {λ} sur l’ensemble des mesures sur {a, b}. Donc, le système (mesurable) Y
n’est pas un facteur mesurable du système (mesurable) X .
Le système mesuré X2 = (X2 , B2 , µ2 , T2 ) est un facteur mesuré du système dynamique mesuré X1 =
(X1 , B1 , µ1 , T1 ) s’il existe deux sous-ensembles X10 et X20 de X1 et X2 , de mesure pleine respectivement
pour µ1 et µ2 et une application mesurable et surjective π : X10 7→ X20 telle que ∀x ∈ X10 , π(T1 x) =
T2 π(x) et pour tout B2 ∈ B2 , µ1 (π −1 B2 ) = µ2 (B2 ). L’application π est alors appelée application
facteur mesurée de X1 vers X2 .
On peut représenter ces définitions par le digramme commutatif suivant :
X10
π
X20
T1
T2
5
X10
π
X20
INTRODUCTION
On prendra le parti dans toute la suite, de représenter les applications continues par un trait plein et
les applications mesurables en pointillé.
On décline alors ces définitions pour les adapter au cas des systèmes dynamiques topologiques. Le
système topologique X2 = (X2 , d2 , T2 ) est un facteur topologique du système topologique X1 =
(X1 , d1 , T1 ) s’il existe une application continue et surjective π : X1 7→ X2 telle que pour tout x ∈ X1 ,
π(T1 x) = T2 π(x). L’application π est alors appelée application facteur topologique de X1 vers X2 .
X1
π
X2
T1
T2
X1
π
X2
Par abus de notation, on écrira π : X −→ Y une application π facteur (mesurable, mesuré ou topologique), d’un système dynamique X vers un système dynamique Y.
On obtient les propositions suivantes :
Proposition 1. Tout facteur mesuré d’un système dynamique mesuré et ergodique, est un système
dynamique mesuré ergodique.
Tout facteur topologique d’un système dynamique topologique et minimal, est un système dynamique
topologique minimal.
Preuve. Soit X = (X, B, µ, T ) un système dynamique mesuré et Y = (T, D, ν, S) un facteur mesuré du
système X sous une application facteur π. On suppose que le système X est ergodique. Soit D ∈ D tel
que ν(D ∆ S −1 D) = 0. Le but est de montrer que µ(D) ∈ {0, 1}. Pour tout couple (A, B) de B :
π −1 A ∆ B = π −1 (Ac ∩ B) ∪ (A ∩ B c ) = π −1 (Ac ∩ B) ∪ π −1 (A ∩ B c ).
Maintenant, puisque π −1 est presque sûrement bijective :
µ π −1 (A ∆ B) = µ (π −1 A)c ∩ π −1 B ∪ π −1 A ∩ (π −1 B)c
= µ π −1 A ∆ π −1 B .
On trouve finalement :
µ π −1 (D∆S −1 D) = µ (π −1 D)∆(π −1 S −1 D) = µ (π −1 D)∆(T −1 π −1 D) = ν D∆S −1 D = 0.
Par ergodicité du système X , on a nécessairement µ(π −1 D) ∈ {0, 1}, et donc par transport des mesures
sous l’application π, ν(D) ∈ {0, 1}.
Soit maintenant Y = (Y, δ, S) un facteur topologique d’un système dynamique topologique minimal
X = (X, d, T ) sous une application facteur π. Soit F un sous-ensemble fermé de Y , S-invariant. Le
sous-ensemble π −1 F de X est fermé et T -invariant, donc par minimalité du système X , π −1 F ∈ {X, ∅}.
Puisque F ∈ {π(X), π(∅)} = {Y, ∅}, le système dynamique topologique Y est minimal.
Proposition 2. Soit X2 , un système dynamique topologique, qui est un facteur topologique du système
topologique X1 . Alors, on peut voir ces objets d’un point de vue mesurable, et le système (mesurable)
X2 est également un facteur mesurable du système (mesurable) X1 . En particulier, si le système X1 est
uniquement ergodique, alors, le système X2 est nécessairement uniquement ergodique.
6
INTRODUCTION
Preuve. C’est un résultat non-trivial. Soit X1 = (X1 , d1 , T1 ) et X2 = (X2 , d2 , T2 ) deux systèmes dynamiques topologiques. On note B1 et B2 les tribus boréliennes associées. On suppose que X2 est un facteur
topologique du système X1 sous une application facteur π. L’objectif est de montrer que l’application
Π : MX1 → MX2 définie pour toute mesure µ1 de MX1 , et tout sous-ensemble B2 ∈ B2 par :
Π(µ1 )(B2 ) = µ1 (π −1 B2 ) est une application surjective.
Soit ν2 une mesure borélienne T2 -invariante sur (X2 , B2 ). On recherche une mesure ν1 borélienne et
T1 -invariante sur (X1 , B1 ) telle que :
∀B2 ∈ B2 , ν1 (π −1 B2 ) = ν2 (B2 ).
On définit un sous-espace vectoriel fermé de C(X1 ) :
Cπ (X2 ) = { f ◦ π ; f ∈ C(X2 ) }.
On peut montrer, en reprenant la démonstration du théorème d’Hahn-Banach, que l’application linéaire
continue positive de Cπ (X2 ) dans C définie par :
ν( f ◦ π ) = ν2 (f ),
se prolonge en une application linéaire continue positive de C(X1 ) dans C, encore notée ν, que l’on peut
voir par le théorème de représentation de Riesz, comme une mesure sur l’espace mesurable (X1 , B1 ).
On construit alors, à partir de la mesure ν, une mesure borélienne T1 -invariante sur X1 . On considère
la suite de mesures boréliennes (ν N )N , définies pour tout entier N et tout ensemble B1 ∈ B1 , par :
νN =
N −1
1 X
ν( T1−n B1 ).
N n=0
On reviendra que ces constructions plus longuement dans la partie III, notons pour l’instant que cette
suite admet une valeur d’adhérence ν1 , pour un certaine topologie, qui est alors nécessairement une
mesure T1 -invariante. Maintenant, pour toute fonction f ∈ C(X2 ),
ν1 ( f ◦ π )
=
=
lim ν Nk ( f ◦ π ) = lim
k
lim
k
k
1
Nk
NP
k −1
n=0
1
Nk
NP
k −1
n=0
ν2 ( f ◦ T2n ) = lim
k
ν( f ◦ π ◦ T1n ) = lim
k
1
Nk
NP
k −1
1
Nk
NP
k −1
n=0
ν( f ◦ T2n ◦ π )
ν2 ( f ) = ν2 (f ).
n=0
Le résultat est ainsi démontré.
Exemple : Soit X la rotation du cercle unité complexe S1 par un élément e2iπa et Y le système consistant
à faire agir l’application (ξ, ξ 0 ) 7→ (e2iπa ξ, ξξ 0 ) sur l’espace S1 × S1 . Alors, le système X est un facteur
mesurable (mais aussi un facteur mesuré et topologique) du système Y. L’application facteur consiste à
projeter sur la première coordonnée.
Soit X = (X, B, µ, T ) un système dynamique mesuré. La donnée d’un facteur mesuré Y = (Y, D, ν, S)
et d’une application facteur mesurée π : X −→ Y est équivalente à la donnée d’une sous-algèbre fermée
T -invariante de l’espace L2 (µ). On notera par la suite :
Y ∗ = {f ◦ π ; f ∈ L2ν (Y )} ⊂ L2µ (X).
Les deux notions coïncident, il faudra faire attention aux confusions tout au long de ce travail.
7
INTRODUCTION
2.2
Couplage de facteurs dynamiques
Couplage de facteurs mesurés.
Soit maintenant Y1 et Y2 deux systèmes dynamiques mesurés, facteurs d’un système dynamique mesuré
X . Il existe un système dynamique mesuré Z tel que pour tout système dynamique mesuré Z 0 vérifiant
– Z 0 est un facteur mesuré de X ,
– Y1 et Y2 sont des facteurs mesurés de Z 0 ,
alors, le système Z, noté par la suite Cmes (X , Y1 , Y2 ), est un facteur mesuré du système Z 0 et le
diagramme suivant commute :
Y2
X
Z0
Z
Y1
Le système Z, est caractérisé par : Z ∗ est la plus petite sous-algèbre fermée T -invariante de L2µ (X)
contenant Y1∗ et Y2∗ . On reviendra sur cette notion dans la section 3.3 et 3.5 de l’introduction.
Soit X = (X, d, T ) un système dynamique topologique, on peut vérifier que la donnée d’un facteur
topologique Y = (Y, δ, S) et d’une application π facteur topologique est équivalente à la donnée d’une
sous-algèbre de l’ensemble des fonctions continues sur X, qui est fermée, pour la topologie des fonctions
continues, et T -invariante. On notera Y(X ) = {f ◦ π ; f ∈ C(Y )} ⊂ C(X).
Couplage de facteurs topologiques.
Là encore, pour tout système dynamique topologiques Y1 et Y2 , facteurs d’un système dynamique
topologique X , il existe un système topologique Z, facteur du système X , tel que pour tout système
topologique Z 0 vérifiant :
– Z 0 est un facteur topologique de X ,
– Y1 et Y2 sont des facteurs topologiques de Z 0 ,
alors, le système Z, noté Ctop (X , Y1 , Y2 ), est un facteur topologique du système Z 0 , le diagramme
suivant commute :
Y2
X
Z0
Z
Y1
ZX est la plus petite sous-algèbre fermée T -invariante de C(X) contenant Y1 (X ) et Y2 (X ). On utilisera
cette propriété dans la section 6 du chapitre III.
Remarque . Soient X1 = (X1 , B1 , µ1 , T1 ) et X2 = (X2 , B2 , µ2 , T2 ) deux systèmes dynamiques mesurés.
On définit le produit direct de ces systèmes :
X =
X1 × X2 , B1 ⊗ B2 , µ1 ⊗ µ2 , T1 × T2 .
8
INTRODUCTION
On peut munir l’ensemble des facteurs de X d’une relation d’ordre partiel : Y < Z si Y est un facteur
mesuré de Z. L’opération de couplage entre deux systèmes X1 et X2 peut-être pensée comme l’opération
de «plus petit multiple commun» entre deux entiers. Cependant, ce parallèle admet ses limites, comme
le montra D.J. Rudoplh dans [84], puisqu’en effet, il est possible que :
Cmes (X , X1 , X2 ) = X ,
et il existe un facteur mesuré non trivial Y de X , tel que : Y < X1 et Y < X2 .
2.3
Limite projective de systèmes dynamiques
Le but de cette section est d’introduire des objets nécessaires à assurer l’existence de certains facteurs
maximaux (sections 3.1, 3.2 et 3.3). Cela nous permettra notamment d’ordonner certains facteurs de
systèmes dynamiques. il y a une certaine difficulté technique provenant du fait que l’ordre entre certains
facteurs n’est pas total comme le montre l’exemple suivant :
Exemple : Soit θ un point du cercle complexe T. On considère les systèmes dynamiques topologiques
X , X1 et X2 engendrés par les applications T : T × {1, i, −1, −i} → T × {1, i, −1, −i}, T1 : T × {−1, 1} →
T × {−1, 1} et T2 : {1, i, −1, −i} → {1, i, −1, −i} définies par
T (ξ, x) = (θξ, ix) , Tθ (ξ, ) = (θξ, −) et Tθ0 (x) = ix où ξ ∈ T, ∈ {−1, 1} et x ∈ {1, i, −1, −i}.
Alors, les systèmes X1 et X2 sont des facteurs topologiques du système X , cependant, on n’est pas en
mesure de les ordonner. On remarque de plus que dans cet exemple, le couplage des facteurs X1 et X2 ,
qui est égal au système dynamique X , n’est pas le produit topologique de ces systèmes.
Soit I un ensemble d’indices partiellement ordonné et filtrant, c’est-à-dire, tel que
i) pour tout (i, j) ∈ I 2 , il existe k ∈ I tel que i ≤ k et j ≤ k.
On suppose de plus que la famille I possède la propriété suivante :
ii) il existe un sous-ensemble dénombrable J de I tel que ∀I ∈ I, ∃j ∈ J tel que i ≤ j.
Une telle famille d’indices sera dite adaptée.
Pour tout i ∈ I, on considère un espace métrique compact (Xi , di ). Le produit direct X =
Q
Xi , muni
I
de la plus
petite topologie rendant continues les applications coordonnées Φj : X → Xj définie par
Φj (xi )i = xj , est un espace topologique compact. La propriété ii) nous assure de plus, que l’on peut
trouver une métrique d sur X engendrant cette topologie.
On se donne pour tout i ∈ I un système dynamique mesuré Xi = (Xi , Bi , µi , Ti ) et une famille d’applications mesurables (Φj,i : Xj → Xi ){(i,j)∈I 2 ; i<j} vérifiant les propriétés suivantes
– Pour tout (i, j) ∈ I 2 tel que i < j : le système dynamique mesuré Xi est un facteur mesuré du
système dynamique Xj sous l’application facteur mesuré Φj,i .
– pour tout triplet (i, j, k) de I tel que i < j < k : Φj,i ◦ Φk,j = Φk,i .
On considère l’ensemble X et pour tout i ∈ I, les applications projections Φi : X → Xi :
n
o Y
X = x = (xi )i ; Φi,j (xi ) = xj ⊂
Xi et pour tout j ∈ I et (xi )i∈I ∈ X : Φj (xi )i∈I = xj .
I
On note B la tribu de X engendrée par les tribus {Φ−1
i (Bi ); i ∈ I} et µ la mesure sur B caractérisée
par la propriété : pour tout i ∈ I et A ∈ Bi , µ Φ−1
i (A) = µi (A).
9
INTRODUCTION
On note T l’application mesurable de X dans lui-même définie par :
T (xi )i = Ti (xi )
i
Rappelons que par définition des systèmes dynamiques mesurés, chaque espace Xi est un sous-ensemble
mesurable pour la tribu des boréliens Q
d’un espace métrique séparable (Xi , di ). Par la propriété ii), on
peut trouver une métrique d sur X = Xi telle que X soit un sous-ensemble mesuré pour la tribu des
I
boréliens de l’espace (X, d) et tel que µ soit une mesure borélienne pour cette espace.
En remarquant que l’espace (X, d) est séparable, on en déduit que le quadruplé X = (X, B, µ, T ) est
bien un système dynamique mesuré appelé la limite projective mesurée de la famille de système
{Xi ; i ∈ I}, noté :
X = lim
Xi = lim Xi .
←−
←−mes
i∈I
i∈I
On peut également donner un équivalent topologique de cette définition : soit I un ensemble d’indices
adaptés, pour tout i ∈ I, Xi = (Xi , di , Ti ) un système dynamique topologique et une famille de fonctions
continues (Φj,i : Xj → Xi ){(i,j)∈I 2 ; i<j} vérifiant les propriétés suivantes :
– Pour tout (i, j) ∈ I 2 tel que i < j : le système dynamique topologique. Xi est un facteur topologique
du système dynamique Xj sous l’application facteur topologique Φj,i .
– pour tout triplet (i, j, k) de I tel que i < j < k : Φj,i ◦ Φk,j = Φk,i .
On considère l’ensemble :
n
o Y
X = x = (xi )i ; pour tout j ≤ k, Φk,j (xk ) = xk ⊂
Xi .
I
La propriété ii) nous assure que l’on peut le munir d’une métrique d telle que l’espace (X, d) soit un
espace métrique compact, engendrant la topologie produit. On considère l’application continue T de
X dans lui-même définie par T ((xi )i ) = (Ti xi )i . Le système dynamique topologique X = (X, d, T ) est
appelé la limite projective topologique de la famille de système {Xi ; i ∈ I}, notée :
X = lim
Xi =
←−
i∈I
lim
←−topo
i∈I
Xi .
Proposition 3. Soit I un ensemble d’indices adapté. Soit X la limite projective topologique d’une
famille de systèmes dynamiques topologiques { Xi = (Xi , di , Ti ) ; i ∈ I }. Alors :
– Si pour tout i ∈ I, le système Xi est minimal, alors le système X est minimal.
– Si ∀i ∈ I, le système Xi est uniquement ergodique, alors le système X est uniquement ergodique.
Preuve. Soit X = (X, d, T ) la limite projective topologique d’une famille de systèmes dynamiques
topologiques { Xi = (Xi , di , Ti ) ; i ∈ I }. Supposons que pour tout i ∈ I, les systèmes Xi sont minimaux.
Soit x = (xi )i ∈ X, alors :
n
o
Q
{ T nx ; n ∈ N } =
Tin xi ; n ∈ N
=
{ Tin xi ; n ∈ N }
i
i∈I
Q
Q
=
{ Tin xi ; n ∈ N } =
Xi = X.
i∈I
i∈I
Le système topologique X est donc minimal. Maintenant, supposons que pour tout i ∈ I, les systèmes
Xi sont uniquement ergodiques.
10
INTRODUCTION
Soient µ et ν deux mesures boréliennes sur X qui sont T -invariantes. Par construction, si µ et ν sont
distinctes, cela implique qu’il existe un indice i0 ∈ I, tel que les projections de ces mesures µi0 et νi0 sur
Xi0 sont distinctes. Les mesures µ et ν étant T -invariantes, les mesures µi0 et νi0 sont Ti0 -invariantes.
C’est absurde par unique ergodicité du système Xi0 , donc µ = ν et le système X est uniquement
ergodique.
3
Quelques facteurs dynamiques mesurés standards :
On revient ici sur la définition de certains facteurs, largement étudiés en théorie ergodique.
3.1
Facteur de Kronecker
On fixe X = (X, B, µ, T ) un système dynamique mesuré ergodique. On pourra trouver des références
des divers objets introduits dans [89] et [14].
Un système dynamique topologique Z = (Z, d, S) est un facteur équicontinu mesuré du système X ,
si c’est un facteur mesuré du système X et si l’application S est une isométrie de (Z, d). Par l’hypothèse
de séparabilité imposée sur l’espace X, l’espace mesuré (X, B, µ) est à base dénombrable. On peut alors
appliquer le théorème d’Halmos - Von Neumann qui nous assure l’existence d’un facteur équicontinu
mesuré maximal, Z1 (X ), appelé facteur de Konecker de X . C’est-à-dire, ce facteur est d’une part un
facteur mesuré équicontinu et d’autre part, il est maximal dans le sens où tout autre facteur équicontinu
mesuré de X est un facteur mesuré de Z1 (X ).
Un autre point de vue est de considérer les fonctions propres du système. Une fonction f ∈ L2 (µ)
non nulle, est dite fonction propre du système s’il existe un nombre complexe θ ∈ S1 , tel que pour
µ-presque tout x, f (T x) = θf (x). Si une telle fonction existe, θ est appelé valeur propre du système X .
L’ensemble des valeurs propres de X , appelé le spectre du système et noté S(X ), est un sous-groupe
discret de S1 . Dans ce contexte, le module d’une fonction propre est constant µ-presque partout. De
plus, deux fonctions propres associées à des valeurs propres distinctes sont orthogonales au sens L2 (µ) et
l’espace propre associé à chaque valeur propre est de dimension 1. Pour chaque valeur propre θ, on note
fθ une fonction de L2 (µ) associée à la valeur propre θ de module 1. La valeur propre θ et une fonction
propre fθ seront dites continues, s’il existe un représentant continu gθ ∈ L2 (µ) de la classe de fonction
fθ . Lorsque cette fonction existe, elle est unique et on la choisira comme représentante de la classe de
fonctions associées à fθ ∈ L2 (µ).
On notera Z1 (X ) = (Z1 (X ), d1 , z 7→ z + z0 , µ1 ) le facteur de Kronecker du système X , où d1 est une
métrique sur Z1 (X ) invariante par translation et z0 est tel que z 7→ z + z0 soit minimal et uniquement
ergodique. On note πZ1 (X ) = π1 : X → Z1 (X ), l’application facteur mesuré. On prendra le parti de
noter Z1∗ (X ) la sous-algèbre fermée de L2 (µ) définie par :
Z1∗ (X ) = π1∗ L2 (µ1 ) = f ◦ π1 ; f ∈ L2 (µ1 ) ⊂ L2 (µ).
Les deux notions sont reliées par la relation : Z1∗ (X ) = h{fθ telles que θ ∈ S(X )}i
L2 (µ)
.
On remarque que la sous-algèbre Z1∗ (X ) est canonique, dans le sens où elle ne dépend pas du choix du
représentant du facteur de Kronecker. La réalisation de cette sous-algèbre en tant que système mesuré se
fait à la relation d’équivalence mesurée près. Enfin, sa réalisation en tant que translation sur un groupe
abélien compact, se fait à isomorphisme topologique près.
Si X est un système topologique minimal et uniquement ergodique, On peut définir une version analogue
11
INTRODUCTION
purement topologique : le facteur topologique équicontinu maximal, noté E(X ) = (E, δ, TE ), est le
plus grand facteur équicontinu topologique du système X . Si on note πE : X → E, l’application facteur
topologique, on a :
k·k∞
πE∗ C(E) = h{fθ telles que θ ∈ S(X ) et fθ continue}i
.
3.2
Systèmes à spectre quasi-discret
Soit X = (X, B, µ, T ) un système dynamique mesuré ergodique. On définit par récurrence une suite de
sous-ensembles fermés de l’espace L2 (µ) de la manière suivante :
D0
= {f ∈ L2 (µ); f est constante µ-presque partout } pour tout entier k ≥ 1,
Dk+1 = {f ∈ Mes(X, T1 ); ∃g ∈ Dk telle que f ◦ T = f · g}.
Pour tout entier k, on pose Dk∗ (X ) = < Dk >
L2 (µ)
.
Le système dynamique X est dit à spectre quasi-discret de rang k si Dk∗ (X ) = L2 (µ). On remarque
que D1 est l’ensemble des fonctions propres du système, et donc, que D1∗ (X ) = Z1∗ (X ). En particulier, le
système est à spectre quasi-discret de rang 1 s’il est à spectre discret, c’est-à-dire, si les fonctions propres
engendrent L2 (µ). En ce sens, cette notion prolonge bien la notion de facteur de Kronecker. De manière
générale, les fonction appartenant à l’ensemble Dk sont appelées fonctions propres généralisées
d’ordre k du système. On renvoie à [96], [2], [66], [70], [43], [44], [46], [47] et [48] pour plus de détails.
Un système est dit à spectre quasi-discret si :
[
Dk∗ (X )
L2 (µ)
= L2 (µ).
k≥1
Soit (G, +, d) un groupe métrique compact, muni d’une métrique d invariante par translation. Soit φ
une application continue affine de G dans lui-même (c’est-à-dire il existe un élément g0 ∈ G tel que
l’application g 7→ φ(g) − g0 est un homomorphism continue de G). Le système G = (G, d, φ) est appelé
système dynamique affine.
Théorème A (L. M. Abramov (1961) [2]). Soit X un système dynamique mesuré ergodique tel que
toutes ses puissances soient ergodiques. (On parle alors de totale ergodicité). Il est à spectre quasidiscret si et seulement si il est conjugué à un système dynamique affine.
L’hypothèse de totale ergodicité nous assure que deux fonctions propres généralisées associées à des
valeurs propres distinctes sont orthogonales. De plus, dans ce cadre, des fonctions propres généralisées
d’ordres différents sont orthogonales, ce qui n’est pas le cas lorsque le système admet des valeurs propres
rationnelles (on traite un exemple trivial dans la section 3 du chapitre V). Il faut alors tenir compte de
phénomènes arithmétiques (ou combinatoires) qui peuvent se révéler être très complexes.
3.3
Facteurs de Host-Kra-Ziegler et nilsystèmes
Soient maintenant k un entier naturel, (G, •) un groupe de Lie nilpotent de rang k et Γ un sous groupe
co-compact de G. Soit g0 un élément de G. L’application g 7→ g0 • g passe au quotient dans la nilvariété
X = G/Γ en une niltranslation notée Tg0 . Ces systèmes dynamiques sont appelés des nilsystèmes de rang
k et on appellera pro-nilsystème tout système qui est une limite projective topologique de nilsystèmes
de rang inférieur à k.
Soit X = (X, B, µ, T ) un système dynamique mesuré ergodique. Un système dynamique topologique
12
INTRODUCTION
est un nilfacteur de rang k du système X si c’est un nilsystème de rang k est que c’est un facteur
mesuré du système X . Pour tout nilsystème Y = (Y, T ), qui est un facteur mesuré du système X sous
une application facteur πY , on note Y ∗ = {f ◦ πY ; f ∈ L2 (Y )} ⊂ L2µ (X).
Au vue des conditions imposées sur l’espace mesuré (X, B, µ) le premier résultat est que :
n
o
Y ∗ tel que Y est un nilfacteur de rang k de X est bien un ensemble.
On définit alors Zk∗ (X ) comme étant la plus petite sous-algèbre T -invariante de L2µ (X) contenant tous
les espaces Y ∗ , où Y est un nilfacteur de rang k de X . L’espace Zk∗ (X ) détermine donc un facteur appelé
k-ième facteur de Host-Kra-Ziegler du système X (ou k-ième facteur caractéristique).
Un résultat de D. J. Rudolph dans [83] montre qu’il n’existe pas nécessairement de nilfacteur Y vérifiant
Y ∗ = Zk∗ (X ). Cependant, on peut montrer qu’il existe un système dynamique mesuré Zk (X ), qui est
un facteur mesuré du système dynamique X sous une application facteur mesuré πk , tel que Zk∗ (X ) =
{f ◦ πk ; f ∈ L2 (Zk (X ))}. Ce facteur étant une limite inverse mesurée de nilfacteurs de X de rang k.
En effet, on a vu qu’il existait un ensemble I, et pour tout i ∈ I, un nilfacteur Yi , tel que Zk∗ (X ) est
la fermeture de la sous-algèbre engendrée par les sous-espaces {Yi∗ ; i ∈ I}. Le facteur Zk∗ (X ) recherché
est la limite inverse mesurée de la famille de systèmes {Yi ; i ∈ I}. Afin d’assurer son existence, il faut
vérifier que l’ensemble I est bien adapté. (cf partie 2.3). Cet ensemble est bien partiellement ordonné
avec la relation i ≤ j si le système Yi est un facteur du système Yj . Le point ii) est vérifié par les
hypothèses imposées sur l’espace mesuré (X, B, µ). L’hypothèse ii) est plus subtile. Nous avons vu dans
la partie 2.2 la manière dont on pouvait coupler des facteurs mesurés. Le point central ici est le suivant :
le couplage de deux nilfacteurs du système X est encore un nilfacteur. Avec les notations
introduites en 2.2, on trouve :
Soit (i, j) ∈ I 2 , il existe l ∈ I tel que Yl = Cmes (X , Y1 , Y2 ), et donc, i ≤ l et j ≤ l.
On n’a toujours pas montré que ce facteur était un pro-nilfacteur puisque la limite inverse considérée
ici est de nature mesurable. La fin de cette section est la démonstration des deux lemmes suivants :
Lemme 1. Soit X = (X, B, µ, T ) un système dynamique mesuré ergodique, il existe un pro-nilsystème
Zk (X ) minimal et uniquement ergodique, sous une application mesurable πk tel que {f ◦ πk ; f ∈
L2 (Zk (X ))} définit le k-ième facteur de Host-Kra-Ziegler.
Lemme 2. Si X = (X, B, µ, T ) et Y = (Y, A, ν, S) sont deux systèmes dynamiques mesurés, ergodiques
et équivalents de manière mesurée, alors, les systèmes dynamiques topologiques Zk (X ) et Zk (Y) associés
par le lemme 1 sont topologiquement équivalents.
Pour démontrer ces lemmes, on aura besoin d’introduire les résultats suivants :
Théorème B (E. Lesigne (1991) [67]). Un nilsystème de rang fixé est minimal si et seulement s’il est
ergodique muni de sa mesure de Haar, et si et seulement s’il est uniquement ergodique. Si une de ces
conditions est vérifiée, l’unique mesure invariante est la mesure de Haar.
On en déduit immédiatement le résultat suivant :
Corollaire 1. Un pro-nilsystème de rang fixé est minimal si et seulement si il est ergodique, et si et
seulement si il est uniquement ergodique.
Preuve. On suppose que X est la limite projective topologique d’une famille de nilfacteurs {Xi ; i ∈ I}.
On représente dans le diagramme suivant, les connections logiques permettant de démontrer ce corollaire.
13
INTRODUCTION
X est uniquement ergodique
X est minimal
X est ergodique
prop. 1
prop. 3
prop. 1
prop. 3
prop. 2
∀i ∈ I, Xi est ergodique
∀i ∈ I, Xi est minimal
théorème {B}
∀i ∈ I, Xi est uniquement ergodique
On ne travaille par la suite qu’avec des familles d’indices adaptées. La proposition suivante relie la notion
de limite inverse topologique et mesurée de nilsystèmes :
Proposition 4. Soit (X, T ) un pro-nilsystème, limite inverse topologique d’une famille de nilsystème
minimaux (Xi , di , Ti ), où pour tout i ∈ I, la mesure de Haar est notée µi et la tribu des boréliens Bi .
Alors (X, T ) est un système dynamique minimal et uniquement ergodique. Notons µ son unique mesure
invariante sur la tribu B des boréliens. Le système dynamique mesuré (X, B, µ, T ) est alors la limite
inverse mesurée de la famille de systèmes dynamiques mesurés {(Xi , Bi , µi , Ti ); i ∈ I}.
Preuve. Soit (X, A, ν, T ) la limite inverse mesurée de la famille de systèmes dynamiques mesurés
{(Xi , Bi , µi , Ti ); i ∈ I}. On note Ti la plus petite topologie rendant continue l’application projection
sur la i-ième coordonnée. et Bi la plus petite tribu rendant mesurable l’application projection sur la
i-ième coordonnée. Si T est une topologie, on note σ(T ) la tribu engendrée par T . Un résultat classique
nous assure que
!
_
_
σ
Ti =
σ(Ti ).
i∈I
i∈I
On en déduit que A = B. Enfin, ν est une mesure borélienne invariante pour le système topologique
(X, T ) par le corollaire 1, il ne peut y avoir qu’une mesure invariante, donc nécessairement µ = ν.
La proposition suivante montre que les notions de facteurs mesurés et topologiques «coïncident» pour
des nilsystèmes minimaux :
Proposition C (B. Host, B. Kra et A. Maass (2010) [53]). Soit (X, T ) et (X 0 , T 0 ) deux nilsystèmes
(ou pro-nilsystèmes) minimaux. On suppose que (X 0 , T 0 ) est un facteur mesuré du système (X, T ) (vu
comme un système dynamique mesuré), sous une application π. Alors, le système dynamique (X 0 , T 0 )
est un facteur topologique du système (X, T ) sous une application continue π
e, et les applications π et π 0
coïncident presque partout, pour l’unique mesure invariante du système (X, T ).
Corollaire 2. Soit (X, T ) et (X 0 , T 0 ) deux pro-nilsystèmes minimaux d’unique mesure invariante, respectivement µ et µ0 . Si les systèmes topologiques, vus comme des systèmes mesurés, sont équivalents de
manière mesurée, alors, les systèmes topologiques (X, T ) et (X 0 , T 0 ) sont topologiquement équivalents.
14
INTRODUCTION
Lemme 3. Soit X un système dynamique mesuré qui est une limite projective mesurée d’une famille de
nilsystèmes minimaux {Xi ; i ∈ I} et J un sous-ensemble de I adapté. Alors il existe deux pro-nilsystèmes
X 0 et Y tels que :
Y=
lim
←−topo
i∈J
Xi est un facteur topologique du système X 0
et les système X 0 et X sont équivalents de manière mesurée.
Preuve du lemme 3. Soit X = (X, B, µ, T ), un système dynamique mesuré, qui est une limite projective
mesurée de nilfacteurs minimaux Xi = (Xi , Bi , µi , Ti ) de rang k. On note Z le système dynamique
mesuré qui est la limite projective de la famille de systèmes suivantes :
Z=
lim
←−mes
i∈J
Xi .
Ces systèmes sont des systèmes dynamiques mesurés ergodiques, respectivement pour les mesures µX
et µZ .
Si i ≤ j, on note Φj,i : Xj → Xi les applications facteurs associées. La proposition {C} nous assure que
ces applications facteurs coïncident presque partout avec des applications facteurs topologiques Ψj,i . On
note X 0 la limite projective topologique de ces nilfacteurs et Y la limite projective topologique suivante :
Y=
lim
←−topo
i∈J
Xi .
Les systèmes Y et X 0 sont deux systèmes dynamiques ergodiques, donc uniquement ergodiques par
le théorème {B}. On note µY et µ0 les uniques mesures boréliennes invariantes de ces systèmes. La
proposition 4 et le corollaire 2 nous assurent donc que les systèmes (X , µX ) et (X 0 , µX 0 ), ainsi que les
systèmes (Y, µZ ) et (Z, µZ ) sont équivalents de manière mesurée.
Preuve du lemme 1. Puisque les limites projectives ne sont définies qu’à isomorphisme mesuré près, ce
lemme est une conséquence directe du lemme 3.
Preuve du lemme 2. Ce lemme se déduit immédiatement du fait que deux pro-nilsystèmes équivalents
du point de vue de la mesure sont équivalents de manière topologique.
3.4
Facteurs de Furstenberg
On fixe X = (X, B, µ, T ) un système dynamique mesuré ergodique. On définit comme dans la partie
3.2 par récurrence une suite de sous-ensembles fermés de l’espace L2 (µ) et de sous-algèbres fermées
T -invariantes de L2 (µ) en posant :

F0
= {f ∈ L2 (µ) ; f est constante µ-presque partout } et pour tout entier k ≥ 1 :





m
P
2
∗
m
m
f ∈ L (µ); ∃(f1 , . . . , fm ) ∈ Fk , ∃(λi )i=1 ∈ C , tel que f ◦ T =
λ i fi · f

 Fk+1 =

n=1


∗
2
où Fk est la sous-algèbre fermé de L (µ) engendrée par Fk .
Ces objets ont été introduits par H. Furstenberg dans [30] et [28] afin de démontrer le théorème de
Szemeredi.
15
INTRODUCTION
3.5
Liens entre ces différents facteurs
On fixe k ≥ 1 un entier naturel et a ∈ R. On considère l’application :
Sak :
Rk / Zk
−→
( x1 , . . . , xk ) 7→
Rk / Zk
.
( x1 + a, x2 + x1 , . . . , xk + xk−1 )
On munit l’espace Rk / Zk de la métrique usuelle dk et on note Sak le système dynamique topologique
( Rk /Zk , dk , Sak ).
On commence par montrer les lemmes suivants :
Lemme 4. Il existe un groupe de Lie Gk , nilpotent de rang k, et un sous-groupe co-compact Γk (ne
dépendant pas de a), tels que le système Sak soit topologiquement conjugué au nilsystème ( Gk /Γk , dk , T ),
où dk est «une métrique de Haar», et l’application T une niltransation (à gauche) sur Gk /Γk . On notera
l’application de conjugaison Φk : Rk /Zk → Gk /Γk .
Lemme 5. Soit X = (X, B, µ, T ) un système dynamique mesuré et ergodique, et k ≥ 1 un entier. Pour
toute fonction f ∈ Dk (X ), il existe un nilsystème (Gf /Γf , Tf ) de rang exactement k, qui est un facteur
mesuré de X .
Corollaire 3. Soit X = (X, B, µ, T ) un système dynamique mesuré, ergodique et k ≥ 1 un entier.
Il existe un pro-nilsystème Dk (X ) = (Dk (X ), TDk ) facteur du système X sous une application facteur
mesuré dk telle que :
n
o
Dk (X ) = f ◦ dk ; f ∈ L2 (Dk (X )) ⊂ Zk∗ (X ).
Preuve du lemme 4. Soit k un entier fixé. On pose H k+1 le groupe des matrices carrées, à coefficients
réels, de taille k+1, triangulaires supérieures et avec des «1» su la diagonale. On considère le sous-groupe
multiplicatif Gk des matrices de la forme :


1 n11 n21 n31 . . . nk−1
xk
1
0 1 n22 n32 . . . nk−1
xk−1 
2


k−1
2
0 0
1 n3 . . . n 3
xk−2 


.
..
.. 
..
..
..
 ,
 ..
.
.
.
.
.


k−1
0 . . . . . . 0
1 nk−1
x2 


0 . . . . . . . . . 0
1
x 
1
0
où (ni,j )(i,j)∈{(k,l)∈{1,...,k−1}2
; k≥l}
...
...
...
...
0
1
∈ Zk(k−1)/2 et (x1 , . . . , xk ) ∈ Rk .
On fixe alors Γk le sous-groupe de Gk constitué des matrices à coefficients entiers.
La première remarque est que Gk /Γk est bien un groupe de Lie nilpotent de rang
définit un élément a de Gk et une application Φk de Rk /Zk dans Gk /Γk , par :





1 1
0
0 ... 0 0
1 0
0
0 ...
x
1
0 1

0 1
1
0
.
.
.
0
0
0
0 ...


 x2 

0 0



0 0
1
1
.
.
.
0
0
1
0 ...


 .. 

 ..

 . 
 ..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.. ...
a = .
et Φk 
 = .
.
.
. . .
.


xk−2 

0 . . . . . . 0


0 . . . . . . 0
1 1 0
1



xk−1 
0 . . . . . . . . . 0 1 a
0 . . . . . . . . . 0
xk
0 ... ... ... ... 0 1
0 ... ... ... ...
16
k. Soit a ∈ R. On

xk
xk−1 

xk−2 

..  · Γk .
. 

0
x2 

1
x1 
0
1
0
0
0
..
.
INTRODUCTION
On pose alors

1 −1
x1
0 1

 x2 
0 0



 .. 
.
 . 
k
x=
 ∈ R et n =  ..

xk−2 
0 . . .



xk−1 
0 . . .
xk
0 ...


Un calcul direct nous donne :

1
0

0


a · Φk (x) =  ...

0

0
0
1
0

0


=  ...

0

0
0
1
1
0
0
1
1
..
.
... ...
... ...
... ...
0
0
1
0
0
1
..
.
0
0
1
..
.
...
...
...
..
.
0
1
... 0
... ...
0 ...
0 ...
0 ...
..
..
.
.
... ... 0
1
... ... ... 0
... ... ... ...
1
−1
1
..
.
−1
1
−1
..
.
...
...
...
..
.
(−1)k+1
(−1)k
0
..
.
...
...
...
0
...
...
1
0
...
−1
1
0

0
0

0

..  .
.

0

0
1

xk + xk−1
xk−1 + xk−2 

xk−2 + xk−3 


..
 · n · Γk
.

1
x2 + x1 

1
x1 + a 
0
1

0
xk + xk−1
0 xk−1 + xk−2 

0 xk−2 + xk−3 

 k
..
..
 · Γ = Φk Sak (x) .
.
.

0
x2 + x1 

1
x1 + a 
0
1
0
0
0
..
.
(1)
Soit maintenant une métrique de Haar dk fixée sur Gk . Cette métrique induit une topologie sur Gk ,
pour laquelle une suite de matrices (m(l))l , converge vers une matrice m, où pour tout entier l :

1
0

0


m(l) =  ...

0

0
0


1
(l)
xk (l)
n11 (l) n21 (l) n31 (l) . . . nk−1
1
k−1
2
3


1
n2 (l) n2 (l) . . . n2 (l) xk−1 (l)
0
0
0
1
n23 (l) . . . nk−1
(l) xk−2 (l)
3




.
.
..
..
..
..
..  et m =  ...
.
.
.


0
...
...
0
1 nk−1
x2 (l) 


k−1 (l)
0

...
...
...
0
1
x1 (l)
...
...
... ...
0
1
0
. . . nk−1
1
. . . nk−1
2
. . . nk−1
3
..
..
.
.
k−1
... ... 0
1 nk−1
... ... ... 0
1
... ... ... ...
0
n11
1
0
n21
n22
1
..
.
n31
n32
n23
..
.

xk
xk−1 

xk−2 

.. 
,
. 


x2 
x 
1
1
s’il existe un rang l0 tel que :
∀l ≥ l0 , ∀i, j : nji (l) = nji et pour tout r ∈ {1, . . . , k}, xk (l) −→ xk .
l
On en déduit donc que l’application Φk est bijective et bi-continue, pour toute métrique de Haar dk
fixée sur Gk /Γk . On déduit de l’équation (1) que c’est une application de conjugaison topologique entre
le système Sak et la niltranslation par l’élément a sur la nilvariété (Gk /Γk , dk ).
17
INTRODUCTION
Preuve du lemme 5. Soit X = (X, B, µ, T ) un système dynamique mesuré et ergodique k ≥ 1 un entier
et f ∈ Dk (X ). Soit Φf : X −→ Tk , l’application définie par :
Φf (x) = U (k) (f )(x), . . . , U (f )(x) , f (x) , où U : f ∈ Mes(X, T) → f · f ◦ T ∈ Mes(X, T).
On commence par remarquer l’existence d’un élément θ ∈ T tel que pour µ-presque tout x ∈ X,
U (k) (f )(T x) = θU (k) (f )(x). On considère alors l’application :
Tf : Tk → Tk définie par Tf (ξ1 , . . . , ξk ) = (θξ1 , ξ1 ξ2 , . . . , ξk−1 ξk ).
On note Af la tribu des boréliens sur Tk pour la métrique usuelle dk . Puisque pour µ-presque tout
x ∈ X, Φf (T x) = Tf (Φf (x)), la mesure µ se transporte en une mesure borélienne νf sur Tk (qui n’est
pas nécessairement la mesure de Lebesgue). On note Xf le support de la mesure ν. Finalement, le
système mesuré (Xf , Af , νf , Tf ) est bien un facteur dynamique mesuré du système X sous l’application
facteur mesuré Φf .
Le lemme 4 nous assure que le système topologique (Tk , dk , Tf ) est topologiquement conjugué à un nilsystème (G/Γ, δ, S). La proposition 2 nous assure que la conjugaison topologique transporte les mesures.
La mesure ν est donc transporté en une mesure νG , invariante sur l’espace G/Γ. Cette mesure est de
plus ergodique par la proposition 1.
Cependant, le théorème {B} et un résultat classique de H. Furstenberg sur les systèmes topologiques
distaux, nous assurent que les mesures ergodiques des nilsystèmes sont portées par les parties minimales,
et que la réunion de celles-ci recouvrent la nilvariété.
On pose
H = { S n (e) ; n ∈ N} où e est l’élément neutre du groupe G.
C’est un sous-groupe de G. Quitte à translater la mesure νG , on peut donc supposer que c’est la mesure
de Haar du nilsystème (H/(Γ ∩ H), S).
On vient donc de montrer que le nilsystème (H/(Γ ∩ H), S) est un facteur mesuré du système mesuré
ergodique X .
Preuve du corollaire 3. Soit X = (X, B, µ, T ) un système dynamique mesuré, ergodique et k ≥ 1 un
entier. Pour toute fonction f ∈ Dk , on note Xf = (Xf , Tf ) le nilfacteur de rang k obtenu par le lemme
5. Sous l’hypothèse d’ergodicité du système X , un résultat classique nous assure que l’ensemble Dk est
dénombrable. On renomme cet ensemble Dk = {fn ; n ∈ N}.
On construit par récurrence une famille {Yi ; i ∈ N} de facteurs du système X de la manière suivante :
n
o
On pose Y1 = Xf1 , et pour tout entier i ≥ 1, : Yi+1 = C mes Yi , Xfi+1 .
La famille de facteurs { Yi ; i ∈ N }, est maintenant adaptée pour le passage à la limite inverse mesurée.
On rappelle que le couplage de nilfacteurs est encore un nilfacteur. L’objet ainsi récupéré est donc une
limite inverse mesurée de nilsystèmes. Le même raisonnement que celui effectué dans la partie 3.3 nous
permet d’obtenir un résultat plus fort : c’est un pro-nilfacteur. On ne montre pas cependant que
c’est un nilsystème affine.
Une conséquence immédiate de ces résultats est la proposition suivante :
Proposition 5. Pour tout système dynamique ergodique X , tout entier k ≥ 1 et tout entier i ∈
{1, . . . , k}, les facteurs introduits dans les parties 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 ici sont reliés par le diagramme
commutatif suivant :
18
INTRODUCTION
X
Fk (X )
Fk−1 (X )
Fi (X )
F1 (X )
Zk (X )
Zk−1 (X )
Zi (X )
Z1 (X )
Dk (X )
Dk−1 (X )
Di (X )
D1 (X )
Preuve. Le corollaire 3 nous assure que Dk (X ) est une limite inverse (au moins mesurée) de nilfacteurs.
Par le lemme 3, on peut trouver pour tout 1 ≤ i ≤ k, des pro-nilfacteurs de X tels que les applications
facteurs Zk (X ) → Zi (X ), Dk (X ) → Di (X ) et Zi (X ) → Di (X ) soient continues.
4
4.1
Théorie spectrale associée au facteur de Kronecker et aux facteurs de Host-Kra-Ziegler
Théorie spectrale associée à l’étude du facteur de Kronecker
Soit X = (X, d, T ) un système dynamique topologique minimal et uniquement ergodique. On note µ
l’unique mesure borélienne invariante. A chaque fonction f ∈ L2 (µ), on associe pour tout entier n
positif la quantité :
Z
f (T n x)f (T x) dµ(x) et σ
ff (−n) = σ
ff (n).
σ
ff (n) =
X
La suite (f
σf (n))n∈Z est une suite définie positive, donc grâce au théorème de Bochner-Herglotz, il existe
une mesure σf de probabilité borélienne sur le cercle S1 , muni de sa mesure de Lebesgue λ, appelée
mesure spectrale de f . Elle possède deux propriétés fondamentales :
Z
∀n ∈ Z , σ
ff (n) = θ−n dσf (θ) et σf ({θ}) =|< f, fθ >|2 .
(2)
S1
Nous poursuivons alors avec le lemme suivant, dû à E.A. Robinson Jr et démontré dans [82], qui
généralise un résultat obtenu par M. Queffélec dans [81] :
Lemme D (E.A. Robinson Jr (1994) ). Soit f ∈ C(X) et (xN )N ∈ X N :
2
N −1
1 X
n
−n lim sup f (T xN )θ ≤ σf ({θ}).
N
N
n=0
On rappelle alors un théorème démontré par E. A. Robinson Jr dans [82] et P. Walters dans [90] :
Théorème E (E.A. Robinson Jr et P. Walters (1994) ). Si toutes les valeurs propres du système
dynamique topologique minimal et uniquement ergodique X = (X, d, µ, T ) sont continues, alors pour
tout θ ∈ S1 , les moyennes
lim
N
N −1
1 X
f (T n x)θ−n convergent uniformément en x vers < f, fθ > fθ (x),
N n=0
où fθ est la fonction propre continue à valeur dans S1 associée à la valeur propre θ et fθ la fonction
nulle si θ ∈
/ S(X ).
19
INTRODUCTION
4.2
Les semi-normes de Gowers-Host-Kra
L’intérêt particulier porté à l’étude des facteurs de Host-Kra-Ziegler, provient en grande partie des
objets de type spectral que l’on peut leur associer. Une autre manière d’introduire les facteurs de HostKra-Ziegler est de considérer certaines semi-normes.
Soit X = (X, B, µ, T ) un système dynamique ergodique. Soit f ∈ L∞ (µ), on définit par récurrence :



 |||f |||1
=


 |||f |||k+1
=
lim N1
N
lim H1
H
NP
−1
n=0
H−1
P
σ
ff (n) = lim N1
N
f (T n x)f (T x) dµ(x) et
n=0 X
(3)
|||f ◦ T h · f |||k pour tout entier k ≥ 1.
h=0
NP
1 −1 NP
2 −1 R
1
N
N
N1 ,N2 1 2 n1 =0 n2 =0 X
Par exemple : |||f |||2 = lim
NP
−1 R
f (T n1 +n2 x)f (T n1 x)f (T n2 x)f (x)dµ(x).
Ces objets sont proches des normes de W.I. Gowers introduites dans [40]. B Host et B. Kra montrèrent
dans [49] que ce sont des semi-normes sur l’espace L∞ (µ). Ces semi-normes possèdent les propriétés
remarquables suivantes :
Théorème F (B Host et B. Kra (2005) [49]). Soit Y = (Y, d, ν, S) un nilfacteur d’un système dynamique
mesuré X sous une application π. Alors pour tout entier k, ||| · |||k est une norme sur l’espace {f ◦ π; f ∈
L∞ (ν)}.
Théorème G (B. Host et B. Kra (2005) [49]). Pour k ∈ N et f ∈ L∞ (µ), |||f − E f |Zk∗ (X ) |||k = 0.
Ces objets ont été initialement introduits et développés en théorie ergodique pour étudier des problèmes
de récurrence multiples. Ils apparaissent "naturellement", comme on peut s’en convaincre au travers du
théorème suivant :
Théorème H (B. Host et B. Kra (2005) [49], T. Ziegler (2007) [95]). Pour tout entier k, f ∈ L∞ (µ) et
(a1 , . . . , ak ) ∈ Nk , les moyennes
N −1 k
N −1 k
1 XY
1 XY ai n
∗
2
f (T x) convergent en norme L (µ) vers lim
E f | Zk−1
(X ) (T ai n x).
N N
N n=0 i=0
n=0 i=0
Le principal résultat obtenu par B. Host et B. Kra dans [52] qui nous intéresse ici est le suivant :
Théorème I (B. Host et B. Kra (2009) [52]). On suppose que la projection d’un système dynamique
topologique minimal et uniquement ergodique X dans le k-ième facteur de Host-Kra-Ziegler est continue.
On fixe une fonction f ∈ C(X) et un élément x ∈ X. Soit h une fonction continue sur une nilvarité de
rang k et g0 un élément de cette nilvariété. Alors,
N −1
1 X
les moyennes
h(g0n ) · f (T n x) convergent pour tout x ∈ X.
N n=0
20
INTRODUCTION
5
Le groupe d’Heisenberg
On rappelle ici certaines propriétés du groupe d’Heisenberg H3 (R), noté X, des matrices réelles de
taille 3 triangulaires supérieures, avec des «1» sur la diagonale. On reviendra sur ce groupe dans le
chapitre VI. La loi de ce groupe est donnée par :



  


x + x0
1 x z
x
−x
x • x0 =  y + y 0  où on note x = 0 1 y  = y  . On a x−1 =  −y  .
z + z 0 + xy 0
0 0 1
z
xy − z
L’élément neutre du groupe est la matrice identité, notée 1. Le commutateur de deux éléments x et
y est défini par :
[x, y] = x • y • x−1 • y −1 .
 

 0

Le centre du groupe, noté Z, est : Z = {x ∈ X; ∀y ∈ X , [x, y] = 1} = 0 ∈ X; z ∈ R .


z
On note p : X → R2 le morphisme de groupe défini par : p(x) = (x, y), la suite suivante est alors
exacte :
/1
/ Z i / X p / R2
1
Munissons alors l’espace X d’une métrique d, invariante par multiplication à gauche, c’est-à-dire vérifiant
pour tout triplet (x, y, z) d’éléments de X : d(x, y) = d(z • x, z • y). Elle sera définie à partir de la
norme de groupe ||·||X : X −→ R+ suivante :
 
x y 
z =
x2 + y 2
2
1
xy 2 4
+ z−
.
2
X
L’application ||·||X est bien une norme de groupe
vérifie les trois propriétés suivantes :
puisqu’elle
||x||X = 0 si et seulement si x = 1, ||x||X = x−1 X et ||x • y||X ≤ ||x||X + ||y||X pour tout élé2
2
ment
−1 (x, y)
∈ X . La métrique d recherchée est alors définie pour tout (x, y) ∈ X par : d(x, y) =
x • y .
X
Fig. 2 – On représente en rouge la boule unité de (X, d) et en bleu, la sphère unité Euclidienne standard
de R3 dans les sous-espaces de X constitués des matrices [x, y, z] vérifiant respectivement : x = y puis
z = 0, et enfin x = 0.
21
INTRODUCTION
Bien que la métrique d et la métrique Euclidienne standard soient différentes, elles induisent la même
topologie sur R3 .
En remarquant alors que Z = [X, X], l’espace (X, •, d) est un groupe de Lie nilpotent de rang 2.
Il peut être muni d’une structure différentiable. L’espace tangent à X en 1, qui est par définition son
algèbre de Lie, est :




 
0 α γ
α


g = x = 0 0 β  ; (α, β, γ) ∈ R3 . Les éléments de g seront notés x = β  .


0 0 0
γ
Puisque l’espace (X, d) est connexe, l’application exponentielle est un difféomorphisme de l’algèbre de
Lie g sur cet espace.
g 

α
exp :
x = β 
γ
−→
7→

X −→
α
α
d’inverse log :  
β
7→
1 + x + 12 x2 =  β 
γ
γ + αβ
2
X 
Le crochet de Lie dans l’algèbre de Lie est défini par : [x, x0 ] =
1
2
g 
α
 β  .
γ − αβ
2

log ([exp x, exp x0 ]) .
Avec ces notations, on a les relations :
exp(x + x0 ) • exp([x, x0 ]) = exp x • exp x0 et log(x • x0 ) = log x + log x0 + log([x, x0 ]).
 
α
Pour tout élément x = β  de l’algèbre de Lie g, on note :
γ



 
αt
αt


 ; t ∈ R avec la convention t · x = βt .
βt
Gx = {exp(t · x) ; t ∈ R} = 


2
γt
γt + αβ
2 t
(4)
Ce sont les sous-groupes à 1 paramètre de X.
Soit H3 (Z) = Γ le sous-groupe de X constitué des matrices à coefficients entiers. La suite suivante est
encore exacte :
/ Z ∩Γ i
/ Γ p / Z2
/1.
1
La métrique d induit une métrique d sur l’espace quotient X \ Γ noté X. L’espace X agit isométriquement par translation à gauche sur cet espace métrique compact. Il existe de plus une unique mesure
de probabilité invariante par cette action, appelée mesure de Haar. Par définition, (X, d) est une
nilvariété.
L’espace X est topologiquement isomorphe à l’espace [0; 1]3 , avec les identifications suivantes :
          

  

0
1
x
x
x
x
x
x
y  ∼ y  , y  ∼ y  ,  0  ∼ 
 et  1  ∼ 
.
1
0
z
z
0
1
z
x + z mod 1
z
z − x mod 1
La mesure de Haar de l’espace X, plongé dans ce domaine fondamental, est la mesure de Lebesgue
standard au cube noté λ3 .
22
INTRODUCTION
Fig. 3 – Identification des faces du cube unité standard pour obtenir la nilvariété X.
Il existe trois types de systèmes dynamiques agissant sur les espaces X et X naturels à étudier qui
préservent cette mesure.
La première famille d’applications est composée des homomorphismes continus de X. On sait grâce aux
travaux de G. Gelbrich dans [32], qu’ils sont de la forme suivante :
 

x
L : y  7→ 
ac 2
z
2 x + (e −

ax + by
.
cx + dy
ac
bd 2
bd
)x
+
y
+
(f
−
)y
+
bcxy
+
(ad
−
bc)z
2
2
2
(5)
L préserve le réseau Γ lorsque les coefficients (a, b, c, d, e, f ) sont entiers. Dans ce cas, l’application L
agit également dans l’espace quotient X. De plus, ces applications préservent la mesure de Haar si les
coefficients vérifient l’équation : | ad−bc |= 1. L’ensemble des automorphismes de X tels que ad−bc = 1
forment l’espace des déformations (ou espace de Teichmüller) de la nilvariété X. L. Flaminio et G.
Forni étudient particulièrement cet espace dans [21] et [22].
On peut aussi s’intéresser à l’action des sous-groupes à 1 paramètre sur l’espace X, dont l’expression
est donnée par (4) :

 
αt
α
 avec t ∈ R et x = β  ∈ g,
βt
Φtx : x 7→ g tx • x, où g tx = exp(t · x) = 
2
γ
γt + αβ
2 t

(6)
ainsi qu’à leur analogue en temps discret, l’action des translations à gauche :
X
Tx :
x
 


α
α
→
X
avec x = β  ∈ g et g x = exp(x) =  β  .
7
→
gx • x
γ
γ + αβ
2
(7)
On notera également ces applications Φα,β,γ et Tα,β,γ .
Ces applications agissent naturellement sur l’espace quotient X. On les notera alors T et Φ. Ces classes
de systèmes, appelés niltranslations et nilflots, ont été largement étudiées. Citons ici deux résultats
centraux :
Théorème B (E. Lesigne (1991) [67]). Soit x ∈ X. On note O(x) = {T n (x); n ∈ N}. Le système
(O(x), T ) est minimal et uniquement ergodique.
Théorème J (L. Auslander, L. Green et F. Hahn (∼1965) [42], [11]). Le flot Φtα,β,γ t sur X est
minimal si et seulement si il est uniquement ergodique si et seulement si les coefficients α et β sont
linéairement indépendants.
23
INTRODUCTION
Fig. 4 – Représentation du flot Φt 1
φ2
1
,φ
,0
, où φ est le nombre d’or, pour les premiers instants.
On considère le flot de commutation Ψt défini de la manière suivante :
 
0
ct = 0 et Ψt (x) = ct • x pour t ∈ R.
t
Lemme .1. Φsα0 ,β 0 ,γ 0 ◦Φtα,β,γ = Φtα,β,γ ◦Φsα0 ,β 0 ,γ 0 ◦Ψ∆(t−s) où ∆ = βα0 −β 0 α. En particulier, Ψs ◦Φtα,β,γ =
Φtα,β,γ ◦ Ψs .
Preuve. Il suffit de calculer les expressions suivantes :
 

x + tα + sα0
x
s
t



y + tβ + sβ 0
Φα0 ,β 0 ,γ 0 ◦ Φα,β,γ y
=
0
z
+ γ0s +
 
 z + ytα + (y + tβ)sα + γt
0
x + sα + tα
x
y + sβ 0 + tβ
et Φtα,β,γ ◦ Φsα0 ,β 0 ,γ 0 y  = 
z
z + ysα0 + (y + sβ 0 )tα + γ 0 s + γt +

αβ 2
2 t

+
α0 β 0 2
2 s
α0 β 0 2
2 s 
+
αβ 2
2 t
.
La norme de groupe vérifie certaines propriétés par rapport aux objets introduits. Pour tout élément
x ∈ X, le flot Φlog x est l’unique flot vérifiant Φ1 (0) = x. Si x = [x, y, z], la norme de groupe vérifie :
t
Φlog x (1)
X
1
xy 2 4
4
2
2 2
2
= t x +y
+t z−
.
2
Pour tout réel t, on considère aussi la dilatation de l’espace Dt : X −→ X, telle que Dt ([x, y, z]) =
[xt, yt, zt2 ]. La norme de groupe vérifie :
t D x =| t | · ||x|| pour x ∈ X.
X
X
Une différence profonde avec la situation abélienne est que pour tout réel t ∈
/ {0, 1}, l’application de X
dans lui-même définie par : x 7→ Φtlog x (1), n’est pas un homomorphisme du groupe X. Pour plus de
détails sur les métriques invariantes à gauche de ce groupe, on renvoie aux articles [4], [41], [61] et [73].
24
INTRODUCTION
6
Induction
Soit X = (X, B, µ, T ) un système dynamique mesuré et B ∈ B tel que µ(B) > 0.
Pour tout x ∈ B, on définit : nB (x) = inf{n ∈ N; T n (x) ∈ B} ∈ N ∪ {+∞}.
Le théorème de H. Poincaré nous assure que µ-presque tous les points de B sont récurrents par rapport
à B, et donc, µ({x ∈ B; nB (x) ∈ N}) = µ(B). On peut rappeler ici le théorème suivant :
Théorème (Kac (1947) ). Soit X = (X, B, µ, T ) un système dynamique mesuré ergodique et B ∈ B tel
que µ(B) > 0. Alors :
Z
nB dµ = 1.
B
Soit X = (X, B, µ, T ) un système dynamique mesuré et B ∈ B tel que µ(B) > 0. On définit l’application
induite par T sur B :
TB : B −→ B définie par TB (x) = T nB (x) (x) pour µ-presque tout x ∈ B.
Si on note BB (respectivement µB ) la trace de la tribu B (respectivement µ) sur B, le quadruplet
XB = (B, BB , µB , TB ) est un système dynamique mesuré.
Un système dynamique X = (X, B, µ, T ) est dit auto-induit (relativement à B) s’il existe un sousensemble mesurable B de X tel que les systèmes dynamiques mesurés X et XB soient équivalents
de manière mesurée. On notera φB : X −→ B l’application qui conjugue ces systèmes. Le système
dynamique X = (X, B, µ, T ) est dit auto-similaire (relativement à B) si l’espace X est un sousensemble de Rn , s’il est auto-induit par rapport à B ∈ B et que l’application de conjugaison φB se
prolonge en une application linéaire sur Rn .
Exemple : le fractal de Rauzy. On considère la substitution sur 3 lettres suivante, appellée substitution
de «Tribonacci» :

 a 7→ ab
b 7→ ac .
σ:

c 7→ a
∗
N
Il existe une unique suite w = (wn )n≥1 = abacaba · · · ∈ {a, b,
c} , appellé
mot de «Tribonacci», telle
que σ(w) = w. On construit une suite de points (xn )n≥0 = (xn , yn ; zn )
de R3 par récurrence de
n≥0
la manière suivante :
x0
=
(0, 0, 0)
xn+1 = xn + ewn
On considère la matrice
et pour k ≥ 1 :
où ea = (1, 0, 0) , eb = (0, 1, 0) et ec = (0, 0, 1).

1
Mσ = 1
1
1
0
0

0
1 .
0
Son polynôme caractéristique est P (X) = −X 3 + X 2 + X + 1. La matrice admet donc une valeur propre
de module strictement supérieur à 1 et deux valeurs propres de modules strictement inférieurs à 1.
L’espace propre associé à la valeur propre de module supérieur à 1 est appelé droite dilatante, et le plan
propre engendré par les deux espaces propres associés aux valeurs propres inférieures en module à 1 est
appelé plan contractant. On note π la projection de l’espace R3 sur le plan contractant, parallèlement à
la droite dilatante.
25
INTRODUCTION
L’adhérence de la projection π, de cette ligne brisée est un espace compact, connexe, qui est un domaine
fondamental du plan appelé fractal de Rauzy. Ce fractal se partitionne en trois zones, données par
Xa = π({xn ; n ∈ N et wn = a}), Xb = π({xn ; n ∈ N et wn = b}) et Xc = π({xn ; n ∈ N et wn = c}).
Le système dynamique symbolique est conjugué de manière mesurée à une translation par morceaux des
trois pièces Xa , Xb et Xc . On peut alors montrer que ce système est encore conjugué à une translation
2
du tore (S1 ) .
Les résultats de ce que nous annonçons peuvent être trouvés par exemple dans [23], [16] et [7]. Ils se
généralisent à d’autres substitutions. On reviendra sur ces notions dans le chapitre VI.
Fig. 5 – Projection de la ligne brisée (xn )n dans le plan contractant. On attribue au n-ième point xn
respectivement la couleur rouge verte ou bleue, selon que la n-ième lettre dans le mot de Tribonacci soit
respectivement un «a», un «b» ou un «c».
L’avantage de cette construction est également de produire une partition de Markov d’une trans2
lation minimale et uniquement ergodique du tore (S1 ) , ce qui permet en particulier de conjuguer ce
système géométrique avec un système symbolique, construit à partir d’un point fixe d’une substitution.
On rappelle succinctement la notion de partition de Markov d’un système dynamique topologique, on
pourra se référer à l’article [3] de R. L. Adler pour plus d’informations. Une partition P = (P1 , . . . , PN ),
d’un espace métrique (X, d) est une partition topologique d’un système dynamique topologique
X = (X, d, T ), où T est surjective, si
– pour tout i ∈ {1, . . . , N }, les ensembles Pi sont ouverts.
– pour tout i ∈ {1, . . . , N } et j ∈ {1, . . . , N } distincts de i, Pi ∩ Pj 6= ∅.
– X = P1 ∪ · · · ∪ PN .
Une partition topologique P = (P1 , . . . , PN ) d’un système dynamique topologique (X, d, T ) est une
partition de Markov si pour tout entier n ≥ 3 et pour tout élément (uk )k∈{1,...,n} ∈ {1, . . . , N }n , tel que
pour tout k ∈ {1, . . . , n − 1}, si Puk ∩ T −1 Puk+1 6= ∅ , alors
n
\
k=1
26
T −k Puk 6= ∅.
Chapitre I
Théorie de représentation des systèmes
dynamiques
Cette partie justifie en partie l’étude que nous allons mener. Nous introduisons des notions développées
en particulier dans les ouvrages d’E. Glasner [33], P. Walters [89] et K. Petersen [78].
Le point de départ est le théorème suivant :
Théorème (R.I. Jewett et W. Krieger (1970) ). Tout système dynamique mesuré ergodique est équivalent
de manière mesurée à un système dynamique minimal et uniquement ergodique.
Ce théorème, démontré par R.I. Jewett dans [55] et W. Krieger dans [58] nous assure donc que l’on peut
trouver un représentant d’un système mesuré ayant des propriétés topologiques fortes. Cependant, il nous
montre également les limites de la notion de facteur mesuré. En effet, il assure que réciproquement, un
système topologique minimal et uniquement ergodique, peut avoir un facteur mesuré non-uniquement
ergodique. Depuis, B. Weiss a obtenu des résultats beaucoup plus forts autour de cette idée, notamment
dans [92] et [93]. Nous introduisons les notions suivantes ;
Un modèle topologique complet d’un système dynamique mesuré ergodique X1 est un système
f1 minimal et uniquement ergodique qui est un système dynamique équivalent
dynamique topologique X
de manière mesurée au système initial X1 . On notera les applications qui relient ces systèmes entre eux
e1 .
φ : X1 7→ X
Un modèle topologique complet d’une application facteur mesuré π : X1 7→ X2 entre deux
systèmes dynamiques mesurés ergodiques est la donnée de deux modèles topologiques complets de X1 et
e1 7→ X
e2 qui préserve les conjugaisons entre les systèmes
X2 et d’une application facteur topologique π
e:X
e
e
(X1 , X1 ) et (X2 , X2 ), et (X1 , X2 ).
On peut représenter cette définition par le diagramme :
27
CHAPITRE I. THÉORIE DE REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
X1
π
X2
T1
T2
π
X1
X2
φ1
φ2
φ1
e1
X
Te1
φ2
π
e
e2
X
Te2
π
e
e1
X
e2
X
Théorème K (B. Weiss (1985) ). Soit π : X1 7→ X2 , une application facteur mesurée du système
f2
dynamique mesuré ergodique X1 vers le système dynamique mesuré ergodique X2 . On suppose que X
est un modèle topologique complet de X2 . Alors il existe un modèle topologique complet π
e de l’application
facteur π. Nous nous appuyons sur ce résultat et sur ceux développés dans les sections 3.3 et 3.5 de
l’introduction pour montrer le résultat suivant :
Théorème 1. On fixe un entier k. Tous les systèmes mesurés ergodiques admettent un modèle topologique complet dans lequel la projection dans les facteurs maximaux de Host-Kra-Ziegler d’ordre inférieur
à k est continue. Puisque les facteurs à spectre quasi-discret d’ordre inférieur à k sont des facteurs topologiques de ces facteurs, la projections dans ces facteurs est aussi continue. On peut représenter ce
théorème par le diagramme commutatif :
Hk−1
Hk
X
ek
X
Hk−1
Hk
X
Hi
ek
D
e
K
Di
ei
H
e k−1
D
K
e2
H
Dk−1
e k−1
H
ek
H
K
H2
ei
H
Dk
ek
X
Hi
e k−1
H
ek
H
H2
D2
e2
H
ei
D
e
K
e2
D
Preuve. Soit X un système dynamique mesuré ergodique et k un entier naturel. On utilise des résultats
des sections 3.3 et 3.5 de l’introduction. Par le lemme 1, il existe Zk (X ), un pro-nilsystème de rang k
qui détermine le k-ième facteur de Host-Kra-Ziegler. Il existe alors par le théorème {K}, un système
e qui est conjugué à X , et tel que l’application
dynamique topologique minimal et uniquement ergodique X
facteur de X dans Zk (X ) soit continue. Cependant, puisque par le lemme 2, les systèmes dynamiques
Zk (X ) et Zk (Xe) sont topologiquement équivalents, cela revient à dire que la projection du système
28
CHAPITRE I. THÉORIE DE REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
topologique Xe dans le système Zk (Xe) est continue.
Le reste de la preuve provient des relations entre les facteurs de degrés différents et de la relation entre
les facteurs Dk (X ) et Zk (Xe), obtenues par la proposition 5.
Remarque : Soit X = (X, d, µ, T ) un système dynamique topologique minimal et uniquement ergodique, et, Y = (Y, δ, ν, S), un facteur topologique de X . On note π l’application facteur. On dira que le
système X est continu sur son facteur Y si
∀f ∈ C(X) il existe fY ∈ π ∗ (C(Y )) et fY ⊥ ∈ π ∗ (L2 (ν))⊥ ∩ C(X) telles que f = fY + fY ⊥ .
On rappelle que pour ν presque tout y ∈ Y , il existe une mesure borélienne µy , telle que µy (π −1 ({y})) =
1 et pour toute fonction continue f ∈ C(X), µSy (f ◦ T ) = µy (f ). On appellera l’application mesurable
y 7→ µy , la décomposition de la mesure µ sous la mesure ν.
On peut montrer dans ces conditions, que le système X est continu sur son facteur Y si et seulement si
la décomposition de la mesure ν est continue sous la mesure µ (c’est-à-dire, si l’application y 7→ µy est
continue, avec les topologies naturelles misent en jeu).
Ainsi, on peut séparer l’étude de la convergence de certaines moyennes des fonctions continues selon
la position de la fonction par rapport à π ∗ (C(Y )). Malheureusement, le fait qu’un système se projette
continûment sur un facteur n’implique pas qu’il soit continu sur ce facteur, comme le montre l’exemple
suivant :
Soit X0 = (X0 , d0 , µ0 , S0 ) le système symbolique associé à la substitution de Fibonacci, introduit dans
la section 1 de l’introduction. On reviendra plus longuement sur ce système dans la section 1 du chapitre
VI. On sait que ce système est conjugué de manière mesurée à la rotation d’angle e2iπφ sur le cercle,
où φ est le nombre d’or. On notera ce système Y0 = (S1 , δ, λ, Rφ ), où δ est la métrique standard sur le
cercle et λ la mesure de Lebesgue.
L’application facteur π : X0 −→ S1 est continue, cependant, la décomposition de la mesure µ sous la
mesure λ n’est pas continue. En effet, les points ξ ∈ S1 tels qu’il existe un entier n tel que exp(2iπnφ)ξ =
1 posent problème.
Une question encore ouverte est de savoir si l’on peut appliquer le théorème {K} après avoir appliqué le
théorème {P} de Rohlin (cf. introduction du chapitre IV), ce qui nous assurerait que la décomposition
de la mesure est continue. On en déduirait alors, par exemple, que tout système ergodique admet un
modèle topologique continu, au moins sur son facteur de Kronecker.
29
CHAPITRE I. THÉORIE DE REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
30
Chapitre II
Structure de la thèse et motivations
Les théorèmes de G. D. Birkhoff et de J. Von Neumann nous assurent en particulier, que la limite des
moyennes ergodiques des fonctions considérées existe dans les espaces L1 et L2 . Le point de départ du
premier chapitre de notre travail était de pouvoir donner un équivalent topologique de ces théorèmes.
La première question «naïve» qui s’impose est alors :
Soit X = (X, d, T ) un système dynamique topologique et f une fonction continue sur X, est-ce que la
limite des moyennes
N −1
1 X
f ( T n x )existe pour tout point x ?
N n=0
Il est apparu assez rapidement que la réponse à cette question était négative. Cependant, on dispose
d’une caractérisation des fonctions continues pour lesquelles les moyennes ergodiques convergent uniformément. De manière analogue au cas L2 ou L1 , la convergence est alors donnée par une projection. Ce
travail rejoint les travaux de J. C. Oxtoby.
Théorème 2. Soit (X, d, T ) un système topologique et f une fonction continue sur X. On note I =
{g ∈ C(X); g ◦ T = g (partout) }. Les assertions suivantes sont équivalentes :
NP
−1
– Il existe f ∗ ∈ C(X) telle que pour tout x ∈ X, N1
f (T n x) converge vers f ∗ (x).
n=0
N −1
P
– La suite d’applications N1
f ◦ Tn
converge uniformément vers une fonction continue f ∗ .
n=0
N
⊥
– f ∈ M⊥
T ⊕ I, où MT = {f ∈ C(X); pour toute mesure borélienne invariante µ, µ(f ) = 0}.
∗
⊥
L’application π : f ∈ M⊥
T ⊕ I −→ f ∈ I est alors l’unique projection continue surjective de MT ⊕ I
sur I qui vérifie pour toute fonction f ∈ C(X) et x ∈ X, π(f )(T x) = π(f ◦ T )(x).
Notre travail a été ici de donner un sens au facteur semi-mesurable invariant caractéristique d’un système
dynamique topologique. Cela nous a conduit à croiser des propriétés propres aux systèmes dynamiques
mesurables et topologiques afin d’associer canoniquement, dans la section5 du chapitre III, à tout système
topologique X , un système dynamique mesurable Z0 (X ), sous une application facteur semi-mesurable
π0 , possédant les propriétés suivantes :
Théorème 3. Soit X = (X, d, T ) un système dynamique topologique. L’espace Z0 (X ) est un sousensemble des mesures invariantes du système, et pour toute mesure borélienne invariante µ,
pour µ -presque tout x ∈ X, pour toute fonction f ∈ C(X),
31
1
N
NP
−1
n=0
f (T n x) converge vers π0 (x)(f ).
CHAPITRE II. STRUCTURE DE LA THÈSE ET MOTIVATIONS
Théorème 4. Soit X = (X, d, T ) un système topologique. La projection dans le facteur semi-mesurable
invariant caractéristique est continue si et seulement si C(X, C) = M⊥
T ⊕ I, si et seulement si, pour
toute fonction continue f ∈ C(X), les moyennes ergodiques
N −1
1 X
f (T n x) convergent uniformément en x avec N .
N n=0
Le système mesurable Z0 (X ) est alors un système dynamique topologique et c’est un facteur topologique
du système X .
En particulier, si le système est minimal, la projection dans le facteur semi-mesurable invariant caractéristique est continue si et seulement si le système est uniquement ergodique.
On a apporté une réponse satisfaisante à la question initiale. Cependant, il n’est pas trivial de savoir
pour un système dynamique topologique, si la projection dans son facteur Z0 (X ) est continue. Il y a
deux questions principales encore ouvertes :
α) Soit X un système dynamique topologique, le facteur semi-mesurable Z0 (X ) est-il un facteur mesurable ? Possède-t-il certaines propriétés de maximalité intéressantes ?
β) Soit X un système dynamique mesurable, est-ce qu’il existe un système dynamique topologique Y,
mesurablement équivalent à X , tel que la projection de Y dans Z0 (Y) soit continue ?
Il se présente plusieurs motivations à croiser les propriétés topologiques et mesurables des systèmes
dynamiques. Comme nous l’avons souligné dans l’introduction, l’étude d’un point de vue des mesures,
de certains facteurs dynamiques respecte les propriétés topologiques de ces facteurs. D’autre part, le
théorème 1 de représentation nous montre que pour étudier un système dynamique mesuré, on peut toujours supposer au besoin, que le système dynamique est un système topologique minimal, dans lequel
la projection dans son facteur de Host-Kra-Ziegler d’ordre fixé est continue. Enfin, le théorème {I} de
B. Host et B. Kra montre que la continuité de l’application facteur détermine l’existence d’une limite
partout de certaines moyennes ergodiques.
On s’est intéressé dans le chapitre V à l’étude d’un type de convergence de moyennes ergodiques plus
particulières, dites moyennes ergodiques polynomiales, qui sont de la forme :
N −1
1 X
f (T n x)epa (n) où ex = e2iπx , a = (a0 , . . . , ak ) ∈ Rk+1 et
N n=0
pour tout entier n : pa (n) =
k
X
i=0
ai C(n, i) où C(n, i) =
n!
.
i!(n − i)!
Elles sont différentes des expressions considérées par B. Host et B. Kra dans [52] et ont été déjà étudiées
notamment dans [24], [96], [2], [66], [70], [43], [44], [46], [47] et [48] .
On note C ∗ (X) le dual topologique de l’espace vectoriel C(X), où (X, d) est un espace topologique métrique, compact et séparable.
Pour tout système dynamique topologique minimal et uniquement ergodique X , on propose dans la section 2 du chapitre V la construction canonique d’un facteur semi-mesurable Ek (X ) sous une application
facteur pk , caractéristique pour l’étude de ces convergences. Les théorèmes suivants montrent le rôle
joué par ce facteur dans la convergence de ces moyennes ergodiques :
32
CHAPITRE II. STRUCTURE DE LA THÈSE ET MOTIVATIONS
Théorème 5. Soit X = (X, d, T ) un système dynamique minimal et uniquement ergodique dont
l’unique mesure invariante est notée µ et k un entier naturel. Pour µ-presque tout x ∈ X, pk (x) est une
fonction de [0, 1]k+1 dans C ∗ (X) vérifiant pour tout a ∈ [0, 1]k+1 et toute fonction f ∈ C(X) :
N −1
1 X
f (T n x)eipa (n) converge vers pk (x)(a)(f ).
N n=0
Théorème 6 (projection dans le facteur de Kronecker). Les valeurs propres du système X sont continues
si et seulement si la projection dans le facteur de Kronecker est continue si et seulement si pour tout
θ ∈ S 1 et toute fonction f ∈ C(X), les moyennes :
N −1
1 X −n
θ f (T n x) convergent avec N uniformément en x vers < f, fθ > fθ (x).
N n=0
Le facteur E1 (X ) que nous construisons est alors le facteur de Kronecker du système.
Proposition V.1. Soit X = (X, d, T ) un système dynamique topologique minimal et uniquement ergodique et k un entier. Par définition du système Ek (X ), les relations suivantes sont équivalentes :
– L’application facteur pk est continue.
– ∀f ∈ C(X) et a ∈ [0, 1]k+1 , l’application x 7→ lim N1
N
NP
−1
f (T n x)epa (n) existe partout et est une
n=0
fonction continue.
Il reste de nombreuses questions ouvertes autour de ce travail, notamment :
δ) Il est clair que pour tout système dynamique topologique minimal et uniquement ergodique X , Dk (X )
est un facteur du système Ek (X ), sont-ils égaux ?
γ) Est-ce que ce type de construction peut amener à la construction canonique d’un facteur de HostKra-Ziegler afin d’obtenir de la convergence uniforme dans le théorème {I} ?
On fera une étude de systèmes particuliers : les systèmes de type Anzai. Il est assez difficile de conceptualiser un système dynamique topologique ayant de «bonnes» propriétés topologiques (minimal), mais
de «mauvaises» propriétés du point de vue de la mesure (non-uniquement ergodique). Ces systèmes
fournissent en particulier un exemple où une approche topologique ne suffit pas à bien comprendre le
comportement global du système. On les étudiera dans la section IV en reprenant des techniques utilisées par H. Furstenberg dans [25].
Dans l’étude que nous avons menée, nous nous sommes heurté simultanément à plusieurs difficultés :
comprendre les objets intervenant dans l’étude de certaines moyennes ergodiques, les étudier et comprendre pourquoi et comment on pouvait négliger le reste. On s’intéresse dans le dernier chapitre à
comprendre certaines propriétés dynamiques des niltranslations. Il y a sûrement un lien avec la répartition de certaines suites que nous ne traitons pas ici. On s’intéresse donc à certaines extensions
isométriques de rotations du cercle avec une démarche de fond similaire à celle de G. Forni et L. Flaminio, et plus particulièrement à des phénomènes d’auto-similarité pour de tels systèmes. On reprend les
notations de la section 5 de l’introduction. Le résultat principal de ce dernier chapitre est le suivant :
33
CHAPITRE II. STRUCTURE DE LA THÈSE ET MOTIVATIONS
a b
Théorème 7. Soit M =
une matrice à coefficients entiers telle que | det(M ) |= 1.
c d
On suppose que cette matrice admet une valeur propre λ de module | λ |> 1. On note (α, β) le vecteur
propre associé à λ tel que α + β = 1. Pour tout couple d’entiers (n, m) tel que n ≤ ac et m ≤ bd, on
pose :
ac β
bd
α
n−
+
m−
.
γ=
λ − det(M )
2
λ − det(M )
2


α
Alors, la niltranslation à gauche par l’élément  β  sur la nilvariété
γ + αβ
2


 


x

 .  n

−x + n ; (x, z) ∈ R2 et n ∈ Z
m ; (n, m, p) ∈ Z3




z
p
est auto-induite, minimale et uniquement ergodique.
Cette matrice M est liée à une substitution sur deux lettres. On remettra tout cela dans son contexte
dans le chapitre VI.
Bien que ce résultat laisse entrevoir des liens entre la dynamique symbolique et l’étude des nilsystèmes, ce
résultat n’est pas pleinement satisfaisant parce que l’on n’a pas réellement réussi à conjuguer le système
dynamique avec un système symbolique. En particulier, on n’a pas réussi à exhiber une partition de
Markov de ces nilsystèmes.
On trouvera en annexe, une construction particulière qui semble produire des partitions adaptées à
l’étude de ces systèmes. En particulier, ces partitions conjuguent ces niltranslations à un échange affine,
non pas de quatre, mais de trois morceaux.
34
Chapitre III
Convergence uniforme
Nous nous intéresserons aux systèmes pour lesquels les moyennes ergodiques des fonctions continues
convergent en tout point. De nombreux résultats existent dans la littérature (on peut citer les travaux
de J. C. Oxtoby dans [72] et W. Parry dans [77]). On sait que cette propriété est vérifiée pour certains
systèmes tels que les translations sur les groupes abéliens compacts, les translations sur les nilvariétés
[67], ou encore les applications continues bijectives du cercle dans lui-même [25].
Soit (X, d) un espace métrique compact et T une application de X dans lui-même continue. On appelle
le triplet X = (X, d, T ) un système dynamique topologique. On note T la topologie induite par d et
B la tribu des boréliens engendrée par T . On note M l’ensemble des mesures boréliennes de probabilité
sur X que l’on munit de la topologie faible∗ et on considère le sous-espace convexe MT des mesures
T -invariantes. Ce sont deux espaces métrisables, séparables et compacts. Si x0 ∈ X, on note δx0 la
mesure de Dirac au point x0 . On rappelle que si on munit l’espace MT de la topologie faible∗ , une suite
de mesures (µn )n converge vers une mesure µ si et seulement si, pour toute fonction continue f , µn (f )
converge vers µ(f ).
L’espace MT est donc un espace métrique convexe et compact. Les mesures extrémales de cet espace
sont les mesures ergodiques.
On considère M⊥
T = {f ∈ C(X); µ(f ) = 0 pour tout µ ∈ MT }. C’est un sous-espace vectoriel fermé
de C(X) muni de la norme de la convergence uniforme (k f k∞ = sup{| f (x) |; x ∈ X}). On note I,
l’ensemble des applications continues T -invariantes, c’est-à-dire telles que f ◦ T = f . C’est le noyau de
l’application linéaire continue UT − Id, où UT : f ∈ C(X) → f ◦ T ∈ C(X). C’est donc un sous-espace
vectoriel fermé de C(X). On remarque que M⊥
T et I sont deux espaces invariants par l’application UT
et que de plus, I contient l’ensemble des fonctions constantes.
Nous allons mettre en évidence dans ce travail que le sous-espace de fonctions continues M⊥
T ⊕ I joue un
rôle fondamental dans la convergence des moyennes ergodiques. En effet, dans cet espace, les moyennes
ergodiques des fonctions continues convergent uniformément vers une fonction continue, et cette limite
coïncide avec l’image de cette fonction par l’unique projection linéaire continue de M⊥
T ⊕ I sur I qui
commute avec UT . C’est ce que nous démontrons dans le théorème 2 :
Théorème 2. Soit f ∈ C(X). Les assertions suivantes sont équivalentes :
NP
−1
– Il existe f ∗ ∈ C(X) telle que pour tout x ∈ X, N1
f (T n x) converge vers f ∗ (x).
n=0
N −1
P
1
n
– La suite d’applications N
f ◦T
converge uniformément vers une fonction continue f ∗ .
n=0
N
35
CHAPITRE III. CONVERGENCE UNIFORME
– f ∈ M⊥
T ⊕ I.
∗
⊥
L’application π : f ∈ M⊥
T ⊕ I −→ f ∈ I est alors l’unique projection continue surjective de MT ⊕ I
sur I qui commute avec l’application UT .
On retrouve les mêmes structures dans le thérorème ergodique de Von Neumann. On considère (Y, B, ν, S)
un système dynamique sur un espace métrique compact, avec ν une mesure de probabilté S-invariante,
où S est mesurable. On considère l’opérateur US : L2 (ν) 7→ L2 (ν), défini par US (f ) = f ◦ S. Le résultat
central du théorème de Von Neumann est :
L2 (ν) = Ker(US − Id) ⊕ Im(US − Id) et Ker(US − Id) ⊥ Im(US − Id).
On en déduit immédiatement la convergence L2 (ν) des moyennes ergodiques. On remarque que dans ce
cas, la structure Hilbertienne de l’espace L2 (ν) joue un rôle central dans toute la démonstration.
On note Im(UT −Id) les cobords continus de l’application T . Les cobords jouent un rôle prépondérant
dans la convergence des moyennes ergodiques. La proposition III.1 nous assure qu’ils sont denses dans
l’ensemble des fonctions d’intégrale nulle pour toutes mesure invariante.
Proposition III.1. L’ensemble des cobords continus est dense dans l’ensemble M⊥
T.
Déterminer si une fonction continue de M⊥
T est un cobord est très difficile. Il n’existe pas de théorie
satisfaisante sur le sujet mais il semble que les variations de la fonction jouent un rôle prépondérant.
Il existe de nombreux résultats sur ce sujet lorsque le système étudié est une rotation du cercle. On
s’intéresse à l’application du cercle dans lui-même, qui associe à un nombre complexe son carré, on y
démontre le résultat :
Proposition III.2. On considère le système topologique (S1 , S) muni de sa métrique usuelle, où S(ξ) =
ξ 2 . Soit f une fonction lipschitzienne, alors f est un cobord continu si et seulement si f ∈ M⊥
S.
Nous verrons ensuite que l’on peut définir la notion de facteur semi-mesurable invariant caractéristique
et que les propriétés de la projection π0 du système topologique X = (X, d, T ) dans ce facteur, noté
Z0 (X ) = (Z0 (X ), B0 ), sont reliées aux convergences partout des moyennes ergodiques des fonctions
continues.
Théorème 3. Soit X = (X, d, T ) un système dynamique topologique. L’espace Z0 (X ) est un sousensemble des mesures invariantes du système, et pour toute mesure borélienne invariante µ,
pour µ -presque tout x ∈ X, pour toute fonction f ∈ C(X),
1
N
NP
−1
f (T n x) converge vers π0 (x)(f ).
n=0
Théorème 4. Soit X = (X, d, T ) un système topologique. La projection dans le facteur semi-mesurable
invariant caractéristique est continue si et seulement si C(X, C) = M⊥
T ⊕ I, si et seulement si, pour
toute fonction continue f ∈ C(X), les moyennes ergodiques
N −1
1 X
f (T n x) convergent uniformément en x avec N .
N n=0
Le système mesurable Z0 (X ) est alors un système dynamique topologique et c’est un facteur topologique
du système X .
En particulier, si le système est minimal, la projection dans le facteur semi-mesurable invariant caractéristique est continue si et seulement si le système est uniquement ergodique.
Ce facteur invariant caractéristique est un système agissant dans l’espace des mesures du système. Ceci
36
CHAPITRE III. CONVERGENCE UNIFORME
est lié à la notion de quasi-facteur, développée par E. Glasner et B. Weiss dans [37], et rappelée dans [33].
Nous allons voir que les moyennes ergodiques des fonctions continues ne convergent pas nécessairement
partout vers une fonction continue pour tous les systèmes topologiques. Nous pouvons nous demander
s’il existe un facteur topologique maximal dans lequel ces convergences se réalisent. Cela revient, en fait,
à rechercher une sous-algèbre fermée et T -invariante maximale dans l’ensemble M⊥
T ⊕ I. Nous montrerons dans une dernière partie que cela n’est pas toujours possible en caractérisant, pour un exemple,
l’espace M⊥
T ⊕ I.
On considère un système minimal et uniquement ergodique (X0 , B0 , µ0 , T0 ). On suppose qu’il existe
une fonction propre essentiellement discontinue ψ associée à une valeur propre θ et une fonction propre
continue φ, associée à une valeur propre θ0 , telles que pour tout couple d’entiers (k, l) non-nuls simultal
nément, θk 6= θ0 . On considère S1 , l’ensemble des nombres complexes de module 1 que l’on munit de la
mesure de Lebesgue λ. On note Rθ la rotation de S1 par θ.
Proposition III.3. Le système topologique (X0 × S1 , T0 × Rθ ) n’admet pas de facteur topologique
maximal pour lequel les moyennes ergodiques des fonctions continues convergent partout.
1
Structure de l’espace des fonctions continues
Lemme III.1. Soit f une fonction continue sur X :
f ∈ M⊥
T
⇐⇒
⇐⇒
La suite de fonctions
1
N
NP
−1
f ◦ T n converge uniformément vers 0.
n=0
Pour tout x ∈ X, les moyennes
1
N
NP
−1
f (T n x) convergent vers 0.
n=0
Preuve. Soit f ∈ M⊥
T . On suppose qu’il existe > 0, une suite d’entiers (Nk )k qui tend vers l’infini et
une suite (xk )k de points de X, tels que :
k −1
1 NX
NP
k −1
n
δ T n xk .
f (T xk ) > . On considère la suite de mesures de probabilité δk = N1k
Nk
n=0
n=0
On sait que cette suite admet une valeur d’ahérence µ pour la topologie faible∗ , qui est une mesure
T -invariante. Puisque f ∈ M⊥
T , on a alors :
Nnk −1
1 X
0 =| µ(f ) |= lim | δnk (f ) |= lim f (T n xnk ) > .
k
Nnk n=0
Ce qui est absurde, donc, la suite de fonctions
1
N
NP
−1
f ◦ T n converge uniformément vers 0.
n=0
Il nous reste à montrer que la troisième assertion implique la première.
Soit f une fonction continue telle que ses moyennes ergodiques convergent vers 0 pour tout point. Soit
µ une mesure T -invariante. Puisque les moyennes ergodiques sont bornées en tout point par || f ||∞ , en
appliquant le théorème de convergence dominée :
!
!
N −1
N −1
1 X
1 X
N
n
n
µ(f ) = µ(f ◦ T ) = µ
f ◦T
= lim µ
f ◦T
= µ(0) = 0 et donc f ∈ M⊥
T.
N n=0
N n=0
37
CHAPITRE III. CONVERGENCE UNIFORME
⊥
Lemme III.2. I et M⊥
T sont en somme directe, c’est-à-dire, I ∩ MT = {0}. De plus, leur somme est
un sous-espace vectoriel fermé de C(X).
Preuve. Soit f une fonction continue, invariante, telle que son intégrale pour toute mesure T -invariante
est nulle. On va montrer que f est la fonction nulle.
On utilise le lemme précédent : ∀x ∈ X, f (x) =
1
N
NP
−1
n=0
f (T n x) = lim N1
N
NP
−1
f (T n x) = 0.
n=0
Les espaces I et M⊥
T sont donc en somme directe. On va montrer que leur somme est un sous-espace
fermé de C(X).
Soit (gk )k une suite d’éléments de M⊥
T et (hk )k de I. On pose fk = gk + hk . On suppose que fk converge
uniformement vers une fonction f . On va montrer que f = g + h où g ∈ M⊥
T et h ∈ I.
On commence par montrer que la suite (hk )k est de Cauchy dans C(X). Soit > 0, k et l deux entiers
positifs.
k hk − hl k∞ = sup | hk (x) − hl (x) |=| hk (xk,l ) − hl (xk,l ) | pour un certain xk,l .
x
On rappelle que
1
N
NP
−1
gk (T n xk,l ) et
n=0
1
N
NP
−1
gl (T n xk,l ) convergent vers 0. Donc, pour N assez grand :
n=0
−1
−1
1 NX
1 NX
n
n
gk (T xk,l ) < /2 et gl (T xk,l ) < /2.
N
N
n=0
n=0
Pour un tel entier N :
k hk − hl k∞
N −1
NP
−1
1 P
1
n
n
= | hk (xk,l ) − hl (xk,l ) |= N
hk (T xk,l ) − N
hl (T xk,l )
n=0
n=0
N −1
NP
−1
NP
−1
NP
−1
1 P
1
1
1
n
n
n
n
≤ N
hk (T xk,l ) + N
gk (T xk,l ) − N
hl (T xk,l ) − N
gl (T xk,l )
n=0
n=0
N −1 n=0
N −1n=0
1 P
1 P
n
n
+ N
gk (T xk,l ) + N
gl (T xk,l )
n=0
n=0
N −1
NP
−1
P
fk (T n xk,l ) − N1
fl (T n xk,l ) + ≤k fk − fl k∞ +.
≤ N1
n=0
n=0
D’où, k hk − hl k∞ ≤k fk − fl k∞ . On en déduit que la suite (hk )k est de Cauchy dans l’espace complet
C(X, C), et donc, qu’elle converge uniformément vers une fonction h. Par conséquent, la suite de fonctions
continues (gk )k converge vers une fonction continue g. Les fonctions vérifient f = g + h, et parce que les
⊥
espaces M⊥
T et I sont fermés, h ∈ I et g ∈ MT .
On peut se demander quel est cet ensemble M⊥
T . D’une manière un peu vague, on peut dire que plus il y
a de mesures invariantes, plus cet ensemble va être «petit». A l’inverse, il sera de codimension 1 dans le
cas où le système ne possède qu’une mesure invariante, comme on le verra dans la partie suivante. Il n’est
cependant jamais trivial (si le système n’est pas lui-même trivial, c’est-à-dire T x = x pour tout x ∈ X),
puisqu’il contient l’ensemble des fonctions continues g sur X de la forme g = f ◦T −f où f ∈ C(X). En effet, on peut aisément vérifier que si µ est une mesure invariante, µ(g) = µ(f ◦T )−µ(f ) = µ(f )−µ(f ) = 0.
Les fonctions de cette forme peuvent permettre de mieux comprendre l’espace M⊥
T ; on y reviendra dans
38
CHAPITRE III. CONVERGENCE UNIFORME
la cinquième partie de ce travail. On donnera explicitement l’espace M⊥
T pour une application particulière dans la septième partie. On donne deux systèmes classiques pour lesquels il est assez immédiat
d’identifier les espaces M⊥
T et I :
Exemple 1 : On considère l’application T : [0, 1] 7→ [0, 1] définie par T (x) = x2 . Une fonction
f ∈ C([0, 1]) est invariante si et seulement si elle est constante sur [0, 1]. L’application T fixe le point
1 et contracte tous les autres points vers le point 0 : les seules mesures invariantes de probabilité sont
une combinaison convexe des mesures δ0 et δ1 . On en déduit qu’une fonction f ∈ C([0, 1]) appartient à
⊥
l’espace M⊥
T si et seulement si f (0) = f (1) = 0. Donc MT ⊕ I = {f ∈ C([0, 1]); f (0) = f (1)}.
Exemple 2 : Un autre exemple intéressant est celui où le système est une rotation Rθ d’angle θ du
cercle S1 muni de la mesure de Lebesgue λ. Deux cas très différents peuvent alors se présenter :
– Si l’angle θ n’est pas une racine de l’unité, un résultat classique de la théorie ergodique nous
assure que le système est minimal et uniquement ergodique (on explicitera ces notions dans la
partie suivante). L’espace I des fonctions continues invariantes est formé des fonctions constantes
et l’espace M⊥
Rθ est celui des fonctions d’intégrale nulle pour la mesure de Lebesgue. On a alors :
1
M⊥
Rθ ⊕ I = C(S ).
– Si l’angle de rotation θ est une racine k-ième de l’unité. Un calcul direct nous montre que les
fonctions continues invariantes f sont les fonctions pour lesquelles : f (ξ) = f (θξ) = · · · = f (θk−1 ξ)
pour tout ξ ∈ S1 . On vérifie également que les fonctions f ∈ M⊥
Rθ sont celles pour lesquels
f (ξ) + f (θξ) + · · · + f (θk−1 ξ) = 0 pour tout ξ ∈ S1 . Soit f une fonction continue, on remarque que
l’on peut l’écrire sous la forme :
f (ξ) =
k−1
k−1
k−1
X k−n−1
X k−n−1
1X
f (θn ξ) −
f (θn θξ) +
f (θn ξ).
k n=0
k
k
n=0
n=0
On peut alors vérifier que la fonction
−
k−1
P
n=0
M⊥
Rθ .
k−n−1
f
k
◦ Rθn ◦ Rθ +
k−1
P
n=0
1
k
k−n−1
f
k
k−1
P
n=0
(III.1)
f ◦ Rθn est une fonction invariante, alors que la fonction
◦ Rθn est de la forme g ◦ T − g, et donc appartient à l’espace
Par rapport au cas d’une rotation dont l’angle est irrationnel, il y a plus de fonctions
invariantes et plus de mesures invariantes donc moins de fonctions continues d’intégrale nulle pour
toute mesure invariante. Cependant l’égalité suivante persiste :
1
M⊥
Rθ ⊕ I = C(S ).
L’équation (III.1), nous offre la décomposition explicite de l’espace des fonctions continues.
2
Etude des parties minimales
Une partie minimale d’un système dynamique topologique X = (X, d, T ) est une partie fermée de X
n’admettant aucun autre sous-ensemble fermé T -invariant qu’elle-même et l’ensemble vide. Si l’espace
X possède cette propriété, on dit que le système est minimal. Une définition alternative et équivalente
est que toute orbite est dense. Il est important de rappeler que dans ce cadre, on sait que tous les
systèmes topologiques admettent au moins une partie minimale ( [78], [89]).
On fixe X = (X, d, T ) un système dynamique topologique.
39
CHAPITRE III. CONVERGENCE UNIFORME
Lemme III.3. Si le système X est minimal et si f est une fonction continue vérifiant f ◦T = f partout,
alors f est constante. Donc, I est constitué des fonctions constantes.
Preuve. Soit x ∈ X, on sait que l’orbite de x est dense. Soit y ∈ X, il existe une suite d’entiers (ni )i
telle que T ni x tend vers y. On a f (y) = lim f (T ni x) = lim f (x) = f (x).
i
i
On rappelle un théorème classique d’analyse qui assure qu’une limite de fonctions continues ne peut pas
être, en un certain sens, trop discontinue.
Théorème L (R. Baire (1905) ). Soit (fn )n une suite de fonctions continues d’un espace X métrique
à valeurs dans R ou C. On suppose que pour tout x, fn (x) converge vers f (x). Alors, la restriction de
la fonction f à tout ensemble fermé admet un point de continuité pour la topologie induite.
Lemme III.4. On suppose que le système est minimal. Soit (fn )n une suite de fonctions continues qui
converge partout vers une fonction f T -invariante, alors f est constante.
Preuve. Soient x et y deux points distincts de X. La fonction f est T -invariante, donc, f vaut f (x) sur
l’ensemble O(x) = {T n x; n ∈ N}, qui est dense. De même, elle vaut f (y) sur un autre ensemble dense.
Par le théorème précédent, la fonction f doit avoir au moins un point de continuité sur X. Ceci n’est
possible que si f (x) = f (y).
Proposition III.4. On suppose que le système est minimal. On fixe f ∈ C(X) :
µ(f ) = ν(f )
∀(µ, ν) ∈ (MT )2
⇐⇒
⇐⇒
1
N
NP
−1
f (T n x) converge pour tout x.
◦ Tn
converge uniformément.
n=0
NP
−1
1
f
N
n=0
N
Preuve. Soit f ∈ C(X). On suppose que les moyennes ergodiques convergent en tout point de X vers
une fonction f ∗ qui est alors T -invariante. On sait grâce au lemme III.4, que f ∗ est
Soit
constante.
x0 , un
NP
−1
1
point de X et µ une mesure T -invariante sur X, valeur d’adhérence de la suite N
δT n x0 . Alors
n=0
la suite
1
N
NP
−1
n
n
f (T x0 ) admet µ(f ) comme point d’adhérence, et puisqu’elle converge par hypothèse,
n=0
elle converge donc vers µ(f ). La fonction f ∗ est constante et vaut µ(f ) en x0 , donc f ∗ = µ(f ) partout.
Soit ν une autre mesure T -invariante sur X, puisque les moyennes ergodiques convergent partout et
sont bornées par k f k∞ , on peut donc appliquer le théorème de convergence dominée, ainsi :
!
!
!
N
−1
N
−1
N
−1
X
X
X
1
1
1
ν(f ) = ν(f ◦ T n ) = ν
f ◦ T n = lim ν
f ◦ T n = ν lim
f ◦ T n = ν(µ(f )).
N n=0
N n=0
N n=0
Donc ν(f ) = µ(f ). On suppose maintenant qu’il existe δ, tel que
la foncT , µ(f ) = δ. Alors
∀µ ∈MN
NP
−1
−1
P
1
tion f − δ appartient à l’espace M⊥
(f − δ) ◦ T n
= N1
f ◦ Tn − δ
converge
T . Donc
N
n=0
uniformément vers 0.
N
n=0
N
Théorème M (H. Tietze (∼1900)). Soit Y un espace métrique compact et F un sous-ensemble fermé
de Y . Soit f une fonction continue sur F . Alors il existe une fonction g continue sur Y telle que pour
tout y ∈ F : f (y) = g(y).
Le théorème suivant, dû à J.C. Oxtoby, nous assure que les systèmes dynamiques topologiques minimaux
40
CHAPITRE III. CONVERGENCE UNIFORME
et uniquement ergodiques forment un cadre idéal pour l’étude de la convergence uniforme des moyennes
ergodiques des fonctions continues. On peut mentionner le théorème de R.I. Jewett et W. Krieger qui
nous assure que ces systèmes sont prévalants en théorie ergodique.
Théorème N (J.C. Oxtoby (1952) [72]). Soit (X, T ) un système topologique métrique compact. Si les
moyennes ergodiques convergent pour toute fonction continue f et tout point de X, alors les parties
minimales du système sont uniquement ergodiques.
Preuve. Soit M une partie minimale du système. Soit µ et ν deux mesures invariantes pour le système
(M, T|M , d|M ) et f une fonction continue sur M . Grâce au théorème de Tietze, on sait que f se prolonge
en une fonction continue sur X notée fe. En tout point de X, les moyennes ergodiques de la fonction fe
convergent. Donc pour tout point de M , les moyennes ergodiques de la fonction f convergent, et par la
proposition précédente, µ(f ) = ν(f ). Puisque pour toute fonction continue f , µ(f ) = ν(f ), on a µ = ν
et le système (M, T|M , d|M ) est uniquement ergodique.
Remarque 1 : Un cas très intéressant est celui où le système est la réunion de ses parties minimales. On
sait qu’alors les moyennes ergodiques des fonctions continues convergent ponctuellement si et seulement
si les parties minimales sont uniquement ergodiques. C’est le cas notamment lorsque le système est distal,
on renvoie à l’article de H. Furstenberg [26] pour plus de détails. En général, l’étude des parties minimales
ne suffit pas pour savoir si les moyennes ergodiques des fonctions continues convergent ponctuellement,
comme le montre l’exemple suivant. On y exhibe un système où un point oscille entre deux parties
minimales, sans cependant que sa fréquence de passage au voisinage de ces parties ne converge.
n
n
n+1
Exemple 3 : On considère w le mot infini suivant : w = 010011 . . . 02 12 02
On pose uk = 2
k−1
P
n+1
12
N
· · · ∈ {0, 1} .
2l = 2k+1 − 2 et vk = uk + 2k . Le mot w, est une suite d’éléments de {0, 1} avec
l=0
wn = 0 si uk ≤ n < vk pour un certain k, et wn = 1 sinon. On note w = (wn )n≥0 .
P
|n −0n |
.
On munit {0, 1}N de la métrique d suivante : d (n )n , (0n )n =
2n
n
On définit S le décalage sur {0, 1}N par : S (n )n≥0 = (n+1 )n≥0 .
On pose X = {S n w; n ∈ N}. On peut décrire explicitement X. On rappelle que pour tout point limite,
u = (un )n≥0 , pour tout M > N ≥ 0, les blocs de la forme [uN , uN +1 , . . . , uM ], doivent apparaître
une infinité de fois dans le mot w. Soit alors x0 un point limite, il peut s’écrire : x0 = 0n 10 1 . . . ou
x0 = 1n 00 1 . . . . On suppose x0 = 0n 10 1 . . . . Si 0 = 0, alors, dans x0 , il apparaît un bloc 010. Ce
bloc devrait se retrouver une infinité de fois dans le mot initial w, ce qui n’est pas le cas puisque ce bloc
n’apparaît qu’en première place, on doit donc avoir nécessairement 0 = 1. De même, on montre que
pour tout n, n = 1. Si on note a = aa . . . a . . . , X = {S n w; n ∈ N} ∪ {0n 1; n ∈ N} ∪ {1n 0; n ∈ N}.
On considère donc le système (X, d, S). Il est clair que le système admet deux parties minimales, qui
sont deux points fixes par S : {1} et {0}. Ce sont des singletons, donc des parties uniquement ergodiques
de manière triviale. On vérifie que dans le mot w, les ”1” n’ont pas de fréquence d’apparition :
1
un+1
alors que,
un+1
P−1
1
vn +1
k=0
vn
P
k=0
1wk =1
1wk =1
=
=
1
un+1
1
vn +1
n
P
2k =
k=0
n−1
P
2k =
k=0
1
n+1
un+1 (2
1
n
vn +1 (2
− 1) =
− 1) =
2n+1 −1
2n+2 −2
2n −1
2n+1 −1+2n
−→
n
1
2,
−→
1
3.
n
Donc, les moyennes ergodiques de la fonction f ∈ C(X), définie par f (vn )n = δv0 =1 divergent en w.
41
CHAPITRE III. CONVERGENCE UNIFORME
3
Convergence partout des moyennes ergodiques
3.1
Théorèmes de convergence
Nous sommes maintenant en position de montrer la première partie du théorème 2.
Lemme III.5. Soit f ∈ C(X). Les trois assertions suivantes sont équivalentes :
NP
−1
– Il existe f ∗ ∈ C(X), telle que pour tout point x de X, N1
f (T n x) −→ f ∗ (x).
N
n=0
NP
−1
– La suite d’applications N1
f ◦ Tn
converge uniformément vers une application f ∗ .
n=0
N
– f ∈ M⊥
T ⊕ I.
Preuve. Ce lemme est juste une reformulation du lemme III.1.
On démontre alors la deuxième partie du théorème 2. On rappelle que l’on a défini dans l’introduction
l’application : UT : f ∈ C(X) 7→ f ◦ T ∈ C(X).
Lemme III.6. Soit P une application linéaire continue de C(X) dans lui-même qui commute avec
l’application UT , alors :
⊥
P (M⊥
T ) ⊂ MT et P (I) ⊂ I.
Preuve. Soit P une application linéaire comme dans l’énoncé
du lemme.
N −1
Si f ∈ I, le résultat est trivial
P
1
puisque P (f ) = P (f ◦ T ) = P (f ) ◦ T . Si f ∈ M⊥
f ◦ Tn
converge uniformément vers
T , alors
N
n=0
0 et P étant continue :
−1
1 NX
n P (f ) ◦ T N
n=0
∞
−1
1 NX
n = P (
f ◦ T )
N
n=0
∞
N
−1
1 NX
n ≤ ||P || · f ◦ T N
n=0
.
∞
Donc les moyennes ergodiques de P (f ) tendent uniformément vers 0, et par le lemme III.5 précédent
P (f ) ∈ M⊥
T.
Lemme III.7. Si π est un projecteur linéaire continu surjectif de C(X) sur I qui commute avec UT :
∀f ∈
M⊥
T
N −1
1 X
f ◦ T n converge uniformément vers π(f ) et π(f ) = π(f ◦ T ).
⊕I ,
N n=0
⊥
Preuve. Soit f ∈ M⊥
T , on sait que π(f ) ∈ MT d’après le lemme précédent. De plus, on a π(C(X)) = I,
donc π(f ) ∈ I. Or, d’après le lemme III.2, ces deux espaces sont en somme directe, donc π(f ) = 0. De
même, f ◦ T ∈ M⊥
T , donc π(f ) = π(f ◦ T ) = 0. Si f ∈ I, puisque π|I = Id, on a π(f ) = π(f ◦ T ) = f .
Donc π(f ) coïncide sur M⊥
T ⊕ I avec la limite des moyennes ergodiques et on a π = π ◦ T .
En rassemblant les résultats obtenus dans cette partie, on est alors en mesure d’obtenir le théorème 2
énoncé en introduction de ce chapitre :
Théorème 2. Soit f ∈ C(X). Les assertions suivantes sont équivalentes :
NP
−1
– Il existe f ∗ ∈ C(X) telle que pour tout x ∈ X, N1
f (T n x) converge vers f ∗ (x).
n=0
N −1
P
1
n
– La suite d’applications N
f ◦T
converge uniformément vers une fonction continue f ∗ .
n=0
N
42
CHAPITRE III. CONVERGENCE UNIFORME
– f ∈ M⊥
T ⊕ I.
∗
⊥
L’application π : f ∈ M⊥
T ⊕ I −→ f ∈ I est alors l’unique projection continue surjective de MT ⊕ I
sur I qui commute avec l’application UT .
Exemple 4 : On reprend alors l’exemple du système T : [0, 1] 7→ [0, 1] défini par T (x) = x2 . On fixe
n
une fonction f ∈ C([0, 1]) et on s’intéresse aux suites (f (x2 ))n pour x ∈ [0, 1]. Ces suites convergent
uniformément en x si et seulement si la fonction f est constante (c’est-à-dire appartient à l’espace I),
alors que par le théorème précédent, ces suites convergent uniformément en moyenne de Césaro si et
seulement si f (0) = f (1).
On peut voir que l’on peut définir une projection linéaire continue Φ de l’ensemble des fonctions continues
sur l’ensemble M⊥
T ⊕I en associant à une fonction continue f , la fonction Φ(f )(x) = f (x)+(f (0)−f (1))x.
On va voir dans la suite que l’on peut généraliser ce résultat aux systèmes ne possédant qu’un nombre
fini de mesures ergodiques.
3.2
Systèmes avec un nombre fini de mesures ergodiques
Un cas intéressant est celui où il y a un nombre fini de mesures ergodiques. Considérons un système
topologique X = (X, d, T ) qui a un nombre fini de mesures ergodiques invariantes µ = (µ1 , . . . , µN ).
Proposition III.5. L’espace vectoriel I est de dimension finie r ≤ N et il existe N − r fonctions
continues (f1 , . . . , fN −r ) telles que :
C(X) = I ⊕ M⊥
T ⊕ < f1 > ⊕ · · · ⊕ < fN −r > .
On utilisera le lemme suivant :
Lemme III.8. La famille µ est une famille libre du dual topologique de l’espace des fonctions continues.
On sait qu’un échange de N intervalles, possède au plus b N 2−1 c mesures ergodiques. On peut donner
un modèle symbolique de ces transformations, tel que le système associé soit un système dynamique
topologique. Dans ce cas, l’espace des fonctions continues possède une structure cohérente avec l’étude
de la convergence des moyennes ergodiques et l’étude de cette convergence se fait au travers de l’étude
d’au plus b N 2−1 c fonctions. On renvoie à [56], et [88] pour plus d’informations sur le sujet.
P
Preuve du lemme III.8. On fixe des réels x = (x1 , . . . , xN ) tels que
xi µi = 0. Le but est de montrer
que tous les xi sont nuls. On peut alors réécrire les choses de la manière suivante :
n
X
i=1
ai σi =
m
X
bi λi avec n + m = N, et ∀i, 0 < ai ∈ x, 0 < bi ∈ −x , σi ∈ µ et λi ∈ µ .
i=1
P
P
P
On
ai > ai0 > 0, et
donc,
bi =
bi λi (X) =
P suppose qu’il
P existe i0 tel que ai0 > 0. On a alors A = P
P
m
n
bi
ai
ai σi (X) =
ai = A > 0. Les mesures de probabilité
i=1 A σi et
i=1 A λi sont des mesures
T -invariantes. D’après une version élémentaire du théorème de représentation de Choquet, elles se décomposent selon des mesures ergodiques distinctes et cette décomposition est unique presque partout.
Cependant, puisqu’il n’y a qu’un nombre fini de mesures considérées, cette décomposition est unique.
Ceci est absurde, et donc, pour tout x ∈ x, x = 0 et la famille est libre.
Preuve de la proposition III.5. On considère µ comme des formes linéaires continues sur C(X), alors,
M⊥
T =
N
\
Ker(µi ).
i=1
43
CHAPITRE III. CONVERGENCE UNIFORME
On sait d’après le lemme III.8 précédent que la famille µ est libre, et donc, que M⊥
T est de codimension
N dans C(X). Puisque I est en somme directe avec M⊥
T , on déduit le résultat attendu du lemme
d’analyse suivant.
Lemme III.9. Soit B un espace de Banach. Soit F un sous-espace vectoriel fermé de codimension finie
n. Soit I un sous-espace vectoriel fermé d’intersection triviale avec F , alors, I est de dimension finie et
il existe G un sous-espace vectoriel fermé de dimension finie tel que :
B = F ⊕ I ⊕ G et dim(I)+ dim(G) = codim(F ).
Preuve. On considère l’application linéaire surjective continue :
π : B −→ B/F, où B/F est un espace vectoriel de dimension n.
On complète π(I) pour avoir une base de B/F . Par surjectivité et continuité de π, il existe (e1 , . . . ek ) tel
que π(I)+ < π(e1 ) > + · · · + < π(ek ) >= B/F et (e1 , . . . , ek ) linéairement indépendants. On conclut
alors en remarquant que I et π(I) sont des espaces vectoriels fermés isomorphes.
3.3
Convergence des moyennes ergodiques dans les temps passés et futurs
quand l’application est un homéomorphisme
Soit X = (X, d, T ) un système dynamique topologique. On suppose ici que l’application T est un
homéomorphisme de X.
Proposition III.6. Si f est une fonction continue appartenant à l’espace M⊥
T ⊕ I, alors les moyennes
ergodiques dans les temps passés et futurs existent et coïncident.
⊥
Preuve. On commence par remarquer que M⊥
T = MT −1 et IT = IT −1 . On a MT = MT −1 car, si µ
−1
est une mesure borélienne telle que µ(T A) = µ(A) pour tout ensemble mesurable A, alors µ(T A) =
µ(T −1 T A) = µ(A). On vérifie maintenant que T et T −1 ont les mêmes fonctions invariantes. Si f (T x) =
f (x) pour tout x ∈ X, alors, f (x) = f (T T −1 x) = f (T −1 x). Soit IT ⊂ IT −1 et réciproquement. Donc
⊥
M⊥
T ⊕ IT = MT −1 ⊕ IT −1 .
−1
, convergent vers
Soit f ∈ M⊥
T ⊕ I, par le lemme III.5 pour tout x, les moyennes ergodiques pour T
∗
∗
∗
une fonction fT −1 , et dans les temps futurs vers, fT . Or, par le théorème 2, fT et fT∗ −1 sont les images
de f par l’unique projection de M⊥ ⊕ I sur I qui commute avec UT , et sont donc égaux.
Exemple 5 : On construit un système inversible dont les moyennes ergodiques convergent dans les
temps futurs mais pas dans les temps passés. On pose :
w = . . . 12
n+1
n+1
02
n
n
12 02 . . . 110010 • 00 · · · 0 · · · ∈ {0, 1}Z .
On munit {0, 1}Z de la métrique d, définie de manière analogue à celle de l’exemple précédent, par :
X | − 0 |
n
n
.
d (n )n , (0n )n ) =
|n|
2
Z
On définit S le décalage sur {0, 1}Z par : S((m )m∈Z ) = (m+1 )m∈Z .
On pose X = {S n w; n ∈ N}. On s’aperçoit que (S n (w))n converge dans les temps futurs vers . . . 0 • 0 . . .
noté 0 • 0.
X = {S n w; n ∈ Z} ∪ {0 • 0}.
44
CHAPITRE III. CONVERGENCE UNIFORME
On considère donc le système (X, d, S). Dans ce cas, pour toute fonction continue, puisque (S n (w))n
converge dans les temps futurs vers 0 • 0, f (S n x) converge vers f (0 • 0), donc les moyennes ergodiques
convergent vers f (0 • 0).
Par contre, dans les temps passés, on retrouve le comportement étudié dans l’exemple précédent et si
f est la fonction continue , qui à un mot v ∈ X associe 1 si le mot commence par un ”0” et associe 0
sinon, on a :
N −1
1 X
f (S −n (w)) ne converge pas.
N n=0
3.4
Etude des itérés de T
On peut effectuer le même travail avec des itérés k-fois de l’application T : T k = T ◦ · · · ◦ T . On obtient
ainsi des espaces IT k , MT k et M⊥
T k qui correspondent respectivement à l’ensemble des fonctions
continues invariantes pour l’application T k , l’espace des mesures T k -invariantes et son orthogonal. On
⊥
remarque que IT ⊂ IT k , MT ⊂ MT k , et donc que M⊥
T k ⊂ MT .
On remarque enfin que puisque MT ⊕ IT est l’ensemble des fonctions pour lesquelles les moyennes
ergodiques convergent partout vers une fonction continue, on
MT k ⊕ IT k ⊂ MT ⊕ IT . En effet, si
PaN −1
pour une certaine fonction continue f et pour un entier k, N1 n=0 f (T kn x), converge partout vers une
PN −1
fonction continue f ∗ , alors N1 n=0 f (T n x) converge pour tout x vers la fonction continue
1 ∗
(f + · · · + f ∗ ◦ T k−1 )(x).
k
Cependant, comme le montre l’exemple suivant, ces deux ensembles peuvent être distincts. Il montre
de plus, que l’on peut trouver un système uniquement ergodique (mais non minimal) tel que toutes les
fonctions propres soient égales presque partout pour l’unique mesure invariante à des fonctions continues,
et tel qu’il existe une fonction continue f et un point x, tel que :
N −1
1 X
f (T n x)(−1)n diverge.
N n=0
On peut, de plus, trouver une fonction continue g telle que :
1
N
PN −1
n=0
g(T 2n x) diverge.
On remarquera que dans cet exemple, il n’existe pas de fonction continue h non constante, vérifiant de
l’équation h(T x) = θh(x) pour tout x ∈ X et pour tout nombre complexe θ de module 1.
n−1
Exemple 6 : On considère le mot infini : w = 01.1010.01010101 . . . (10)2
n
(01)2 · · · ∈ {0, 1}N .
On décrit explicitement w. Soit n un entier naturel, on l’écrit sous la forme suivante :
n = 0 + 2 + 22 + · · · + 2N + N −1 2N −1 + · · · + 1 2 + 0 = [N, N −1 , . . . , 0 ].
Si N est pair, on pose w(n) = 0 si 0 = 0 et w(n) = 1 sinon. Si N est impair, on pose w(n) = 0 si 0 = 1
et w(n) = 1 sinon.
On munit {0, 1}N de la métrique d introduite dans l’exemple de la section 2, et on définit le décalage
sur {0, 1}N par : S((n )n≥0 ) = (n+1 )n≥0 . Les points limites de l’application S, sont ceux de la forme :
−
+
−
(10)m 01, 0(10)m 01, (01)m 10 et 1(01)m 10, que l’on note respectivement : x+
m , xm , ym et ym .
45
CHAPITRE III. CONVERGENCE UNIFORME
+
Le système n’admet qu’une partie minimale formée des points x+
0 et y0 . Le système est uniquement
1
1
ergodique et sa seule mesure invariante est : µ = 2 δx+ + 2 δy+ . On en déduit donc que pour toute fonction
0
0
NP
−1
+
1
1
1
n
continue h, N
h(T x) converge uniformément vers 2 h(x+
0 ) + 2 h(y0 ).
n=0
On vérifie que les fonctions propres sont égales presque partout à des fonctions continues. On rappelle
qu’une fonction mesurable bornée g est une fonction propre pour le système par rapport à une mesure
invariante τ s’il existe θ ∈ S 1 tel que pour τ -presque tout x, g(T x) = θg(x) et la fonction g n’est pas
triviale, c’est-à-dire τ ({x ∈ X; g(x) = 0}) < 1.
On fixe f la fonction qui vaut 1 si le mot commence par un ”1” et qui vaut −1 si le mot commence par
”0”. On fixe g la fonction constante égale à 1.
Soit h une fonction propre associée à la valeur propre θ. Alors h(01) = h(T 2 (01)) = θ2 h(01). Si h(01) = 0,
alors h(10) = θh(01) = 0 et donc h est nulle presque partout, ce qui est absurde. Sinon, θ2 = 1, donc soit
θ = 1 et h = h(01) · g presque sûrement et la fonction h(01) · g est continue ; soit θ = −1 et h = h(01) · f
presque sûrement et h(01) · f est continue.
On remarque que dans cet exemple, il n’existe pas de fonction continue h non nulle telle que pour tout
x, h(T x) = −h(x). En effet, on devrait avoir h(01) = −h(10). Or, pour tout entier m, h((01)2m 10) =
(−1)2m h(10) = h(10). Puisque h est supposée continue et puisque la suite de points ((01)2m 10)m
converge vers 01, on en déduit que h(10) = h(01), donc finalement, h(10) = h(01) = 0.
Soit maintenant x un point quelconque de X. L’orbite de x admet une partie minimale, qui est aussi
+
une partie minimale du système, donc, il existe une suite d’entiers (nk )k telle que d(T nk x, {x+
0 ; y0 })
+ +
nk
nk
tend vers 0. Or, h({x0 ; y0 }) = {0}, donc h(T x) = (−1) h(x) tend vers 0. D’où h(x) = 0.
On fixe maintenant la fonction continue f0 qui, à un mot, associe 1 si le mot commence par un ”1”
NP
−1
et 0 sinon. On remarque que, calculer la limite de N1
f0 (T 2n w), revient à calculer la fréquence
n=0
d’apparition des 1 dans le mot infini suivant :
w0 = 0.11.0000 . . . 02
On pose uk =
2k
P
2k = 22k+1 − 1 et vk =
l=0
alors que :
1
vn
uP
n −1
k=0
vn
−1
P
2m+1
12
....
2k = 22k − 1. On a alors w0 (n) = 1 si pour un certain k,
l=0
uk ≤ n < vk+1 , et 0 sinon.
1
un
2k−1
P
2m
1w0 (k)=1
1w0 (k)=1
=
=
k=0
1
un
n−1
P
22k+1 =
k=0
n−1
P
1
vn
2 4n −1
un 4−1
22k+1 =
k=0
2 4n −1
vn 4−1
=
=
2 4n −1
3 22n+1 −1
−→
2 4n −1
3 22n −1
−→
Les ”1” n’ayant pas de fréquence d’apparition dans le mot w0 , la moyenne
1
N
NP
−1
n
n
21
32
= 13 ,
2
3.
f0 (T 2n w) diverge.
n=0
On reconsidère maintenant la fonction f définie plus haut. On veut montrer que bien que f soit une
fonction
du système associée à la valeur propre −1 pour l’unique mesure invariante, les moyennes
PN −1propre
1
n
n
f
(T
x)(−1)
divergent.
n=0
N
2k
2k+1
On va montrer que : u = (un )n = (f (T n w)(−1)n )n = (−1, −1, 1, 1, 1, 1, . . . , 12 , −12
2
N
N −1
, . . . ).
Soit n un entier. On écrit n = 0 + 2 + 2 + · · · + 2 + N −1 2
+ · · · + 1 2 + 0 . Alors (−1)n est du
n
signe de 0 . Par définition de w0 , T w commence par un ”1” si N est pair et 0 = 1 ou si n est impair et
46
CHAPITRE III. CONVERGENCE UNIFORME
0 = 0. Donc si N est pair, soit 0 = 0 et alors (−1)n = 1 et f (T n w) = −1, soit 0 = 1, et (−1)n = −1
et f (T n w) = 1. Donc si N est pair, f (T n w)(−1)n = −1. De même, on montre que si N est impair,
f (T n w)(−1)n = 1. On note SN = 2 + 22 + · · · + 2N . Il reste alors à vérifier que la suite u n’admet pas
de moyenne pour la mesure uniforme de Bernouilli (1/2, 1/2).
1
S2N
et
1
S2N +1
S2N
P−1
=
k=0
S2NP
+1 −1
On en déduit que :
4
uk
uk
k=0
1
N
PN −1
n=0
=
1
22N +1 −2
(
1
(
22N +2 −2
N
P
k=1
N
P
22k −
NP
−1
22k −
k=0
N
P
22k+1 ) =
22k+1 ) −→
n
k=0
k=1
N +1
1
( 4 3 −4
22N +1 −2
N
− 24
−1
3 )
−→ 13 ,
n
−1
3 .
f (T n w)(−1)n diverge.
Cobords et fonctions continues
2
On poursuit, dans cette partie, l’étude de l’espace M⊥
T . De manière analogue avec une étude L du
système, on va montrer que cet espace est égal à l’adhérence des cobords. On étudiera cet espace pour
l’application carrée du cercle unité complexe dans lui-même.
On rappelle qu’un cobord continu d’un système dynamique topologique X est une fonction continue
f ∈ C(X) telle qu’il existe une fonction continue g ∈ C(X) telle que f = g ◦ T − g.
Proposition III.1. L’ensemble des cobords continus est dense dans l’ensemble M⊥
T.
Preuve. Soit N un entier et f ∈ C(X). On pose alors
f(N ) = −
N
−2
X
n=0
N −n−1
f ◦ T n.
N
Avec cette définition, il vient immédiatement : f (x) −
On utilise le lemme III.1 : Si f ∈ M⊥
T , alors
1
N
NP
−1
1
N
NP
−1
f (T n x) = f(N ) (T x) − f(N ) (x).
n=0
f (T n x) converge uniformément avec N vers 0.
n=0
Donc, f(N ) ◦ T − f(N ) est arbitrairement proche de f , ce qui démontre le résultat. Réciproquement, si la
fonction continue f s’écrit f = g ◦ T − g avec g une fonction continue, alors pour toute mesure invariante
µ, µ(f ) = µ(g ◦ T ) − µ(g) = µ(g) − µ(g) = 0, et donc f ∈ M⊥
T.
Une question encore ouverte, et très délicate, est de fournir un critère pour savoir si une fonction est
dans l’adhérence des cobords pour la norme infinie, sans être pour autant un cobord. La position de f
⊥
par rapport à Im(UT − Id), M⊥
T \ Im(UT − Id) et le complémentaire de MT est centrale pour l’étude
des propriétés ergodiques du système. Elle nous donne par exemple des indications sur les propriétés de
l’application :
X ×C → X ×C Tf :
(x, z) →
T x, z + f (x)
On remarque alors que si f ∈
/ M⊥
T , alors il existe un point x ∈ X tel que pour tout z ∈ C, l’ensemble
n
OTf (x, z) = {Tf (x, z), n ∈ N} n’est pas borné, alors que si f ∈ Im(UT − Id), pour tout x et tout
z, l’ensemble OTf (x, z) est borné. Le cas des fonctions continues appartenant à M⊥
T \ Im(UT − Id)
est autrement plus délicat à étudier. Il se pose alors des problèmes de récurrence d’orbites. On peut
citer les travaux de K. Schmidt et de J-P. Conze, repris en partie dans le livre [1]. Par exemple, si
47
CHAPITRE III. CONVERGENCE UNIFORME
le système considéré est une rotation sur le cercle d’angle rationnel, cet ensemble est vide. Si l’angle
est irrationnel, le fait même d’exhiber des fonctions appartenant à cet ensemble peut être difficile. De
nombreux travaux ont été faits sur le sujet, notamment par P. Liardet et D. Volny dans [71]. Dans
un cadre légèrement différent, on peut également citer les travaux autour de la notion de systèmes de
type Anzai dans [25], [27], [54] et [64]. On reviendra sur cette notion dans la partie IV. Il semble alors
nécessaire de contrôler les variations des fonctions continues.
On reprend alors notre exemple préféré pour essayer de comprendre ce qu’il se passe. Soit T : [0, 1] 7→
[0, 1] défini par T (x) = x2 . On rappelle qu’une fonction f ∈ C([0, 1]) appartient à l’espace M⊥
T si et
seulement si f (0) = f (1) = 0.
On remarque que si la fonction f est un cobord continu, alors en particulier les sommes
NP
−1
f (T n x)
n=0
sont uniformément bornées. Ce critère va nous montrer que certaines fonctions vérifient f (0) = f (1) = 0
mais ne sont pas des cobords. On considère une fonction f continue qui prend la valeur 1/n aux points
n
(1/2)2 , la valeur 0 en 0 et la valeur 0 au point 1. Cette fonction ne peut être un cobord puisque les
NP
−1
NP
−2
sommes
f (T n (1/2)) =
(1/n) ∼ log N et ne sont donc pas bornées.
n=0
n=1
En fait, la fonction f ainsi définie n’est pas suffisamment lisse, et son comportement en dehors des points
contrôlés par l’annulation de son intégrale, ne permet pas de la contrôler partout. On peut se convaincre
que si la fonction est lipschitzienne et vérifie f (0) = f (1) = 0 alors c’est un cobord.
On poursuit alors avec un exemple plus riche. On considère le système topologique (S1 , S) où S(ξ) = ξ 2 .
On munit S1 de la métrique suivante :
d(e2iπs , e2iπt ) = min | t − s − n |=| t − s mod1 |≤ 1.
n∈Z
On note S1+ = B(1, 1/2), où B(x, r) est la boule de centre x et de rayon r.
Proposition III.2. Soit f ∈ C(S1 ) lipschitzienne, f est un cobord continu si et seulement si f ∈ M⊥
S.
La démonstration repose en grande partie sur le lemme suivant :
Lemme III.10. Soient δ < 1/2 et M ∈ N : {y ∈ S 1 ; | y 2
M
−1
− 1 |< δ} =
S
B(ξ, δ/(2M − 1)),
{ξ;S M ξ=ξ}
où les ensembles B(ξ, δ/(2M − 1)) sont distincts deux à deux.
M
En particulier, si M ≥ 1 et | y 2
−1
− 1 |< δ, alors il existe ξ tel que S M ξ = ξ, et d(y, ξ) < 2δ/2M .
Preuve de la proposition III.2. La première implication est triviale. On démontre alors la réciproque. On
fixe f une fonction lipschitzienne de rapport K sur S1 , i.e. pour tout (ξ, ξ 0 ), | f (ξ)−f (ξ 0 ) |≤ K | ξ−ξ 0 | .
On suppose qu’elle est d’intégrale nulle pour toute mesure invariante. On montre alors que c’est un
cobord. On fixe un point x ∈ S1 tel que son orbite O(x) = {S n x; n ∈ N} soit dense. On pose :
N
g(S x) =
N
−1
X
f (S n x) et g(x) = 0.
n=0
Le but est de montrer que la fonction g définie sur le sous-ensemble O(x) se prolonge en une fonction
continue sur l’espace tout entier. On aura alors le résultat attendu puisque g(Sy) − g(y) = f (y) pour
tout y ∈ O(x) par construction, et donc, g ◦ S − g = f partout par continuité de g et densité de O(x).
48
CHAPITRE III. CONVERGENCE UNIFORME
On fixe > 0. On est donc à la recherche de δ > 0, tel que :
N −1
N +M
X
X−1
N
N +M
n
n ∀N, N + M ∈ N, | S x − S
x |≤ δ =⇒ f (S x) −
f (S x) ≤ .
n=0
n=0
On pose δ = /(2K). Soient alors deux entiers N et M tels que :
N
N +M
| S N x − S N +M x |=| x2 − x2
M
|=| S M y − y |=| y 2
−1
− 1 |≤ δ avec y = S N x.
On veut démontrer que : | g(S N x) − g(S N +M x) |≤ .
On suppose que M 6= 0, sinon le résultat est trivial. D’après le lemme III.10, il existe alors ξ tel que :
M
ξ2
On a donc :
PM −1
n=N
= S M ξ = ξ et | ξ − y |≤ 2δ/2M .
PM −1
PM −1
N
N
| S n x − S n ξ |≤ n=0 2n | x2 − ξ 2 |≤ n=0 2n | y − ξ |≤ 2M | y − ξ |≤ /K.
On rappelle que puisque f est de mesure nulle pour toute mesure invariante :
M −1
M −1
M
−1
X
1 X
1 X
δS n ξ est une mesure S-invariante, et donc
f (S n ξ) =
f (S n ξ) = 0.
M n=0
M n=0
n=0
Finalement, puisque la fonction f est K-lipschitzienne :
−1
−1
−1
N +M
MP
MP
NP
P −1
f (S n y)
f (S n S N x) = f (S n x) −
f (S n x) = | g(S N x) − g(S N +M x) | = n=0
n=0
n=0
n=0
−1
−1
M
−1
MP
MP
P
n
n
n
n | f (S y) − f (S ξ) |≤ .
f (S y) −
f (S ξ) ≤
= n=0
n=0
n=0
Donc la fonction g définie sur O(x) se prolonge en une fonction continue g sur tout l’espace S 1 et le
résultat est démontré.
Preuve du lemme III.10. On fixe un entier M et on définit l’application continue h, de S1 dans lui-même
M
par h(y) = y 2 −1 . On pose :
k
1
k
1
−
;
+
.
Ik = e2iπt ∈ S1 où t ∈ M
2 − 1 4(2M − 1) 2M − 1 4(2M − 1)
Les fonctions hk : x ∈ Ik → h(x) ∈ S1+ sont continues, bijectives et dilatent les distances d’un facteur
2M − 1. Donc si δ < 1/2,
[
M
{y ∈ S 1 ; | y 2 −1 − 1 |< δ} =
B(ξ, δ/(2M − 1)), et la réunion est disjointe.
ξ;ξ 2M =ξ
On conclut alors en remarquant que si M ≥ 1, alors 2M − 1 > 2M − 2M −1 = 2M −1 = 2M /2.
Remarque 2 : On utilise dans la preuve, le fait que f soit nulle pour toute mesure invariante périodique,
ce qui est cohérent avec le fait que ces mesures sont denses dans l’ensemble des mesures invariantes pour
ce système.
Remarque 3 : Nous ne connaissons pas de résultat concernant des fonctions continues quelconques
pour l’application carré du cercle dans lui-même. En particulier, nous ne savons pas s’il est possible
qu’une fonction soit d’intégrale nulle pour toute mesure invariante et ne soit pas un cobord.
49
CHAPITRE III. CONVERGENCE UNIFORME
5
Facteur semi-mesurable invariant caractéristique
On introduit dans cet partie la notion de facteur invariant semi-mesurable carctéristique. On utilisera
les notations des sections 1 et 2.1 de l’introduction.
On aura également besoin d’introduire pour la suite, une notion reliant les propriétés métriques aux
propriétés topologiques. Le système Y = (Y, D, S) est appelé facteur (semi-)mesurable invariant
du système mesurable Z = (Z, B, T ) si c’est un facteur (semi-)mesurable et si pour tout y ∈ Y , Sy = y.
On fixe X = (X, d, T ) un système dynamique topologique et on s’intéresse aux applications continues :
JN : x ∈ X →
N −1
1 X
δT n x ∈ M, et on note π0 (x) la limite de JN lorsqu’elle existe.
N n=0
On pose de plus : X = {x ∈ X ; JN (x) converge dans M} et Z0 (X ) = π0 (X).
On note B0 la tribu des boréliens engendrée par la métrique induite par celle de M sur Z0 (X ).
Proposition III.7. Le système dynamique mesurable Z0 (X ) = (Z0 (X ), B0 , IdZ0 (X ) ), que l’on note
Z0 (X ) = (Z0 (X ), B0 ), est un facteur semi-mesurable invariant du système topologique X et π0 est
l’application facteur semi-mesurable.
On appellera (Z0 (X ), B0 ) le facteur invariant semi-mesurable caractéristique du système topologique X .
Preuve. On s’aperçoit que si π0 existe, pour toute mesure µ-invariante et µ-presque tout x, π0 (T x) =
π0 (x). On rappelle que des résultats classiques de topologie nous assurent que l’espace MX est bien
un espace métrique, séparable et compact. La seule chose à vérifier, est que l’application facteur π0
est bien définie presque partout pour toute mesure invariante. Soit µ une mesure T -invariante. On note
l’ensemble des points génériques de la mesure µ :
Xµ = {x ∈ X; ∀f ∈ C(X) , les moyennes ergodiques
1
N
NP
−1
f (T n x) convergent }.
(III.2)
n=0
Puisque Xµ ⊂ X, on aura démontré cette proposition si on démontre le lemme III.12 suivant. Donc,
(Z0 (X ), B0 ) est bien un facteur semi-mesurable invariant du système X .
On remarque immédiatement que rien ne nous assure que l’espace Z0 (X ) soit compact et puisque l’on
a défini cette notion pour des systèmes dynamiques topologiques, Z0 (Z0 (X )) n’a pas de sens.
Pour démontrer le lemme III.12 suivant, on a besoin de démontrer le lemme :
Lemme III.11. Soit (X, d) un espace métrique compact séparable. Alors, il existe une famille dénombrable {fm ∈ C(X); m ∈ N}, dense dans l’ensemble C(X, R), telle que pour toute fonction f ∈ C(X), il
−
existe deux suites d’entiers (n+
k )k et (nk )k vérifiant :
– pour tout x ∈ X et k ∈ N, fn− (x) ≤ f (x) ≤ fn+ (x).
k
k
– pour tout x ∈ X et k ∈ N, fn− (x) ≤ fn− (x) et fn+ (x) ≥ fn+ (x).
k
k+1
k
k+1
– et || fn+ − fn− ||∞ → 0.
k
k
Preuve. Soit (X, d) un espace métrique compact séparable et {fm ∈ C(X); m ∈ N} une famille dénombrable dense dans l’ensemble C(X, R). Soit f ∈ C(X, R).
50
CHAPITRE III. CONVERGENCE UNIFORME
Pour tout entier k, on fixe fn+ et fn+ , deux fonctions de la famille {fm ∈ C(X); m ∈ N}, telles que
k
k
|| fn+ − (f +
k
1
1
1
1
) ||∞ < k+1 et || fn− − (f − k ) ||∞ < k+1 .
k
2k
2
2
2
Ces fonctions vérifient :
|| fn+ − fn− ||∞ <
k
k
1
2k−1
→ 0.
Et par construction, elles vérifient bien :
– pour tout x ∈ X et k ∈ N, fn− (x) ≤ f (x) ≤ fn+ (x).
k
k
– pour tout x ∈ X et k ∈ N, fn− (x) ≤ fn− (x) et fn+ (x) ≥ fn+ (x).
k
k+1
k
k+1
On rappelle ici un résultat que l’on pourra trouvé par exemple dans [29].
Lemme III.12. Soit X = (X, d, T ) un système dynamique topologique et µ un mesure borélienne
invariante. Si Xµ est l’ensemble défini en (III.2), µ(Xµ ) = 1.
Preuve. Soit µ une mesure borélienne invariante d’un système dynamique topologique X = (X, d, T ).
Soit {fm ; m ∈ N} une famille dénombrable de l’espace C(X), dense dans cet espace, vérifiant la propriété
du lemme III.11. Par le théorème de Birkhoff, pour tout entier m, il existe un sous-ensemble mesurable
Em , tel que µ(Em ) = 1 et
N −1
1 X
fm (T n x) converge.
∀x ∈ Em ,
N n=0
Soit E l’intersection de tous les ensembles Em . Il vérifie µ(E) = 1, Donc si on montre que E ⊂ Xµ ,
µ(Xµ ) ≥ µ(E) = 1 et lemme est démontré. On va vérifier que E ⊂ Xµ .
Soit f une fonction continue sur X à valeur complexe. On remarque que ses moyennes ergodiques
convergent en tout point x ∈ E si c’est le cas des fonctions Re(f ) et Im(f ), où Re et Im désigne la
partie réelle et imaginaire. On suppose donc que la fonction f est à valeur réelle.
Soit (fm+ )k et (fm− )k , deux suites de fonctions continues de la famille {fm ; m ∈ N} vérifiant les
k
k
propriétés du lemme III.11. Soit x ∈ E, alors pour tout entier N et tout entier k,
N −1
N −1
N −1
1 X
1 X
1 X
fm− (T n x) ≤
f (T n x) ≤
f + (T n x).
N n=0 k
N n=0
N n=0 mk
Par construction,
N −1
N −1
1 X
1 X
+
fm− (T n x) et
f + (T n x) converge en N vers des valeurs a−
k et ak .
N n=0 k
N n=0 mk
Donc, pour tout k,
a−
k ≤ lim inf
N
N −1
N −1
1 X
1 X
f (T n x) ≤ lim sup
f (T n x) ≤ a+
k.
N n=0
N n=0
N
−
et puisque ces valeurs vérifient 0 ≤ a+
k − ak ≤ || fm+ − fm− ||∞ −→ 0, on en déduit :
k
lim inf
N
1
N
N
−1
X
k
f (T n x) = lim sup
N
n=0
Finalement x ∈ E et le résultat est démontré.
51
N −1
1 X
f (T n x).
N n=0
CHAPITRE III. CONVERGENCE UNIFORME
Proposition III.8 (propriété de maximalité du facteur Z0 (X )). Soit Y un facteur topologique invariant
du système topologique X . Alors, c’est un facteur semi-mesurable invariant du système (Z0 (X ), B0 ), et
l’application facteur associée est continue.
Preuve. Soit Y un facteur topologique invariant du système topologique X . Soit y ∈ Y , on pose
Xy = π −1 ({y}). Xy est donc un espace métrique compact, T -invariant. Il peut donc être vu comme
un système topologique. Par le théorème {M} de H. Tietze, on a alors Xy = X ∩ Xy . On note
S
Z0 (y) = Z0 (X ) et la réunion est disjointe. Il ne nous reste plus
Z0 (y) = {π0 (x); x ∈ Xy }. On a
y∈Y
qu’à vérifier que l’application
p : µ ∈ Z0 (X ) −→ y ∈ Y si µ ∈ Z0 (y) est continue.
Soit µ ∈ Z0 (X ) et (µm )m une suite de mesures de Z0 (X ) qui converge vers µ. C’est équivalent à ce que
pour tout ouvert U de X,
lim inf µm (U) ≥ µ(U).
(III.3)
On renvoie à [89] pour plus de détails.
On suppose que µ = lim N1
NP
−1
δT n x . On sait que pour tout m, il existe xm ∈ X tel que
n=0
µm = lim
N −1
1 X
δ T n xm .
N n=0
Par continuité de π, il existe y ∈ Y et ym ∈ Y pour tout m, tels que π(O(x)) = y et π(O(xm )) = ym .
On fixe > 0. Par continuité de π, il existe η tel que si (z, z 0 ) ∈ X 2 sont tels que d(z, z 0 ) ≤ η, alors
δ(πz, πz 0 ) ≤ . On considère Uη = {z ∈ X; d(z, O(x)) ≤ η}. On sait que µ(Uη ) = 1. Par caractérisation
des limites des suites de mesure pour la topologie faible∗ , d’après l’équation (III.3), il existe un rang
m0 , à partir duquel µm (Uη ) ≥ µ(Uη ) − 1/2 = 1/2. Or, le support de µm est inclus dans O(xm ), donc en
particulier, Uη ∩ O(xm ) 6= ∅. Donc, ∃z ∈ O(x) et ∃zm ∈ O(xm ) ; d(z, zm ) ≤ η , soit :
| p(µ) − p(µm ) |=| π(x) − π(xm ) |=| π(z) − π(zm ) |≤ .
Théorème 3. Soit X = (X, d, T ) un système dynamique topologique. L’espace Z0 (X ) est un sousensemble des mesures invariantes du système, et pour toute mesure borélienne invariante µ,
pour µ -presque tout x ∈ X, pour toute fonction f ∈ C(X),
1
N
NP
−1
f (T n x) converge vers π0 (x)(f ).
n=0
Preuve. La preuve est immédiate par construction du facteur dans la démonstration de la proposition
III.7
La proposition suivante reformule le fait que le système X se projette partout dans son facteur Z0 (X )
en termes de convergence de moyennes ergodiques de fonctions continues. La proposition III.10 sera une
adaptation du théorème 2 aux nouveaux objets introduits.
Proposition III.9. Soit (X, d, T ) un système dynamique topologique. X = X si et seulement si pour
NP
−1
toute fonction continue f et tout point x de X, les moyennes ergodiques N1
f (T n x) convergent vers
n=0
une valeur f ∗ (x). C’est-à-dire, si pour tout x, JN (x) converge vers π0 (x). On a alors f ∗ (x) = π0 (x)(f ).
52
CHAPITRE III. CONVERGENCE UNIFORME
Preuve. On rappelle, qu’avec la topologie faible∗ , une suite de mesures de probabilité µn converge vers
une mesure µ si pour toute fonction continue g, µn (g) converge vers µ(g). On commence par supposer
que X = X. La suite d’applications JN converge donc vers une application π0 pour tout x. Soit f une
fonction continue et x ∈ X. Alors :
N −1
1 X
f (T n x) = JN (x)(f ) converge vers π0 (x)(f ), d’où f ∗ (x) = π0 (x)(f ).
N n=0
Pour la réciproque, on commence par supposer que la suite d’applications JN ne converge pas ponctuelNP
−1
lement. Il existe donc x0 ∈ X tel que la suite N1
δT n x0 admet deux valeurs d’adhérence distinctes µ
n=0
et ν. Puisque les mesures boréliennes sont définies par les valeurs qu’elles prennent sur l’ensemble des
NP
−1
fonctions continues, il existe une fonction f continue, telle que µ(f ) 6= ν(f ). La suite N1
f (T n x0 )
n=0
admet donc deux valeurs d’adhérence disctinctes µ(f ) et ν(f ), donc elle diverge.
Remarque 4 : On connaît des systèmes où il a été prouvé que les moyennes ergodiques convergeaient
en tout point pour toute fonction continue. C’est notamment le cas pour les translations sur les groupes
abéliens compacts. H. Furstenberg a prouvé dans [25] que c’était encore vrai pour tout système (X, T )
où T est une application bijective continue du cercle dans lui-même. E. Lesigne a démontré dans [67]
que c’était également le cas des translations sur les nilvariétés.
Proposition III.10. Soit (X, d, T ) un système dynamique topologique. La suite d’applications JN
converge vers une application continue π0 de X dans MT si et seulement si C(X, C) = M⊥
T ⊕ I.
Preuve. On suppose que JN converge vers une application continue π0 . On fixe f ∈ C(X). On sait déjà
par la proposition III.9, que f ∗ est définie partout et que : f ∗ (x) = π0 (x)(f ). On va montrer qu’elle est
continue. Soit x ∈ X et (xn )n une suite d’éléments de X qui converge vers x.
f ∗ (xn ) = π0 (xn )(f ) → π0 (x)(f ) = f ∗ (x) par continuité de π0 , et par le théorème 2, f ∈ M⊥
T ⊕ I.
Pour la réciproque, on sait par la proposition III.9 que la suite d’applications JN converge vers une
application π0 et que pour toute fonction continue g, si on note g ∗ la limite de ses moyennes ergodiques,
on a g ∗ (x) = π0 (x)(g). On va montrer par l’absurde que π0 est continue.
On suppose donc, que la suite d’applications JN converge vers une application π0 discontinue. On va
vérifier qu’il existe une fonction continue f , telle que l’application f ∗ est discontinue.
π0 est discontinue, donc il existe x0 et (xn )n qui converge vers x telle que π0 (xn ) ne converge pas vers
π0 (x). Cela veut dire qu’il existe une fonction f continue, telle que : π0 (xn )(f ) ne converge pas vers
π0 (x)(f ). Soit encore, que f ∗ (xn ) ne converge pas vers f ∗ (x), et donc, que f ∗ n’est pas continue. Ce
∗
qui est en contradiction avec le théorème 2 qui nous assure que puisque f ∈ M⊥
T ⊕ I, f existe et est
continue.
Remarque 5 : Une conséquence surprenante est que si les moyennes ergodiques des fonctions continues
convergent en tout point, la fonction π0 est une limite partout des fonctions continues JN , et donc, par
le théorème de Baire, l’espace X admet un sous-ensemble X0 qui est un Gδ dense, sur lequel la fonction
π0 est continue.
La proposition III.9 nous assurait déjà que pour une fonction continue f , telle que ses moyennes ergodiques convergent partout, la fonction définie par la limite des moyennes était continue sur un Gδ dense
Xf . Le raisonnement que nous menons permet d’assurer que l’on peut choisir un Gδ dense commun à
toutes les fonctions continues. Tout ceci est principalement basé sur la séparabilité de l’espace C(X).
53
CHAPITRE III. CONVERGENCE UNIFORME
Théorème 4. Soit X = (X, d, T ) un système topologique. La projection dans le facteur semi-mesurable
invariant caractéristique est continue si et seulement si C(X, C) = M⊥
T ⊕ I, si et seulement si, pour
toute fonction continue f ∈ C(X), les moyennes ergodiques
N −1
1 X
f (T n x) convergent uniformément en x avec N .
N n=0
Le système mesurable Z0 (X ) est alors un système dynamique topologique et c’est un facteur topologique
du système X .
En particulier, si le système est minimal, la projection dans le facteur semi-mesurable invariant caractéristique est continue si et seulement si le système est uniquement ergodique.
Preuve. Avec les résultats précédents, la première partie du théorème est démontrée.
On démontre alors la dernière partie du théorème. Si la projection dans le facteur invariant maximal est
continue, alors C(X, C) = M⊥
T ⊕ I, ce qui est équivalent, d’après le théorème de J.C. Oxtoby, à ce que
le système soit uniquement ergodique. Réciproquement, si le système est uniquement ergodique, alors
le facteur invariant maximal est le système trivial et la projection est donc continue.
On reprends maintenant des exemples traités par exemple, par A. Markov, J.C. Oxtoby, N. M. Krylov
et N. Bogolioubov.
Exemple 7 : Nous avons vu que l’espace Z0 (X ) contient les mesures ergodiques. On peut se demander s’il existe des points génériques de l’espace X, pour des mesures invariantes mais non-ergodiques.
L’exemple suivant nous montre que cela peut arriver. On considère w le mot infini suivant :
w = 010011 . . . 0n 1n 0n+1 1n+1 · · · ∈ {0, 1} .
N
On pose uk = k(k + 1) et vk = uk + k + 1 = (k + 1)2 . Le mot w, est une suite d’éléments de {0, 1} avec
wn = 0 si uk ≤ n < vk pour un certain k, et wn = 1 sinon. On note w = (wn )n≥0 .
P
|n −0n |
.
On munit {0, 1}N de la métrique d définie par d (n )n , (0n )n =
2n
n
On définit S le décalage sur {0, 1} par : S((n )n≥0 ) = (n+1 )n≥0 .
N
On pose X = {S n w; n ∈ N}. Comme on l’a vu précédemment dans la partie 2, on a une description
explicite de X : X = {S n w; n ∈ N} ∪ {0n 1; n ∈ N} ∪ {1n 0; n ∈ N}.
On considère le système topologique (X, d, S). Il admet deux parties minimales, qui sont deux points
fixes par S : {1} et {0}. Ce sont des singletons, donc des parties uniquement ergodiques de manière
triviale. On note la mesure de Dirac en ces points δ1 et δ0 . On va alors montrer que :















1
N
1
N
1
N
NP
−1
l=0
NP
−1
l=0
NP
−1
δS l x
→
δS l x
→
δS l x
→
1
2 δ1
δ1
si
x ∈ {0n 1; n ∈ N},
+ 12 δ0
si
x ∈ {S n w; n ∈ N},
δ0
si
x ∈ {1n 0; n ∈ N}.
l=0
Le premier et le troisième cas sont évidents. On se propose de démontrer la deuxième assertion. Pour
cela , il est suffisant de montrer que pour toute fonction continue définie sur un cylindre de longueur
54
CHAPITRE III. CONVERGENCE UNIFORME
M,
1
N
NP
−1
l=0
f (S l w) converge vers 21 f (1) + 21 f (0). Il est expliqué dans [12] ou [20] pourquoi il est suffisant
d’étudier le comportement des moyennes ergodiques de ces fonctions en ce point.
On fixe une fonction f constante sur les cylindres de longueur M fixée. On s’aperçoit que les cylindres
dont la fréquence d’apparition est nulle n’interviennent pas dans le calcul de la limite des moyennes
ergodiques. Les cylindres contenant des expressions du type 01r 0 ou 10s 1 ont trivialement une fréquence
d’apparition nulle. On fixe alors m ∈ {1, . . . , M − 1}. On s’intéresse aux cylindres du type [1m 0M −m ]
ou [0m 1M −m ]. On va montrer que :
N −1
1 X
1[1m 0M −m ] (S l w) → 0.
N
l=0
On remarque que 1[1m 0M −m ] (S l w) = 1, si et seulement s’il existe k, tel que l = uk − m. Il ne reste alors
plus qu’à compter, pour N fixé, les entiers uk ≤ N . On fixe km (N ) = inf{k; k(k + 1) − m ≥ N }.
√
N −1
1
2
1 X
1
l
km (N − 1) ≤
1[1m 0M −m ] (S w) ≤
→ 0.
≤√
N
ukm (N −1)
km (N − 1)
N +m−1
l=0
On remarque alors que sur les cylindres [0M ] et [1M ], la fonction f vaut respectivement f (0) et f (1).
On en déduit :
N −1
N −1
N −1
1 X
1
1
1 X
1 X
f (S l w) =
1[0M ] (S l w)f (0) +
1[1M ] (S l w)f (1) −→ f (0) + f (1).
N 2
N
N
N
2
l=0
l=0
l=0
Donc, pour cet exemple, X = X et Z0 (X ) = {δ1 , 12 δ1 + 12 δ0 , δ0 } n’est donc pas uniquement constitué
des mesures ergodiques du système.
Exemple 8 : On s’intéresse au facteur semi-mesurable invariant caractéristique des applications
S1 :
[0, 1]2
(x, y)
−→
7→
[0, 1]2
[0, 1]3 −→
et S2 :
(x, x + y mod 1)
(x, y, z) 7→
[0, 1]3
.
(x, x + y mod 1, y + z mod 1)
Pour tout (x, y, z), les systèmes ({S1n (x, y); n ∈ N}, S1 ) et ({S2n (x, y, z); n ∈ N}, S2 ) sont minimaux et
uniquement ergodiques. Donc les systèmes dynamiques ([0, 1]2 , S1 ) et ([0, 1]3 , S2 ) sont la réunion de
leurs parties minimales qui sont uniquement ergodiques. Donc le facteur invariant mesurable maximal
est constitué des mesures ergodiques du système et les projections π01 : [0, 1]2 7→ Z0 (S1 ) et π02 : [0, 1]3 7→
Z0 (S2 ) sont définies partout.
Pour tout (y0 , z0 ) ∈ [0, 1]2 , si x0 est irrationnel, l’image du point (x0 , y0 ) (resp. (x0 , y0 , z0 )) par la
projection π01 (resp. π02 ) est la mesure de Lebesgue sur l’ensemble {x0 } × [0, 1] (resp. {x0 } × [0, 1]2 ).
Si x = p/q avec p et q deux entiers premiers entre eux, les mesures invariantes sont de la forme :
δyx
q−1
1X
=
δx,y+n/q avec y ∈ [0, 1/q[.
q n=0
On associe à la mesure δyx le point (x, y) de [0, 1]2 . Si x est irrationnel, on associe le point (x, 0). La
figure III.1 représente donc le facteur semi-mesurable invariant caractéristique du système ([0, 1]2 , S1 ).
55
CHAPITRE III. CONVERGENCE UNIFORME
Fig. III.1 – Facteur invariant maximal du système ([0, 1]2 , S1 ).
L’étude du système S2 est un peu plus compliquée. Si x = p/q est rationnel et y irrationnel, le système
({x} × {y, y + 1/q, . . . y + (q − 1)/q} × [0, 1], S2 ) est minimal et uniquement ergodique, dont la seule
mesure est :
δyx
= δx ⊗
q−1
1X
δx,y+n/q
q n=0
!
⊗ λ où λ est la mesure de Lebesgue sur [0, 1].
On prend donc le parti d’associer aux points (x, y, z), le point (x, 0, 0), si x est irrationnel et au point
(x, y, z), le point (x, y 0 , 0) où y 0 = inf{y + n/q mod 1; n ∈ {0, . . . , q − 1}} si y est irrationnel. Enfin,
on suppose x = p/q et y = p0 /q 0 rationnels, on fixe z ∈ [0, 1]. Soit n0 l’unique entier appartenant à
l’ensemble {0, . . . , q − 1} tel que y + n0 x mod 1 = min{y + np/q mod 1; n ∈ {0, . . . , q − 1}}. On pose
y 0 = y + n0 x mod 1. On pose également z 0 = min{z + nn0 x + nn0 (nn0 − 1)y/2 mod 1; n ∈ N}. On associe
au point (x, y, z) le point (x0 , y 0 , z 0 ). Le facteur semi-mesurable invariant caractéristique du système
([0, 1]3 , S2 ) peut donc être représenté par la figure III.2.
Fig. III.2 – Facteur invariant maximal du système ([0, 1]3 , S2 ).
56
CHAPITRE III. CONVERGENCE UNIFORME
6
Non-existence de facteur topologique maximal pour lequel les
moyennes ergodiques des fonctions continues convergent uniformément
On reprend alors l’exemple du système T : [0, 1] 7→ [0, 1] défini par T (x) = x2 . On rappelle qu’une
fonction f ∈ C([0, 1]) appartient à l’espace M⊥
T ⊕ I si et seulement si f (0) = f (1). Dans cet exemple,
l’ensemble des fonctions continues M⊥
T ⊕ I est une sous-algèbre fermée stable par UT contenant les
fonctions constantes. Cette algèbre détermine donc un facteur topologique du système initial. Ce système
est topologiquement équivalent au système :
S1
e2iπx
7
→
−→
S1
2
e2iπx
avec x ∈ [0, 1].
Cela revient à identifier les points 0 et 1 dans le système initial. On récupère ainsi un système dynamique
qui est un facteur topologique maximal pour la convergence des moyennes ergodiques des fonctions continues.
On s’est alors demandé si l’on pouvait trouver un tel facteur pour tous les systèmes dynamiques topologiques. La construction suivante nous montre que cela n’est pas toujours possible. On y apporte de plus
la caractérisation de l’espace M⊥
T pour un système en particulier. Il semble que de manière générale, la
compréhension de cet espace pour les systèmes dynamiques topologiques apporte de nombreuses informations sur le système.
On considère un système minimal et uniquement ergodique (X, B, µ, T ). On suppose qu’il existe une
fonction propre essentiellement discontinue ψ : X 7→ S1 associée à une valeur propre θ irrationnelle.
C’est-à-dire,
∃A ∈ B tel que µ(A) = 1 et ∀x ∈ A, ∀n ∈ N : ψ(T n x) = θn · ψ(x),
et la fonction ψ n’est égale, presque partout, à aucune fonction continue.
On considère S1 que l’on munit de la mesure de Lebesgue λ. On s’intéressera à la transformation :
S:
X × S1
(x, ξ)
→
X × S1
.
→ (T (x), θξ)
On peut trouver une construction explicite,due à H. Furstenberg dans [25], d’un système (X, B, µ, T )
satisfaisant ces hypothèses. On reviendra sur ces constructions dans la section 1 du chapitre suivant. De
plus, il y démontre que sous ces hypothèses, le système S ainsi défini, admet une partie minimale mais
non uniquement ergodique (théorème {R} énoncé dans la section 1 du chapitre IV). Pour tout entier l,
on pose :
Gl : X × S1 7→ S1 définie par Gl (x, ξ) = ψ l (x)ξ −l et E = {F ∈ C(X × S1 ) ; µ ⊗ λ(F · Gl ) = 0 ∀l ∈ N}.
⊥
Proposition III.11. On a alors la description explicite de M⊥
S : MS = E.
Preuve. On commence par définir deux suites de mesures de probabilité S-invariantes. Une étude du
comportement des fonctions continues pour ces suites de mesures suffira pour démontrer le résultat
attendu.
Puisque toute mesure borélienne σ, S-invariante sur X × S1 se projette sur X, en la mesure µ, et sur
S1 , en la mesure λ, les fonctions Gl sont S-invariantes σ-presque sûrement et à valeurs dans S1 .
57
CHAPITRE III. CONVERGENCE UNIFORME
−Gk
k
On en déduit que les fonctions Gk +G
+ 1 et Gk2i
+ 1 sont des fonctions à valeurs positives et S2
invariantes µ ⊗ λ-pp. On vérifie de plus que pour tout l non nul :
µ ⊗ λ(Gl ) = µ(ψ l ) · λ(ξ l ) = 0.
−Gl
l
+ 1) = µ ⊗ λ( Gl2i
+ 1) = 1.
On en déduit : µ ⊗ λ( Gl +G
2
On définit alors les mesures de la manière suivante. Pour toute fonction continue h :

R
l

+ 1)dµ ⊗ λ pour l non nul,
νl+ (h)
=
h · ( Gl +G

2


X×S 1
R
−Gl
νl− (h)
+ 1)dµ ⊗ λ pour l non nul,
=
h · ( Gl2i


1
X×S


et ν0+ = ν0− = µ ⊗ λ.
Soit F une fonction continue définie sur X × S1 telle que ses moyennes ergodiques convergent partout
vers une fonction continue. Le lemme III.13 énoncé plus loin, nous assure que l’on peut écrire :
X
F (x, ξ) =
fn (x)ξ n µ ⊗ λ-pp, où les fonctions fn sont continues.
Z
On suppose que µ ⊗ λ(F ) = µ(f0 ) = 0. Puisque le système est minimal, d’après la proposition III.4,
pour toute mesure σ, S-invariante, σ(F ) = µ ⊗ λ(F ) = 0.
P
k
+ 1)
fn (x)ξ n . On a alors :
Pour tout entier 0 < k < N , on pose HN (x, ξ) = ( Gk +G
2
|n|>N
0 = νk+ (F )
=
k
fn (x)ξ n ( Gk +G
+ 1)dµ ⊗ λ
2
R
R
P
P
k
k
fn (x)ξ n ( Gk +G
+ 1)dµ ⊗ λ +
fn (x)ξ n ( Gk +G
+ 1)dµ ⊗ λ
2
2
1
1
X×S |n|≤N
X×S |n|>N
R
R
P
k
HN (x, ξ)dµ ⊗ λ
fn (x)ξ n ( Gk +G
+ 1)dµ ⊗ λ +
2
|n|≤N X×S 1
X×S 1
P
1
µ ⊗ λ(fn (x)ξ n Gk ) + µ ⊗ λ(fn (x)ξ n Gk ) + 2µ ⊗ λ(fn (x)ξ n ) + µ ⊗ λ(HN )
2
|n|≤N
P
1
n k
−k
) + 12 µ ⊗ λ(fn ξ n ψ −k ξ k ) + µ ⊗ λ(HN )
2 µ ⊗ λ(fn ξ ψ (x)ξ
R
P
X×S 1 Z
=
=
=
=
=
|n|≤N
1
k
2 µ(fk ψ )
+ 12 µ(f−k ψ −k ) + µ ⊗ λ(HN ).
On en déduit que µ ⊗ λ(HN ) est constant pour tout N > k, et puisque par le lemme III.14,
X
X
Gk + Gk
n
n
k HN k2 ≤ + 1
·
fn (x)ξ ≤ 2 fn (x)ξ → 0,
2
|n|>N
L∞ |n|>N
2
2
cette constante ne peut qu’être nulle. On trouve donc : µ(fk ψ k ) + µ(f−k ψ −k ) = 0.
Puisque l’on doit aussi avoir, νk− (F ) = 0, le même calcul mène à : µ(fk ψ k ) − µ(f−k ψ −k ) = 0.
Donc, finalement, µ(fk ψ k ) = µ(f−k ψ −k ) = 0.
On vient donc de montrer que si F est une une fonction continue telle que ses moyennes ergodiques
convergent partout vers une fonction continue et µ ⊗ λ(F ) = 0, alors µ(fk ψ k ) = 0 pour tout k. Or,
µ(fk ψ k ) = µ ⊗ λ(F · Gk ), et en particulier, M⊥
S ⊂ E.
58
CHAPITRE III. CONVERGENCE UNIFORME
Réciproquement, on suppose que la fonction F appartient à l’ensemble E. Montrons que F ∈ M⊥
S.
Le lemme III.15 ci-dessous, nous assure que l’ensemble des fonctions continues de la forme f (x)ξ k telles
que µ(f · ψ k ) = 0, est dense dans l’ensemble E. Par linéarité et densité, il suffit de montrer que pour
toute mesure S-invariante σ et toute fonction Fk de la forme :
Fk (x, ξ) = fk (x)ξ k , telle que µ(fk ψ k ) = 0, on a σ(Fk ) = 0.
Si k = 0, la fonction ne dépend que de x ∈ X, et le système (X, T ) étant uniquement ergodique, le
résultat est évident ; sinon, on calcule les moyennes ergodiques. On fixe σ une mesure S-invariante :
!
!
!
N −1
N −1
N −1
1 X
1 X
1 X
n
n
kn k
n
k
n
−k
k
σ(Fk ) = σ
Fk (S (x, ξ)) = σ
fk (T x)θ ξ
fk (T x)ψ (T x)ψ (x)ξ .
=σ
N n=0
N n=0
N n=0
Car ψ(T k x) = θk ψ(x) pour µ-presque tout x, donc, pour σ-presque tout (x, ξ), puisque σ se projette
sur X en µ. Puisque le système (X, T ) est uniquement ergodique,
N −1
1 X
fk (T n x)ψ k (T n x)
N n=0
les moyennes
convergent µ-presque partout vers µ(fk ψ k ) = 0, donc, puisque, le module de la fonction (x, ξ) 7→
NP
−1
ψ −k (x)ξ k est borné par 1, la fonction N1
fk (T n x)ψ k (T n x)ψ −k (x)ξ k converge vers 0 σ-presque parn=0
tout. C’est une suite de fonctions bornées par k f k∞ . Par le théorème de convergence dominée :
⊥
σ(Fk ) = 0 donc E ⊂ M⊥
S . On a donc finalement montré que : E = MS .
Maintenant, on démontre les trois lemmes utilisés dans la preuve, les deux premiers reposant sur un
résultat fort d’analyse de Fourier dû à L. Carleson ( [15]) rappelé ici, dont on pourra trouver une
démonstration dans [60]. Il est possible que l’on puisse mener la preuve de la proposition III.11 sans
avoir besoin de ce résultat très difficile.
Théorème O (L. Carleson (1966) [15]). Soit f ∈ L2 (λ), une fonction sur le cercle S1 , si
Z
X
fˆ(n) =
f (ξ)ξ −n dλ alors f (ξ) =
fˆ(n)ξ n λ-presque partout.
S1
Z
Lemme III.13. Soit F ∈ C(X × S1 ), il existe une suite de fonctions continues (fn )n sur X telle que :
X
F (x, ξ) =
fn (x)ξ n µ ⊗ λ-presque partout.
Z
Preuve. Pour x ∈ X fixé, on applique le théorème de L. Carleson aux fonctions Fx ∈ C(S1 ) définies par
Fx (ξ) = F (x, ξ). On pose fn (x) = Fˆx (n) pour tout entier n. On remarque que puisque F est continue,
Z
Z
−n
fn (x) =
Fx (ξ)ξ dλ =
F (x, ξ)ξ −n dλ est continue en x.
S1
S1
L’ensemble des points (x, ξ) tels que F (x, ξ) = fn (x)ξ n , est mesurable puisque c’est l’image réciproque
PZ
de {0} par la fonction mesurable F (x, ξ) − fn (x)ξ n . On peut alors conclure, grâce au théorème de
P
Z
Fubini, que cet ensemble est de mesure pleine pour µ ⊗ λ.
59
CHAPITRE III. CONVERGENCE UNIFORME
Lemme III.14. Soit F ∈ C(X × S1 ), telle que F (x, ξ) =
P
fn (x)ξ n µ ⊗ λ-presque partout.
Z
X
Alors, les fonctions F N (x, ξ) =
fn (x)ξ n convergent en norme L2 (µ ⊗ λ) vers 0.
|n|≥N
Preuve. L’égalité de Parceval nous donne immédiatement pour les fonctions Fx définies plus haut :
Z
X
∀x ∈ X ,
| F (x, ξ) |2 dλ =
| fn (x) |2 .
Z
S1
Par le théorème de Fubini : kF k2 =
| F (x, ξ) |2 dµ ⊗ λ =
R
X×S1
RP
X Z
| fn (x) |2 dµ =
PR
| fn (x) |2 dµ.
Z X
P R
| fn (x) |2 dµ → 0.
Il est alors immédiat que F N 2 =
n≥N X
Lemme III.15. L’espace vectoriel engendré par les fonctions de la forme f (x)ξ k , telles que µ(f ψ k ) = 0,
est dense dans l’ensemble E.
Preuve. On considère encore pour tout x, les fonctions Fx ∈ C(S1 ) définies par Fx (ξ) = F (x, ξ). On note
w(F )(δ) = sup{| F (x, ξ) − F (x0 , ξ 0 ) | ; d(x, x0 ) < δ et | ξ − ξ 0 |< δ} et pour tout x, w(Fx )(δ) = sup{|
F (x, ξ) − F (x, ξ 0 ) | ; | ξ − ξ 0 |< δ}. Pour tout x et tout δ, w(F )(δ) ≤ w(Fx )(δ). Puisque la fonction
F est continue, w(F )(δ) converge vers 0 quand δ tend vers 0. Le théorème de convergence uniforme de
Fejer nous assure qu’il existe une constante A telle que :
N
X
|n| ˆ
n
(1 −
pour tout x, Fx (ξ) −
)Fx (n)ξ ≤ w(Fx )(δ) + AkFx k∞ /N.
N
n=−N
N
P
(1 −
On en déduit : ∀x ∈ X, F (x, ξ) −
n=−N
∞
|n|
n
)f
(x)ξ
n
N
≤ w(F )(δ) + AkF k∞ /N.
∞
Il nous reste alors à démontrer que µ(fn ψ n ) = 0 pour tout n. Or, puisque F ∈ E, on a :
Z
Z
Z
n
−n
0 = µ ⊗ λ(F · Gn ) = ψ (x) F (x, ξ)ξ dλdµ = ψ n (x)fn (x)dµ = µ(fn · ψ n ).
X
S1
X
On supposera par la suite, que le système (X, T ) admet une valeur propre θ0 telle que φ(T x) = θ0 φ(x)
l
partout, où φ est continue et telle que pour tout couple d’entiers (k, l), θk 6= θ0 . Quitte à prendre le
produit direct du système (X, T ) avec une rotation d’angle judicieusement choisi, on peut toujours se
ramener au cas où une telle fonction propre existe. On garde les mêmes notations que précédemment et
on appelle Rθ la multiplication par θ sur S1 .
Proposition III.3 Le système topologique (X × S1 , T × Rθ ) n’admet pas de facteur topologique maximal
pour lequel les moyennes ergodiques des fonctions continues convergent partout.
Preuve. Une sous-algèbre sera dite moyennable si elle est fermée, S-invariante, si elle contient les
fonctions constantes et si elle est incluse dans M⊥
S ⊕ I. On étudie ces sous-algèbres puisqu’elles sont en
bijection avec les facteurs topologiques Y = (Y, δ, S) du système tels que C(Y ) = M⊥
Y ⊕ IY . De plus, le
couplage de deux facteurs topologiques du système, X1 et X2 , associés à des sous-algèbres moyennables,
60
CHAPITRE III. CONVERGENCE UNIFORME
A1 et A2 , induit un facteur topologique du système, dont l’algèbre moyennable associée est la plus petite
sous-algèbre contenant les deux sous-algèbres A1 et A2 . On renvoie à la section 2.2 de l’introduction.
On va considérer deux sous-algèbres moyennables de C(X × S1 ). On montrera alors qu’il n’existe pas de
sous-algèbre moyennable contenant ces deux sous-algèbres.
La première algèbre considérée est : A = {F ∈ C(X × S1 ); ∃f ∈ C(X); F (x, ξ) = f (x) partout}.
Cela revient à considérer le système (X, T ) comme facteur du système (X × S1 , S).
Pour la deuxième sous-algèbre, on rappelle qu’il existe une fonction propre continue φ, associée à une
valeur propre θ0 6= θ. La fonction φ induit une sous-algèbre A0φ de C(X), fermée, T -invariante, stable
par conjugaison, et qui contient les constantes, car φφ = 1 ∈ A0φ . Donc A0φ est moyennable sur X. On
remarque que A0φ est incluse dans l’algèbre induite par le facteur équicontinu maximal. Soit A0 l’algèbre
fermée engendrée par :
F ∈ C(X × S1 ); ∃g ∈ A0φ ; ∃h ∈ C(S1 ); F (x, ξ) = g(x)h(ξ) partout .
On peut vérifier que A0 contient les fonctions constantes et est stable par T . D’après la proposition
III.11 précédente, pour montrer que c’est une une sous-algèbre moyennable, il suffit de vérifier que pour
tout entier l non nul, pour toute fonction g ∈ A0φ et h ∈ C(S1 ), on a µ ⊗ λ(g · h · Gl ) = 0. C’est-à-dire,
que µ(g · ψ l )λ(h · ξ −l ) = 0. On va démontrer que pour toute fonction continue g ∈ A0φ et pour tout entier
l non-nul, µ(g · ψ l ) = 0.
Pour cela, il suffit de voir que, puisque g ∈ A0φ , on peut se restreindre à démontrer ce résultat pour
g = φk , où k est un entier. Or, ce résultat est immédiat, puisque pour tout entier k, φk et ψ l sont deux
l
fonctions propres associées respectivement à θk et θ0 qui sont distincts puisque l est non nul. La fonction
l
k
l
φ · ψ est donc une fonction propre associée à la valeur propre θk θ0 6= 1, elle est donc d’intégrale nulle,
k
l
soit µ(φ · ψ ) = 0.
On remarque alors que toute sous-algèbre contenant A et A0 contient toutes les fonctions du type
f (x)φ(x)ξ k , où f est continue. En prenant f de la forme f 0 φ, on se rend compte qu’elle doit contenir
toutes les fonctions du type f 0 (x)ξ k , où f 0 ∈ C(X). Par le théorème de Stone-Weierestrass, on en déduit
que la seule algèbre contenant A et A0 est l’ensemble des fonctions continues C(X × S1 ) ; ce qui est
absurde par le théorème {N} puisque le système est minimal et non-uniquement ergodique.
Remarque . On se rend compte que l’ensemble des algèbres moyennables n’est pas un treillis pour la
loi d’ordre partiel qu’est l’inclusion. (deux éléments n’admettent pas nécessairement de supremum).
61
CHAPITRE III. CONVERGENCE UNIFORME
62
Chapitre IV
Quelques résultats sur les produits
gauches
La motivation principale de cette section est d’aborder la problématique suivante :
Supposons être intéressé par l’étude d’un système mesuré X et supposons connaître certaines propriétés
d’un système Y, qui est un facteur de ce système X . Que peut-on dire sur le système X ?
Théorème P (Rohlin cf. [33]). Soit X = (X, B, µ, T ) et Y = (Y, D, ν, S) deux systèmes dynamiques
standards, mesurés et ergodiques. On suppose que le système Y est un facteur mesuré du système X .
Alors, il existe un espace mesuré standard Z = (Z, F, ρ) et une application γ de Y dans les automorphismes de Z mesurable, tels que le système X et le système
Y × Z, D ⊗ F, ν ⊗ ρ, (y, z) 7→ S(y), γ(y)(z) soient équivalents de manière mesurée.
Ce théorème nous assure donc que l’espace X peut être mis sous la forme d’un espace produit, et
que la projection de X sur Y est juste une projection sur la première coordonnée. Cependant, on n’a
toujours pas gagné grand chose en compréhension du système dynamique X puisque l’application γ peut
se révéler extrêmement complexe. Cependant, si l’on se restreint à étudier des systèmes dynamiques en
imposant des conditions supplémentaires sur le système Y, l’espace Z ainsi que sur l’application γ, on
peut obtenir des résultats intéressants.
On fixe G et H deux groupe métriques abéliens compacts, munis de leurs mesures de probabilité de
Haar mG et mH sur les tribus boréliennes BG et BH . On fixe des métriques dG et dH invariantes par
rotation. On suppose que la rotation de G donnée par g 7→ g + g0 est minimale et donc uniquement
ergodique. On fixe une fonction mesurable f : G → H et on s’intéresse à l’application :
T :
G×H
(g, h)
→
G×H
7→ (g + g0 , h + f (g))
Théorème Q (H. Anzai (∼1950) cf. [78]). Le système dynamique mesurable (G × H, T, BG ⊗ BH ) est
uniquement ergodique si et seulement si la mesure produit mG ⊗ mH est ergodique pour le système
(G × H, T, BG ⊗ BH ) si et seulement si, il n’existe pas de caractère continu γ sur H et de fonction
mesurable η : G → S1 vérifiant mG -presque partout :
η(g + g0 ) = γ f (g) · η(g).
Le système dynamique topologique (G × H, T ), muni de la métrique produit dG ⊗ dH est alors minimal.
63
CHAPITRE IV. QUELQUES RÉSULTATS SUR LES PRODUITS GAUCHES
On commencera dans les deux premières sections, à poursuivre les travaux de H. Furstenberg dans [25].
On s’intéressera aux applications :
T = Tλ,h :
S1 × S1
(ξ, ξ 0 )
→
S1 × S1
où λ ∈ S 1 et h : S 1 → S 1 est continue.
→ (λξ, h(ξ)ξ 0 )
(IV.1)
On munit le cercle S1 d’une métrique d invariante par rotation, de la tribu des borélien B et de la mesure
de Lebesgue µ. On note
2
Tλ,h le système (S1 ) , d ⊗ d, Tλ,h et on note T = Tλ,h ; λ ∈ S1 , h ∈ C(S1 , S1 ) .
(IV.2)
Si f est une application continue du cercle dans lui-même, on sait qu’elle se relève en une application
e
continue fe : R → R. C’est-à-dire : ∀x ∈ R, f (e2iπx ) = e2iπf (x) . Le degré de f est l’entier égal à
fe(x + 1) − fe(x) indépendant du point x et du relèvement fe choisi. On commence par démontrer dans
la section 1 :
Théorème 8. Pour presque tout λ ∈ S1 , l’ensemble des fonctions continues f telles que le système Tλ,f
admet une partie minimale non-uniquement ergodique, est dense dans l’ensemble des fonctions continues
de degré nul.
Cependant, comme on le verra dans la section 2, le comportement contraire est typique.
Théorème 9. Le comportement typique d’une application de T est d’être minimale et uniquement ergodique. C’est-à-dire, il existe une famille dénombrable (On )n d’ouverts denses de l’espace S1 × C(S1 , S1 ),
tels que pour tout (λ, h) ∈ On pour tout n ∈ N, le système dynamique topologique Tλ,h est minimal et
uniquement ergodique.
On peut aussi s’intéresser au cas où l’application f est affine par morceaux. On peut citer les travaux
de A. Iwanik, M. Lemańczyk, C. Mauduit et M. K. Mentzen dans [54] et [64] autour de ces questions.
On peut aussi consulter le livre [1] de J. Aaronson. On va s’interesser dans la partie 3 aux propriétés
relatives à l’induction d’une certaine sous-famille. On reviendra sur l’étude de cette sous-famille dans le
dernier chapitre VI.
Dans le cas de systèmes de type Anzai, on utilise fortement l’homogénéité des espaces. On donne un
exemple dans la dernière section 4, de produits gauches pour lesquels les points n’ont pas tous le même
comportement.
1
Extensions de rotations pour lesquelles il existe une partie
minimale non-uniquement ergodique.
Soit λ ∈ S1 et h : S1 → S1 . D’après le théorème {Q} de H. Anzai, nous savons que le comportement
dynamique du système Tλ,h défini en (IV.2) est fortement lié à l’existence et à la nature des solutions
de l’équation :
hk (ξ) = H(λξ) · H(ξ)−1 .
(IV.3)
C’est-à-dire, on cherche à savoir s’il existe k ∈ Z∗ , A ∈ B de mesure 1 et une fonction mesurable
H : S1 → S1 tels que :
∀ξ ∈ A, hk (ξ) = H(λξ) · H(ξ)−1 .
On dit alors que la fonction H est solution de l’équation (IV.3). Une fonction mesurable g de S1 dans
lui-même est dite essentiellement discontinue, si pour toute fonction continue f , µ({ξ ∈ S1 ; f (ξ) =
64
CHAPITRE IV. QUELQUES RÉSULTATS SUR LES PRODUITS GAUCHES
g(ξ)}) < 1. Pour tout λ ∈ S 1 , on définit les sous-ensembles de C(S1 , S1 ) :
L1 (λ)
L2 (λ)
=
=
{h ∈ C(S 1 ); l’équation (IV.3) admet une solution essentiellement discontinue}.
{h ∈ C(S 1 ); l’équation (IV.3) n’admet pas de solution }.
(IV.4)
H. Furstenberg montra dans [25] le résultat suivant sur lequel nous nous appuierons :
Théorème R (H. Furstenberg (1961) [25]). Soit h ∈ C(S 1 ) et λ ∈ S 1 tel que h ∈ L1 (λ), alors, le
système Tλ,h admet une partie minimale et non-uniquement ergodique.
Il serait alors également intéressant de contrôler, dans ce cas, le nombre de composantes ergodiques. Il
existe des résultats dans le cas où l’extension opère sur un ensemble discret. Pour plus d’informations,
on renvoie aux travaux de E.A. Sataev ( [86]) et de W.A. Veech ( [87]). Notre but est de démontrer le
théorème :
Théorème 8. Pour presque tout λ ∈ S1 , l’ensemble des fonctions continues f telles que le système
Tλ,f admet une partie minimale et non-uniquement ergodique est dense dans l’ensemble des fonctions
continues de degré nul.
La principale difficulté est de démontrer le lemme suivant :
Lemme IV.1. Pour presque tout λ ∈ S1 , L1 (λ) est non vide.
Preuve du lemme IV.1. On commence par définir un ensemble de suites à valeurs réelles :
Φ = {φ : N∗ → R+ ;
∞
X
1
∞
X
1
1
<
∞
,
= ∞ et φ est croissante}.
φ2 (n)
φ(n)
1
On remarque immédiatement que l’ensemble Φ est non vide, en particulier la suite (n)n appartient à Φ.
On associe à tout nombre réel positif a son développement en fraction continue :
1
a = a0 +
que l’on note a = [a0 , a1 , . . . , an , . . . ].
1
a1 +
a2 +
1
a3 +
1
..
.
On considère de plus deux suites d’entiers (pk )k et (qk )k telles que pour tout n : [a0 , a1 , . . . , an ] = pqnn .
Elles sont définies par récurrence de la manière suivante :
p−2 = 0
p =1
p = an pn−1 + pn−2
, −1
et pour tout entier n : n
(IV.5)
q−2 = 1
q−1 = 0
qn = an qn−1 + qn−2
On renvoie à [45] pour plus de précisions. Pour φ ∈ Φ, on pose :
n
o
[
Aφ = a = [a0 , a1 , . . . , an , . . . ] ∈ [0, 1] tel que {i ∈ N; ai ≥ φ(i)} est infini et A =
Aφ .
φ∈Φ
D’après un résultat de A. Ya. Khinchin [57] : ∀φ ∈ Φ µ(Aφ ) = 1 et donc µ(A) = 1.
Une autre preuve de ce résultat est donnée dans [91]. On remarque que les nombres rationnels et
quadratiques n’appartiennent pas à A.
On propose maintenant de montrer que pour tout φ ∈ Φ et a ∈ Aφ , il existe une suite croissante d’entiers
(nk )k verifiant :
1
(IV.6)
∀k ∈ N , | ank − [ank ] |≤
φ(k)nk
65
CHAPITRE IV. QUELQUES RÉSULTATS SUR LES PRODUITS GAUCHES
Soit a = [a0 , a1 , . . . , an , . . . ] ∈ Aφ . Pour tout k ∈ N on pose αk = [ak , ak+1 , . . . ] ∈ R∗+ . On associe les
suites (pk )k et (qk )k définies en (IV.5). Elles vérifient : pk = [aqk ]. Alors :
1
1
1
≤
≤
.
αk+1 qk + qk−1
αk+1 qk
ak+1 qk
| aqk − pk |=
Soit θ : N → N tel que φ(θ(i)) ≤ aθ(i) , alors pour tout i : θ(i) ≤ ψ(i). On retrouve bien l’équation (IV.6)
en posant nk = qθ(k)−1 . On fixe un élément λ = e2iπa où a ∈ A et φ ∈ Φ tel que a ∈ Aφ . Le but est
alors de construire une fonction de L1 (λ). Puisque A est de mesure pleine, on aura alors démontrer le
résultat. On associe à a et φ la suite (nk )k définie en (IV.6) et on prolonge la suite (nk )k pour les entiers
k négatifs en posant n−k = −nk .
On définit deux fonctions réelles pour tout x ∈ [0, 1] par :
f (x) =
+∞
X
1
1
(e2iπnk a − 1)e2iπnk x et F (x) =
e2iπnk x .
φ(|
k
|)
φ(|
k
|)
−∞
−∞
+∞
X
On commence par remarquer que les fonctions définies sont toutes dans l’espace L2 (µ) :
+∞
+∞
P
P
1
1
–
| φ(|k|)
(e2iπnk a − 1)e2iπnk x |2 ≤ 8
| φ(k)
|2 < ∞ par définition de Φ.
–
−∞
+∞
P
−∞
0
|
1
2iπnk x 2
| ≤
φ(|k|) e
2
+∞
P
|
0
1
2
φ(k) | <
∞.
Elles sont à valeurs réelles puisque les coefficients sont symétriques.
La fonction f est lipschitzienne donc continue puisque pour tout (x, y) ∈ [0, 1]2 :
| f (x) − f (y) |
≤
+∞
P
−∞
≤
≤
1
φ(|k|)
4π 2
+∞
P
4π 2
−∞
+∞
P
−∞
| e2iπnψ(k) a − 1 | · | e2iπnψ(k) x − e2iπnψ(k) y |
nψ(k)
φ(|k|)
| anψ(k) − [anψ(k) ] | · | x − y |
+∞
P 1
1
2
|
x
−
y
|≤
8π
·|x−y |
φ(|k|)2
φ(k)2
0
La fonction F est essentiellement discontinue car ses coefficients de Fourrier sont positifs et leur somme
diverge. On peut trouver une preuve de ce résultat dans [80]. On a bien pour presque tout x ∈
[0, 1] : f (x) = F (x + a mod 1) − F (x).
On pose fer (e2iπx ) = e2iπrfa (x) pour tout réel r. Alors par construction, il existe r0 tel que ff
r0 ∈
L1 (λ).
Remarque 1 : Si λ = e2iπa est irrationnel et P (x) =
N
P
cn e2iπnx est un polynôme trigonométrique
|n|≥1
à valeurs réelles, alors pour tout réel x :
e
2iπP (x)
=e
2iπQ(x+a)
·e
−2iπQ(x)
où Q(x) =
N
X
|n|≥1
cn
e2iπnx .
e2iπna − 1
Preuve du théorème 8. On fixe λ = e2iπa où a ∈ A fixé. En particulier, a est irrationnel. D’après le
théorème {R}, il suffit de vérifier que L1 (λ) est dense dans l’ensemble des fonctions continues de degré
66
CHAPITRE IV. QUELQUES RÉSULTATS SUR LES PRODUITS GAUCHES
nul. D’après le lemme IV.1, il existe une fonction f continue, une fonction F essentiellement discontinue
et un entier k tels que f k (ξ) = F (λξ) · F −1 (ξ).
D’après la remarque 1 précédente, pour tout polynôme trigonométrique P : [0, 1] −→ R, il existe un
polynôme trigonométrique Q tel que pour tout réel x : e2iπP (x) = e2iπQ(x+a) · e−2iπQ(x) .
On en déduit pour tout polynôme trigonométrique P : [0, 1] −→ R, f · e2iπP ∈ L( λ).
On en déduit alors le résultat, en rappelant que les fonctions de la forme e2iπP sont denses dans l’ensemble
des fonctions continues de degré nul et que la fonction f est elle-même de degré nul.
2
Densité des extensions de rotations minimales et uniquement
ergodiques.
On veut ici montrer le théorème 9 :
Théorème 9. Le comportement typique d’une application de T est d’être minimal et uniquement ergodique.
Le premier point est de montrer que l’ensemble des systèmes dynamiques de T défini en (IV.2) qui sont
minimaux et uniquement ergodiques, est dense. Ceci repose en grande partie sur le théorème {S} suivant.
On complétera la preuve du théorème 9 en fin de section.
Théorème S (Furstenberg (1961) [25]). Soit h ∈ C(S1 , S1 ) et λ ∈ S1 irrationnel. Si h est globalement lipschitzienne et de degré non-nul, alors h ∈ L2 (λ) et le système Tλ,h est minimal et uniquement
ergodique.
T
Lemme IV.2. Soit h ∈ C(S1 , S1 ) globalement lipschitzienne de degré non nul, alors h ∈
L2 (λ).
λ∈S1
On notera : I = {e
2iπa
où a est irrationnel}.
Preuve. Soit h ∈ C(S1 , S1 ), globalement lipschitzienne et de degré non-nul. Grâce au théorème {S} :
\
h∈
L2 (λ).
λ∈I
On vas traiter le cas où λ est rationnel et h globalement lipschitzienne de degré m non nul. Soit λ
tel que ∃r ∈ N tel que λr = 1. On suppose qu’il existe H mesurable, tel que pour presque tout ξ,
h(ξ) = H(λξ) · H(ξ)−1 . Alors pour presque tout ξ ∈ S 1 et pour tout j ∈ {0, . . . , r − 1}, on a :
h(λj ξ) = H(λj+1 ξ) · H(λj ξ)−1 .
Donc en multipliant ces égalités, on obtient : h(ξ)h(λξ) . . . h(λr−1 ξ) = 1 pour presque tout ξ.
On remarque que la fonction ξ → h(ξ)h(λξ) . . . h(λr−1 ξ) est continue et égale presque partout à une
fonction continue. Elle est donc égale partout à 1.
Si d(f ) désigne le degré d’une fonction f , On conclut en remarquant que pour toutes les fonctions
continues f et g : d(f · g) = d(f ) + d(g) , d(f ◦ g) = d(f ) · d(g) et d(ξ → λξ) = 1.
On a donc d h(ξ)h(λξ) . . . h(λr−1 ξ)
= d(h) + d(h(λξ) + · · · + d(h(λr−1 ξ)))
= d(h) + 1.d(h) + · · · + (r − 1)d(h) = M d(h)
= d(ξ → 1) = 0,
T
ce qui est absurde puisque par hypothèse d(h) 6= 0. Donc h ∈
L2 (λ).
λ∈S 1
67
CHAPITRE IV. QUELQUES RÉSULTATS SUR LES PRODUITS GAUCHES
Lemme IV.3. L’ensemble
T
L2 (λ) est dense dans l’ensemble C(S1 , S1 ).
λ∈I
Preuve. T
On sait déjà d’après le théorème {S} que toute fonction lipschitzienne de degré non-nul appartient à
L2 (λ). Donc cet ensemble est dense dans les fonctions continues de degré non-nul. Reste à
λ∈I
vérifier que cet ensemble est aussi dense dans l’ensemble des fonctions continues de degré zéro.
On a également vu dans la remarque 1 que pour tout polynôme trigonométrique réel de coefficient
N
P
constant nul p(x) =
cn e2iπnx tel que c0 = 0, et pour tout λ = e2iπa irrationnel, il existait une
n=−N
fonction polynomiale q telle que pour tout x, e2iπp(x) = e2iπq(x+a) · e−2iπq(x) .
On remarque enfin que si λ est dans I, alors la rotation d’angle λ n’a pas pour valeur propre e2iπp/q
pour tout couple d’entiers (p, q) et donc la fonction constante égale à e2iπp/q appartient à L2 λ pour tout
λ ∈ B.
Donc pour tout N , pour tout (c−N , . . . , c−1 , c1 , . . . cN ), où ci = c−i :
N
X
e2iπx → exp 2iπ(p/q +
cn e2iπnx ) ∈ L2 (λ) pour tout λ ∈ I.
|n|≥1
Il ne reste plus qu’à constater que l’ensemble des fonctions de [0, 1] dans R de la forme
N
X
p
+
cn e2iπnx
q
|n|≥1
est dense dans l’ensemble des fonctions continues f de [0, 1] dans R telles que f (0) = f (1).
On est alors en mesure de démontrer le théorème 9 :
Preuve du théorème 9 . Montrons que X = {(λ, g) ∈ I × C(S 1 ); g ∈ L2 (λ)} est un Gδ dense.
D’après le travail déjà effectué, cet ensemble est dense. On va montrer que son complémentaire est une
réunion de fermés d’intérieur vide. On commence par définir les ensembles suivants :
L = {(λ, g) ∈ I × C(S 1 ) ; ∃k ∈ Z∗ , ∃A de mesure 1, ∃G : S1 → S1 mesurable tel que
∀ξ ∈ A; g k (ξ) = G(λξ) · G(ξ)−1 }
et K = {(λ, g) ∈ S 1 × C(S 1 ); λ ∈
/ I et g continue}.
Les ensembles X , L et K forment bien une partition de l’ensemble S1 × C(S1 , S1 ).
Soit (λ, g) ∈ L et (k, A, G) associé. On note a le réel appartenant à [0, 1], tel que e2iπa = λ.
∃h : R → R continue, telle que g(e2iπθ ) = e2iπh(θ)
∃H : R → R mesurable et 1-périodique, telle que G(e2iπθ ) = e2iπH(θ)
et pour presque tout x : kh(x) = H(x + a) − H(x) mod 1.
(IV.7)
On remarque que x 7→ {H(x)} où {x} est la partie fractionnaire de x vérifie aussi l’équation (IV.7). On
peut donc prendre H : R → [0, 1], d’où H|[0,1] ∈ L2 (µ), où µ est la mesure de Lebesgue sur [0, 1]. Soit
M un entier tel que k h k∞ ≤ M . Alors, ∃η : R → {−M − 1, . . . , M + 1}, mesurable et bornée, telle que
pour presque tout x :
kh(x) = H(x + a) − H(x) + η(x).
(IV.8)
68
CHAPITRE IV. QUELQUES RÉSULTATS SUR LES PRODUITS GAUCHES
On redéfinit la fonction, encore noté kh − η, en prolongeant sur R, en une fonction 1-périodique la
fonction que la fonction kh − η définit sur [0, 1]. On écrit alors le developpement en serie de Fourier des
fonctions H(x + a) − H(x) et kh(x) − η(x) qui sont des fonctions de L2 (µ). On pourra de plus, identifier
les coefficients de ces deux expansions car ces fonctions sont égales presque partout.
kh(x) − η(x) =
H(x) =
∞
P
−∞
∞
P
−∞
an e2iπnx pour presque tout x, avec an = a−n ∈ C.
bn e2iπnx pour presque tout x, avec bn = b−n ∈ C,
∞
P
| bn |2 < ∞ .
0
Puisque l’équation (IV.8) est vérifiée presque partout, pour tout entier n : an = bn (e2iπnα −1). (IV.9)
D’où g k (e2iπx )
=
=
(e2iπh(x) )k = e2iπkh(x) =e2iπ(kh(x)−η(x))
∞
P
2iπ(H(x+a)−H(x))
2iπnα
2iπnx
e
= exp 2iπ
bn (e
− 1)e
.
−∞
On peut donc écrire :
n
∞
P
L =
(e2iπa , g) ∈ I × C(S 1 ); ∃(bn )n ; bn = b−n et
| bn |2 < ∞ , ∃k ∈ Z∗ , ∃B de mesure 1
−∞
o
∞
P
2iπna
2iπnx
b
(e
−
1)e
)
.
tel que ∀x ∈ B ; g(e2iπx ) = exp( 2iπ
n
k
−∞
Et pour tout couple d’entiers (M, k), on pose
n
∞
P
| bn |2 ≤ M , ∃B de mesure 1 tel que
FM,k =
(e2iπa , g) ∈ I × C(S 1 ); ∃(bn )n ; bn = b−n et
−∞
o
∞
P
2iπna
2iπnx
∀x ∈ B ; g(e2iπx ) = exp( 2iπ
b
(e
−
1)e
)
.
n
k
−∞
c
On rappelle ici que le but de cette démonstration est de
S montrer que X est une réunion de fermés. Or,
c
pour l’instant, on a montré que : X = K ∪ L = K ∪
FM,k .
M,k
La principale difficulté technique, ici est que K est bien une réunion de fermés mais que FM,k n’est pas
fermé. En revanche on observe la relation suivante :
FM,k \ FM,k ⊂ K
(IV.10)
Si on a montré l’équation
(IV.10), on en déduit que pour tout (M, k), K ∪ FM,k = K ∪ FM,k , soit :
S
Xc = K ∪ L = K ∪
FM,k .
M,k
Puisque K est une réunion de fermés, on peut trouver une suite de fermés (Fn )n , tels que : X c =
S
FN .
N
Donc le complémentaire de l’ensemble ainsi défini, est une réunion de fermés. Cet ensemble est de plus
dense. C’est donc une intersection d’ouverts denses, soit un Gδ . Il ne nous reste alors plus qu’à montrer
l’équation (IV.10) :
Soit (λl , gl )m une suite d’élément de FM,k qui converge uniformément vers g. A chaque gl , on associe
(Bl , (bl,n )). On note αl , le réel de [0, 1] tel que e2iπαl = λl . On remarque immédiatement que g est
continue et que la suite (λl )l converge vers un certain λ qui s’écrit e2iπα où α ∈ [0, 1] et la suite (αl )l
converge vers α.
∞
P
On suppose donc que λ ∈ I. Ainsi (λ, g) ∈ FM,k \ K. On peut alors écrire g(x) = exp(2iπ
cn e2iπnx ).
−∞
69
CHAPITRE IV. QUELQUES RÉSULTATS SUR LES PRODUITS GAUCHES
On fixe B =
T
Bm de mesure 1. L’exponentielle étant uniformément continue sur tout compact,
∀n ∈ N : bl,n (e2iπαl − 1) converge vers cn et (e2iπαl − 1) converge vers (e2iπα − 1).
On pose donc : bn = cn (e2iπα − 1)−1 pour n 6= 0.
On vérifie alors aisement que bn = b−n et que
∞
P
| bn |2 ≤ M . Donc (λ, g) ∈ FM,k .
−∞
3
Propriétés d’induction d’une famille d’extensions de rotations
On sort alors du cadre des deux section précédentes pour s’intéresser à des extensions non nécessairement
continue de rotations du cercle, mais affines par morceaux qui possèdent certaines propriétés par rapport
à l’induction que nous mentionnons ici. On reviendra sur l’étude d’une sous-famille de cette famille dans
le chapitre VI.
On considère une extension affine par morceaux de la rotation Rθ d’angle θ ∈ [0, 1[ définie par :
T :
où ψ est définie par :
ψ(y, z) =
ψ(y, z) =
[0, 1[×R
(y, z)
−→
−→
[0, 1[×R
(Rθ (y), z + ψ(y))
ψg (y, z) = ag y + bg si y ∈ [0, 1 − θ[
, où (ag , ad , bg , bd ) ∈ R4 .
ψd (y, z) = ad y + bd sinon.
L’ensemble des fonctions de cette forme constitue un espace X homéomorphe à l’espace R4 × [0, 1], via
la fonction :
 
  
ag
ag
ad 
ad  
0
 
  
τ : T −→ 
 bg  , θ . On note de plus τ : T −→  bg  .
bd
bd
On considère l’application T1 de premier retour dans la bande [1 − θ, 1[×R On définit une fonction qui
permettra de renormaliser les systèmes en prenant le parti de ne pas agir sur la deuxième coordonnée :
R:
[1 − θ, 1] × R −→
(y, z)
−→
[0, 1] × R
dont l’inverse est R−1 (y, z) = (1 − yθ, z).
( 1−y
,
z)
θ
On définit alors la fonction : Φ(T ) = R ◦ T1 ◦ R−1 .
Proposition IV.1. Pour toute fonction T ∈ X, la fonction Φ(T ) appartient encore à l’espace X. Soit
θ ∈ [0, 1], on pose :


−θ θ1 − 1
−θ
0
0






1

−θ θ
−θ
0
0




Mθ =  (IV.11)
.
2 1

1
1
−
1
1
−
1
1
θ θ

θ
θ




 
1
2 1
1
+
1
1
1
θ θ
θ
θ
L’application Φ de X dans lui-même induit une application Φ̂ de l’espace R4 × [0, 1], définie par :
1
1
−1
Φ̂(v, θ) = τ ◦ Φ ◦ τ (v, θ) = M · v, −
, où θ1 désigne la partie entière de θ1 .
θ
θ
70
CHAPITRE IV. QUELQUES RÉSULTATS SUR LES PRODUITS GAUCHES
En particulier, lorsque θ = θ1 − θ1 , et v est un vecteur vérifiant Mθ · v = v, l’application τ −1 (v, θ) est
une application auto-induite de [0, 1] × R dans lui-même.
Preuve. Soit (ag , ad , bg , bd , θ) fixés et T l’application associée. On commence par expliciter l’application
de premier retour T 1 dans la bande [0, 1] × R définie par :
T1 :
[1 − θ, 1[×R −→
(y, z)
−→
[1 − θ, 1[×R
avec ny = inf{n ∈ N; Rθn (y) ∈ [1 − θ, 1[}.
T ny (y, z)
Un calcul simple nous donne :
ny = inf{n ∈ N; Rθn (y) ∈ [1 − θ, 1[} = inf{n ∈ N; y + nθ ≥ 1 + 1 − θ} =
2−θ−y
2−y
+1=
.
θ
θ
2−y
− 2−1
On pose N = 1+θ
= θ1 + 1 = n1−θ . Puisque 2−(1−θ)
θ
θ
θ = 1, et puisque la fonction y 7→ θ
est strictement décroissante, on a pour tout y ∈ [θ, 1], ny ∈ {N − 1, N }. On sait de plus qu’il existe
z ∈ [1 − θ, 1[, tel que si on pose I1 = [1 − θ, z[ et I2 = [z, 1[, alors pour tout y ∈ I1 , ny = N , et pour
tout y ∈ I2 , ny = N − 1. Le point z est le point vérifiant :
1
z + (N − 1)θ = 1 + 1 − θ, soit z = 2 − θ − (N − 1)θ = 2 − θ − θ
.
θ
Après calcul, l’application T1 est donc de la forme :
si y ∈ I1 :
T1 (y, z)
=
=
NP
−1 NP
−1
N
i
N
Rθ (y), z +
ψ Rθ (y)
= Rθ (y), z + ψd (y) +
ψg (y + iθ − 1)
n=0
n=1
1
1
y + N θ − 1, z + yag + bg
et si y ∈ I2 :
NP
−2 NP
−2
RθN −1 (y), z +
= RθN −1 (y), z + ψd (y) +
ψ Rθi (y)
ψg (y + iθ − 1)
n=0
n=1
= y + (N − 1)θ − 1, z + ya1d + b1d
 1
ag = ad + (N − 1)ag ,


 1
bg = bd + (N − 1)bg + θ N (N2−1) ag − (N − 1)ag ,
où on pose :
a1 = ad + (N − 2)ag ,


 1d
−2)
ag − (N − 2)ag .
bd = bd + (N − 2)bg + θ (N −1)(N
2
1
On note : J1 = R(I1 ) = [0 , 1 − θ1 ] , J2 = R(I2 ) = ]θ1 , 1] avec θ1 = θ − θ1 .
T1 (y, z)
=
On peut maintenant définir l’application :
[0, 1[×R −→
[0, 1[×R
.
(y, z)
−→ (Rθ1 (y), z + ψ(y))
ψ(y, z) = ψ g (y, z) = ag y + bg si y ∈ J1
où ψ est affine par morceau définie par :
, avec
ψ(y, z) = ψ d (y, z) = ad y + bd sinon.

ag = −θa1d =
−θad − θ( θ1 −


1)ag ,

bg = b1d + a1d = ad + bd + ( θ1 − 1)(ag + bg ) + θ2 θ1 ( θ1 − 1)ag − ( θ1 − 1)ag ,
ad = −θa1g =
−θad − θ θ1 ag , 

1

1
1
bd = bg + ag =
ad + bd + θ (ag + bg ) + θ2 θ1 ( θ1 + 1)ag − θ1 ag .
Φ(T ) :
Si la matrice Mθ est la matrice définie en (IV.11), on retrouve bien : τ 0 (φ(T )) = Mθ · τ 0 (T ).
71
CHAPITRE IV. QUELQUES RÉSULTATS SUR LES PRODUITS GAUCHES
Proposition IV.2. On considère maintenant l’application
[0, 1[× R/ φ1 Z −→
[0, 1[× R/ φ1 Z
e
T :
(y, z)
−→ (R1/φ (y), z + ψe1/φ (y) mod
(
où φ est le nombre d’or
1
φ)
= ψ1/φ (y, z) − φ1
si y ∈ [0, 1/φ2 [,
1
= ψ1/φ (y, z) − φ4
sinon.
φ4
induit un système dynamique topologique sur [0, 1[× R/ φ1 Z auto-induit (en fait autosimilaire), minimal et uniquement ergodique.
et ψe1/φ est définie par :
ψe1/φ (y, z) = y + φ12
ψe1/φ (y, z) = −φy +
Preuve. Le cocycle ψe est continu sur R/ φ1 Z, il y est lipschitzien et de degré 1, donc d’après le théorème
{S} de H. Furstenberg , l’application Te induit un système dynamique minimal et uniquement ergodique
sur R/ φ1 Z. Il ne reste plus qu’à vérifier que ce système est auto-induit.
Si θ = 1/φ où φ est le nombre d’or,

0
−1/φ 0
−1/φ −1/φ 0
M1/φ = 
 0
1
0
1/φ
1
1
la matrice M donnée par l’équation IV.11 est :



1
0


0
 . Si on pose v1/φ =  −φ  , alors M1/φ · v1/φ = v1/φ .
−1/φ
1
φ2
1
Donc l’application
T :
[0, 1[×R
(y, z)
−→
−→
[0, 1[×R
avec
(R1/φ (y), z + ψ1/φ (y))
ψ1/φ (y, z) =
ψ1/φ (y, z) =
y + φ − 1/φ si y ∈ [0, 1/φ2 [,
−φy + φ2 sinon.
est auto-induite On conclut en remarquant que l’on peut reproduire la démonstration de la proposition
IV.1 en travaillant non plus dans la bande [0, 1[×R mais dans un tore [0, 1[× R/xZ , pour tout réel
xnon nul, afin d’obtenir les mêmes conclusions.
4
Extensions de rotations non-homogènes
On s’est jusqu’alors intéressé aux produits gauches «homogènes», c’est à dire des produits gauches pour
lesquels tous les points avaient «globalement» le même comportement, ce qui a, en partie, simplifié le
travail. On donne ici un exemple de produit gauche non-homogène.
Le problème majeur de l’étude de systèmes de type :
[0, 1] × [0, 1]
R × R −→
R×R
et S :
où a ∈ [0, 1],
(x + a mod 1, x + y mod 1)
(x, y) 7→ (x + a, y + x)
est la difficulté d’approximer la suite S n (x, y) n par une suite de la forme (an, p(n) + x + y)n , où p est
une fonction «simple».
S:
[0, 1] × [0, 1] −→
(x, y)
7→
On va voir dans la suite que pour certains produits gauches et certains points, c’est possible. Soit α ∈ R,
on définit deux fonctions K et T par :
R
K:
x
−→
7→
R
+∞
P
m=1
1
2m+1 bx
+ mαc
et T :
[0,1[×R
x
y
72
−→
7→
[0, 1[×R x + α mod 1 .
2y + x
(IV.12)
CHAPITRE IV. QUELQUES RÉSULTATS SUR LES PRODUITS GAUCHES
Proposition IV.3. Si α est irrationnel, le système ([0, 1[×R, T ) est uniquement ergodique. Sa seule
mesure invariante est la mesure de Lebesgue relevée par l’application K sur l’ensemble
n
o
Xα = (x, K(x) − x − α); x ∈ [0, 1[ et le système (T, Xα ) est minimal et uniquement ergodique.
Lemme IV.4. Si on note Kn (x) = 2n
n−1
P
m=1
1
2m+1 bx
+ mαc, on a 2n K(x) = Kn (x) + bx + nαc + K(0).
On renvoie aux figures IV.1 et IV.2.
Fig. IV.1 – Ensemble X1/φ , où φ est le nombre d’or.
Preuve. Un calcul en force donne :
2n K(x)
=
2n
n−1
P
m=1
1
2m+1
=
Kn (x) +
=
Kn (x) +
bx + mαc + 2n
1
2 bx
∞
P
+ nαc +
1
4 bx
∞
P
m=n
1
2m+1 bx
+ mαc
+ (n + 1)αc + · · · +
1
2m bx
+ (n + m − 1)αc + . . .
1
2m
=
(bx + (n + m − 1)αc − bx + nαc) + bx + nαc
∞
P
1
Kn (x) + bx + nαc +
2m bx + (n + m − 1)α − (x + nα)c
=
Kn (x) + bx + nαc +
m=1
m=1
∞
P
m=1
=
1
2m b(m
− 1)αc = Kn (x) + bx + nαc +
∞
P
m=2
1
2m b(m
Kn (x) + bx + nαc + K(0).
Preuve de la proposition IV.3. Pour tout entier naturel n, et d’après le lemme IV.4, on a :
x + nα − bx + nαc
n x
T
=
y
2n y + (2n − 1)x + (2n − n − 1)α − Kn (x)
x + nα − bx + nαc
=
n
2
y + (2n − 1)x + (2n − n − 1)α − 2n K(x) + bx + nαc + K(0)
x + nα − bx + nαc
=
.
2n y + x + α − K(x) + K(0) − α + bx + nαc − x − nα
73
− 1)αc
CHAPITRE IV. QUELQUES RÉSULTATS SUR LES PRODUITS GAUCHES
On note f (x) = K(x) − α − x. En remarquant que :
T
n
x
f (x) + y
=T
n
x
0
+ n
=
f (x)
2 y
x + nα − bx + nαc f x + nα − bx + nαc
!
+
0
2n y
.
On en déduit que T n (x, y) n ne tend pas vers un fini si et seulement si y = K(x) − x − α, c’est-à
dire, si et seulement si, (x, y) ∈ Xα . Par conséquent, si µ est une mesure de probabilité ergodique pour
le système ([0, 1[×R, T ), alors µ(Xαc ) = 0. Le système (T, Xα ) est donc topologiquement conjugué à la
rotation de [0, 1[ d’angle α, qui est minimale et uniquement ergodique lorsque α est irrationnel.
Fig. IV.2 – Image de [0, 1]2 par l’application (α, x) 7→
+∞
P
m=1
74
1
2m+1 bx
+ mαc − x − α.
Chapitre V
Moyennes ergodiques de type
Wiener-Wintner
On étudie alors la manière dont les convergences uniformes de certaines moyennes ergodiques caractérisent le facteur de Kronecker des système dynamiques dans la section 1. On y propose une construction
originale d’un facteur de Kronecker du système adaptée à ces problématiques. On essaie dans la section
2 suivante de généraliser ce résultat. Ces résultats suivent des travaux initiés par J. Auslander, puis,
poursuivis notamment par F. Hahn et W. Parry.
On note C ∗ (X) le dual topologique de l’espace C(X), où (X, d) est un espace topologique métrique,
compact et séparable. On note de plus, pour tout a = (a0 , . . . , ak ) ∈ Rk+1 et pour tout entier n :
pa (n) =
k
X
i=0
ai C(n, i) où C(n, i) =
n!
et on écrit pour tout réel x, ex = e2iπx .
i!(n − i)!
En particulier, on construit des facteurs mesurés Ek (X ), pour tout entier k ≥ 1, d’un système dynamique
topologique X minimal et uniquement ergodique sous des applications facteurs pk , vérifiant le
résultat suivant :
Théorème 5. Soit X = (X, d, T ) un système dynamique minimal et uniquement ergodique dont
l’unique mesure invariante est notée µ et k un entier naturel. Pour µ-presque tout x ∈ X, pk (x) est une
fonction de [0, 1]k+1 dans C ∗ (X) vérifiant pour tout a ∈ [0, 1]k+1 et toute fonction f ∈ C(X) :
N −1
1 X
f (T n x)eipa (n) converge vers pk (x)(a)(f ).
N n=0
Ces facteurs sont étroitement liés aux convergences de certaines moyennes ergodique. On arrive aux
résultats suivants :
Théorème 6 [projection dans le facteur de Kronecker]. Les valeurs propres du système X sont continues
si et seulement si la projection dans le facteur de Kronecker est continue si et seulement si pour tout
θ ∈ S 1 et toute fonction f ∈ C(X), les moyennes :
N −1
1 X −n
θ f (T n x) convergent avec N uniformément en x vers < f, fθ > fθ (x).
N n=0
Le facteur E1 (X ) que nous construisons est alors le facteur de Kronecker du système.
75
CHAPITRE V. MOYENNES ERGODIQUES DE TYPE WIENER-WINTNER
Proposition V.1. Par définition du système Ek (X ), les relations suivantes sont équivalentes :
– L’application facteur pk est continue.
– ∀f ∈ C(X) et a ∈ [0, 1]k+1 , l’application x 7→ lim N1
N
NP
−1
f (T n x)epa (n) existe partout et est une
n=0
fonction continue.
Ce facteur semble être lié au facteur à spectre quasi discret maximal, cependant, on n’a pas réussi à
savoir si ces facteurs étaient égaux ou non. Il se pose, en effet, certains problèmes que nous soulevons
dans la section 3.
On finit alors l’étude de ce chapitre en soulevant certains problèmes posés par l’étude de phénomènes
de récurrence double avec ce point de vue.
1
Lien entre le facteur de Kronecker et les moyennes ergodiques
Le but de cette partie est de faire un lien entre la convergence de certaines moyennes ergodiques et la
projection dans le facteur de Kronecker. On a déjà vu dans la section 5 du chapitre III que la convergence
uniforme des moyennes ergodiques standards caractérisait la projection dans le facteur semi-mesurable
invariant caractéristique. On va ici généraliser ce résultat.
On fixe, pour toute cette section, X = (X, B, T ) un système dynamique topologique minimal et uniquement ergodique. Le lien entre la projection dans le facteur de Kronecker et la convergence uniforme de
certaines moyennes ergodiques se fait au travers du théorème 6 suivant :
Théorème 6 [projection dans le facteur de Kronecker]. Les valeurs propres du système X sont continues si et seulement si la projection dans le facteur de Kronecker est continue si et seulement si pour
tout θ ∈ S 1 et toute fonction f ∈ C(X), les moyennes :
N −1
1 X −n
θ f (T n x) convergent avec N uniformément en x vers < f, fθ > fθ (x).
N n=0
On remarque immédiatement que si fθ0 est une autre fonciton propre continue associée à θ de module 1,
alors, il existe un nombre complexe ξ de module 1 tel que fθ0 = ξfθ . Donc pour toute fonction continue
f , on a bien :
< f, fθ0 > fθ0 = < f, ξfθ > ξfθ = ξξ < f, fθ > fθ = < f, fθ > fθ .
Le théorème ne dépend donc pas de la fonction propre fθ de module 1 choisie.
Preuve du théorème 6. Par construction du facteur de Kronecker, lorsque la projection dans ce facteur
est continue, les fonctions propres sont continues. Le théorème {E} de P. Walters et E. A. Robinson
Jr nous assure que si les valeurs propres du système X sont continues,alors pour tout θ ∈ S 1 et toute
fonction f ∈ C(X), les moyennes :
N −1
1 X −n
θ f (T n x) convergent avec N uniformément en x vers < f, fθ > fθ (x).
N n=0
La suite de cette section, sera de montrer que si pour tout θ ∈ S 1 et toute fonction f ∈ C(X), les
moyennes :
N −1
1 X −n
θ f (T n x) convergent avec N uniformément en x vers < f, fθ > fθ (x),
N n=0
76
CHAPITRE V. MOYENNES ERGODIQUES DE TYPE WIENER-WINTNER
alors, la projection dans le facteur de Kronecker est continue. Pour cela, nous construirons un facteur
adapté et on vérifiera alors, que ce facteur est bien un facteur équicontinue mesuré maximal dans la
proposition V.5.
On introduit les objets suivants :
Soit x ∈ X et θ ∈ S1 , on pose : ∆θx = lim N1
NP
−1
θ−n δT n x ∈ C ∗ (X) lorsque cette limite existe,
n=0
X = {x ∈ X ; ∆θx existe pour tout θ} et ∆ = {∆θx ; θ ∈ S1 et x ∈ X}.
On note l’ensemble compact des formes linéaires continues sur C(X) de norme standard inférieure ou
égale à 1, muni de la topologie faible∗ induite par une certaine métrique d∗ , sur laquelle nous reviendrons
dans la preuve de la proposition V.2. ∆ est un sous-ensemble mesurable de l’espace métrique séparable
, muni de la tribu des boréliens.
On définit alors ce qui sera sous certaine condition, le facteur mesuré équicontinu maximal du système
et la projection associée. Pour tout x ∈ X, on pose :
∆x :
S1
θ
−→
−→
∆
X
, Z1 (X ) = {∆x ; x ∈ X} et π1 :
x
∆θx
Le cercle S1 agit sur Z1 (X) par l’action γ définie par : γ(∆x ) :
S1
θ
−→
−→
−→
−→
Z1 (X)
∆x
∆
.
θ∆θx
On fixe une mesure borélienne de probabilité σ sur le cercle telle que σ({θ}) > 0 pour toute valeur
propre θ ∈ S(X ). Pour toute fonction continue δ, δ 0 : S1 7→ , on pose :
Z
dσ (δ, δ 0 ) = d∗ (δ(θ), δ 0 (θ)) dσ(θ).
S1
On peut remarquer que pour toute mesure σ, les métriques dσ induisent la même topologie. Ce sera
l’objet de la proposition V.6.
Proposition V.2. Le système dynamique mesurable Z1 (X ) = (Z1 (X ), dσ , γ) peut être muni d’une
mesure µ1 , telle que le système mesuré (Z1 (X ), dσ , γ) soit conjugué de manière mesurée à une translation
ergodique sur un groupe abélien compact.
On est alors en mesure de démontrer une partie du théorème 5 annoncé en introduction :
Proposition V.3. Soit X = (X, d, µ, T ) un système dynamique topologique minimal et uniquement
ergodique. Pour µ-presque tout x ∈ X, pour tout θ ∈ S1 et f ∈ C(X), les moyennes :
N −1
1 X −n
θ f (T n x) convergent avec N vers π1 (x)(θ)(f ).
N n=0
On n’arrive pas à montrer qu’en toute généralité, l’espace Z1 (X ) est compact. Cependant, on arrive au
résultat suivant :
Proposition V.4. Si pour tout θ ∈ S 1 et toute fonction f ∈ C(X), les moyennes :
N −1
1 X −n
θ f (T n x) convergent avec N uniformément en x vers < f, fθ > fθ (x),
N n=0
alors, le système mesurable Z1 (X ) est un système dynamique topologique, facteur topologique équicontinu
du système X sous l’application facteur (continue) π.
77
CHAPITRE V. MOYENNES ERGODIQUES DE TYPE WIENER-WINTNER
Proposition V.5. Si pour tout θ ∈ S 1 et toute fonction f ∈ C(X), les moyennes :
N −1
1 X −n
θ f (T n x) convergent avec N uniformément en x vers < f, fθ > fθ (x),
N n=0
alors, le système a priori mesurable Z1 (X ) est un facteur mesuré équicontinu maximal du système
topologique X . (C’est aussi le facteur équicontinu maximal).
Preuve de la proposition V.2. Le système mesurable Z1 (X ) est bien un facteur semi-mesurable du système dynamique topologique X (vu comme un système mesurable). C’est l’objet du lemme V.1.
Ce système est naturellement muni d’une topologie (induite par la métrique dσ ), et l’application γ est
une isométrie pour cette métrique. Un simple calcul nous montre alors que si x ∈ X et θ ∈ S1 :
∆θT x = lim
N −1
N
N
1 X −n
1 X −n
1 X −n
θ δT n+1 x = lim
θθ δT n x = θ lim
θ δT n x = θ∆θx .
N n=0
N n=1
N n=1
Il suffit alors de vérifier que l’action induite par T est une isométrie :
Z
Z
dσ (∆T x , ∆T y ) = d∗ (∆θT x , ∆θT x )dσ(θ) = d∗ (θ∆θT x , θ∆θT x )dσ(θ).
S1
S1
Le résultat sera obtenu si on montre que pour tout couple d’éléments (η, η 0 ) de et θ ∈ S1 , on a
d∗ (θη, θη 0 ) = d∗ (η, η 0 ). Soit (fn )n une famille de fonctions continues, dense dans C(X) qui engendre la
métrique d∗ ,
d∗ (θη, θη 0 ) =
X | θη(fn ) − θη 0 (fn ) |
N
2 || fn ||∞ 2n
=
X | η(fn ) − η 0 (fn ) |
N
2 || fn ||∞ 2n
= d∗ (η, η 0 ).
On reviendra sur cette métrique dσ dans la proposition V.6.
L’application mesurable facteur semi-mesurable induit une mesure borélienne µ1 sur l’espace Z1 (X ).
Muni de cette mesure, le système dynamique mesuré Z1 (X ) = (Z1 (X ), dσ , γ) est un système dynamique
mesuré ergodique sur lequel agit une isométrie : il est donc conjugué de manière mesurée à une translation
ergodique sur une groupe abélien compact. On renvoie par exemple à [78].
Preuve de la proposition V.3. Elle se déduit immédiatement de la proposition V.4, par construction du
facteur Z1 (X ).
Preuve de la proposition V.4. On suppose donc que pour tout θ ∈ S 1 et toute fonction f ∈ C(X), les
moyennes :
N −1
1 X −n
θ f (T n x) convergent avec N uniformément en x vers < f, fθ > fθ (x).
N n=0
(V.1)
On va vérifier que le système Z1 (X ) est un système dynamique topologique et que c’est un facteur
topologique du système X sous l’application continue π1 .
On remarque que l’équation (V.1) nous assure que pour tout point x ∈ X et θ ∈ S1 , l’application ∆θx
de C(X) dans C définie par :
f 7→ < f, fθ > fθ (x)
78
CHAPITRE V. MOYENNES ERGODIQUES DE TYPE WIENER-WINTNER
est bien une fonction linéaire continue. Donc l’application π1 est définie partout. On va vérifier qu’elle est
continue. Soit (xn )n une suite d’éléments de X qui converge vers un élément x ∈ X. Par la proposition
V.6, il suffit de vérifier que pour tout θ ∈ S1 et f ∈ C(X), alors ∆θxn (f ) converge vers ∆θx (f ), soit, que
fθ (xn ) converge vers fθ (x). Or, par limite uniforme de fonctions continues, l’équation (V.1) nous assure
que si θ est une valeur propre du système, fθ est une fonction continue.
Preuve de la proposition V.5. Soit G est un groupe métrique compact et S une isométrie ergodique de
G. Il faut vérifier que si le système G = (G, S) est un facteur mesuré (sous une application π) du système
X , c’est un facteur topologique du système Z1 (X ).
X
π
G
T
S
π
X
G
π0
π0
Z1 (X )
Z1 (G)
Z1 (X )
Z1 (G)
Le premier point est de remarquer que malgré le fait que l’application π n’est pas continue, les caractères du groupe G se relèvent par l’application π en des fonctions propres. Ces fonctions propres sont
nécessairement essentiellement continues puisque l’application facteur π0 du système X dans le système
Z1 (X ) est continue.
Part le théorème {E}, pour tout x et tout θ ∈ S1 , l’application ∆θx ∈ C ∗ (X) est définie par :
f 7→ < f, fθ > fθ (x).
On associe pour tout x ∈ X et tout θ ∈ S1 , à l’élément ∆θx ∈ C ∗ (X), l’élément Π(∆θx ) ∈ C ∗ (G) défini
pour toute fonction fe ∈ C(G), par :
(
Π(∆θx )(fe) = 0 s’il n’existe pas de caractère γ sur G vérifiant pour tout g ∈ G : γ(Sg) = θγ(g).
Π(∆θx )(fe) = < fe, γθ > γθ (π(x)) si pour tout g ∈ G : γθ (Sg) = θγθ (g).
On définit maintenant l’application facteur mesuré p de Z1 (X ) dans Z1 (G) en posant pour tout x ∈ X
et θ ∈ S1 :
p(∆x )(θ) = Π(∆θx ).
Le lemme V.3 nous assure que le système dynamique Z1 (G) est une translation sur un groupe abélien
compact. Par la proposition {C}, cette application facteur mesuré coïncide presque partout avec une
application facteur topologique. Donc, le système topologique Z1 (G) est un facteur topologique du
système Z1 (X ).
Toujours par le lemme V.3 , les systèmes G et Z1 (G) sont topologiquement équivalents : le système
topologique G est un facteur topologique du système Z1 (X ).
Remarque 1 : Dans la démonstration précédente, on ne peut pas, a priori utilise le fait que :
Cπ (G) = {f ◦ π ∈ L2 (µ) où f ∈ C(G)} est un sous-ensemble de C(X).
79
CHAPITRE V. MOYENNES ERGODIQUES DE TYPE WIENER-WINTNER
En effet, notons Ĝ l’ensemble des caractères sur G et π ∗ (Ĝ) = {γ ◦ π ∈ L2 (µ) où γ ∈ Ĝ}. Alors,
bien que les caractères sur G se relèvent par l’application facteur π en des fonctions essentiellement
continues, puisque l’application π n’est supposée qu’être mesurable, il n’est pas évident que l’adhérence
des caractères pour la norme uniforme des fonctions continues sur G (soit l’ensemble C(G)), se relèvent
en l’adhérence de l’ensemble π ∗ (Ĝ) pour la norme uniforme des fonctions continues sur X.
Lemme V.1. Le système mesurable Z1 (X ) est bien un facteur semi-mesurable du système dynamique
topologique X (vu comme un système mesurable).
La preuve du lemme V.1 repose sur le lemme V.2 suivant (démontré en fin de section) et sur le théorème
{T} de Wiener-Wintner (largement traité par I. Assani dans [8]) :
Théorème T (N. Wiener et A. Wintner (1941)). Soit Y = (Y, D, ν, S) un système dynamique mesuré
et f ∈ L1 (ν). Il existe Yf un ensemble mesurable de mesure 1 tel que pour tout θ ∈ S1 et y ∈ Yf , les
moyennes
N −1
1 X
f (S n y)θ−n convergent.
N n=0
Lemme V.2. Soit (fm )m une suite de fonctions continues de X dans l’ensemble des nombres complexes
C qui converge pour la norme de la convergence uniforme vers une fonction f . Soit (un )n une suite de
nombres complexes de module borné. Alors, si les moyennes ergodiques
N −1
1 X
un fm (T n x) convergent pour un certain x ∈ X fixé, pour tout entier m vers une limite noté am (x),
N 0
alors la suite (am (x))m converge vers une limite notée a(x) et les moyennes ergodiques
N −1
1 X
un f (T n x) convergent vers a(x).
N 0
Lemme V.3. Soit G un espace métrique compact et γ une isométrie de G minimale. On note G = (G, γ)
le système qui consiste à faire agir l’isométrie S sur G.
Alors les systèmes dynamiques topologiques Z1 (G) et G sont topologiquement équivalents.
Notons φ l’application de conjugaison de G vers Z1 (G). Les espaces G et Z1 (G) peuvent être munis d’une
structure de groupe. L’application φ est de plus, un morphisme de groupe.
Preuve du lemme V.1. On commence par vérifier que µ(X) = 1. Soit {fm ; m ∈ N} une famille dénombrable dense de fonctions de C(X). Par le théorème {T}, pour tout entier m, il existe un sous-ensemble
Em mesurable de X, tel que µ(E) = 1 et pour tout x ∈ Em , pour tout θ ∈ S1 , les moyennes
N −1
1 X −n
θ fm (T n x) convergent.
N n=0
Le sous-ensemble E =
T
Em ⊂ X est donc mesurable, de mesure pleine pour µ, et par lemme V.2, il
m
vérifie :
∀x ∈ E, ∀θ ∈ S1 et ∀f ∈ C(X), les moyennes
80
N −1
1 X −n
θ f (T n x) convergent.
N n=0
CHAPITRE V. MOYENNES ERGODIQUES DE TYPE WIENER-WINTNER
L’application facteur π1 est alors mesurable, puisque c’est la limite presque sûre d’une suite de fonctions
continues. C’est bien une application facteur puisque pour tout x ∈ X, pour tout θ ∈ S1 et f ∈ C(X) :
∆θT x = lim
N −1
N
N
1 X −n
1 X −n
1 X −n
θ δT n+1 x = lim
θθ δT n x = θ lim
θ δT n x = θ∆θx .
N n=0
N n=1
N n=1
Preuve du lemme V.2. Soit (fm )m une suite de fonctions continues de X dans l’ensemble des nombres
complexes C qui converge pour la norme de la convergence uniforme vers une fonction f . Soit (un )n une
suite de nombres complexes de module borné par un réel K, et x ∈ X, tel que pour tout entier m, les
moyennes
N −1
1 X
un fm (T n x) convergent vers une limite noté am (x),
N 0
La suite (am (x))m est une suite de nombres complexes qui sont bornés en module par K, donc on peut
en extraire une sous-suite (aφ(m) (x))m qui converge vers une limite notée aφ (x). On a alors :
−1
NP
−1
1 NP
1
n
n un f (T x) − N
un fφ(m) (T x)
N
0
N −1 0
1 P
n
+ N
un fφ(m) (T x) − aφ(m) (x)
0
+ | aφ(m) (x) − aφ (x)
|
−1
1 NP
n
≤ K· || f − fφ(m) ||∞ + N
un fφ(m) (T x) − aφ(m) (x)
0
+ | aφ(m) (x) − aφ (x) | .
−1
1 NP
n
un f (T x) − aφ (x) ≤
N
0
Pour tout > 0, on peut trouver un entier m0 tel que :
.
|| f − fφ(m0 ) ||∞ ≤ 3K
| aφ(m0 ) (x) − aφ (x) |≤ 3 .
Puis pour un tel entier m0 fixé, un rang N0 à partir duquel pour tout entier N :
N −1
1 X
un fφ(m) (T n x) − aφ(m) (x) ≤
N
3
0
On vient donc de démontrer que pour tout > 0, il existait un rang N0 à partir duquel :
N −1
1 X
n
un f (T x) − aφ (x) ≤ .
N
0
Donc, pour toute valeur d’adhérence aφ (x) de la suite (am (x))m ,
N −1
1 X
un f (T n x) converge vers aφ (x).
N 0
Par unicité de la limite, la suite (am (x))m est une suite convergente et les moyennes ergodiques considérées de la fonction f convergent vers cette limite.
81
CHAPITRE V. MOYENNES ERGODIQUES DE TYPE WIENER-WINTNER
Preuve du lemme V.3. On sait que sous ces hypothèses, on peut munir G d’une structure de groupe
abélien (K. Petersen [78]). On sait d’autre part, que toujours sous ces hypothèses, les fonctions propres
sont égales presque partout pour l’unique mesure invariante, à des caractères (P. Walters [89]). Le
théorème {E} nous assure alors, que certaines moyennes ergodiques convergent uniformément. D’après
la proposition V.4 précédente, la projection de G dans Z1 (G) est continue et en particulier, Z1 (G) peut
être muni d’une structure de groupe abélien compact tel que l’action induite par T soit une translation.
L’application π1 : G 7→ Z1 (G) est donc continue et surjective. On va vérifier qu’elle est injective. On
suppose que π2 (g) = π2 (g 0 ). On va montrer que pour tous les caractères ĝ de Ĝ, on a ĝ(g) = ĝ(g 0 ), et
puisque les caractères séparent le points de G, g = g 0 .
Soit ĝ un caractère. On rappelle que l’action de γ sur G peut-être vue comme une translation par un
élément a sur le groupe G munit d’une loi ?. On a alors
ĝ(γ n g) = ĝ(an ? g) = ĝ(an ) · ĝ(g) = ĝ(a)n · ĝ(g).
Donc si on pose θ = ĝ(a)−1 , puisque π1 (g) = π1 (g 0 ), on en déduit que pour tout N :
ĝ(g)
=
=
1
N
NP
−1
ĝ(g) · ĝ(a)n · ĝ(a)−n =
n=0
NP
−1
lim N1
ĝ(γ n g)
N
n=0
1
N
NP
−1
ĝ(g) · ĝ(a)n · θ−n =
n=0
1
N
NP
−1
ĝ(γ n g) · θ−n
n=0
· θ−n = ∆θg (ĝ).
De même, ĝ(g) = ∆θg0 (ĝ), et puisque π2 (g) = π2 (g 0 ), ĝ(g) = ĝ(g 0 ).
Exemple 1 : On donne un exemple explicite du facteur Z1 (Yα ), ou Yα est une rotation Rα d’angle α
minimale sur le cercle S1 muni de sa mesure de Lebesgue λ.
Dans cet exemple, on connaît explicitement le spectre du système : S(Yα ) = {αn ; n ∈ N}, et l’unique
fonction propre continue à valeur dans S1 associée à la valeur propre αn est la fonction : ξ 7→ ξ n .
R
n
n
On fixe n un entier et on note pour f ∈ C(X) : cn (f ) = f (ξ)ξ −n dλ(ξ), alors : ∆α
ξ (f ) = cn (f )ξ .
S1
On en déduit que pour toute rotation irrationnelle du cercle, l’espace Z1 (Yα ) est le même. L’action de
Rα se conjugue à l’application γα qui agit de la manière suivante :
∀ξ ∈ S1 , ∀n ∈ N, ∀f ∈ C(S1 ) , γα (ξ)(αn )(f ) = αn cn (f )ξ n .
Remarque 2 : L’hypothèse de minimalité dans le théorème 5 est essentielle, on ne peut pas supposer
seulement que le système soit uniquement ergodique comme on l’a vu dans l’exemple 6 du chapitre III.
Proposition V.6. L’espace Z1 (X ) muni de la métrique dσ est un espace métrique. Le choix de la
métrique dépend de la mesure σ choisie, cependant, la topologie induite est celle de la convergence simple
et ne dépend pas de la mesure σ. C’est-à-dire, pour toute mesure σ sur le cercle, vérifiant σ({θ}) > 0
pour toute valeur propre θ ∈ S(X ),
∆xn → ∆x pour d∗
⇐⇒ ∀θ ∈ S1 , on a ∆θxn → ∆θx pour la topologie faible∗ dans .
⇐⇒ ∀θ ∈ S1 , ∀f ∈ C(X) : ∆θxn (f ) → ∆θx (f ).
Preuve de la proposition V.6. La principale difficulté est de comprendre la topologie sur l’espace Z1 (X ).
Pour cela, nous aurons besoin de certains résultats préliminaires. On utilise alors les hypothèses d’unique
82
CHAPITRE V. MOYENNES ERGODIQUES DE TYPE WIENER-WINTNER
ergodicité et de minimalité pour s’assurer que le spectre du système est dénombrable.
L’application dσ est symétrique et vérifie l’inégalité triangulaire. Pour se convaincre que c’est une métrique, on va vérifier que deux points (x, y) tels que dσ (∆x , ∆y ) = 0 sont égaux :
Z
dσ (∆x , ∆y ) = 0 ⇐⇒ d∗ ∆θx , ∆θy dσ(θ) = 0 ⇐⇒ d∗ ∆θx , ∆θy = 0 σ pp.
S1
En particulier, pour θ ∈ S(X ), puisque σ({θ}) > 0, ∆θx = ∆θy . On sait de plus, d’après le lemme {D},
que si θ ∈
/ S(X ), alors ∆θx = ∆θy = 0. Donc finalement, ∆θx = ∆θy partout et ∆x = ∆y .
On montre alors que la topologie induite par dσ est celle de la convergence ponctuelle. On commence
par supposer que ∆xn → ∆x pour d∗ . Si θ ∈
/ S(X ), alors ∆θxn = 0 converge trivialement vers ∆θx = 0.
Si θ ∈ S(X ), le résultat est évident puisque d∗ ∆θxn , ∆θx ≤ σ({θ})dσ (∆xn , ∆x ). Réciproquement,
si pour tout θ, ∆θxn → ∆θx pour la topologie faible∗ dans . On fixe > 0 et Θ ⊂ S(X ) un sousensemble fini de cardinal M tel que σ(Θ) ≥ 1 − /4. Pour tout θ ∈ Θ, il existe un rang à partir duquel
d∗ (∆θxn , ∆θx ) ≤ /(4M ). Il existe donc un rang à partir duquel
R ∗
R ∗
R
dσ (∆xn , ∆x ) =
d ∆θx , ∆θy dσ(θ) ≤
d ∆θx , ∆θy dσ(θ) + d∗ ∆θx , ∆θy dσ(θ)
S1
S1 \Θ
Θ
≤ σ(S1 \ Θ) + M /(4M ) ≤ .
On rappelle, en effet, que par définition des éléments (η, η 0 ) de , si (fn )n est une famille de fonctions
continues, dense dans C(X) qui engendre la métrique d∗ ,
d∗ (η, η 0 ) =
X | η(fn ) − η 0 (fn ) |
N
2
2 || fn ||∞ 2n
≤
|| η ||∞ + || η 0 ||∞ X || fn ||∞
|| η ||∞ + || η 0 ||∞
≤
= 1.
2
|| fn ||∞ 2n
2
N
Lien partiel entre le facteur mesuré maximal à spectre quasidiscret de rang fixé et la convergence de certaines moyennes
ergodiques
On essaie maintenant de comprendre comment généraliser ce résultat pour les plus grands ordres.
Il y a deux points essentiels dans la partie précédente qu’il semble important de souligner ici :
1) En étudiant la continuité des fonctions propres, on sait caractériser la continuité de la projection
d’un système dans son facteur de Kronecker. On n’a pas de telle caractérisation pour les facteurs de
Host-Kra-Ziegler. Pour les systèmes à spectre quasi-discret, on peut regarder la continuité des fonctions
propres généralisées.
2) Il se pose immédiatement le problème de la représentation des groupes de Lie nilpotents de rang k.
On a utilisé fortement le résultat suivant, dû à Bochner :
On pose F, l’espace vectoriel des suites complexes bornées, engendré par {(θn )n∈N ; θ ∈ S1 }. Soit G un
groupe abélien métrique compact et f ∈ C(G). Alors pour tout g0 ∈ G et > 0, il existe u = (un )n ∈ F
telle que pour tout n : | un − f (ng0 ) |≤ .
Ce qui est donc fondamental ici, est l’existence de suites de références (les suites (θn )n ) pour aborder
ce problème. Pour l’ordre 2, on retrouve ce même genre de résultat. On renvoie aux travaux de B. Host
83
CHAPITRE V. MOYENNES ERGODIQUES DE TYPE WIENER-WINTNER
et B. Kra dans [50] pour les démonstrations :
Pour tout s, t ∈ [0, 1], on introduit la fonction κ non sans rapport avec la fonction classique theta :
X
κ(s, t) =
exp − π(t + k) · exp(2iπks).
k∈Z
Pour tout couple (s, t) de réels, on définit :
qn (t)
= exp 2iπt n(n−1)
pour tout n et q(t) = (qn (t))n≥0 ,
2
wn (s, t) = κ(ns, nt) · qn (st) pour tout n et w(s, t) = (wn (s, t))n≥0 .
On pose N2 le sous-ensemble des suites complexes bornées (un )n telles qu’il existe une nilvariété G/Γ
de rang 2, une fonction f ∈ C(G/Γ) et g0 ∈ G telle que pour tout n, un = f (g0n ).
On munit l’ensemble des suites N2 de la norme quadratique bien définie sur cet ensemble :
v
u N −1
u1 X
| un |2 .
|| (un )n ||2 = lim t
N
N n=0
Théorème U (B. Host et B. Kra (2008) [50]). Pour toute suite u = (un )n ∈ N2 , et tout > 0, il existe
un entier n et des réels (s, t, α1 , β1 , . . . , αn , βn ), tels que :
|| u − e2iπs · q(t) · w(α1 , β1 ) . . . , w(αn , βn ) ||2 ≤ .
On ne peut cependant pas obtenir mieux, en particulier, on ne peut pas espérer obtenir un résultat de
type uniforme. En se restreignant à une étude du spectre quasi-discret du système on peut cependant
obtenir un résultat plus fort.
Soit k un entier, on note Rk l’ensemble des polynômes de degré inférieur à k. Soit a = (a0 , a1 , . . . , ak ) ∈
Rk+1 , on définit un polynôme pa ∈ Rk à partir des valeurs qu’il prend sur l’ensemble des entiers :
pour tout entier n : pa (n) =
k
X
ai C(n, i) où C(n, i) =
i=0
n!
.
i!(n − i)!
On commencer par relever le fait suivant (analogue au théorème {U}) :
Lemme V.4. Soit Fk l’espace vectoriel engendré par les suites de la forme (e2iπp(n) )n , où p ∈ Rk [X].
Soit D = (D, δ, S) un système à spectre quasi-discret de rang inférieur à k. Pour toute fonction continue
f ∈ C(D), tout point d ∈ D et tout > 0, il existe un élément u = (un )n ∈ Fk telle que :
n
o
u − f (S n d) = sup | un − f (S n d) | ≤ .
n
∞
n∈N
Remarque 3 : Le théorème de Weyl, qui parle d’équirépartition de suites de type {pa (n) mod 1},
nous donne à penser que les systèmes à spectre quasi-discret joueront un rôle prépondérant dans la
convergence des expressions de ce type.
Un autre lien donné entre la convergence de certaines moyennes ergodiques et les systèmes à spectre
quasi-discret, est donné par les deux lemmes suivants :
Lemme V.5. Soit X un système dynamique topologique minimal et uniquement ergopdique et k un
entier naturel. Si la projection dans le k-ième facteur maximal à spectre quasi-discret est continue, alors
les fonctions propres généralisées dordre inférieur à k sont continues.
84
CHAPITRE V. MOYENNES ERGODIQUES DE TYPE WIENER-WINTNER
Lemme V.6. Soit X un système dynamique topologique minimal et uniquement ergopdique et k un
entier naturel. Si pour toute fonction f ∈ C(X), pour tout a ∈ [0, 1]k+1 et tout x ∈ X,
les moyennes
N −1
1 X
f (T n x)e−2iπpa (n) convergent,
N n=0
alors les fonctions propres du système d’ordre inférieur à k sont continues.
Pour tout réel x, on notera ex = e2iπx .
On rappelle un théorème d’E. Lesigne dans [70] dont la démonstration repose en grande partie sur les
notions de disjonction de systèmes dynamiques et d’extension isométrique :
Théorème V (E. Lesigne (1993) [70]). Soit Y = (Y, D, ν, S) un système dynamique mesuré et f ∈L1 (ν).
Alors, il existe un ensemble N (Y) dénombrable et un sous-ensemble mesurable Yf ⊂ Y tels que µ(Yf ) =
1, et pour tout y ∈ Yf et pour tout polynôme réel p(n) = a0 + na1 + · · · + nm am :
lim
N −1
1 X
f (S n y)ep(n) existe et est nulle si (a1 , . . . , am ) ∈
/ N (Y).
N n=0
On fixe, pour toute cette section, X , un système dynamique topologique minimal et uniquement ergodique et k ∈ N.
Soit x ∈ X et a ∈ [0, 1]k+1 , on pose : ∆a
x =
1
N
NP
−1
δT n x e−pa (n) lorsque cette limite existe,
n=0
k+1
k+1
} et ∆ = {∆a
et x ∈ X}.
X = {x ∈ X ; ∆a
x existe pour tout a ∈ [0, 1]
x ; a ∈ [0, 1]
On note l’ensemble des formes linéaires continues sur C(X) de norme standard inférieure ou égale à 1,
muni de la topologie faible∗ induite par une métrique d∗ . ∆ est un sous-ensemble de l’espace métrique
séparable .
On définit alors un facteur semi-mesurable du système X de la manière suivante. Pour tout x ∈ X, on
pose :
X −→ Ek (X )
[0, 1]k+1 −→ ∆
∆x :
, Ek (X ) = {∆x ; x ∈ X} et pk :
.
x −→
∆x
a
−→ ∆a
x
On rappelle que pour tout couple d’entiers (n, i), on a :
C(n + 1, i) = C(n, i) + C(n, i − 1) donc C(n, i) =
i
X
(−1)j C(n + 1, i − j).
(V.2)
j=0
On définit alors une transformation continue ∂ : [0, 1]k+1 −→ [0, 1]k+1 par :
∂(a0 , a1 , . . . , ak ) = ∂(a00 , a01 , . . . , a0k ) où pour tout i ∈ {0, . . . , k} : a0i =
i
X
(−1)i−j aj mod 1.
j=0
On peut remarquer que le système ([0, 1]k+1 , ∂) est à spectre quasi-discret de rang k. On définit alors
une action γ de Ek (X) dans lui-même de la manière suivante :
γ(∆x ) :
[0, 1]k+1
a
85
−→
−→
∆
.
∆∂a
x
CHAPITRE V. MOYENNES ERGODIQUES DE TYPE WIENER-WINTNER
Soit N (X ) l’ensemble dénombrable donné par le théorème {V}. Soit σ une mesure de probabilité sur
N (X ) telle que σ({a}) > 0 si a ∈ N (X ) ∩ [0, 1]k . On munit Ek de la métrique δk définie pour f, g :
[0, 1]k −→ ∆ par :
Z
δk (f, g) =
δ ∗ f (a), g(a) dσ(a).
N (X )
On note Ek (X ) le système dynamique mesurable (Ek (X ), δk , γ).
Lemme V.7. On note µk la mesure sur Ek (X ). image de la mesure µ sur X par l’application pk . Muni
de cette mesure, le système Ek (X ) est un facteur semi-mesurable du système X .
Les deux résultats suivants sont alors immédiats par construction des facteurs Ek (X ).
Théorème 5. Soit X = (X, d, T ) un système dynamique minimal et uniquement ergodique dont
l’unique mesure invariante est notée µ et k un entier naturel. Pour µ-presque tout x ∈ X, pk (x) est une
fonction de [0, 1]k+1 dans C ∗ (X) vérifiant pour tout a ∈ [0, 1]k+1 et toute fonction f ∈ C(X) :
N −1
1 X
f (T n x)eipa (n) converge vers pk (x)(a)(f ).
N n=0
Proposition V.1. Par définition du système Ek (X ), les relations suivantes sont équivalentes :
– L’application facteur pk est continue.
– ∀f ∈ C(X) et a ∈ [0, 1]k+1 , l’application x 7→ lim N1
N
NP
−1
f (T n x)epa (n) existe partout et est une
n=0
fonction continue.
Nous mentionnons enfin dans la proposition V.7, une propriété remarquable de ces facteurs :
Proposition V.7. Soit D = (D, d, ν, S) un système à spectre quasi-discret de rang k. On suppose que
π : X → D est une application facteur continue. Alors, D est un facteur mesuré du système Ek (X ). De
plus, si p : Ek (X ) −→ D est l’application facteur, p est continue.
Preuve du lemme V.4. Puisque les fonctions propres généralisées d’ordre inférieur à k sont denses dans
l’ensemble des fonctions continues sur D, il suffit de travailler avec ces fonctions. Soit fi une fonction
propre généralisée d’ordre i ≥ 1. On va montrer que (fi (T n d))n ∈ Fi . Il existe des fonctions (fj )j ∈
{1, . . . , i − 1} telles que pour tout j ∈ {2, . . . i − 1} :
fj (T x) = fj−1 (x) · fj (x) et f1 (T x) = e2iπai · f1 (x).
!
i
Q
n
C(n,i−j+1)
Pour tout entier n : fi (T x) = fi (x) ·
fi−j+1 (x)
· e2iπai C(n,i) .
j=2
Pour tout j ∈ {2, . . . , i}, il existe ai ∈ R tel que fi−j+1 (x) = e2iπai . En écrivant f (x) = Ce2iπa0 , on
trouve :
pour tout entier n, f (T n x) = Cepa (n) où a = (a0 , a1 , . . . , ai ) ∈ Ri .
(V.3)
Preuve du lemme V.5. Soit f une fonction propre généralisée. On a déjà vu que l’on peut lui associer
un système à spectre quasi-discret Xf . (cf lemme 5 de l’introduction générale). De plus, par le lemme 3
énoncé en introduction de ce travail, si la projection dans le facteur mesuré à spectre quasi-discret est
continue, la projection du système dans le système Xf est continue. On trouve donc que la fonction f
est essentiellement continue.
86
CHAPITRE V. MOYENNES ERGODIQUES DE TYPE WIENER-WINTNER
Preuve du lemme V.6. On s’appuie pour cette preuve, sur le théorème {R} de H. Furstenberg.
Supposons qu’il existe une fonction propre généralisée f d’ordre 1 ≤ j ≤ k essentiellement discontinue.
Quitte à travailler avec une autre fonction propre généralisée, on suppose que toutes les fonctions propres
d’ordre inférieure à j sont continues. Il existe donc une fonction propre (continue) f 0 généralisée d’ordre
j − 1 telle que pour µ-presque tout x,
f (T x) = f 0 (x) · f (x). On note : S :
X × S1
(x, ξ)
−→
7→
X × S1
.
(T x, ξf (x))
Par le théorème {R} et {N}, il existe donc une fonction continue F sur X × S1 tel que ses moyennes
ergodiques divergent en un certain point. Par densité dans l’ensemble des fonctions continues sur X × S1
des fonctions de la forme (x, ξ) 7→ f (x)ξ k , on peut supposer que F est de la forme F (x, ξ) = f (x)ξ k , où
NP
−1
f ∈ C(X). Il existe donc un point (x0 , ξ0 ) tel que : lim N1
F (S n (x0 , ξ0 )) diverge.
n=0
Or, en reprenant les arguments de l’équation (V.3), ∃a ∈ [0, 1]k tel que S n (x0 , ξ0 ) = T n x0 , epa (n) .
Donc finalement, l’expression
1
N
NP
−1
f (T n x0 )epka (n) diverge avec N .
n=0
Preuve du lemme V.7. On commence naturellement par vérifier que µ(X) = 1. On reprend la technique
du lemme V.1. On utilise alors le théorème {V} qui généralise le théorème {T}. On conclut alors en
utilisant le lemme V.2.
On vérifie alors les relations de commutation des applications. Soit f ∈ C(X), x ∈ X tel que T x ∈ X et
a ∈ [0, 1]k+1 , il faut vérifier que
∆a
T x (f ) = lim
N
N −1
N −1
1 X
1 X
f (T n+1 x)epa (n) = lim
f (T n x)ep∂a (n) = ∆∂a
x (f ).
N N
N n=0
n=0
Or, cette équation est immédiatement vérifiée puisque par construction et par l’équation (V.2), on a
pour tout entier n :
pa (n) = pδa (n + 1).
Preuve de la proposition V.7. Pour tout d ∈ D, on pose Xd = π −1 {d} ⊂ X et Ekd = π20 (Xd ) ⊂ Ek (X ).
S
S d
On remarque que : X =
Xd et Ek (X ) =
Ek où la réunion est disjointe.
d∈D
d∈D
On définit alors p : Ek (X ) −→ D pour tout ek ∈ Ek (X ) par : p(ek ) = d si ek ∈ Ekd .
On aura alors démontrer la proposition si on démontre les résultats suivants :
1. Pour tout ek ∈ Ek (X ), on a p(γ(ek )) = S(p(ek )).
2. L’application p est surjective presque sûrement (i.e. ν(p(Ek (X ))) = 1).
3. L’application p est continue.
1. On fixe ek ∈ Ek (X ). Soit d tel que ek ∈ Ekd . Puisque D est un facteur de X , si x ∈ X est tel que
π(x) = d, alors on a π(T x) = S(d), et donc XSd = T (Xd ). Puisque Ek (X ) est également un facteur du
système X , on en déduit EkSd = γ(Ekd ). On a donc bien p(γ(ek )) = S(p(ek )).
87
CHAPITRE V. MOYENNES ERGODIQUES DE TYPE WIENER-WINTNER
2. Pour démontrer le deuxième point, il suffit de vérifier que Ekd est non vide pour ν-presque tout
point. Par le théorème de désintégration des mesures, on sait qu’il existe une famille de mesures de
probabilité (νd )d∈D sur X telle que pour ν-presque tout d ∈ D, νd (π −1 {d}) = 1, pour tout f ∈ C(X),
νd (f ) = νSd (f ◦ T ), et
Z
µ(f ) =
νd (f ) dν.
D
Il suffit de montrer que ν {d ∈ D; E2d = ∅} = 0. On va en fait obtenir un résultat un peu plus fort.
L’application d 7→ νd (Yd ) est mesurable et invariante par l’application S. Puisque le système D est un
facteur du système ergodique X , il est lui-même ergodique et donc l’application d 7→ νd (Yd ) est constante
ν-presque partout. Notons c cette constante, on trouve :
Z
Z
c = νd (Ekd )dν = νd (X)dν = µ(X) = 1, et donc, pour presque tout d ∈ D, νd (Ekd ) = 1.
D
D
Pour l’instant, on a montré que le système D était un facteur semi-mesurable du système Ek (X ).
3. Le but est alors de montrer que p est une application continue. On fixe ∆∗ = ∆x une application de
[0, 1]2 dans ∆ et on suppose que (∆m )m = (∆xm )m est une suite d’application de [0, 1]2 dans ∆ qui
convergent vers ∆∗ . On note d = π(x) et pour tout entier m, dm = π(xm ). Bien que (xm )m ne converge
pas nécessairement vers x, on va montrer que (dm )m converge vers d.
On sait donc que ∀ > 0, ∀f ∈ C(X), ∀a ∈ [0, 1]k ,∀N ∈ N, il existe m0 tel que pour tout m ≥ m0 ,
−1
N −1
1 NX
1 X
n
2iπpa (n)
n
2iπpa (n) f (T x)e
−
f (T xm )e
≤
N
N n=0
n=0
En particulier, pour les fonctions f ∈ C(X) de la forme g ◦ π où g ∈ C(D), on trouve :
Pour tout > 0, ∀g ∈ C(D), ∀a ∈ [0, 1]k ,∀N ∈ N, il existe m0 tel que pour tout m ≥ m0 ,
N −1
N −1
1 X
1 X
n
2iπpa (n)
n
2iπpa (n) g(S d)e
−
g(S dm )e
≤ .
N
N n=0
n=0
En particulier, pour toutes les fonctions h ∈ C(D) propres généralisées d’ordre inférieur à k, par l’équation (V.3), pour tout > 0, il existe m0 tel que pour tout m ≥ m0 , |h(d) − h(dm )| ≤ .
Par densité des fonctions propres généralisées, ∀f ∈ C(D) , f (dm ) → f (d) , et donc dm → d.
3
Perspectives
Soit X = (X, B, µ, T ) un système dynamique topologique minimal et uniquement ergodique. Les perspectives de ce travail sont multiples :
1) D’une part réussir à faire un lien entre le système maximal à spectre quasi-discret Dk (X ) et le système
Ek (X ). Pour cela, il faudrait mieux comprendre les fonctions limites et la manière dont les Ek (X ) sont
facteurs les uns des autres.
La question centrale est de savoir si Dk (X ) = Ek (X ), c’est-à dire, avec le travail effectué, si Ek (X ) est
un système à spectre quasi-discret de rang k. Si ce lien n’arrive pas à être fait, on pourrait se contenter
88
CHAPITRE V. MOYENNES ERGODIQUES DE TYPE WIENER-WINTNER
de déterminer si tous les systèmes ergodiques admettent un modèle topologique X̂ tel que la projection
de ce système dans Ek (X̂ ) soit continue.
2) D’autre part, essayer d’attaquer la même étude pour obtenir un théorème semblable au théorème {I}
avec la continuité des fonctions limites. Les semi-normes de Gowers-Host-Kra étant alors un outil de
plus à notre disposition.
3) Dans la section précédente, on était capable de relier la limite de ces expressions et la projection de
la fonction sur un sous-espace vectoriel fermé de L2 (µ). Ici, on n’est pas en mesure d’avancer un tel
argument puisqu’en effet, on ne comprend pas aussi bien la fonction limite récupérée. Par exemple, si f
est la fonction constante égale à 1, pour tout a = (a1 , a2 ), où a1 et a2 sont irrationnels, on a :
lim
N
N −1
N −1
1 X 2iπ 1 n(n−1)
1 X 2iπpa (n)
e
= 0, alors que lim
e 3 2 6= 0.
N N
N n=0
n=0
Ces relations nous montrent d’une part, qu’il est nécessaire de mieux comprendre la répartition des
expressions e2iπpa (n) pour conclure, et d’autre part, qu’il existe des valeurs pour a0 et a1 n’appartenant
pas au spectre du système (mais qui sont des racines des valeurs du spectre) pour lesquelles, la limite
des expressions considérées est non triviale.
Le problème principal, est que l’on comprend relativement mal la répartition des suites de type {pa (n)
mod 1} lorsque a est formé de rationnels. L’exemple très simple suivant nous laisse entrevoir la complexité de cette étude.
On s’intéresse aux systèmes :
Ta : (x, y) 7→ (x + a mod 1, x + y mod 1) sur {T n (0, 0); n ∈ N}.
Si l’angle est irrationnel, les fonctions (x, y) 7→ nx et (x, y) 7→ my, qui sont respectivement des fonctions
propres d’ordre 1 et 2 du système, sont orthogonales deux à deux. Cependant, si l’angle est rationnel, il
faut tenir compte de la répartition de la suite (e2iπan(n−1)/2 )n . En particulier, si cette suite ne tend pas
en moyenne vers 0, le théorème 6 nous assure que la fonction (x, y) 7→ y est une fonction propre d’ordre
2 qui est dans l’espace vectoriel engendré par les fonctions propres d’ordre 1. C’est principalement ce
qu’évite l’hypothèse de totale ergodicité du théorème {A}.
L’étude des sommes de Gauss est très délicate. On renvoie par exemple aux travaux de J. Bourgain, ou
à la méthode du cercle, proposée par Hardy-Littlewood.
Fig. V.1 – Orbite du point (0, 0) sous l’action du système (x, y) 7→ (x + 1/6 mod 1, x + y mod 1).
89
CHAPITRE V. MOYENNES ERGODIQUES DE TYPE WIENER-WINTNER
L’obtention de résultats sur la convergence uniforme des moyennes ergodiques étudiée permet en particulier d’obtenir des propriétés du produit croisé de systèmes avec des systèmes de référence. On espère
généraliser les résultats suivants :
Proposition V.8. Soit X = (X, B, µ, T ) un système dynamique minimal et uniquement ergodique tel
que sa projection dans le facteur de Kronecker soit continu et G = (G, dG , mG , Tg0 : g 7→ g + g0 ) une
translation sur un groupe abélien compact. Alors, le système dynamique produit X × G est la réunion de
ses parties minimales qui sont uniquement ergodiques.
On rappelle qu’un système dynamique mesuré Y = (Y, D, ν, S) est dit standard si l’espace Y est en
bijection mesurable avec l’espace mesuré de référence [0, 1], muni de sa mesure de Lebesgue.
Corollaire V.1. Soit Y = (Y, D, ν, S) un système dynamique ergodique standard et G = (G, dG , mG , Tg0 :
g 7→ g + g0 ) une translation ergodique sur un groupe abélien compact. Pour toute fonction f ∈ L1 (ν),
il existe un sous-ensemble Xf de mesure 1 tel que pour tout x ∈ X0 , tout g ∈ G et toute fonction
h ∈ C(G) :
lim
N
N −1
N −1
1 X 1 X
f (T n x)h(g + ng0 ) = lim
E f | Z1∗ (Y (T n y) · h(g + ng0 ).
N N
N n=0
n=0
(V.4)
En particulier, pour toute mesure λ sur Y × G qui est S × Tg0 invariante, ergodique et qui se projette
en ν sur Y et mG sur G, on a
Z
Z
f · g dλ =
E f | Z1∗ (Y · g dλ
Y ×G
Y ×G
Le système (Y × G, λ) est appelé un couplage des systèmes Y et G (cf. section 2.2 de l’introduction).
Par décomposition des mesures invariantes selon les mesures ergodiques, on peut espérer retrouver le
même résultat pour des couplages non-ergodiques.
Preuve de la proposition V.8. Soit X = (X, B, µ, T ) un système dynamique minimal et uniquement
ergodique tel que sa projection dans le facteur de Kronecker soit continue, et G = (G, dG , mG , Tg0 : g 7→
g + g0 ) une translation sur un groupe abélien compact.
Puisque les caractères sur G sont denses dans C(G) et que l’espace vectoriel engendré par C(X) × C(G)
est dense dans C(X × G), il suffit de se convaincre que pour toute fonction f ∈ C(X) et tout caractère
γ ∈ Ĝ, les moyennes :
N −1
N −1
1 X
1 X
f (T n x)γ(g + ng0 ) = γ(g)
f (T n x)γ(g0 )n convergent uniformément,
N n=0
N n=0
ce qui est immédiat par le théorème 6. Par le théorème {N}, on sait donc que les parties minimales sont
uniquement ergodiques. Reste à montrer que le système est la réunion de ses parties minimales.
On sait qu’il existe une partie minimale M du système topologique X ×G. Pour tout g ∈ G, on considère
l’application continue :
Φg de X × G dans lui-même, définie par (x, g) 7→ (x, g + g).
Il suffit alors de remarquer que pour tout g ∈ G, Φg (M ) est une partie minimale du système et de
conclure en rappelant que l’on a supposé le système X être minimal.
90
CHAPITRE V. MOYENNES ERGODIQUES DE TYPE WIENER-WINTNER
Preuve du corollaire V.1. On commence par démontrer le résultat avec X = (X, B, µ, T ) un système
dynamique standard, minimal et uniquement ergodique tel que sa projection dans le facteur de Kronecker
soit continue et G = (G, dG , mG , Tg0 : g 7→ g + g0 ) une translation ergodique sur un groupe abélien
compact.
La proposition précédente nous assure que l’équation (V.4) est vraie pour toute fonction continue. Le
théorème de Hahn-Banach nous assure que l’on peut prolonger cette relation pour toutes les fonctions
appartenant à L1 (ν).
La deuxième partie du corollaire est alors immédiate en appliquant le théorème ergodique ponctuel de
Birkhoff au système ergodique (Y × G, λ).
On conclut alors en appliquant le théorème 1 et en ramenant l’étude d’un système ergodique Y à
l’étude d’un système qui lui est équivalent, minimal, uniquement ergodique, standard, et pour lequel la
projection dans son facteur de Kronecker est continue.
4
Récurrence double
Un espoir a été de pouvoir aborder des problèmes de récurrences multiples par une étude topologique.
Cependant, nous n’avons pas pu obtenir de résultats probants dans cette direction, on se contente ici
de soulever la complexité des problèmes apparaissant dans cette étude.
Les systèmes particulièrement agréables pour une étude topologique, sont ceux pour lesquels le comportement de tous les points est typique pour la dynamique. Par exemple, pour une rotation du cercle, il
suffit de connaître les propriétés dynamique en un point pour connaître parfaitement la dynamique en
tous les points. En ce sens, on parlera d’homogénéité du système.
Comme on l’a vu dans le chapitre III, les systèmes qui sont la réunion de leur parties minimales, lesquelles étant uniquement ergodiques, se prêtent également à ce genre d’étude. Par exemple, le système
(ξ, ξ 0 ) 7→ (ξ, ξξ 0 ) n’est pas «homogène», mais on connaît bien la dynamique en tous les points.
De manière abstraite, un système topologique n’est en général pas la réunion de ses parties minimales,
et contrairement à la théorie mesurable (où la décomposition de toutes les mesures invariantes en mesures ergodiques au travers du théorème de Choquet) il est difficile de ramener l’étude d’un système
topologique à l’étude de ses parties minimales. On donne ici un exemple de résultat encourageant dans
cette voie faisant intervenir les problèmes décrits ici.
Soient G et H deux groupes abéliens métriques compacts, munis de métriques dG et dH invariantes par
translation et de leurs mesures de probabilité de Haar mG et mH .
On s’intéresse au système : T :
G×H
(g, h)
7→
−→
G×H
où φ ∈ Homcont (G, H).
(g + g0 , h + h0 + φ(g))
On note X le système dynamique topologique (G × H, dG ⊗ dH , T ) et S(X ) son spectre.
Proposition V.9. Le système X est la réunion de ses parties minimales qui sont uniquement ergodiques.
Corollaire V.2. Pour toute fonction continue f1 et f2 sur G × H, pour tout point x et y de G × H,
les moyennes
N −1
1 X
f1 (T n x)f2 (T 2n y) convergent .
N n=0
On suppose à présent que le système G = (G, dG , g 7→ g + g0 ) est le facteur de Kronecker du système X que l’on suppose être ergodique. Pour y = (g1 , h1 , g2 , h2 ) ∈ G2 × H 2 , on note O(y) =
{(T × T 2 )n (y); n ∈ N}.
91
CHAPITRE V. MOYENNES ERGODIQUES DE TYPE WIENER-WINTNER
Proposition V.10. Pour y = (g1 , h1 , g2 , h2 ) ∈ G2 × H 2 , le système (O(y), T × T 2 , dG ⊗ dH ⊗ dG ⊗ dH )
est minimal et uniquement ergodique si et seulement si pour tout caractère continu γ sur H non trivial,
γ ◦ φ(g2 − 2g1 + g0 ) ∈
/ S(X ).
Remarque 4 : Pour tout θ ∈ S1 irrationnel, le système (ξ, ξ 0 ) 7→ (θξ, ξξ 0 ) satisfait les hypothèses de la
proposition V.10.
On rappelle le résultat suivant (rappelé dans [89]) :
Lemme V.8. Pour tout sous-groupe Γ du groupe des caractères continus sur H, Ker (Γ) = {h ∈
H; γ(h) = 1 pour tout γ ∈ Γ} est un sous-groupe compact de H. De plus, le groupe métrique compact
H/Ker(γ) agit continûment sur H.
Preuve de la proposition V.9. On commence par travailler sur le système topologique G = (G, dg , g 7→
g + g0 ). On sait que ce système est la réunion de ses parties minimales. Si on montre qu’une de ses
parties minimales est uniquement ergodique elles le seront toutes. On suppose donc que le système G
est minimal et uniquement ergodique.
D’après le théorème {Q} de H. Anzai, le système X n’est pas minimal et uniquement ergodique si et
seulement si il existe un caractère γ sur H non trivial et une fonction η : G → S1 mesurable vérifiant :
η(g + g0 ) = γ φ(g) + h0 · η(g) pour mG -presque tout g.
(V.5)
Si l’équation (V.5) n’admet pas de solution γ, le résultat est démontré. De manière générale, on pose :
n
o
Γ = γ ∈ Ĥ tel qu’il existe une fonction η : G → S1 mesurable vérifiant l’équation (V.5) .
C’est un sous-groupe de Ĥ. On note H le sous groupe fermé de H défini par : {h ∈ H tel que pour tout
γ ∈ Γ, γ(h) = 1}. Le système dynamique suivant :
G × (H/H) 7→
(g, h)
−→
S:
G × (H/H)
(g + g0 , h + h0 + φ(g))
est maintenant minimal et uniquement ergodique. Par le lemme V.8, l’espace H agit continûment sur
l’espace (H/H). On a bien le résultat attendu : le système X est la réunion de ses parties minimales qui
sont uniquement ergodiques.
Remarque 5 : Si G est un groupe connexe, on peut expliciter l’ensemble Γ.POn suppose que γ et η sont
solutions de (V.5). Puisque les caractères sont denses dans L2 (mG ), η(g) =
aτ τ (g) en norme L2 (mG )
τ ∈Ĝ
et l’équation (V.5) devient :
P
aτ τ (g0 ) · τ (g) = τ 0 (g) ·
τ ∈Ĝ
Soit encore : τ 0 (g)
P
aτ γ(h0 ) · τ (g) où τ 0 = γ ◦ φ.
τ ∈Ĝ
X
aτ τ 0 τ (g0 )τ 0 (g0 ) · τ (g) = τ 0 (g) ·
τ ∈Ĝ
X
aτ γ(h0 ) · τ (g).
(V.6)
τ ∈Ĝ
0
En particulier, pour tout τ ∈ Ĝ, | aτ |=|
dans
Paτ τ |. 2On rappelle que puisque η est mesurable et à valeur
n
S1 , η ∈ L2 (mG ), et donc, la quantité
| aτ | doit être finie, ce qui impose à l’ensemble {τ 0 ; n ∈ N}
τ ∈Ĝ
d’être fini. Or puisque le groupe G est connexe, le seul caractère d’ordre fini est le caractère trivial.
Donc pour tout g ∈ G, γ ◦ φ(g) = 1 et γ(h0 ) ∈ S(X ). Donc pour ce cas particulier :
Γ = {γ ∈ Ĥ; γ ◦ φ = 1 et γ(h0 ) ∈ S(X )}.
92
CHAPITRE V. MOYENNES ERGODIQUES DE TYPE WIENER-WINTNER
Preuve du corollaire V.2. On applique la proposition V.9 au système (X ×X, dG ⊗dH ⊗dG ⊗dH , T ×T 2 )
qui est une extension par un homomorphisme affine d’une rotation sur G × G.
Preuve de la proposition V.10. On s’intéresse à l’action de T × T 2 sur G × H × G × H définie par :
T × T2 :
G×H ×G×H
(g1 , h1 , g2 , h2 )
7→
−→
G×H ×G×H
g1 + g0 , h1 + φ(g1 ), g2 + 2g0 , h2 + φ(g2 ) + φ(g2 + g0 )
.
Pour tout g ∈ G, on définit le sous-ensemble T × T 2 invariant suivant :
Xg = (g1 , h1 , 2g1 + g, h2 ); g1 ∈ G et (h1 , h2 ) ∈ H 2 ⊂ G × H × G × H.
On considère alors : S g :
G×H ×H
7→
G×H ×H
.
(g1 , h1 , h2 ) −→
g1 + g0 , h1 + φ(g1 ), h2 + 4φ(g1 ) + φ(2g + g0 )
On a donc S g (g1 , h1 , h2 ) = g1 +g0 , h1 +φ(g1 ), h2 +φ(2g1 +g)+φ(2g1 +g+g0 ) . Si y = (g1 , h1 , 2g1 +g0 , h2 ),
le système (O(y), T × T 2 , dG ⊗ dH ⊗ dG ⊗ dH ) est minimal et uniquement ergodique si et seulement si
le système (Xg , S g ) est minimal et uniquement ergodique.
On commence par vérifier que pour certain g, le système (X g , S g ) est uniquement ergodique. D’après
le théorème {Q}, on va vérifier que pour certaines valeurs de g, la mesure produit mG ⊗ mH ⊗ mH est
ergodique pour le système (Xg , Sg ). On suppose qu’il existe un caractère
γ sur H × H et une fonction
mesurable η : G 7→ S1 tel que : γ φ(g1 ), φ(2g1 + g) + φ(2g1 + g + g0 ) = η(g1 ) · η(g1 + g0 )−1 µ-pp.
ˆ H = Ĥ × Ĥ, il existe donc deux caractères γ1 et γ2 sur H tels que :
On rappelle que H ×
γ1 φ(g1 ) · γ2 φ(2g1 + g) + φ(2g1 + g + g0 ) = η(g1 ) · η(g1 + g0 )−1 µ-pp.
On remarque alors que par unique ergodicité de T , γ2 ne peut être nul. On poursuit les calculs :
γ1 γ24 φ(g1 ) · γ2 φ(2g + g0 ) = η(g1 ) · η(g1 + g0 )−1 µ-pp.
Donc pour tout h1 ∈ H et mG -presque tout g1 ∈ G :
η(g1 + g0 ) γ1 γ24 φ(g1 ) + h1 · γ2 φ(2g + g0 ) = η(g1 ) γ1 γ24 h1 .
La fonction Φ : (g1 , h1 ) 7→ η(g1 ) γ1 γ24 h1 est donc une fonction propre du système (G × H1 , T ), et
par l’hypothèse imposée sur le Kronecker :
  γ1 γ24 h1 = 1 , soit γ −1 = γ24 et
1
 η est un caractère du groupe G vérifiant η(g0 ) = γ −1 φ(2g + g0 ) .
2
93
CHAPITRE V. MOYENNES ERGODIQUES DE TYPE WIENER-WINTNER
94
Chapitre VI
Approche symbolique et induction
dans le groupe d’Heisenberg
L’objet de ce chapitre est de relier des objets symboliques et des systèmes dynamiques géométriques.
Les objets symboliques considérés sont des endomorphismes positifs du groupe libre à m générateurs
Fm , appelés substitutions sur m lettres. Si G est un groupe engendré par m générateurs, il existe un
morphisme de groupe surjectif π envoyant Fm sur G. Tout l’enjeu est alors de traduire l’action d’une
substitution σ sur Fm dans le groupe G au travers de l’application π.
S’il existe un unique mot infini u = (un )n∈N tel que σ(u) = u, une construction naturelle est alors
d’associer à la substitution σ une suite (xn )n d’éléments de G telle que le n-ième terme de la suite est la
projection par π du préfixe u0 . . . un . (c’est-à-dire xn = π(u0 . . . un )). Cette suite d’éléments est appelée
la ligne brisée dans G associée à la substitution σ. Lorsque G est le groupe Zm , l’abélianisé du groupe
libre à deux générateurs, et sous certaines conditions sur la substitution, l’adhérence d’une projection
de cette ligne brisée est un ensemble compact de Rm−1 , appelé par extension fractal de Rauzy (cf.
section 6 de l’introduction). On arrive alors à conjuguer le système dynamique symbolique engendré
par u avec un échange de m morceaux de ce fractal. Il existe de nombreuses généralisations de cette
construction, on renvoie à [5], [7] et [16].
Une autre méthode consiste à traduire l’action de la substitution dans le groupe G de manière cohérente
avec le morphisme π. Un groupe topologique G à deux générateurs sera dit adapté pour les endomorphismes du groupe libre Fm , muni de sa topologie naturelle, si l’application π est continue, et
si il existe un homomorphisme continu et sujectif S, de Hom(Fm , Fm ) dans Hom(G, G) tel que pour
toute substitution σ, le diagramme suivant commute :
Fm
σ
π
G
/ Fm
(VI.1)
π
Sσ
/G
On dira alors que Sσ est la factorisation de σ. L’application π étant surjective, il est possible qu’un
même homomorphisme soit associé à deux substitutions différentes. Il est donc important de souligner
dès à présent, qu’avec le point de vue, que l’on adoptera dans ce chapitre, deux substitutions qui se
factorisent de la même manière sur G seront indissociables.
95
CHAPITRE VI. APPROCHE SYMBOLIQUE ET INDUCTION DANS LE GROUPE D’HEISENBERG
Soient u et v, deux éléments du groupe libre Fm , on note [u, v] = uvu−1 v −1 le commutateur de u et
v. Les endomorphismes σ du groupe libre vérifient la relation :
σ([u, v]) = [σ(u), σ(v)].
Cette remarque est fondamentale puisqu’elle nous assure que l’abélianisé du groupe libre est un sousgroupe caractéristique du groupe libre. De plus, elle laisse espérer l’obtention de résultats intéressants
en considérant des groupes nilpotents, définis par des relations de commutations dans le groupe libre.
On commencera par vérifier :
Proposition VI.1. L’ensemble des matrices à coefficients entiers forme un réseau de l’espace d’Heisenberg qui est adapté pour les endomorphismes du groupe libre F2 .
Puisqu’il semble difficile de pouvoir obtenir une construction de type fractal de Rauzy, nous contournerons ce problème dans la section 2 en considérant une famille de niltranslations associées à la substitution
dite de Fibonacci. Le fait que ces niltranslations proviennent de substitutions apportent aux systèmes
dynamiques la propriété d’être auto-induits. On montre notamment :
Proposition VI.2. Le système dynamique donné par l’application :
2
(R/Z)
(y, z)
2
−→
7→
(R/Z)
y−
1
φ2
, z−y+K
où K = 1 + 1 et φ le nombre d’or,
2φ4
2φ2
est auto-induit, minimal et uniquement ergodique.
Nous nous intéresserons alors dans une troisième partie principalement aux nilflots que l’on peut associer
à certaines substitutions. Nous verrons que certaines applications de premier retour de ces flots dans
des sections bien choisies, possèdent des propriétés remarquables, ces applications étant conjuguées à
des niltranslations. Cette démarche rentre dans un cadre plus général, développé notamment par L.
Flaminio et G. Forni dans [21] et [22], dans lequel les auteurs relient des homomorphismes de l’espace
d’Heisenberg et certains flots. Notre travail se restreint ici à considérer des homomorphismes provenant
de substitutions du groupe libre F2 . Ces techniques vont nous permettre de démontrer le résultat suivant :
a b
une matrice à coefficients entiers telle que | det(M ) |= 1.
c d
On suppose que cette matrice admet une valeur propre λ de module | λ |> 1. On note (α, β) le vecteur
propre associé à λ tel que α + β = 1. Pour tout couple d’entiers (n, m) tel que n ≤ ac et m ≤ bd, on
pose :
α
ac β
bd
γ=
n−
+
m−
.
λ − det(M )
2
λ − det(M )
2


α
Alors, la niltranslation à gauche par l’élément  β  sur la nilvariété
γ + αβ
2
Théorème 7. Soit M =


 


x

 .  n

−x + n ; (x, z) ∈ R2 et n ∈ Z
m ; (n, m, p) ∈ Z3




z
p
est auto-induite, minimale et uniquement ergodique.
96
CHAPITRE VI. APPROCHE SYMBOLIQUE ET INDUCTION DANS LE GROUPE D’HEISENBERG
1
Approche symbolique
On utilisera les notations de la section 5 de l’introduction. On commence par vérifier la proposition VI.1
de l’introduction, qui fait le lien entre les endomorphismes du groupe libre à deux générateurs et les
morphismes du réseau H3 (Z) = Γ. Les générateurs de ce réseau seront notés :
 
 
 
1
0
0
−1
na = 0 , nb = 1 . On note de plus na−1 = n−1
et n = [na , nb ] = 0 ∈ Z.
a , nb−1 = nb
0
0
1
Proposition VI.1 L’ensemble des matrices à coefficients entiers forme un réseau de l’espace d’Heisenberg qui est adapté pour les endomorphismes du groupe libre F2 .
Preuve. Soit ν un endomorphisme du groupe libre F2 . Il peut s’écrire
a −→ ξ1 . . . ξla
σ:
avec (ξi )1≤i≤la et (ζi )1≤i≤lb des éléments de {a, b, a−1 , b−1 }.
b −→ ζ1 . . . ζlb
On lui associe l’endomorphisme Sσ défini par Sσ (na ) = nξ1 . . . nξla et Sσ (nb ) = nζ1 . . . nζlb .
La relation Sσ (n) = Sσ (na ) · Sσ (nb ) · Sσ (na )−1 · Sσ (nb )−1 , nous assure que S est bien un homéomorphisme de Γ. On peut de plus vérifier que pour tout endomorphisme σ et σ 0 de F2 :
Sσ◦σ0 = Sσ ◦ Sσ0 .
Il ne nous reste plus qu’à vérifier que l’application S est surjective. On considère un endomorphisme L
donné par l’équation (5) de la section 5 de l’introduction, de la forme :


 
x1 x + y1 y
x
,
x2 x + y2 y
L : y  7→ 
y1 y2 2
y1 y2
x1 x2
x1 x2 2
x
+
(x
−
)x
+
y
+
(y
−
)y
+
y
x
xy
+
(x
y
−
y
x
)z
z
3
3
1 2
1 2
1 2
2
2
2
2
où (x1 , x2 , x3 , y1 , y2 , y3 ) ∈ Z6 . On a donc
 
 
x1
y1
L(na ) = x2  et L(nb ) = y2  .
x3
y3
On peut alors vérifier que L = Sσ , où σ est

a −→



σ:
b −→



définie par :
b| .{z
. . }b a
. . a} [a, b] . . . [a, b]
| .{z
|
{z
}
x2
x1
x3
b| .{z
. . }b a
. . a} [a, b] . . . [a, b]
| .{z
|
{z
}
y2
y1
.
y3
On s’intéressera plus particulièrement aux substitutions sur deux lettres, soit aux morphismes positifs
du groupe libre à deux générateurs. C’est-à-dire, aux endomorphismes préservant le monoïde engendré
par les éléments «a» et «b». En effet, on ne veut pas considérer des endomorphismes du type :
a −→ b−1 a−1 ,
b −→
a.
97
CHAPITRE VI. APPROCHE SYMBOLIQUE ET INDUCTION DANS LE GROUPE D’HEISENBERG
Les substitutions sont définies à partir des images des deux générateurs :
a −→ ξ1 . . . ξla
σ:
avec (ξi )1≤i≤la et (ζi )1≤i≤lb des éléments de {a, b}.
b −→ ζ1 . . . ζlb
(VI.2)
Nous traiterons tout au long de ce travail, en parallèle avec le cas général, l’exemple de la substitution
de Fibonacci :
a → ab,
τ:
b → a.
On note u = (uk )k≥1 ∈ {a, b}N le mot infini, point fixe de cette substitution,
√
1+ 5
le nombre d’or.
u = abaaaba . . . et on pose φ =
2
On commence par s’intéresser à la substitution de Fibonacci. On définit la suite (xk )k≥0 d’éléments de
X de la manière suivante :
et
x0
xk+1
=
1
= xk • nuk
si k ≥ 1.
On appellera cette suite la ligne brisée associée à la substitution τ dans X. Pour tout entier k, on
note :
 
k
ak
Y
nui =  bk  .
xk = 1 •
i=1
ck
Un calcul direct nous montre que a0 = b0 = c0 = 0, et pour tout entier k ≥ 1 :
ak = # {1 ≤ i ≤ k ; ui = a} , bk = # {1 ≤ i ≤ k ; ui = b} et ck = # {1 ≤ i < j ≤ k ; ui = a et uj = b} .
Pour tout entier k, la quantité ck se représente «géométriquement» par l’aire de la zone verte dans la
figure VI.1.
Fig. VI.1 – Projection par p de la ligne brisée (xk )k dans le plan R2 .
 
α
Tout l’enjeu est alors de trouver un élément g = β  ∈ X tel que la suite (g k • xk )k soit bornée.
γ
98
CHAPITRE VI. APPROCHE SYMBOLIQUE ET INDUCTION DANS LE GROUPE D’HEISENBERG
En particulier, afin de borner la suite d’éléments p(g k (α, β, γ) • xk ) de R2 , l’élément g doit être pris
k
sous la forme :

  −1 
−1
1 φ
θ
φ
−1 

.
gθ = 0 1
=  −1
φ2
φ2
0 0
1
θ
Pour cette raison, on s’intéressera dans la section 2 suivante, à l’action à gauche des matrices g θ sur
l’espace quotient X.
Soit maintenant σ une substitution sur deux lettres définie en (VI.2). On propose d’associer à la substitution σ un homomorphisme Sσ de l’espace X qui tient compte de l’ordre d’apparition des symboles a
et b dans les images de lettres.
0
0
On pose Mσ = [m, ](,0 )∈{a,b}2 où m, est le nombre de dans σ(0 ),
et pour (, 0 ) ∈ {a, b}2 , on note :
0
et
n,
le nombre de couple (i, j) ∈ {0, la }2 tel que i ≤ j, ξi = et ξj = 0 ,
a
,0
nb le nombre de couple (i, j) ∈ {0, lb }2 tel que i ≤ j, ζi = et ζj = 0 .
L’homomorphisme continu de X induit par la substitution σ est alors donné par :
X
x
Sσ :  
y
z
→ 
X

ma,a x + ma,b y
.
7→  mb,a x + mb,b y 
det(Mσ )z + Pσ (x, y)
(VI.3)
ma,b mb,b
ma,a mb,a
a,b
x(x − 1) +
y(y − 1) + ma,b mb,a xy + na,b
a x + nb y.
2
2
On remarque immédiatement que l’application Sσ est inversible si et seulement si la matrice Mσ est
elle-même inversible. On se placera toujours dans ce cas. On peut alors vérifier que par construction :
avec Pσ (x, y) =
Sσ (na ) = nξ1 . . . nξla et Sσ (nb ) = nζ1 . . . nζlb .
On explicite cet automorphisme pour la substitution de Fibonacci.
X

X → 
x+y
x
Sτ :  
 .
x
y
7→ 
−z + x(x + 1)/2 + xy
z
(VI.4)
Sous certaines conditions sur la matrice associée à la substitution, on associe à ces automorphismes
certains flots qui joueront le rôle de flots contractants et de flots dilatants.
Proposition VI.3. Soit λ une valeur propre réelle de la matrice Mσ distincte du déterminant de la
matrice Mσ . Soit (α, β) un vecteur propre de la matrice associé à la valeur propre λ. Alors, il existe un
unique réel γ, tel que le flot Φtα,β,γ vérifie :
S ◦ Φtα,β,γ ◦ S−1 = Φλt
α,β,γ .
La valeur de γ est :
α
γ=
λ − det(Mσ )
ma,a mb,a
β
mb,a mb,b
a,b
a,b
na −
+
nb −
.
2
λ − det(Mσ )
2
99
(VI.5)
CHAPITRE VI. APPROCHE SYMBOLIQUE ET INDUCTION DANS LE GROUPE D’HEISENBERG
Preuve. On note Φ le flot Φα,β,γ défini en (6). Un calcul direct donne :

  
ma,a x + ma,b y + t(ma,a α + ma,b β)
x


mb,a x + mb,biy + t(mb,a α + mb,b β)
S ◦ Φt y  = h

αβ 2
z
z + ytα + γt + 2 t det(Mσ ) + Pσ (x + tα, y + tβ)
  
ma,a x + ma,b y + λtα.
x
λt



mb,a x + mb,b y + λtβ.
et Φ ◦ S y =
b,a
z
z det(Mσ ) + λtα(m x + mb,b y) + γλt +

αβ
2
2 (λt)
.
+ Pσ (x, y)
On est donc amené à résoudre le système :

ma,a x + ma,b y + t(ma,a α + ma,b β) = ma,a x + ma,b y + λtα,



b,a
b,b
b,a
b,b
b,a
b,b

h m x + m y + t(mi α + m β) = m x + m y + λtβ,
(S1 ) :
αβ 2
z + ytα + γt + 2 t det(Mσ ) + Pσ (x + tα, y + tβ) =




2
z det(Mσ ) + λtα(mb,a x + mb,b y) + γλt + αβ
2 (λt) + Pσ (x, y).
Puisque le vecteur (α, β) est un vecteur propre associé à la valeur propre λ, les deux premières équations
sont vérifiées. Il nous reste alors à étudier la troisième équation. Elle se résout de la manière suivante :
Pσ (x + tα, y + tβ)
a,a
b,a
a,b
b,b
= Pσ (x, y) + m 2m (2x − 1 + tα)tα + m 2m (2y − 1 + tβ)tβ
a,b
+ma,b mb,a t(αy + βx + tαβ) + na,b
a tα + nb tβ.
Il faut annuler respectivement les termes en t2 , x, y et t dans la troisième ligne du système (S1 ). Cela
nous amène à résoudre le système :
 αβ 2
a,a
b,a
a,b
b,b
λ
= αβ
det(Mσ ) + α2 m 2m + β 2 m 2m + αβma,b mb,a ,

2
2


λαmb,a =
ma,a mb,a α + ma,b mb,a β,
(S2 ) :
b,b
λαm
=
α det(Mσ ) + ma,b mb,b β + ma,b mb,a α,



a,a
b,a
a,b
b,b
a,b
γλ
= γ det(Mσ ) − α m 2m − β m 2m + na,b
a α + nb β.
Puisque (α, β) est un vecteur propre de la matrice, les trois premières équations du système (S2 ) sont
toujours vérifiées. En effet, on observe :
(ma,a α + ma,b β)(mb,a α + mb,b β) = (λα) · (λβ) = αβλ2 ,
et ma,a mb,b − ma,b mb,a
=
det(Mσ ).
La dernière ligne du système (S2 ) admet une solution si λ 6= det(Mσ ) et on retrouve (VI.5) :
ma,a mb,a
β
mb,a mb,b
α
a,b
na,b
−
+
n
−
.
γ=
a
b
λ − det(Mσ )
2
λ − det(Mσ )
2
Par exemple, on peut définir ces flots à partir de la substitution de Fibonnaci :

  
  
x + t φ1
x + t φ12
x
x



t
y + t φ12
y − t φ1
Φtφ y  = 
 et Φ−1/φ y  = 
t(t+1)
1
1
z
z
z + 2φ3 + φ yt
z + φ2 t − t(t−1)
2φ3 +
100


.
1
φ2 yt
(VI.6)
CHAPITRE VI. APPROCHE SYMBOLIQUE ET INDUCTION DANS LE GROUPE D’HEISENBERG
2
Exemple d’une niltranslation particulière

1

On revient dans cette partie sur l’action à gauche de la matrice : g θ = 0
0
−1
φ
1
0
θ

−1 
φ2
sur le groupe X.
1
Laissons le choix du domaine fondamental de l’espace quotient X dépendre d’un paramètre s :


 
x


X s = x = y  tel que s ≤ x ≤ 1 + s, − s − 1 ≤ y ≤ −s et z ∈ [0, 1] .


z
On rappelle que, puisque la matrice n introduite dans la partie précédente est dans le centre du groupe,
on est libre de quotienter la coordonnée extrémale ”z” modulo 1 à tout moment. En particulier, on peut
considérer θ modulo 1.


 
−y


On se restreint à étudier l’action de g θ sur : Y s = x =  y  tel que − s − 1 ≤ y ≤ −s et z ∈ [0, 1] .


z
Fig. VI.2 – Représentation de X s et de Y s .
Puisque − φ1 − φ12 = −1 ∈ Z, l’élément g θ agit par translation sur Y s . Notre but sera d’induire cette
application sur le sous-ensemble :


 
−y


1
s
YInd
= x =  y  tel que − s − 1 ≤ y ≤ −s − 1 + 2 et z ∈ [0, 1] .


φ
z
On démontrera le résultat suivant à la fin de cette section :
Proposition VI.4. Pour tout paramètre (s, s0 ) ∈ R2 et tout angle θ ∈ R, il existe une fonction dite de
e : Y s 7→ Y s0 et un angle θ0 tels que l’application de premier retour de g sur Y s
renormalisation Φ
Ind
Ind
θ
e à l’action de g sur Y s0 . L’angle θ0 est donné par :
soit conjuguée via Φ
θ
1
θ0 = φ2 θ + φ2 (s + 1) + (s0 + 1) .
φ
101
CHAPITRE VI. APPROCHE SYMBOLIQUE ET INDUCTION DANS LE GROUPE D’HEISENBERG
En particulier, pour les paramètres s = s0 = −1 et θ = 0, l’action g θ sur Y −1 est conjuguée à
2
2
l’application T : (R/Z) −→ (R/Z) , donnée par :
T (y, z) = (y −
1
−1
mod 1, z + ψ(y) mod 1) où ψ(y) = −φy +
si 0 ≤ y ≤
φ2
φ
1
φ2
et ψ(y) = −y/φ sinon.
Fig. VI.3 – Représentation de l’action affine par morceaux de l’application T .
Les calculs précédents nous assurent que cette application est auto-induite. Un calcul direct nous montre
que :
1
1
1
2
−1
et ψ + ( 2 ) − ψ − ( 2 ) = − 3 − (− 2 ) = −1.
ψ(0) = ψ(1) =
φ
φ
φ
φ
φ
L’ application ψ définit une application continue et lipschitzienne du tore dans lui-même de degré 1,
donc d’après le théorème {S} de H. Furstenberg [25], le système est uniquement ergodique. On vient de
voir qu’il est aussi auto-induit.
On pose p(y) = − 21 y 2 − 12 y et K =
1
1
2φ4 + 2φ2 ,
alors ψ(y) = p(y− φ12 mod 1)−p(y)−y+K pour tout y ∈ [0, 1].
2
Donc l’application T est conjuguée à l’application du tore (R/Z) dans lui-même définie par :
1
(y, z) 7→ y − 2 mod 1, z − y + K mod 1 ,
φ
qui est a fortiori, elle aussi auto-induite. On vient donc de démontrer le résultat suivant :
Proposition VI.2. Le système dynamique donné par l’application :
2
(R/Z)
(y, z)
2
−→
7→
(R/Z)
y−
1
φ2
où K = 1 + 1 ,
, z−y+K
2φ4
2φ2
est auto-induit, minimal et uniquement ergodique.
Remarque : On dispose d’une application, dite de renormalisation, telle que Φ([0, φ12 ] × [0, 1]) = [0, 1]2
qui conjugue T à l’application de premier retour de T dans la zone [0, φ12 ] × [0, 1] donnée par :
Φ(y, z) = (φ2 y, −φ3 y 2 − φy + z), d’inverse Φ−1 (y, z) = (φ−2 y, z +
2
1 2
1
y + 2 y).
φ
φ
Pour tout réel c, les paraboles d’équation pc (y) = − φ2φ+1 y 2 − y + c sont invariantes par Φ, c’est-à dire
vérifient :
si z = pc (y), alors −φ3 y 2 − φy + z = pc (φ2 y).
102
CHAPITRE VI. APPROCHE SYMBOLIQUE ET INDUCTION DANS LE GROUPE D’HEISENBERG
Il semble donc plus adapté à la situation de prendre comme domaine fondamental du tore :
(y, z) ∈ R2 tel que 0 ≤ y ≤ 1 et p0 (y) ≤ z ≤ p1 (y) .
Preuve de la proposition VI.4. Commençons par écrire explicitement la manière dont la matrice g θ agit
sur le domaine fondamental X s :


x − φ1
 y − φ12 
Si x ≥ s + φ1 et y ≥ −s − 1 + φ12
: x 7→
z − φy + θ


x − φ1

y − φ12 + 1
si x ≥ s + φ1 et y ≤ −s − 1 + φ12
: x 7→ 
y
1
z+x− φ +θ− φ


x − φ1 + 1
 y − φ12 
si x ≤ s + φ1 et y ≥ −s − 1 + φ12
: x 7→
z − φy + θ


x − φ1 + 1

y − φ12
si x ≤ s + φ1 et y ≤ −s − 1 + φ12
: x 7→ 
y
1
z + x − φ + θ + φ2
Fig. VI.4 – Projection des quatre zones de X s sur lesquelles agit g θ .
On fixe des paramètres (s, s0 , θ) dans R3 et on pose :
et
S
SInd
= {(y, z) tel que 0 ≤ y ≤ 1 et 0 ≤ z ≤ 1}
.
= {(y, z) tel que 0 ≤ y ≤ φ12 et z ∈ [0, 1]}
En «oubliant» pour l’instant la première coordonnée, la translation par g θ sur X est conjuguée à une
application Ts de [−s − 1, −s] × [0, 1] dans lui-même définie par :
Ts (y, z) =
y − φ12 + 1, z − φy + θ − φ1 mod 1 si −s − 1 ≤ y ≤ −s − 1 + φ12
et Ts (y, z) =
y − φ12 , z − φy + θ mod 1 si −s − 1 + φ12 ≤ y ≤ −s.
103
CHAPITRE VI. APPROCHE SYMBOLIQUE ET INDUCTION DANS LE GROUPE D’HEISENBERG
Par translation, l’application Ts est conjuguée à une application T s de S dans lui-même définie par :
T s (y, z) =
y − φ12 + 1, z − φy + θ − φ1 + (s + 1)φ mod 1 si 0 ≤ y ≤ φ12
et T s (y, z) =
y − φ12 , z − φy + θ + (s + 1)/φ mod 1 si φ12 ≤ y ≤ 1.
On définit l’application de premier retour de l’application T s de SInd dans elle-même de la manière
suivante :
n
n
s
(y, z) = (T s ) y,z (y, z) ou ny,z = inf{n ∈ N+ ; (T s ) (y, z) ∈ SInd }.
TInd
Il est clair que ny,z = ny ne dépend que de y (ni de z, ni de s, ni de θ), un calcul simple nous donne :
ny = 2 si 0 ≤ y ≤
1
φ4
et ny = 3 si
1
φ4
≤y≤
1
φ2 .
Fig. VI.5 – Calcul de ny .
s
Un calcul direct nous donne alors l’expression de TInd
:
s
TInd
(y, z) =
y + φ13 , z − y φ1 + φ + 2θ + (s + 1) φ1 + φ mod 1 si 0 ≤ y ≤ φ14 ,
s
TInd
(y, z) =
y − φ14 , z − y φ2 + φ + 3θ − φ14 + (s + 1) φ2 + φ mod 1 si φ14 ≤ y ≤
1
φ2
.
On considère alors l’application de SInd dans S :
Φ(y, z) = (φ2 y, ay 2 + by + z mod 1), d’inverse Φ−1 (y, z) = (φ−2 y, z −
a 2
b
y − 2 y mod 1).
φ4
φ
L’application T s = Φ ◦ TInd ◦ Φ−1 de S dans lui-même, obtenue par la fonction de transfert Φ est alors :
Si 0 ≤ y ≤
1
φ2
T s (y, z)
=
s
Φ ◦ TInd
(φ−2 y, z −
mod 1)
=
Φ ◦ (φ
−
=
(y − φ1
=
+a(φ−2 y −
y − φ12 + 1, z − φ
:
−2
2
y−
1
φ4
+
a 2
b
φ4 y − φ2 y
1
a 2
φ2 , z − φ4 y
a 2
φ4 y
1
1 2
φ4 + φ2 )
−2
+ 1, z −
−
b
φ2 y −
−2
b
φ2 y−
φ−2 y
1
φ
φ−2 y φ1 + φ + 2θ + (s + 1) φ1 + φ mod 1)
+ φ + 2θ + (s + 1) φ1 + φ
+ b(φ y − φ14 + φ12 ) mod 1)
y φ1 + φ − φ2a3 + φb3 + φa6 + 2θ + (s + 1) φ1 + φ mod 1 ,
104
CHAPITRE VI. APPROCHE SYMBOLIQUE ET INDUCTION DANS LE GROUPE D’HEISENBERG
et si
1
φ2
≤y≤1:
T s (y, z)
=
s
Φ ◦ TInd
(φ−2 y, z −
=
Φ ◦ (φ−2 y −
=
(y − φ1 , z − φa y2 − φb y − φ−2 y
=
+a(φ−2 y − φ14 )2 + b(φ−2 y − φ14 ) mod 1)
y − φ12 , z − φ−2 y φ2 + φ + φ2a4 + 3θ − φ14 +
2
1
φ4 , z
4
a 2
b
φ4 y − φ2 y mod 1) − φa4 y 2 − φb2 y − φ−2 y φ2
2
2
φ
+ φ + 3θ −
+ φ + 3θ −
a
φ8
1
φ4
−
+ (s + 1) φ2 + φ mod 1)
+ (s + 1) φ2 + φ
b
φ4
1
φ4
+ (s + 1)
2
φ
+φ
mod 1 .
Pour obtenir le résultat attendu, il faut trouver θ0 tel que la fonction T s appartienne à la famille de
fonctions initiales. Il faut donc choisir des paramètres a et b tels que l’on puisse trouver une valeur pour
θ0 telle que les deux systèmes suivants admettent une solution :

 −φ = −φ−2 1 + φ − 2a3 ,
φ
φ
(S1 ) :
 − 1 = −φ−2 2 + φ + 2a4 ,
φ
φ
φ
et (S2 ) :

 θ0 −

1
φ
+ (s0 + 1)φ
θ0 + (s0 + 1)/φ
=
b
φ3
+
a
φ6
+ 2θ + (s + 1)
=
3θ −
1
φ4
+
a
φ8
−
b
φ4
1
φ+
+ (s + 1)
2
φ
φ ,
+φ .
Le premier système admet une unique solution : a = −φ3 .
Les paramètres b et s0 sont donc liés par la relation :
1
φ
− (s0 + 1) = θ −
1
φ2 b
+ (s + 1) φ1 ,
ce qui fixe la valeur du paramètre b : b = φ2 θ + φ(s + 1) + φ2 (s0 + 1) − φ.
On trouve donc : θ0 = φb3 + φa6 + 2θ + (s + 1) φ1 + φ + φ1 − (s0 + 1)φ
2
2 0
(s +1)−φ
a
1
= φ θ+φ(s+1)+φ
+
+
2θ
+
(s
+
1)
+
φ
+
3
6
φ
φ
φ
1
2
2
0
= φ θ + φ (s + 1) + (s + 1) φ .
3
1
φ
− (s0 + 1)φ
Flots et sections de flots
Soit σ une substitution sur deux lettres définie en (VI.2). On ne traite que les cas des substitutions hyperboliques et unimodulaires, c’est-à-dire on impose sur la matrice Mσ de la substitution l’hypothèse
(H) suivante :
Mσ admet deux valeurs propres réelles λ et λ0 telles que| λλ0 |= 1 et | λ |>| λ0 |.
(H)
Pour plus de détails sur ces objets, on renvoie à [23] et [81].
Soit (α, β) un vecteur propre non nul associé à la valeur propre λ. Par le théorème de Perron-Frobenius,
on sait que l’on peut choisir α ≥ 0 et β ≥ 0, on les choisit tels que α + β = 1. De cette manière, si v est
un mot infini sur {a, b} tel que σ(v) = v, alors α correspond exactement à la fréquence d’apparition du
symbole ”a” dans v, et β à la fréquence d’apparition du symbole ”b”.
On fixe alors (α0 , β 0 ), un vecteur propre non trivial associé à la valeur propre λ0 . On rappelle que sous
ces conditions, on a : α > β > 0, α0 β 0 < 0, λ ∈
/ Q et λ0 ∈
/ Q.
D’après l’hypothèse (H), les valeurs α0 et β 0 sont non nulles, on fixe α0 strictement négatif. On pose
∆ = αβ 0 −α0 β 6= 0 et on note Φλ et Φλ0 les flots obtenus par la proposition VI.3. On note γ et γ 0 les réels
105
CHAPITRE VI. APPROCHE SYMBOLIQUE ET INDUCTION DANS LE GROUPE D’HEISENBERG
obtenus par l’équation (VI.5). On remarque que ∆ est négatif puisque β 0 ∆ = (β 0 )2 α + (−β 0 )α0 β > 0.
Les flots Φλ et Φλ0 engendrent une surface S = Φtλ ◦ Φsλ0 (0); (t, s) ∈ R2 et on note xt,s = Φtλ ◦ Φsλ0 (0).
Fig. VI.6 – Surface Sτ , dite surface de Fibonacci, construite à partir des flots (VI.6).
On pose ta et tb les uniques réels tels que :
(
ta
(ta α − 1)β 0 =
ta βα0
, soit
tb αβ 0
= (tb β − 1)α0
tb
On pose :
Da
Db
=
=
β0
β 0 α−α0 β
−α0
β 0 α−α0 β
=
=
β0
∆
−α0
∆
>0
> 0.
p
= p(ta α − 1)2 + (ta β)2
, et on fixe :
=
(tb α)2 + (tb β − 1)2
da
0
0
√
=
(α s + tα, β s + tβ); − 0 2 0 2 ≤ s < 0 et 0 ≤ t < tb
α +β
et D = Da ∪ Db .
db
0
0
√
=
(α s + tα, β s + tβ); 0 ≤ s <
et 0 ≤ t < ta
02
02
da
db
α +β
Proposition VI.5. Il existe une fonction polynômiale Qσ de degré 2 en x et y telle que x = [x, y, z] ∈ S
si et seulement si z = Qσ (x, y).
Par la proposition VI.3, S agit sur S de la manière suivante :
0
λ
S(xt,s ) = S ◦ Φtλ ◦ Φsλ0 (0) = S ◦ Φtλ ◦ S−1 ◦ S ◦ Φsλ0 ◦ S−1 (0) = Φλt
λ ◦ Φλ0 (0) = xλt,sλ0 .
Fig. VI.7 – Action de l’automorphisme (en bleu) sur la surface de Fibonacci (en vert).
106
CHAPITRE VI. APPROCHE SYMBOLIQUE ET INDUCTION DANS LE GROUPE D’HEISENBERG
Fig. VI.8 – Domaine Dτ associé à la substitution de Fibonacci.
 

 x

On considère «la tuile» : T = y  ∈ X; (x, y) ∈ D et Qσ (x, y) − 1/2 ≤ z < Qσ (x, y) + 1/2 .


z
Proposition VI.6. T est un domaine fondamental de X.
L’automorphisme S agit sur la tuile (cf figure VI.10).
L’objectif est de considérer les propriétés de l’application de premier retour du flot sur une «bonne» section. Cette section sera la surface Σ définie ci-dessous. La proposition VI.7 nous assure que l’application
ainsi récupérée induit un système dynamique uniquement ergodique et auto-induit. On verra alors dans
la proposition VI.8, que cette application est conjuguée à une niltranslation, qui possédera a fortiori
également la propriété d’être auto-induite. La proposition VI.9 nous assure que cette niltranslation est
2
minimale et uniquement ergodique sur une surface isomorphe au tore (S1 ) .
Fig. VI.9 – Deux angles de vue de la tuile associée à la substitution de Fibonacci.
107
CHAPITRE VI. APPROCHE SYMBOLIQUE ET INDUCTION DANS LE GROUPE D’HEISENBERG
Fig. VI.10 – Action de l’automorphisme Sτ sur la tuile de Fibonacci.
On considère la section suivante :
 0 
 αs
1
1
Σ = β 0 s ; s ∈ p 2
[−da , db [ et Qσ (α0 s, β 0 s) − ≤ z < Qσ (α0 s, β 0 s) +
2
0
0

2
α +β
z

1
2
Proposition VI.7. Sous l’hypothèse (H), le flot Φλ induit une application TΣ de premier retour de la
section Σ dans elle-même qui est auto-induite.
Preuve. On note TΣ l’application de premier retour du flot Φλ dans la section Σ. Soit x un point de
S(Σ) et tx le réel défini par :
tx = inf t ∈ R∗+ ; Φtλ (x) ∈ S(Σ) ∈ [0, +∞].
On note TS(Σ) l’application de S(Σ) dans lui-même définie par TS(Σ) (x) = Φtλx (x).
Selon le signe de det Mσ , deux situations peuvent se produire. Dans tous les cas, on a :
tx ∈ {min(λta , λtb ), max(λta , λtb )}.
 
x
On supposera dans la suite de la preuve que det(Mσ ) > 0. Soit x = y , par la proposition VI.3 :
z
1
si x > 0
, S−1 ◦ TS(Σ) ◦ S(x)
=
si x < 0
, S−1 ◦ TS(Σ) ◦ S(x)
=
a
S−1 ◦ Φλt
◦ S(x) = Φλλ
λ
λta
(x) = Φtλa (x) = TΣ (x)
1
λ
b
S−1 ◦ Φλt
λ ◦ S(x) = Φλ
λtb
(x) = TΣ (x)
On associe à la substitution σ :
 
α
X
xσ = β  ∈ g, la matrice g σ = exp xσ ∈ X et la niltranslation Tσ :
x
γ
108
−→
7→
X
.
gσ • x
CHAPITRE VI. APPROCHE SYMBOLIQUE ET INDUCTION DANS LE GROUPE D’HEISENBERG
 

 

 x

 x

On considère les surfaces : D = y  ; x + y ∈ Z et D = y  ; x + y = 0 .




z
z
Proposition VI.8. Sous l’hypothèse (H), la surface D plongée dans l’espace quotient, notée D, est
une section du flot Φλ avec un temps de retour constant, égal à 1. L’application de premier retour du
flot dans cette section coïncide avec la niltranslation Tσ sur D . De plus, l’application TΣ sur Σ est
mesurablement conjuguée à la niltranslation Tσ sur D qui est a fortiori, elle aussi auto-induite.
Preuve. Le but est alors de construire une bijection ψ mesurable entre les sections D et Σ.
Fig. VI.11 – Repésentation des tuiles dans le cas où α0 ≤ −β 0 , puis α0 > −β 0 .
0
0
0
0
On traitera
 le cas où α ≤ −β , l’autre cas étant analogue. On suppose donc α + β < 0.
 uniquement
0
αs
 ∈ Σ avec s ∈ [− √ da
β0s
Soit x = 
, √ 0d2b 0 2 [.
α0 2 +β 0 2
α +β
0
0
Qσ (α s, β s)
x
Le temps tx pour lequel Φtλ (x) ∈ D vérifie :
α0 s + tx α = − (β 0 s + tx β) , soit tx = tx (α + β) = −(β 0 + α0 )s.
Le point essentiel de la démonstration est de vérifier que le flot Φλ partant du point x n’intersecte pas
la surface Σ avant d’intersecter la surface diagonale D. Pour cela, il suffit de vérifier les deux conditions
suivantes :


α0 √ 0d2b 0 2
α +β 

0 √ db
, alors txmax < tb ,
Si xmax = 
(VI.7)
β

α0 2 +β 0 2 
0


da
−α0 √ 02
α +β 0 2 

0 √ da
, alors − txmin < tb .
et si xmin = 
(VI.8)
−β

α0 2 +β 0 2 
0
109
CHAPITRE VI. APPROCHE SYMBOLIQUE ET INDUCTION DANS LE GROUPE D’HEISENBERG
On conclut donc en vérifiant que les équations (VI.7) et (VI.8) sont bien vérifiées. On commence par
vérifier l’équation (VI.7).
txmax < tb
p
0
0
−(β 0 + α0 ) √ 0d2b 0 2 < tb ⇐⇒ − (tb α)2 + (tb β − 1)2 √β 0+α
< tb
2
α +β
α +β 0 2
q
0
0
0
0
−α0
2
2 √β +α
⇐⇒ − ( −α
< β∆
∆ α) + ( ∆ β − 1)
α02 +β 0 2
p
0
0
0
1
⇐⇒ − | ∆
| (α0 α)2 + (−α0 β − ∆)2 √β 0+α
< β∆
α 2 +β 02
p
0
0
⇐⇒
(α0 α)2 + (αβ 0 )2 √β 0+α
> β 0 ⇐⇒ α(β 0 + α0 ) > β 0
2
02
⇐⇒
α +β
Il suffit alors de vérifier que : β 0 < αβ 0 < αβ 0 + αα0 puisque α > 0, α0 > 0 et β 0 < 0.
Démontrons maintenant que l’équation (VI.8) est vérifiée :
−txmin < tb
p
0
0
a
(ta α − 1)2 + (ta β)2 √β 0+α
−(β 0 + α0 ) √ −d
<
t
⇐⇒
< tb
b
2
2 +β 0 2
0 +β 02
α
α
q
0
0
0
0
0
( β∆ α − 1)2 + ( β∆ β)2 √β 0+α
< β∆
⇐⇒
α 2 +β 0 2
p
0
0
0
1
⇐⇒ | ∆
| (αβ 0 − ∆)2 + (β 0 β)2 √β 02+α 0 2 < β∆
α +β
p
0
0
⇐⇒
(α0 β)2 + (ββ 0 )2 √β 0+α
> β 0 ⇐⇒ β(β 0 + α0 ) > β 0
2
02
⇐⇒
α +β
On conclut alors comme précédemment.
Le cas α0 + β 0 > 0 se traite de manière analogue. Il faut vérifier les relations :






0 √ db
a
α0 √db0−d
α
−α0 √ 0d2a 0 2
2
2
α +β 
α +β 0 
α02 +β 02 



0 √ da
 , xint = β 0 √db −da  et xmax = β 0 √ db
,
Si xmin = 
−β



α02 +β 02 
α02 +β 02 
α0 2 +β 0 2 
0
0
0
alors : txmin < ta , −txint < ta , et −txmax < tb .
x
L’application ψ : Σ −→ D, définie par ψ(x) = Φtλ (x) définit donc une bijection de Σ sur ψ(Σ) et par
construction :
T σ = ψ ◦ TΣ ◦ ψ −1 .
On arrive donc au résultat suivant :
Proposition VI.9. Sous l’hypothèse (H), la niltranslation T σ sur D est auto-induite, minimal et
uniquement ergodique.
Preuve. On a déjà vu dans le théorème précédent que cette application est auto-induite. Pour démontrer
le résultat, d’après le théorème {B} d’E. Lesigne, il suffit de vérifier que cette application est uniquement
ergodique. Puisque cette application est continue, on sait qu’il existe au moins une mesure invariante.
Supposons qu’il en existe deux, notées µ1 et µ2 distinctes que l’on choisira ergodiques. L’application ψ
transporte ces mesures en deux mesures distinctes µ?1 et µ?2 sur Σ.
On note Σa (respectivement Σb ), l’ensemble des éléments x de Σ tels que p(x) ∈ Da (respectivement
p(x) ∈ Db ). On définit alors deux mesures singulières ν1 et ν2 sur T de la manière suivante. Pour toute
110
CHAPITRE VI. APPROCHE SYMBOLIQUE ET INDUCTION DANS LE GROUPE D’HEISENBERG
fonction continue f sur T , on définit une fonction fe, mesurable sur Σ par :
fe(x)
=
=
Rtb
0
Rta
f (Φtλ (x)) dt
si
x ∈ Σa ,
f (Φtλ (x)) dt
si
x ∈ Σb .
0
Les mesures ν1 et ν2 sont alors définies par : ν1 (f ) = µ?1 (fe) et ν2 (f ) = µ?2 (fe).
Ces mesures sont invariantes par l’action du flot Φλ , il ne nous reste alors plus qu’à vérifier que ce flot
est uniquement ergodique pour conclure. Le théorème {J} de L. Auslander, L. Green et F. Hahn nous
assure qu’il suffit de vérifier que le rapport α
β est irrationnel.
Si ce rapport est rationnel, cela implique que la valeur propre λ = ma,a +ma,b α
β est elle-même rationnelle,
ce qui est absurde puisqu’elle est racine d’un polynôme de degré 2 irréductible dans Z[X].
On peut alors démontrer le théorème 7 énoncé en introduction de ce chapitre.
preuve du théorème 7. D’après la proposition VI.9, il nous suffit alors de vérifier le lemme VI.1 pour
conclure.
a b
Lemme VI.1. Soit M =
une matrice à coefficients entiers et (n, m) un couple d’entiers tel
c d
que n ≤ ac et m ≤ bd. Alors il existe une substitution sur deux lettres
a −→ ξ1 . . . ξla
σ:
avec (ξi )1≤i≤la et (ζi )1≤i≤lb des éléments de {a, b}.
b −→ ζ1 . . . ζlb
a,b
telle que M = Mσ , na,b
a = n et nb = m, où
et
2
na,b
a le nombre de couples (i, j) ∈ {0, la } tel que i ≤ j, ξi = a et ξj = b,
a,b
2
nb le nombre de couples (i, j) ∈ {0, lb } tel que i ≤ j, ζi = a et ζj = b.
Preuve. Soit n et m deux entiers. On pose :
Σn,m = { (u1 , . . . , un+m ) ; #{1 ≤ i ≤ n + m; ui = a} = n et #{1 ≤ i ≤ n + m; ui = b} = m }.
On définit une fonction f = fn,m : Σn,m −→ {0, . . . , nm} par :
n
o
(ui )1≤i≤n+m = # (i, j) ∈ {1, n + m}2 tel que i ≤ j, ui = a et uj = b .
(VI.9)
par exemple fn,m (a . . . ab . . . b) = nm et fn,m (b . . . ba . . . a) = 0.
Le lemme VI.1 sera démontré si on montre que pour tout couple d’entiers (n, m), la fonction f = fn,m
ainsi définie est surjective. En effet, la substitution recherchée sera :
a −→ u1 . . . ua+c
−1
−1
où (ui )1≤i≤a+c ∈ fa,c
({n}) et (vi )1≤i≤b+d ∈ fb+d
({m}).
b −→ v1 . . . vb+d
Montrons donc par récurrence que la fonction fn,m définie par l’équation (VI.9) est surjective.
On commence par montrer par récurrence que pour tout entier n, ∀m ∈ N, la fonction fn,m définie par
111
CHAPITRE VI. APPROCHE SYMBOLIQUE ET INDUCTION DANS LE GROUPE D’HEISENBERG
l’équation (VI.9) est surjective. On commence donc par fixer n = 1. Soit m un entier et i ∈ {0, . . . , nm}.
Alors, le mot :
u = b| .{z
. . }b a |b .{z
. . }b ∈ Σ1,m et f1,m (u) = i.
m−i
i
On suppose donc que pour tout entier n ∈ {1, . . . , N }, le résultat est vrai, on va montrer par récurrence
que pour tout entier m, fN +1,m est surjective. Le résultat est vrai pour m = 1, puisque pour tout
i ∈ {N + 1, 1}, le mot suivant
. . a} ∈ ΣN +1,m vérifie fN +1,1 (u) = i.
u = a
. . a} b |a .{z
| .{z
i
N +1−i
On suppose donc le résultat vrai pour m ∈ {1, . . . , M } et on va vérifier qu’il est encore vrai pour l’entier
M + 1. Soit i ∈ {0, . . . , N M }. On distingue alors deux cas.
Si i ≤ M N : par récurrence, il existe u ∈ ΣN,M tel que fN,M (u) = i et donc fN +1,M +1 ( b u a ) = i.
Si M N < i ≤ (M + 1)(N + 1) : par récurrence, il existe u ∈ ΣN,M tel que fN,M (u) = i − M − N − 1,
soit fN +1,M +1 ( a u b ) = fN,M (u) + N + M + 1 = i.
112
Annexe : retour sur certaines
niltranslations
1
Motivation
Une des questions initiales était de mieux comprendre les niltranslations au travers d’objets symboliques
tels que les substitutions, ce qui nous a amené à effectuer le travail du chapitre VI, dans lequel on ne
travaille pas directement avec des substitutions mais avec leurs factorisations.
Une question naturelle et encore ouverte pour de tels systèmes géométriques est d’arriver à exhiber un
analogue du fractal de Rauzy. C’est-à-dire, de trouver une partition de Markov de ces systèmes (cf.
section 6 de l’introduction).
Par exemple, on peut munir R2 de la loi suivante :
2
0 R2 /Z
x
x
x + x0
x
? 0 =
et considérer l’application T :
z
z
z + z 0 − xx0
z
−→
7→
2
2
R /Z 2 x + 1/φ
.
z + x/φ
Avec les notations du chapitre VI, cela revient à considérer la translation à gauche par l’élément

  



−1/φ
x

. n

−1/φ2  dans l’espace −x + n ; (x, z) ∈ R2 et (n, m) ∈ Z2
−n ; (n, m) ∈ Z2 .

 

0
z+m
m

2
Echange affine par morceaux de quatre pièces
La première idée est de choisir comme domaine fondamental de R2 / ∼ le carré standard [0, 1[2 . Géométriquement, l’application T consiste en un échange affine par morceaux sur quatre pièces que l’on
représente dans la figure VI.12.
113
ANNEXE : RETOUR SUR CERTAINES NILTRANSLATIONS
Fig. VI.12 – Echange affine de 4 morceaux du carré [0, 1[2 induit par l’application T .
3
Lien avec la substitution de Fibonacci
Le problème est que ceci ne nous aide pas beaucoup pour comprendre la dynamique du système. Tout
l’enjeu est alors de trouver un point x = (x, z) ∈ R2 , un élément de (n, m) ∈ Z2 , et une suite de valeurs
finies (uN )N ∈ {−M, . . . , M }N telle que la suite :
uN n
N
(xN )N = T (x) ?
soit bornée.
m
N
Le mot fixe v = (vn )n≥1 ∈ {a, b}N de la substitution de Fibonacci semble nous aider à fournir un tel
exemple puisque si on note pour tout entier N ,
uN =
N
X
1vn =b , alors pour tout réel x, la suite
n=1
x+
N
− uN
φ2
est bornée.
N
Cependant, pour tout (z, m) ∈ R × N, la deuxième cordonnée de la suite de points (xN )N ne semble
pas être numériquement bornée.
4
Echange affine par morceaux de trois pièces
Il semblerait donc que l’on ne puisse pas se contenter de ramener les abscisses dans le domaine [0, 1[
et attendre que les ordonnées des points considérés restent bornées. Cependant, de manière encore
surprenante, il semblerait qu’il suffise d’imposer des conditions sur la deuxième coordonnée afin de
récupérer un objet intéressant.
N
On définit une application Φ : R2 −→ R2 , telle que Φ(x0 ) = (xk )k , où la suite (xk )k est définie par
114
ANNEXE : RETOUR SUR CERTAINES NILTRANSLATIONS
récurrence de la manière suivante : on suppose avoir construit (x0 , . . . , xN ), où pour j ∈ {0, . . . , N },
xj
−1
uN
xj =
et on pose alors xN +1 = T (xN ) ? h où uN = bzN + xN /φc et h =
.
zj
−2
Fig. VI.13 – En noir, l’adhérence de la suite Φ(x0 ), et en couleur plus claires, ses translatés par des
vecteurs de Z2 .
Bien que cela ne soit qu’une simulation numérique, le fait que l’on obtienne un polygone nous laisse
conjecturer que la suite de points que l’on propose ici est bien bornée, et que son adhérence est un
domaine fondamental de l’espace R2 /Z2 .
L’avantage de cette construction est que l’on réalise l’application T comme un échange affine par morceaux de trois pièces (représenté par la figure VI.14). Il reste encore à comprendre la suite symbolique
(uN )N ∈ {−1, 0, 1}N ainsi obtenue.
Fig. VI.14 – Echange affine de 3 morceaux de l’objet limite induit par l’application T , où est représenté
l’adhérence de l’ensemble des points {Φ((0, 0))N ; uN = −1} en bleu, {Φ((0, 0))N ; uN = 0} en rouge et
{Φ((0, 0))N ; uN = 1} en vert. .
115
ANNEXE : RETOUR SUR CERTAINES NILTRANSLATIONS
Fig. VI.15 – Premier raffinement de la partition pour la dynamique.
A priori, tous les points x0 tels que l’adhérence de la suite Φ(x0 ) est un ensemble compact borné, dont
le bord est de mesure nul, et pour lesquels la suite (uN (x0 )N ne prend qu’un nombre fini M de valeur,
conjugue l’application T à un échange affine de M morceaux. La figure VI.16 nous donne une estimation
numérique de ces points.
Fig. VI.16 – Ensemble des points x0 pour lesquels la suite Φ(x0 ) semble numériquement bornée.
116
Liste des principaux théorèmes utilisés
Théorème A (L. M. Abramov (1961) [2]). Soit X un système dynamique mesuré ergodique tel que
toutes ses puissances soient ergodiques. (On parle alors de totale ergodicité). Il est à spectre quasidiscret si et seulement si il est conjugué à un système dynamique affine.
Théorème B (E. Lesigne (1991) [67]). Un nilsystème de rang fixé est minimal si et seulement s’il est
ergodique muni de sa mesure de Haar, et si et seulement s’il est uniquement ergodique. Si une de ces
conditions est vérifiée, l’unique mesure invariante est la mesure de Haar.
Proposition C (B. Host, B. Kra et A. Maass (2010) [53]). Soit (X, T ) et (X 0 , T 0 ) deux nilsystèmes
(ou pro-nilsystèmes) minimaux. On suppose que (X 0 , T 0 ) est un facteur mesuré du système (X, T ) (vu
comme un système dynamique mesuré), sous une application π. Alors, le système dynamique (X 0 , T 0 )
est un facteur topologique du système (X, T ) sous une application continue π
e, et les applications π et π 0
coïncident presque partout, pour l’unique mesure invariante du système (X, T ).
Lemme D (E.A. Robinson Jr (1994)). Soit X = (X, d, T ) un système topologique minimal et uniquement ergodique, f ∈ C(X) et (xN )N ∈ X N :
2
N −1
1 X
n
−n f (T xN )θ ≤ σf ({θ}) où σf est la mesure spectrale de f .
lim sup N
N
n=0
Théorème E (E.A. Robinson Jr et P. Walters (1994)). Si toutes les valeurs propres du système dynamique topologique minimal et uniquement ergodique X = (X, d, µ, T ) sont continues, alors pour tout
θ ∈ S1 , les moyennes
lim
N
N −1
1 X
f (T n x)θ−n convergent uniformément en x vers < f, fθ > fθ (x),
N n=0
où fθ est la fonction propre continue à valeur dans S1 associée à la valeur propre θ et fθ la fonction
nulle si θ ∈
/ S(X ).
Théorème F (B Host et B. Kra (2005) [49]). Soit Y = (Y, d, ν, S) un nilfacteur d’un système dynamique
mesuré X sous une application π. Alors pour tout entier k, ||| · |||k est une norme sur l’espace {f ◦ π; f ∈
L∞ (ν)}.
Théorème G (B. Host et B. Kra (2005) [49]). Soit X = (X, B, µ, T ) un système dynamique mesuré et
ergodique. Pour k ∈ N et f ∈ L∞ (µ), |||f − E f |Zk∗ (X ) |||k = 0.
Théorème H (B. Host et B. Kra (2005) [49], T. Ziegler (2007) [95]). Soit X = (X, B, µ, T ) un système
dynamique mesuré et ergodique. Pour tout entier k, f ∈ L∞ (µ) et (a1 , . . . , ak ) ∈ Nk , les moyennes
N −1 k
N −1 k
1 XY 1 XY
∗
f (T ai n x) convergent en norme L2 (µ) vers lim
E f | Zk−1
(X ) (T ai n x).
N N
N n=0 i=0
n=0 i=0
117
LISTE DES PRINCIPAUX THÉORÈMES UTILISÉS
Théorème I (B. Host et B. Kra (2009) [52]). On suppose que la projection d’un système dynamique
topologique minimal et uniquement ergodique X dans le k-ième facteur de Host-Kra-Ziegler est continue.
On fixe une fonction f ∈ C(X) et un élément x ∈ X. Soit h une fonction continue sur une nilvarité de
rang k et g0 un élément de cette nilvariété. Alors,
N −1
1 X
les moyennes
h(g0n ) · f (T n x) convergent pour tout x ∈ X.
N n=0
Théorème J (L. Auslander, L. Green et F. Hahn ∼1965 [42], [11]). Le flot Φtα,β,γ t sur X est minimal
si et seulement si il est uniquement ergodique si et seulement si les coefficients α et β sont linéairement
indépendants.
Théorème K (B. Weiss (1985)). Soit π : X1 7→ X2 , une application facteur mesurée du système
f2
dynamique mesuré ergodique X1 vers le système dynamique mesuré ergodique X2 . On suppose que X
est un modèle topologique complet de X2 . Alors il existe un modèle topologique complet π
e de l’application
facteur π.
Théorème L (R. Baire (1905)). Soit (fn )n une suite de fonctions continues d’un espace X métrique à
valeurs dans R ou C. On suppose que pour tout x, fn (x) converge vers f (x). Alors, la restriction de la
fonction f à tout ensemble fermé admet un point de continuité pour la topologie induite.
Théorème M (H. Tietze (∼1900)). Soit Y un espace métrique compact et F un sous-ensemble fermé
de Y . Soit f une fonction continue sur F . Alors il existe une fonction g continue sur Y telle que pour
tout y ∈ F : f (y) = g(y).
Théorème N (J.C. Oxtoby (1952) [72]). Soit (X, T ) un système topologique métrique compact. Si les
moyennes ergodiques convergent pour toute fonction continue f et tout point de X, alors les parties
minimales du système sont uniquement ergodiques.
Théorème O (L. Carleson (1966) [15]). Soit f ∈ L2 (λ), une fonction sur le cercle S1 , si
Z
X
fˆ(n) =
f (ξ)ξ −n dλ alors f (ξ) =
fˆ(n)ξ n λ-presque partout.
S1
Z
Théorème P (V. Rohlin cf. [33]). Soit X = (X, B, µ, T ) et Y = (Y, D, ν, S) deux systèmes dynamiques
standards, mesurés et ergodiques. On suppose que le système Y est un facteur mesuré du système X .
Alors, il existe un espace mesuré standard Z = (Z, F, ρ) et une application γ de Y dans les automorphismes de Z mesurable, tels que le système X et le système
Y × Z, D ⊗ F, ν ⊗ ρ, (y, z) 7→ S(y), γ(y)(z) soient équivalents de manière mesurée.
On fixe G et H deux groupe métriques abéliens compacts, munis de leurs mesures de probabilité de
Haar mG et mH sur les tribus boréliennes BG et BH . On fixe des métriques dG et dH invariantes par
rotation. On suppose que la rotation de G donnée par g 7→ g + g0 est minimale et uniquement ergodique.
On fixe une fonction mesurable f : G → H et on s’intéresse à l’application :
T :
G×H
(g, h)
→
G×H
7→ (g + g0 , h + f (g))
Théorème Q (H. Anzai (∼1950) cf. [78]). Le système dynamique mesurable (G × H, T, BG ⊗ BH )
est uniquement ergodique si et seulement si la mesure produit mG ⊗ mH est ergodique pour le système
118
LISTE DES PRINCIPAUX THÉORÈMES UTILISÉS
(G × H, T, BG ⊗ BH ) si et seulement si, il n’existe pas de caractère continu γ sur H et de fonction
mesurable η : G → S1 vérifiant mG -presque partout :
η(g + g0 ) = γ f (g) · η(g).
Le système dynamique topologique (G × H, T ), muni de la métrique produit dG ⊗ dH est alors minimal.
On renvoie aux notations du chapitre IV pour les deux prochains théorèmes.
Théorème R (H. Furstenberg (1961) [25]). Soit h ∈ C(S 1 ) et λ ∈ S 1 tel que h ∈ L1 (λ), alors, le
système Tλ,h admet une partie minimale et non-uniquement ergodique.
Théorème S (H. Furstenberg (1961) [25]). Soit h ∈ C(S1 , S1 ) et λ ∈ S1 irrationnel. Si h est globalement lipschitzienne et de degré non-nul, alors h ∈ L2 (λ) et le système Tλ,h est minimal et uniquement
ergodique.
Théorème T (N. Wiener et A. Wintner (1941)). Soit Y = (Y, D, ν, S) un système dynamique mesuré
et f ∈ L1 (ν). Il existe Yf un ensemble mesurable de mesure 1 tel que pour tout θ ∈ S1 et y ∈ Yf , les
moyennes
N −1
1 X
f (S n y)θ−n convergent.
N n=0
On renvoie aux notations de la section 2 du chapitre V.
Théorème U (B. Host et B. Kra (2008) [50]). Pour toute suite u = (un )n ∈ N2 , et tout > 0, il existe
un entier n et des réels (s, t, α1 , β1 , . . . , αn , βn ), tels que :
|| u − e2iπs · q(t) · w(α1 , β1 ) . . . , w(αn , βn ) ||2 ≤ .
Théorème V (E. Lesigne (1993) [70]). Soit Y = (Y, D, ν, S) un système dynamique mesuré et f ∈L1 (ν).
Alors, il existe un ensemble N (Y) dénombrable et un sous-ensemble mesurable Yf ⊂ Y tels que µ(Yf ) =
1, et pour tout y ∈ Yf et pour tout polynôme réel p(n) = a0 + na1 + · · · + nm am :
lim
N −1
1 X
f (S n y)ep(n) existe et est nulle si (a1 , . . . , am ) ∈
/ N (Y).
N n=0
119
LISTE DES PRINCIPAUX THÉORÈMES UTILISÉS
120
Bibliographie
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Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 1997.
[2] L. M. Abramov : Metric automorphisms with quasi-discrete spectrum. Izv. Akad. Nauk SSSR
Ser. Mat., 26:513–530, 1962.
[3] R. L. Adler : Symbolic dynamics and Markov partitions. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 35(1):1–
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[4] L. Ambrosio et S. Rigot : Optimal mass transportation in the Heisenberg group. J. Funct. Anal.,
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BIBLIOGRAPHIE
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Titre
SYSTÈMES DYNAMIQUES TOPOLOGIQUES ET MESURÉS
Résumé
Il y a de nombreuses manières d’aborder l’étude des systèmes dynamiques. De manière générale, on munit
un espace initial de structures adaptées et on s’intéresse au comportement moyen des itérés d’une application
qui préserve les structures initiales. Les propriétés intéressantes peuvent être par exemple, d’origine topologique,
mesurable, algébrique ou encore différentiable. La théorie ergodique est principalement concentrée sur les systèmes dynamiques mesurés. D’autre part, une autre branche de la théorie ergodique s’intéresse à des questions
dites de représentation des systèmes dynamiques mesurés. Un des aspects de cette théorie est de lier les systèmes
dynamiques mesurés aux systèmes dynamiques topologiques. On s’intéressera plus particulièrement au lien entre
les systèmes dynamiques topologiques, mesurés et algébriques.
Les nilsystèmes ont pris ces dernières années une nouvelle dimension en théorie ergodique. Ils généralisent très
naturellement les translations sur des groupes abéliens compacts, et en particulier, les rotations du cercle. On
fera un lien partiel entre les propriétés algébriques et symboliques d’une famille bien choisie de nilsystèmes. On
s’intéressera notamment à la notion d’induction pour de tels systèmes.
Mot-clefs
systèmes dynamiques, théorie ergodique, dynamique topologique, dynamique symbolique, substitution, induction
Abstract
There are many ways to approach the study of dynamical systems. In general, one equips the original space
with an appropriate structure, and is interested in the average behavior of a map which preserves this structure.
For example, the interesting properties could be of topological, measurable, algebraic or differentiable origin.
Ergodic theory is mainly concerned with dynamical systems with an invariant measure (measured dynamical
system). Another branch of ergodic theory studies questions about the representation of measured dynamical
systems. One aspect of this theory is to connect measured dynamical systems with topological dynamical systems. More specifically, we will be interested in the connection between topological, measured and algebraic
dynamical systems.
Recently nilsystems have become important in ergodic theory. They naturally generalize translations of compact abelian groups, and in particular circle rotations. We will give a partial connection between algebraic and
symbolic properties of a well chosen family of nilsystems. We are particularly interested in induction of such
systems.
Keywords
dynamical systems, ergodic theory, topologiacl dynamic, symbolic dynamic, substitution, induction
Adrr : Institut de Mathématiques de Luminy (UMR 6206) Campus de Luminy, Case 907 13288
MARSEILLE Cedex 9.