Groupes et géométries Frédéric Paulin Cours de seconde année de mastère Version préliminaire

Groupes et géométries
Frédéric Paulin
Version préliminaire
Cours de seconde année de mastère
Année 2013-2014
1

Prélude.
Félix Klein,4dans son programme d’Erlangen, préparé pour sa nomination en tant que
professeur à l’université d’Erlangen en 1872 à l’âge de 23 ans, introduisait ainsi les relations
entre groupes et géométries (voir les références [Kle] pour des traductions en français et en
anglais) :
geometrische Eigenschaften werden durch die Transformationen der
Hauptgruppe nicht geändert ; [...] geometrische Eigenschaften sind durch
ihre Unveränderlichkeit gegenüber den Transformationen der Haupt-
gruppe characterisirt.
Il définissait comme suit l’objet commun de la géométrie et de la théorie des groupes :
Es ist eine Mannigfaltigkeit und in derselben eine Transformationsgruppe
gegeben ; man soll die der Mannigfaltigkeit angehörigen Gebilde hinsicht-
lich solcher Eigenschaften untersuchen, die durch die Transformatio-
nen der Gruppe nicht geändert werden ; [...] man entwickele die auf die
Gruppe bezügliche Invariantentheorie.
Ces notes n’existeraient pas sans cette vision de Félix Klein.
2

Table des matières
Prélude....................................... 2
Préambule ..................................... 7
1 Groupes de Lie et espaces homogènes 10
1.1 GroupesdeLie .................................. 10
1.2 AlgèbresdeLie.................................. 17
1.2.1 Généralités ................................ 17
1.2.2 Algèbre de Lie d’un groupe de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.3 Représentations de sl2.......................... 28
1.3 Classification des algèbres de Lie complexes semi-simples . . . . . . . . . . . 31
1.3.1 Systèmesderacines ........................... 31
1.3.2 Base d’un système de racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3.3 Classification des systèmes de racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3.4 Idéaux d’algèbres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.3.5 Algèbres de Lie semi-simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.3.6 Sous-algèbre de Cartan d’une algèbre de Lie semi-simple . . . . . . . 45
1.3.7 Système de racines d’une algèbre de Lie complexe semi-simple . . . . 53
1.4 Correspondance entre algèbres de Lie et groupes de Lie . . . . . . . . . . . . 57
1.4.1 Application exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.4.2 Correspondance entre sous-algèbres de Lie et sous-groupes de Lie . . 62
1.4.3 Rappels sur les revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.4.4 Revêtements de groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.4.5 Classification des groupes de Lie par leurs algèbres de Lie . . . . . . 73
1.4.6 Algébricité des groupes de Lie semi-simples . . . . . . . . . . . . . . 77
1.4.7 Phénoménologie des groupes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1.5 Espaceshomogènes................................ 82
1.5.1 Actions lisses de groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
1.5.2 Espaces homogènes quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
1.5.3 Actions transitives de groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.5.4 Variétésquotients ............................ 89
1.5.5 Exemples de variétés homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
1.6 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1.7 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2 Fibrés et connexions 109
2.1 Fibrations.....................................109
2.2 Fibrésvectoriels..................................115
2.2.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.2.2 Sous-fibrés et fibrés quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.2.3 Opérations sur les fibrés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Rappels d’algèbre multilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Rappels d’algèbre symétrique et alternée . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Somme directe de fibrés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Fibré vectoriel des applications multilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . 129
Produit tensoriel de fibrés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3

Puissance symétrique et extérieure d’un fibré vectoriel . . . . . . . . . . 133
Fibré vectoriel des formes différentielles sur une variété . . . . . . . . . 134
Formes différentielles à valeurs dans un fibré vectoriel . . . . . . . . . . 136
Image réciproque d’un fibré vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Produit cartésien de fibrés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Conjugué d’un fibré vectoriel complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Complexification d’un fibré vectoriel réel . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2.2.4 Métrique euclidienne et hermitienne sur un fibré vectoriel. . . . . . . 140
Métriques riemannienne induite sur le fibré des tenseurs . . . . . . . . . 141
2.2.5 Classification des fibrés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
2.3 Connexions ....................................144
2.3.1 Lemme de tensorialité et applications : produit extérieur, produit
intérieur, dérivée de Lie, contraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2.3.2 Dérivations covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
2.3.3 Connexions images réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
2.3.4 Interprétation géométrique des connexions . . . . . . . . . . . . . . . 164
2.3.5 Torsion d’une connexion sur une variété . . . . . . . . . . . . . . . . 168
2.3.6 Courbure d’une connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
2.3.7 Dérivation covariante de champs de vecteurs le long de courbes . . . 171
Propriétés des connexions images réciproques . . . . . . . . . . . . . . . 171
Transport parallèle d’une connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Groupes d’holonomie d’une connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Géodésiques d’une connexion sur une variété . . . . . . . . . . . . . . . 177
Application exponentielle d’une connexion sur une variété . . . . . . . . 178
Champs de Jacobi d’une connexion sur une variété . . . . . . . . . . . . 180
2.4 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
2.5 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3 Variétés riemanniennes 195
3.1 Variétés pseudo-riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
3.2 Connexion de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Transport parallèle des connexions de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . 208
Fonction angle d’une variété riemannienne . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Calcul en coordonnées locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Métrique pseudo-riemannienne induite sur le fibré tangent . . . . . . . 212
ChampsdeKilling..............................213
3.3 Géodésiques....................................213
3.4 Distanceriemannienne..............................219
3.4.1 Calcul des distances et formules trigonométriques sphériques et hy-
perboliques ................................228
3.5 Complétude....................................232
3.6 Courbure .....................................235
3.6.1 Les avatars de la courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Calcul en coordonnées locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Homogénéité et naturalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
3.6.2 Interprétation géométrique des champs de Jacobi . . . . . . . . . . . 247
3.6.3 Interprétation métrique de la courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
4

3.6.4 Variétés riemanniennes à courbure sectionnelle constante . . . . . . . 252
3.6.5 Variétés riemanniennes à courbure sectionnelle de signe constant . . 255
3.6.6 Seconde forme fondamentale des sous-variétés riemanniennes . . . . 261
Hypersurfaces riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Courbure moyenne, surfaces minimales et totalement géodésiques . . . 269
3.6.7 Espaces CAT(κ).............................275
Le théorème de la bande plate et applications . . . . . . . . . . . . . . 285
3.7 Géométrie à l’infini des variétés de courbure négative ou nulle . . . . . . . . 286
3.7.1 Bord à l’infini des espaces CAT(0) ...................286
3.7.2 Fonctions de Busemann et horosphères . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
3.7.3 Feuilletages stable et instable du flot géodésique . . . . . . . . . . . . 298
3.7.4 Structure conforme au bord des espaces CAT(−1) ..........299
3.7.5 Distance de Tits au bord des espaces CAT(0) .............302
3.8 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
3.9 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
4 Espaces symétriques et rigidité 322
4.1 Espaces (globalement) symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
4.1.1 Involutions de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
4.1.2 Décomposition de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
4.1.3 Courbure des espaces symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
4.1.4 Espaces symétriques de type non compact . . . . . . . . . . . . . . . 332
L’espace hyperbolique complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
4.1.5 Espaces localement symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
4.2 Algèbres de Lie semi-simples réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
4.2.1 Sous-espace de Cartan et systèmes de racines restreintes . . . . . . . 340
4.2.2 Éléments réguliers et chambres de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . 343
4.2.3 Conjugaison des chambres de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
4.2.4 Passage des algèbres de Lie complexes aux algèbres de Lie réelles . . 347
4.2.5 Classification des involutions de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . 351
4.2.6 Classification des groupes de Lie compacts . . . . . . . . . . . . . . . 353
4.2.7 Classification des algèbres de Lie réelles semi-simples . . . . . . . . . 354
4.2.8 Classification des espaces symétriques de type non compact . . . . . 357
4.3 Géométrie asymptotique des espaces symétriques de type non compact . . . 359
4.3.1 Plats maximaux et chambres de Weyl des espaces symétriques de
typenoncompact ............................359
4.3.2 Flot géodésique des espaces symétriques de type non compact . . . . 362
4.3.3 Chambres de Weyl à l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
4.3.4 Immeuble de Tits à l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
4.4 Théorème de rigidité de Mostow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
4.5 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
4.6 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
Index 391
1
1. Je remercie pour leurs corrections les étudiants ayant suivi ce cours en 2010-2011 (en particulier
N. de Saxcé), en 2011-2012 (en particulier S. Ghosh), en 2013-2014 (en particulier A. Gilles, O. Mohsen
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