Exercices et corrigés d'Analyse 1

1
Université Mohammed V - Agdal Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
Avenue Ibn Batouta, B.P. 1014
Rabat, Maroc
Filière SMIA :
Exercices avec Corrigés Analyse 1 :
Par
BENAZZOUZ HANA

2
Série1
Exercice 0.1. Soient les quatre assertions suivantes :
(a)∃x∈R∀y∈Rx+y > 0,
(b)∀x∈R∃y∈Rx+y > 0,
(c)∀x∈R∀y∈Rx+y > 0,
(d)∃x∈R∀y∈Ry2> x.
1. Les assertions a,b,c,dsont-elles vraies ou fausses ?
2. Donner leur négation.
Exercice 0.2. Écrire la négation des phrases suivantes :
(1) ∀x, ∃n:x≤n.
(2) ∃M:∀n, |un| ≤ M.
(3) ∀x, ∀y, xy =yx.
(4) ∀x, ∃y:yxy−1=x.
(5) ∀ǫ > 0,∃N∈N:∀n≥N, |un|< ǫ.
(6) ∀x∈R,∀ǫ > 0,∃α > 0 : ∀f∈ F,∀y∈R,|x−y|< α ⇒
|f(x)−f(y)|< ǫ.
Exercice 0.3. Soient Eet Fdeux ensembles, f:E→F. Démontrer que :
∀A, B ∈ P(E) (A⊂B)⇒(f(A)⊂f(B)),
∀A, B ∈ P(E)f(A∩B)⊂f(A)∩f(B),
∀A, B ∈ P(E)f(A∪B) = f(A)∪f(B),
∀A, B ∈ P(F)f−1(A∪B) = f−1(A)∪f−1(B),
∀A∈ P(F)f−1(F\A) = E\f−1(A).
Exercice 0.4. On définit les cinq ensembles suivants :
A1=(x, y)∈R2, x +y < 1,
A2=(x, y)∈R2,|x+y|<1,
A3=(x, y)∈R2,|x|+|y|<1,
A4=(x, y)∈R2, x +y > −1,
A5=(x, y)∈R2,|x−y|<1.
1. Représenter ces cinq ensembles.
2. En déduire une démonstration géométrique de l’équivalence : (|x+y|<1et |x−y|<1) ⇔ |x|+|y|<1.

3
Série2
Exercice 0.5.
1- Démontrer que si r∈Qet x /∈Qalors r+x /∈Qet si r6= 0 alors r×x /∈Q.
2- Soient ret r′deux rationnels tels que r < r′. Montrer que x=r+√2
2(r′−r)/∈Q.
3- En déduire qu’entre deux rationnels distincts il y a au moins un irrationnel.
Exercice 0.6. Montrer que x= 31.72 356 356 356 356.. est un rationnel.
Exercice 0.7. Déterminer (s’ils existent) : les majorants, les minorants, la borne supérieure, la borne inférieure, le
plus grand élément, le plus petit élément des ensembles suivants :
[1,2] ∩Q,[1,2[ ∩Q,N,n(−1)n+1
n+ 1 o.
Exercice 0.8. Soit Ile sous-ensemble de Rdéfini par I=nx∈R: 1 ≤x
2+1
x+ 1 <2o.
1- Montrer que Iest la réunion de deux intervalles que l’on déterminera.
2- Déterminer (s’ils existent) : les majorants, les minorants, la borne supérieure, la borne inférieure, le plus grand
élément, le plus petit élément de ces intervalles.
Exercice 0.9. Soient Aet Bdeux parties bornées de R.On note A+B={a+b: (a, b)∈A×B}.
1- Montrer que sup A+ sup Best un majorant de A+B.
2- Montrer que sup(A+B) = sup A+ sup B.
Exercice 0.10. Soient a > 0et b≥0deux réels.
1- Montrer que l’ensemble S={n∈N:a n > b}est non vide et admet un plus petit élément que l’on notera
p.
2- On pose r=b−(p−1)a. Montrer que r < a.
3- En déduire que ∀x > 0et ∀y≥0, il existe un couple (q, r)∈N×[0, x[tel que y=qx +r. Montrer que ce
couple est unique.
Exercice 0.11. Soit A={x∈Q: 1 < x et x2<2}.
1- Montrer que Aest une partie non vide et majorée dans Q.
2- Soit r∈A, montrer qu’il existe n∈Ntel que n(2 −r2)>2r+ 1. En déduire que r′=r+1
n∈A.
3- Soit M∈Qun majorant de A. Montrer que M > √2.
4- En déduire que sup A /∈Q.

4
Série3
Exercice 0.12. Soit un une suite bornée. Posons, pour tout entier n∈N,vn= inf{uk;k≥n}et wn=
sup{uk;k≥n}.
Vérifier que vn est croissante majorée et que wn est décroissante minorée.
Exercice 0.13. Soit un la suite définie par : ∀n∈N, un=n
22n+1 .
1- Montrer que un est une suite géométrique et déterminer sa raison r.
2- Étudier la monotonie et la convergence de la suite un.
Exercice 0.14. Soient un une suite réelle et vn la suite dont le terme général est défini par :
v0= 0, et ∀n≥1,vn=1
nPn
k=1 uk.
1- En utilisant la définition de la convergence, montrer que si limn→∞ un=ℓ∈Ralors limn→∞ vn=ℓ.
2- Montrer que si limn→∞ (un+1 −un) = ℓ∈Ralors limn→∞ un
n=ℓ.
3- On suppose que, pour tout n∈N,un>0. Montrer que si limn→∞ un+1
un=ℓ∈Ralors limn→∞ n
√un=ℓ.
Exercice 0.15. Soit an la suite définie par a0∈]1,2[ et an+1 =4an+2
an+3 , pour tout n∈N.
1- Montrer que an est une suite croissante majorée.
2- En déduire que an est convergente et déterminer sa limite.
Exercice 0.16. Pour chacune des des suites suivantes étudier le sens de variation (croissance, décroissance ou
monotonie) et la convergence.
(a)u0=1
2,∀n∈N, un+1 =√un; (b)v0= 2,∀n∈N, vn+1 =√vn; (c)w0= 1,∀n∈N, wn+1 =wn w2
n+ 1.
Exercice 0.17. Soient un et vn les deux suites définies par :
u0=v0= 0 et pour n≥1,un=P2n
k=1
k
n2et vn=P2n
k=1
k
k+n2.
1- Montrer que la suite un est décroissante minorée. Déterminer sa limite.
2- On considère la suite de terme général wn=vn−un. Montrer qu’elle est convergente et déterminer sa limite.
3- En déduire que un converge et donner sa limite.
Exercice 0.18. Soit q≥2un entier et soit un la suite dont le terme général est donné par un= cos 2nπ
q.
1- Vérifier que pour tout entier n,un+q=un.
2- Calculer unq et unq+1. En déduire que la suite un n’ a pas de limite.
Exercice 0.19. Soit la suite un définie par :u0=a≥0et pour tout n≥1,un+1 =2u2
n+ 2un+ 1
2un+ 1 .
1- Montrer que ∀n∈N, un≥0.
2- Établir que ∀n∈N, un+1 ≥un+1
2puis que un≥u0+n
2. En déduire la limite de un.
Exercice 0.20. On considère les suites réelles positifs un et vn définies par :
u0=a > 0,v0=b > 0et ∀n∈N, un+1 =√unvn, vn+1 =un+vn
2.On suppose que a < b.
1- Montrer que ∀n≥1,un≤vn,un≤un+1 et vn+1 ≤vn.
2- Montrer que un et vn sont convergentes et déterminer leur limite.

5
Série 4
Exercice 0.21. Calculer les limites suivantes :
(a) limx→1+x2−9
x2+2x−3(b) limx→3√x+6−x x3−3x2(c) limx→∞ √x2+ 4x−9−x(d) limx→0xsin 1 x(e)
limx→0x21 + 2 + ...+h1
|x|i.
Exercice 0.22. Soit la fonction f(x) = x+√x2+ 1. Déterminer le domaine de définition de fet montrer qu elle
est injective. Déterminer la fonction inverse de f.
Exercice 0.23. Soit f:R−→ Rune fonction continue et périodique. Montrer que fest bornée.
Exercice 0.24. Soit fune fonction continue sur [a, ∞[telle que limx→∞ f(x) = ℓ∈R. Prouver que fest bornée
sur [a, ∞[.
Exercice 0.25. Soit f:R−→ Rune fonction périodique qui admet une limite finie ℓquand xtend vers ∞.
Démontrez que fest constante.
Exercice 0.26. Soient f, g :R−→ Rdeux fonctions continues et x0un point où f(x0)> g(x0). Montrer qu’il
existe un intervalle ouvert centré en x0dans lequel fest strictement plus grande que g.
Exercice 0.27. On considère la fonction f:R−→ Rdéfinie par : f(x) = x3+ 6x+ 1
9et on définit la suite
récurrente un par : u0= 0 et un+1 =f(un)pour tout n≥0.
1- Montrer que la fonction g(x) = x3−3x+ 1 est strictement décroissante sur l’intervalle 0,1
2. En déduire
que l’équation g(x) = 0 admet une solution unique x0dans 0,1
2.
2- Déduire que x0est l’unique solution dans 0,1
2de l’équationf(x) = xet que ∀x∈[0, x0], f(x)≥x.
3- Montrer que ∀n∈N,0≤un≤x0.
4- Étudier la monotonie de la suite un. Est-elle convergente ? Si oui déterminer sa limite.
Exercice 0.28. Soit f: [0,1] −→ [0,1] une fonction continue. Montrer qu’il existe x0∈[0,1] tel que f(x0) = x0.
Exercice 0.29. Soient fet gdeux fonctions réelles continues sur l’intervalle [a, b]et telles que supx∈[a,b]f(x) =
supx∈[a,b]g(x).Montrer qu’il existe c∈[a, b]tel que f(c) = g(c).
Exercice 0.30. Considérons la fonction f: [1,∞[−→ Rdéfinie par f(x) = x2. Pour tout n∈N∗on pose
xn=n+1
net yn=n. Pour n∈N∗, calculer |f(xn)−f(yn)|>2. En déduire que fn’est pas uniformément
continue.
Exercice 0.31. Montrer que l’application f:x−→ √xest uniformément continue sur R+.
(Indication : On pourra montrer d’abord que ∀x1, x2∈R+on a |√x1−√x2| ≤ p|x1−x2|.)
Exercice 0.32. Soit fune fonction continue sur [0,1]. Prouver que limn→∞ 1
nPn
k=0 (−1)kf(k
n) = 0.
(Indication : Utiliser l’uniforme continuité de fet considérer le cas npair et le cas nimpair.)
Exercice 0.33. Soit f: [a, b]−→ Rune fonction continue. Soient xn des réels dans ]a, b[.
Montrer qu’il existe x0∈]a, b[tel que : f(x0) = f(x1)+f(x2)+...+f(xn)
n.