M canique quantique

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MP*1-2016/2017
Mécanique ondulatoire
1) Critère Quantique :
En calculant une grandeur caractéristique homogène à , décidez si le recours à la physique
quantique est nécessaire pour étudier les objets suivants ou si la théorie classique est
suffisante :
1) Une antenne radio : puissance  et fréquence d’émission dans le domaine des
ondes radio.
2) Un noyau atomique : énergie de liaison typique , rayon   avec  le
nombre de masse et     et masse d’un nucléon   
3) L’hélium superfluide: température de transition   , distance moyenne
entre atomes    et masse   .
On donne ,   .
2) Etude d’une naine blanche :
Dans tout l’exercice, on raisonnera en ordre de grandeur.
Une naine blanche est constituée de protons fixes, de masse  et
d’électrons de masse  . L’étoile, de masse  et de rayon  est soumise à son
énergie potentielle gravitationnelle, , et son effondrement est empêché par l’énergie
cinétique des électrons.
1) Trouver à un facteur près la forme de l’énergie potentielle de l’étoile. On donne la
constante de gravitation .
2) Quel est le nombre   d’électrons dans l’étoile ?
3) Quel est le volume accessible en moyenne par un électron ? En déduire l’ordre de
grandeur de sa quantité de mouvement.
4) En déduire l’ordre de grandeur de l’énergie cinétique des  électrons de l’étoile.
5) Exprimer l’énergie totale de l’étoile en fonction de son rayon . Trouver à
l’équilibre une relation entre la masse  de l’étoile et son rayon.
6) Calculer le rayon  d’une naine blanche de masse égale à celle du Soleil  
. Commenter.
3) Oscillateur harmonique quantique :
On considère une particule quantique, de masse m, soumise à une énergie potentielle
de la forme   
. Dans l’état stationnaire d’énergie , la fonction d’onde est de
la forme  
.
1) Ecrire l’équation de Schrödinger indépendante du temps.
2) Déterminer la constante A.
3) Représenter l’allure de la densité de probabilité de présence de la particule.
Commenter son allure par rapport à un oscillateur harmonique en mécanique classique,

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oscillant entre  et  Quelle est, sans calcul, la valeur de la position moyenne    de
la particule quantique ?
4) Déterminer l’expression de  et de  en fonction de ,  et de .
On donne 
4) Particule quantique dans un puits fini :
Une particule de masse m est placée dans un puits de potentiel modélisé par : 
pour      et   pour  .
1) On s’intéresse aux états liés. Quelles sont les valeurs limites possibles de l’énergie ?
2) Ecrire l’équation de Schrödinger indépendante du temps dans les différentes zones.
On pose   
 et     et donner les expressions des fonctions d’onde dans les
trois zones de l’espace.
3) Vu la forme du potentiel, on admet que les fonctions d’onde des états stationnaires
sont soit paires, soit impaires. En déduire les relations :  ou 
.
4) Etablir la relation 
5) Interpréter graphiquement les solutions
dans le plan de coordonnées  à l’aide de la
figure.
6) Existe-t-il toujours des états liés ? A
quelle condition existe-t-il un seul état lié ?
7) Que deviennent les solutions dans le cas
où le puits devient très profond ?
5) Molécule de -carotène :
Dans la molécule de -carotène,  électrons sont délocalisées le long de la chaîne
carbonée. Ces électrons occupent les  plus bas niveaux d’énergie à raison de deux électrons
par niveau (principe d’exclusion de Pauli et règle de Hund). Il est possible de décrire
approximativement ces électrons comme des particules évoluant dans un puits de potentiel
infini de largeur , taille attendue de la chaîne carbonée. Le spectre d’absorption du -
carotène comporte une raie de longueur d’onde   , qui correspond à l’énergie
minimale d’excitation de la molécule.
Déterminer la valeur numérique de  et comparer-la à la valeur tabulée   .
𝜋
𝜋
𝑘𝑎
𝐾𝑎

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6) Le corail quantique :
En 1993, une équipe de l’entreprise IBM a réussi à déposer sur une surface métallique
de cuivre  atomes de fer formant un cercle de rayon    en les manipulant à l’aide
d’une pointe de STM. La manipulation a été effectuée à une température très basse de .
Les atomes de fer forment alors une barrière quasi-infranchissable pour les électrons libres du
cuivre situés à l’intérieur du cercle (à la manière d’une barrière de corail qui coupe les vagues
de l’océan d’où le nom de la structure). La photo ci-dessous représente la répartition de
densité électronique en fonction de la position, mesurée à l’aide d’un STM.
On considère un électron unique confiné à l’intérieur du cercle formé par les atomes
de fer.
On se ramène dans un premier temps à une dimension selon  et on s’intéresse aux états
stationnaires de l’électron. L’électron se trouve dans un puits de potentiel de profondeur
infinie, situé entre   et   .
1) Expliquer le lien entre la fonction d’onde  et ce que l’énoncé appelle « densité
électronique ».
2) Etablir les expressions des énergies des états stationnaires de l’électron, en supposant que
le potentiel est nul dans le puits. On posera   et   .
3) En exploitant la photo, estimer l’énergie en  des électrons piégés par le corail.
Se ramener à un problème à une dimension peut paraître assez critiquable. Il est possible
d’affiner le modèle en cherchant les solutions stationnaires de l’équation de Schrödinger en
coordonnées cylindriques  ne dépendant pas de . On suppose que le corail quantique
peut être modélisé par un puits circulaire, de rayon R et de profondeur infinie.
4) En s’aidant du document, calculer l’énergie des électrons piégés par le corail. Le modèle
unidimensionnel est-il satisfaisant ?
Document :
 L’équation de Schrödinger a trois dimensions s’écrit :
 L’opérateur laplacien dans le repère cylindrique pour une fonction ne dépendant que
de r est : 
 Les solutions de l’équation 
   qui ne divergent pas quand
  sont de la forme    où  est une fonction de Bessel.
 Ci-dessous le graphe de 

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Indications
1) Critère Quantique :
Pour chaque question, il faut trouver une grandeur  homogène à énergie*temps ; 2) Trouver
la vitesse des particules à partir de l’énergie et utiliser   ; 3) trouver la vitesse des
particules à la température  et utiliser   .
2) Etude d’une naine blanche :
1) Il faut faire une étude dimensionnelle et ne pas oublier que cette énergie est négative ; 2)
Dans l’étoile le nombre de protons est égal au nombre d’électrons et la masse de l’étoile
provient essentiellement des protons ; 3) Utiliser la relation d’Heisenberg pour lier la variable
d’espace à la quantité de mouvement ; 4) L’énergie totale est une fonction de R et l’équilibre
correspond à un minimum de l’énergie totale donc à 
  ;5) Comparer la masse
volumique de l’étoile à des masses volumiques de corps denses.
3) Oscillateur harmonique quantique :
2) La probabilité doit être une grandeur normée ; 3) Réfléchir aux maxima et aux minima de
probabilité dans le mouvement classique ; 4) remplacer  dans l’équation de Schrödinger
mais  ne doit pas dépendre de .
4) Particule quantique dans un puits fini :
1)  doit être inférieure à  ; 2) La fonction d’onde doit rester finie pour   3) La
fonction d’onde et sa dérivée doivent être continues en    étudier les conséquences
pour une fonction d’onde paire puis pour une fonction d’onde impaire ; 4) Exploiter les
définitions de  et de  de l’énoncé ; 5) Les courbes bleues représentent  et la
courbe rouge  ; la courbe noire représente 
 ; 6) Pour
avoir un seul état il faut n’avoir qu’une seule intersection.
5) Molécule de -carotène :
La longueur d’onde  correspond à la transition entre le niveau    et le niveau   
6) Le corail quantique :
1) La fonction d’onde  est lié à la probabilité de trouver l’électron entre  et  :
   2) Ecrire l’équation de Schrödinger indépendante du temps dans le puits
de potentiel et poser
. La fonction d’onde doit être nulle en    et en    ; 3)

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Exprimer la densité de probabilité correspondant à une énergie . Sur la photo compter le
nombre d’oscillation entre  et . En déduire la valeur de , puis celle de  ; 4) Résoudre
l’équation de Schrödinger en posant  
 et  . Dans ce cas on obtient
l’équation 
   dont la solution est donnée sur le document.
Solutions
1) Critère Quantique :
1)      , c’est classique ; 2)  , c’est quantique ; 3)
 , c’est quantique.
2) Etude d’une naine blanche :
1)  
 ; 2)     ; 3)     ;     ; 4)   ; 5)  
 ; l’équilibre de l’étoile correspond à     ;6)    ;
on trouve donc une étoile de la masse du Soleil mais avec le volume de la Terre ce qui
correspond à une masse volumique   . Si on calcule la masse volumique d’un
métal très dense comme le plomb   .
3) Oscillateur harmonique quantique :
1) 
  ; 2)     3) en mécanique classique   
est un minimum de probabilité et    sont des maxima de probabilité ; de plus pour
 , la probabilité est nulle ; en mécanique quantique pour le niveau d’énergie ,
   est un maximum de probabilité et pour  , la probabilité est faible mais non
nulle ;     ; 4) 
 et 
4) Particule quantique dans un puits fini :
1)      ; 2) Pour   on a 
 ; pour   on a
 ; ce qui donne pour     pour     
 ; pour      ; 3) Si la fonction
d’onde est paire on a   et si la fonction d’onde est impaire on a 
 ; 4) 
 et   d’où la relation :   ;5)
Les solutions possibles sont les intersections du cercle avec les courbes bleues ou rouges ; 6)
Il y a toujours une solution ; pour avoir une seule solution il faut 
 ; 7) plus 
augmente, 
 (solutions du puits infini).
5) Molécule de -carotène :
  . L’ordre de grandeur est correct mais le modèle est trop simpliste.
6) Le corail quantique :
1) La pointe du STM capte une intensité proportionnelle à la densité moyenne en électrons,
donc  ;2) 
 avec    ; 3) Sur la photo on compte  oscillations ce qui