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Table des matières
Introduction 9
1 Topologie des espaces métriques et le théorème de Picard 17
1 Introduction................................... 17
2 Préliminaires sur les espaces métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1 Distances, espaces métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Topologie ................................ 19
2.3 Espaces complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Le théorème de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Fonctions implicites et inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5 Connexité, compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.1 Connexité ................................ 29
5.2 Compacité................................ 30
6 Appendice : Calcul différentiel et espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . 34
6.1 Différentielles dans les espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.2 Quelques démonstrations de complétude . . . . . . . . . . . . . . . 38
7 Exercices..................................... 41
2 Équations différentielles : Théorie générale, théorèmes d’existence et
unicité 49
1 Remarques générales sur les équations différentielles . . . . . . . . . . . . . 49
2 Théorème de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3 Compléments : Equations intégrales et équations de Sturm-Liouville . . . . 55
3.1 Équations de Fredholm et Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2 Application aux équations de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . 59
4 Exercices..................................... 61
3 Équations différentielles linéaires 65
1 Équations linéaires à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.1 Méthodes pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.2 Portraits de phase des équations linéaires du plan . . . . . . . . . . 68
1.3 Stabilité de l’origine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2 Équations linéaires à coefficients variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3

4TABLE DES MATIÈRES
2.1 Théorie générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.2 Équations affines : variation de la constante. . . . . . . . . . . . . . 75
3 Théorie élémentaire des perturbations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4 ThéoriedeFloquet ............................... 79
4.1 Complément : phénomène de résonance . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5 Compléments : Étude de l’équation de Hill . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1 Un exemple : l’équation de Mathieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2 Balançoire, pendule inversé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6 Appendice 1 : Décomposition D+Ndes matrices. Résolution de eA=M. 93
7 Appendice 2 : Étude de ¨u+k2u=v...................... 95
8 Appendice 3 : Programmes Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9 Appendice 4 : Représentation graphique des zones de stabilité de l’équation
deMathieu ................................... 99
10 Exercices.....................................101
4 Équations différentielles non-linéaires I 109
1 Introduction...................................109
2 Temps de vie des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3 Estimation de l’intervalle d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.1 Conditions géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.2 Conditions analytiques : le lemme de Gronwall . . . . . . . . . . . . 115
4 Applications du lemme de Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.1 Équations à temps de vie infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.2 Estimations de la divergence des solutions. Tube des solutions . . . 118
5 Exercices.....................................121
5 Équations différentielles non-linéaires II 125
1 Flots, portrait de phase, redressement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
1.1 Notionsdebase.............................126
1.2 Portraits de phase en dimension 2...................128
1.3 Conjugaison et changement de coordonnées. . . . . . . . . . . . . . 129
1.4 Redressement et application de Poincaré : premières notions géo-
métriques.................................131
2 Linéarisation et théorie des perturbations pour un flot . . . . . . . . . . . . 135
2.1 Application ...............................139
3 Compléments : Aspects topologiques, théorème de Poincaré-Bendixson . . 139
4 Appendice : Théorème de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5 Exercices.....................................144
6 Stabilité des solutions d’équations différentielles 149
1 Introduction...................................149
2 Fonctions de Liapounov et critère de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3 Stabilité des orbites périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

TABLE DES MATIÈRES 5
3.1 Cas des systèmes autonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.2 Stabilité pour les systèmes conservatifs et Hamiltoniens . . . . . . . 159
4 Conclusion....................................161
5 Exercices.....................................162
7 Quelques exemples d’étude de stabilité 167
1 Le régulateur de Watt et ses successeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
1.1 Maxwell et le régulateur de Watt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
1.2 Les régulateurs de Porter et Pickering . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
2 Balançoire et pendule renversé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3 Le solide en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Appendice : Condition pour qu’un polynôme de degré 3ait toutes ses racines de
partie réelle négative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
8 Sous-variétés 181
1 Définition, premières propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
2 Espacestangents ................................186
2.1 Classification des variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
3 Applications...................................188
3.1 Points critiques de fonctions définies sur une sous-variété . . . . . . 188
3.2 Champs de vecteurs sur les sous-variétés . . . . . . . . . . . . . . . 192
4 Exercices.....................................193
9 Formes différentielles, Formule de Stokes et Applications 199
1 Préambule : les variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
2 Formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
2.1 Algèbre extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
2.2 Formes différentielles sur les variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
2.3 Différentielle extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
3 Variétés à bord, orientation, Formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . 208
3.1 Variétés à bord, variétés orientées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
3.2 Intégration des formes différentielles, formule de Stokes . . . . . . . 212
4 Applications de la formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
4.1 Formules intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
4.2 Application topologique : le théorème du point fixe de Brouwer . . 216
4.3 Appendice : définition abstraite des variétés . . . . . . . . . . . . . 218
5 Exercices.....................................218
10 Introduction à la Topologie et à la Géométrie différentielle, Calcul de
Lie 221
1 Lemme de Poincaré, théorie du degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
1.1 Lemme de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
1.2 Théorie du degré, applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

6TABLE DES MATIÈRES
1.3 Indice d’un champ de vecteurs en un zéro isolé . . . . . . . . . . . . 226
2 Théorèmes de Gauss-Bonnet et Poincaré-Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . 227
3 Calcul différentiel de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
3.1 CrochetsdeLie.............................234
3.2 DérivéedeLie..............................238
4 Exercices.....................................240
11 Quelques propriétés des champs de sous-espaces 247
1 Théorème de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
2 Les théorèmes de Chow et Sussmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
3 Exercices.....................................258
Bibliographie 261
Index 267

Table des figures
1.1 Ensemble étoilé, donc connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2 Ensemble non connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1 Portraits de phase de systèmes à coefficients constants dans le
plan ....................................... 71
3.2 Théorème de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3 Lependulerigide ................................ 91
3.4 Tracé numérique des zones d’instabilité de l’équation de Mathieu . . . . . . 99
3.5 Tracé théorique des zones d’instabilité de l’équation de Mathieu . . . . . . 100
3.6 Tracé des courbes séparant les zones de stabilité et instabilité, en utilisant
la méthode de l’exercice (Y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.1 Équation différentielle dont les solutions de condition initiale à l’intérieur
de la courbe sont définies sur [a, +∞].....................114
5.1 Portrait de phase du pendule libre ¨ θ+g
lsin(θ) = 0 .............128
5.2 En vert : Trajectoire du pendule avec frottement.
En rouge : niveaux de 1
2y2−cos(x).......................129
5.3 Redressement d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.4 Application de premier retour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.5 Illustration du lemme 5.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.6 Cas où Lω(x)est réunion de points singuliers et de trajectoires hétéroclines 142
6.1 Trajectoires d’un champ de vecteurs et niveaux d’une fonction de Liapou-
novduchamp..................................152
7.1 RégulateurdeWatt...............................168
7.2 Régulateur de Porter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.3 Régulateur de Pickering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.4 Régulateur de Pickering d’un phonographe Edison . . . . . . . . . . . . . . 174
7.5 Phonographe Edison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7.6 Dynamique du solide en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
8.1 Carte pour une sous-variété de dimension 1du plan . . . . . . . . . . . . . 182
8.2 Image d’une immersion qui n’est pas une sous-variété . . . . . . . . . . . . 185
7