LOGIQUE COMBINATOIRE

MPSI/PCSI
SI, cours sur la logique
LOGIQUE COMBINATOIRE
I. VARIABLE LOGIQUE.
Rappel :
structure d’une chaine fonctionnelle d’un système automatisé.
Les ordres et les informations
peuvent être :
 Analogique (par exemple une tension variable)
 Logique (0 ou 1, vrai ou faux)
 Numérique
Exemple de système automatisé :
Le portail automatisé.
Pour simplifier, on s’intéresse aux
éléments suivants :
 Les 2 portes
 Les 2 moteurs
 La télécommande
 La cellule photo électrique
Entrées/sorties de la Partie commande
(PC) du portail : (les entrées sont les
informations, les sorties sont les ordres)
Appui sur la
télécommande
Présence devant
capteur
PC du
portail
Ouvrir portes
Fermer portes
Les entrées et les sorties sont sous la forme tout ou rien (1 ou 0) (vrai ou faux), on les
appelle des variables logiques.
L’objet de ce chapitre est de modéliser le fonctionnement des PC
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II.
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ALGEBRE DE BOOLE.
Il permet de traiter des problèmes de logique.
1. Opérateurs logiques de base.
Table de vérité
Opérateur égalité
a
0
1
Equation logique : S = a
Opérateur ET
Table de vérité
a
0
0
1
1
b
0
1
1
0
S
0
0
1
0
Table de vérité
a
0
0
1
1
b
0
1
1
0
S
0
1
1
1
Equation logique : S = a.b
Opérateur OU
Equation logique : S = a + b
Table de vérité
Opérateur NON
Equation logique :
2.
S
0
1
S a
Exemple de problème de logique.
a
0
1
S
1
0
Etude d’un monte charge.
Un monte-charge doit permettre le levage de masses comprises entre 20 et 80 kg. Pour
cela, il comporte une plate-forme reposant sur des ressorts.
Selon l'importance des charges à soulever, trois contacts réglables sont mis en circuit.
Les contacts passent à 1 lorsque qu’ils sont en contact avec la cuve du monte-charge.
Cahier des charges
 À vide, aucun des contacts n'est activé. le monte-charge peut fonctionner.
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 Pour des charges comprises entre 5 et 20 kg, le monte-charge ne peut
fonctionner. Le contact « a » est actionné.
 Pour les charges comprises entre 20 et 80 kg, le monte-charge doit fonctionner.
« a » et « b » sont actionnés.
 Pour des charges supérieures à 80 kg, le monte-charge ne peut fonctionner. Les
contacts « a », « b » et « c » sont actionnés.
Problème posé : Il faut modéliser le comportement attendu en équations afin de réaliser
la partie commande.
Question :
Déterminer l'équation booléenne de la sortie S assurant l’autorisation
de fonctionnement de ce monte-charge.
Le monte-charge doit fonctionner (S passe à 1) à vide (cas a=0 et b=0 et c=0) ou pour les
charges comprises entre 20 et 80 kg (cas a=1 et b=1 et c=0)
On peut écrire l’équation de la sortie
S  a .b .c  a.b.c
3. Propriétés de l’algèbre de BOOLE.
Commutativité
Associativité
Distributivité
a.b  b.a
a.(b.c)  (a.b).c
a.(b  c)  a.b  a.c
a  (b.c)  (a  b).(a  c)
a.1  a
a.0  0
a0a
a 11
a.a  0
a.a  a
a a 1
aaa
a.b  a  b
a  b  a .b
Eléments neutres
Elément absorbant
Complément
Idempotence
Théorème de De Morgan
ab  ba
a  (b  c)  (a  b)  c
Exemples d’utilisation de l’algèbre de Boole pour simplifier des expressions logiques.
(c  b).c  c.c  b.c  c  b.c  c.(1  b)  c
a.(a  b)  a.a  a.b  a.b
III. OPERATEURS LOGIQUES.
1. Opérateurs à une variable.
a
f(a)
S=f(a)
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Représentons dans une table de vérité, tous les cas possibles d’une fonction Booléenne à
une variable d’entrée.
Variable a
Fonction f(a)
f1
0
0
0
1
f1 = 0
f2 = a
f2
0
1
f3
1
0
f3 = a
f4 = 1
mise à 0
identité
f4
1
1
complément (fonction non)
mise à 1
2. Opérateurs à deux variables.
Etudions tous les cas possibles d’une fonction Booléenne à deux variables d’entrée.
a
S=f(a,b)
f(a,b)
b
Remarque : il y a 16 fonctions possibles ( 2
Fonctions déjà vues :
f1 = 0
f2 = 1
f3 = a
f4 = a
2. n
4
=2 )
mise à 0
mise à 1
identité
complément
f5 = b
identité
f6 = b
f7 = a + b
f8 = a.b
complément
ou
et
Autres fonctions :
Table de vérité
« OU exclusif »
f 9  a  b  a.b  a .b
« NAND » (non et) :
Table de vérité
(a implique b )
f 13  a  b
Si a=1 alors S=b
Si a=0, b peut prendre les valeurs 0 ou 1
« Implication »
S
0
1
0
1
(De Morgan)
f 11  a.b  a  b
f 12  a.b  a .b
« Implication »
b
0
1
1
0
f 10  a  b  a .b
« NOR » (non ou) :
« Equivalence »
a
0
0
1
1
(b implique a) :
a
0
0
1
1
b
0
1
1
0
S
1
0
1
0
a
b
S
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
f 14  a  b
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IV. SIMPLIFICATION DE FONCTION.
Une expression combinatoire représente une fonction booléenne
Pour n variables d’entrées, il existe :
2. n
 2
fonctions différentes.
 Une infinité d’expressions combinatoires (certaines sont équivalentes).
On recherche la forme la plus simple possible d’une expression combinatoire. Le but est
de réaliser une fonction en utilisant le moins d’opérateurs logiques possibles.
Méthode algébrique : On écrit les produits par ordre alphabétique afin de les
comparer plus facilement et on utilise les propriétés de l’algèbre de Boole.
S1  a  b  a .b  a  b.(1  a )  a  b
Exemples :
S 2  a .(b .c  b .c  b.c)  a .(b .(c  c)  b.c)  a.(b  b.c)
Remarque :
Certaines simplifications n’apparaissent pas, par exemple
S 3  a  a .b  a  a .b  a.b
S 3  a  (a  a).b  a  b
On peut donc reprendre
(on rajoute
a.b ) a  a.b  a.(1  b)  a
S 2  a .(b  c)
Méthode graphique.
Tableau de Karnaugh.
Le tableau de Karnaugh est une table de vérité disposée de manière à faire apparaître les
possibilités de regroupement de termes.
Exemple 1
Une fonction S4 à trois entrées est représentée par une table de vérité.
On va représenter cette fonction dans un tableau de Karnaugh et on va écrire son
équation simplifiée.
Tableau de Karnaugh
a
0
0
0
0
1
1
1
1
b
0
0
1
1
0
0
1
1
Equation simplifiée :
c
0
1
0
1
0
1
0
1
S4
0
0
1
0
0
0
1
1
S4
a
b
c
S 4  a.b  b.c
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Exemple de fonctions S5 et S6 à 4 variables représentées par des tableaux de Karnaugh
S5
c
a
b
S6
a
b
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
d
c
S 5  b .c  a .b.d  a .b .d  a.b .d  a.b.c.d
d
S 6  a  b .d  b.c.d
Remarques :
 On forme les groupes de 1 (ou de 0) adjacents les plus gros possibles (d’un nombre
de 2n de termes : 1, 2, 4, 8, 16,…)
 Les entrées sont organisées sous forme de code binaire réfléchi appelé aussi code
Gray (2 cases adjacentes ne se distinguent que par le changement d’une seule
variable).
 On utilise les nombreuses symétries.
V. REPRESENTATION DES FONCTIONS LOGIQUES
On peut représenter une
fonction logique par :





Une phrase (S est vrai si a et b sont vrais)
Une équation logique (S = a.b)
Une table de vérité.
Un tableau de Karnaugh.
Un chronogramme
1. Schémas électriques.
Ils sont réalisés par des contacts électriques commandés manuellement (poussoir) ou
électriquement (relais).
Exemple 1.
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On distingue deux sortes de contacts : « à ouverture » (Non) » et « à fermeture » (Oui).
 Si c = 1, le courant passe dans le contact. Si c = 0, le courant ne passe pas.
 Si a = 0, le courant passe dans le contact. Si a = 1, le courant ne passe pas.
La fonction représentée est :
L  c.(a  b )
 La fonction « et » est réalisée par des contacts en série.
 La fonction « ou » est réalisée par des contacts en parallèles.
Exemple 2.
La fonction représentée est :
Remarque :
L  b.(c  a .d )  b .d .(a  c)
Les contacts a et a électriquement indépendants sont commandés
par la même action « a ».
2. Logigrammes.
Un logigramme est une association d’opérateurs logiques décrivant une équation logique.
Liste (non exhaustive) des opérateurs logiques :
Symbole
Equation
Opérateur
S=a
Symbole
Equation
Opérateur
Identité
S a
Non
S = a.b
ET
S  a.b
NAND
S=a+b
OU
S  ab
NOR
S  a b
OU
exclusif
S  a b
a implique b
Le logigramme d’une fonction logique n’est pas unique. Il dépend des contraintes
technologiques imposées.
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Exemple :
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On veut réaliser la fonction
S  a.b
Solution 1 : En utilisant toutes Solution 2 : En utilisant uniquement les fonctions de
les fonctions logiques
disponibles
base ET, OU, NON
Dans certains cas, on se voit imposer l’utilisation unique des cellules NOR ou NAND
En effet, toute fonction peut être
réalisée en utilisant uniquement
des cellules NOR ou NAND
(cellules dites universelles). Cela
permet de réaliser une fonction
logique en utilisant qu’un seul
________ de cellules.
Il faut alors réorganiser la fonction (en utilisant le théorème de De Morgan) pour faire
apparaître que des NOR ou que des NAND.
Remarques.
Pour avoir un NON avec un NAND
Pour avoir un NON avec un NOR
Solution 1 :
En utilisant que des NAND.
S  a.b  a.b  a.(b.b)
Solution 2 :
En utilisant que des NOR.
S  a.b  a.b  a  b
S  (a  a)  b
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