M canique quantique

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MP*1-2016/2017
Mécanique ondulatoire
1) Critère Quantique :
En calculant une grandeur caractéristique homogène à ℏ, décidez si le recours à la physique
quantique est nécessaire pour étudier les objets suivants ou si la théorie classique est
suffisante :
1) Une antenne radio : puissance 5 𝑘𝑊 et fréquence d’émission dans le domaine des
ondes radio.
2) Un noyau atomique : énergie de liaison typique 8 𝑀𝑒𝑉, rayon 𝑟𝐴 𝐴1/3 𝑟0 avec 𝐴 le
nombre de masse et 𝑟0 = 1,2 𝑓𝑚 = 1,2. 10−15 𝑚 et masse d’un nucléon 𝑚 = 1,67 ·
10−27 𝑘𝑔.
3) L’hélium superfluide: température de transition 𝑇 = 2,18𝐾, distance moyenne
entre atomes 𝑎 = 0,36 𝑛𝑚 et masse 𝑚 = 6,7 · 10−27 𝑘𝑔.
On donne 𝑘𝐵 = 1,38 · 10−23 𝐽 · 𝐾 −1 , 1 𝑒𝑉 = 1,6 · 10−19 𝐽.
2) Etude d’une naine blanche :
Dans tout l’exercice, on raisonnera en ordre de grandeur.
Une naine blanche est constituée de protons fixes, de masse 𝑚~10−27 𝑘𝑔 et
d’électrons de masse 𝑚𝑒 = 10−30 𝑘𝑔. L’étoile, de masse 𝑀 et de rayon 𝑅 est soumise à son
énergie potentielle gravitationnelle, 𝐸𝑝 , et son effondrement est empêché par l’énergie
cinétique des électrons.
1) Trouver à un facteur près la forme de l’énergie potentielle de l’étoile. On donne la
constante de gravitation 𝐺~10−10 𝑆𝐼.
2) Quel est le nombre 𝑁 >> 1 d’électrons dans l’étoile ?
3) Quel est le volume accessible en moyenne par un électron ? En déduire l’ordre de
grandeur de sa quantité de mouvement.
4) En déduire l’ordre de grandeur de l’énergie cinétique des 𝑁 électrons de l’étoile.
5) Exprimer l’énergie totale de l’étoile en fonction de son rayon 𝑅. Trouver à
l’équilibre une relation entre la masse 𝑀 de l’étoile et son rayon.
6) Calculer le rayon 𝑅 d’une naine blanche de masse égale à celle du Soleil 𝑀 =
30
2.10 𝑘𝑔. Commenter.
3) Oscillateur harmonique quantique :
On considère une particule quantique, de masse m, soumise à une énergie potentielle
1
de la forme 𝑉(𝑥) = 2 𝑚𝜔2 𝑥 2 . Dans l’état stationnaire d’énergie 𝐸𝑜 , la fonction d’onde est de
𝑥2
la forme 𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑒𝑥𝑝 (− 𝑎2 ) 𝑒𝑥𝑝 (−
𝑖𝐸𝑜 𝑡
ℏ
).
1) Ecrire l’équation de Schrödinger indépendante du temps.
2) Déterminer la constante A.
3) Représenter l’allure de la densité de probabilité de présence de la particule.
Commenter son allure par rapport à un oscillateur harmonique en mécanique classique,
2
oscillant entre −𝑥𝑚 et +𝑥𝑚 Quelle est, sans calcul, la valeur de la position moyenne < 𝑥 > de
la particule quantique ?
4) Déterminer l’expression de 𝐸𝑜 et de 𝑎 en fonction de ℏ, 𝑚 et de 𝜔.
+∞
𝜋
On donne ∫−∞ exp(−𝛼𝑢2 )𝑑𝑢 = √𝛼
4) Particule quantique dans un puits fini :
Une particule de masse m est placée dans un puits de potentiel modélisé par : 𝑉(𝑥) =
0 pour −𝑎 < 𝑥 < +𝑎 et 𝑉(𝑥) = 𝑉𝑜 pour |𝑥| > 𝑎.
1) On s’intéresse aux états liés. Quelles sont les valeurs limites possibles de l’énergie ?
2) Ecrire l’équation de Schrödinger indépendante du temps dans les différentes zones.
On pose 𝑘 =
√2𝑚𝐸
ℏ
et 𝐾 =
√2𝑚(𝑉𝑜 −𝐸)
ℏ
et donner les expressions des fonctions d’onde dans les
trois zones de l’espace.
3) Vu la forme du potentiel, on admet que les fonctions d’onde des états stationnaires
sont soit paires, soit impaires. En déduire les relations : 𝑘𝑎𝑡𝑎𝑛(𝑘𝑎) = 𝐾𝑎 ou 𝑘𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(𝑘𝑎) =
−𝐾𝑎.
4) Etablir la relation (𝑘𝑎)2 + (𝐾𝑎)2 =
2𝑚𝑎2 𝑉𝑜
𝐾𝑎
ℏ2
5) Interpréter graphiquement les solutions
dans le plan de coordonnées (𝑘𝑎, 𝐾𝑎) à l’aide de la
figure.
6) Existe-t-il toujours des états liés ? A
quelle condition existe-t-il un seul état lié ?
7) Que deviennent les solutions dans le cas
où le puits devient très profond ?
𝑘𝑎
0
𝜋
2
𝜋
5) Molécule de 𝜷-carotène :
Dans la molécule de 𝛽-carotène, 22 électrons sont délocalisées le long de la chaîne
carbonée. Ces électrons occupent les 11 plus bas niveaux d’énergie à raison de deux électrons
par niveau (principe d’exclusion de Pauli et règle de Hund). Il est possible de décrire
approximativement ces électrons comme des particules évoluant dans un puits de potentiel
infini de largeur 𝑎, taille attendue de la chaîne carbonée. Le spectre d’absorption du 𝛽carotène comporte une raie de longueur d’onde 𝜆 = 451𝑛𝑚, qui correspond à l’énergie
minimale d’excitation de la molécule.
Déterminer la valeur numérique de 𝑎 et comparer-la à la valeur tabulée 𝑎’ = 3,0 𝑛𝑚.
3
6) Le corail quantique :
En 1993, une équipe de l’entreprise IBM a réussi à déposer sur une surface métallique
de cuivre 48 atomes de fer formant un cercle de rayon 𝑅 = 7,1 𝑛𝑚 en les manipulant à l’aide
d’une pointe de STM. La manipulation a été effectuée à une température très basse de 4𝐾.
Les atomes de fer forment alors une barrière quasi-infranchissable pour les électrons libres du
cuivre situés à l’intérieur du cercle (à la manière d’une barrière de corail qui coupe les vagues
de l’océan d’où le nom de la structure). La photo ci-dessous représente la répartition de
densité électronique en fonction de la position, mesurée à l’aide d’un STM.
On considère un électron unique confiné à l’intérieur du cercle formé par les atomes
de fer.
On se ramène dans un premier temps à une dimension selon 𝑂𝑥 et on s’intéresse aux états
stationnaires de l’électron. L’électron se trouve dans un puits de potentiel de profondeur
infinie, situé entre 𝑥 = 0 et 𝑥 = 2𝑅.
1) Expliquer le lien entre la fonction d’onde 𝜓(𝑥, 𝑡) et ce que l’énoncé appelle « densité
électronique ».
2) Etablir les expressions des énergies des états stationnaires de l’électron, en supposant que
le potentiel est nul dans le puits. On posera 𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝜑(𝑥)exp(−iωt) et 𝐸 = ℏ𝜔.
3) En exploitant la photo, estimer l’énergie en 𝑒𝑉 des électrons piégés par le corail.
Se ramener à un problème à une dimension peut paraître assez critiquable. Il est possible
d’affiner le modèle en cherchant les solutions stationnaires de l’équation de Schrödinger en
coordonnées cylindriques (𝑟, 𝜃) ne dépendant pas de 𝜃. On suppose que le corail quantique
peut être modélisé par un puits circulaire, de rayon R et de profondeur infinie.
4) En s’aidant du document, calculer l’énergie des électrons piégés par le corail. Le modèle
unidimensionnel est-il satisfaisant ?
Document :
 L’équation de Schrödinger a trois dimensions s’écrit :
ℏ2
𝜕
−
Δ𝜓(𝑀, 𝑡) + 𝑉(𝑀)𝜓(𝑀, 𝑡) = 𝑖ℏ 𝜓(𝑀, 𝑡)
2𝑚
𝜕𝑡
 L’opérateur laplacien dans le repère cylindrique pour une fonction ne dépendant que
1 𝑑
𝑑𝜓(𝑟)
de r est : Δ𝜓(𝑟) = 𝑟 𝑑𝑟 (𝑟 𝑑𝑟 )


𝑑2 𝐹(𝑢)
1 𝑑𝐹(𝑢)
Les solutions de l’équation 𝑑𝑢2 + 𝑢 𝑑𝑢 + 𝐹(𝑢) = 0 qui ne divergent pas quand
𝑢 → 0 sont de la forme 𝐹(𝑢) = 𝐴𝐽𝑜 (𝑢) où 𝐽𝑜 (𝑢) est une fonction de Bessel.
Ci-dessous le graphe de 𝐽𝑜2 (𝑢)
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Indications
1) Critère Quantique :
Pour chaque question, il faut trouver une grandeur 𝑆 homogène à énergie*temps ; 2) Trouver
la vitesse des particules à partir de l’énergie et utiliser 𝑆 = 𝑥. 𝑚𝑣 ; 3) trouver la vitesse des
particules à la température 𝑇 et utiliser 𝑆 = 𝑥. 𝑚𝑣.
2) Etude d’une naine blanche :
1) Il faut faire une étude dimensionnelle et ne pas oublier que cette énergie est négative ; 2)
Dans l’étoile le nombre de protons est égal au nombre d’électrons et la masse de l’étoile
provient essentiellement des protons ; 3) Utiliser la relation d’Heisenberg pour lier la variable
d’espace à la quantité de mouvement ; 4) L’énergie totale est une fonction de R et l’équilibre
correspond à un minimum de l’énergie totale donc à
𝑑𝐸(𝑅)
𝑑𝑅
= 0 ;5) Comparer la masse
volumique de l’étoile à des masses volumiques de corps denses.
3) Oscillateur harmonique quantique :
2) La probabilité doit être une grandeur normée ; 3) Réfléchir aux maxima et aux minima de
probabilité dans le mouvement classique ; 4) remplacer 𝜑(𝑥) dans l’équation de Schrödinger
mais 𝐸𝑜 ne doit pas dépendre de 𝑥.
4) Particule quantique dans un puits fini :
1) 𝐸 doit être inférieure à 𝑉𝑜 ; 2) La fonction d’onde doit rester finie pour 𝑥 = ±∞; 3) La
fonction d’onde et sa dérivée doivent être continues en 𝑥 = ±𝑎; étudier les conséquences
pour une fonction d’onde paire puis pour une fonction d’onde impaire ; 4) Exploiter les
définitions de 𝑘 et de 𝐾 de l’énoncé ; 5) Les courbes bleues représentent 𝑘𝑎𝑡𝑎𝑛(𝑘𝑎) et la
courbe rouge – 𝐾𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(𝑘𝑎) ; la courbe noire représente (𝑘𝑎)2 + (𝐾𝑎)2 =
2𝑚𝑎2 𝑉𝑜
ℏ2
; 6) Pour
avoir un seul état il faut n’avoir qu’une seule intersection.
5) Molécule de 𝜷-carotène :
La longueur d’onde 𝜆 correspond à la transition entre le niveau 𝑛 = 11 et le niveau 𝑛 = 12
6) Le corail quantique :
1) La fonction d’onde 𝜓(𝑥, 𝑡) est lié à la probabilité de trouver l’électron entre 𝑥 et 𝑥 + 𝑑𝑥 :
𝑑𝑃 = |𝜓(𝑥, 𝑡)|2 𝑑𝑥; 2) Ecrire l’équation de Schrödinger indépendante du temps dans le puits
de potentiel et poser 𝑘 2 =
2𝑚𝐸
ℏ2
. La fonction d’onde doit être nulle en 𝑥 = 0 et en 𝑥 = 2𝑅 ; 3)
5
Exprimer la densité de probabilité correspondant à une énergie 𝐸𝑛 . Sur la photo compter le
nombre d’oscillation entre 0 et 2𝑅. En déduire la valeur de 𝑛, puis celle de 𝐸𝑛 ; 4) Résoudre
l’équation de Schrödinger en posant 𝑢 = 𝑟
l’équation
𝑑2 𝐹(𝑢)
𝑑𝑢2
1 𝑑𝐹(𝑢)
+𝑢
𝑑𝑢
√2𝑚𝐸
ℏ
et 𝜑(𝑟) = 𝐹(𝑢). Dans ce cas on obtient
+ 𝐹(𝑢) = 0 dont la solution est donnée sur le document.
Solutions
1) Critère Quantique :
1) 𝑆 = 𝑃𝜈 2 ~1014 𝐽. 𝑠 ≫ ℏ , c’est classique ; 2) 𝑆 = 𝑟√𝑚2𝐸~10−34 𝐽. 𝑠, c’est quantique ; 3)
𝑆 = 𝑎𝑚√𝑘𝐵 𝑇~2. 10−34 𝐽. 𝑠, c’est quantique.
2) Etude d’une naine blanche :
1) 𝐸𝑝 = −
ℏ2
𝑚𝑒
𝐺𝑀2
𝑅
𝑀 5/3
( )
𝑅2 𝑚
−
𝑀
; 2) 𝑁 = 𝑚 ; 3) 𝑉 =
𝐺𝑀2
𝑅
𝑅3
𝑁
ℏ 𝑀 1/3
; 𝑝 = 𝑅 (𝑚)
𝑀 5/3
ℏ2
; 4) 𝐸𝑐 = 𝑚
𝑒
; l’équilibre de l’étoile correspond à 𝑅 = 𝑚
( )
𝑅2 𝑚
ℏ2
𝑒 𝐺𝑚
5/3 𝑀1/3
; 5) 𝐸 =
;6) 𝑅 = 8000 𝑘𝑚 ;
on trouve donc une étoile de la masse du Soleil mais avec le volume de la Terre ce qui
correspond à une masse volumique 𝜇 = 109 𝑘𝑔. 𝑚−3. Si on calcule la masse volumique d’un
métal très dense comme le plomb 𝜇(𝑃𝑏) = 2. 104 𝑘𝑔. 𝑚−3.
3) Oscillateur harmonique quantique :
1) −
ℏ2 𝑑2 𝜑(𝑥)
2𝑚
𝑑𝑥 2
1
2
2
𝜋𝑎
+ 𝑚𝜔2 𝑥 2 𝜑(𝑥) = 𝐸𝑜 𝜑(𝑥) ; 2) 𝐴 = (
1/4
)
2
3) en mécanique classique 𝑥 = 0
est un minimum de probabilité et 𝑥 = ±𝑥𝑚 sont des maxima de probabilité ; de plus pour
|𝑥| > 𝑥𝑚 , la probabilité est nulle ; en mécanique quantique pour le niveau d’énergie 𝐸𝑜 ,
𝑥 = 0 est un maximum de probabilité et pour |𝑥| > 𝑥𝑚 , la probabilité est faible mais non
nulle ; < 𝑥 >= 0 ; 4) 𝐸𝑜 =
ℏ𝜔
2
2ℏ
et 𝑎2 = 𝑚𝜔
4) Particule quantique dans un puits fini :
ℏ2 𝑑2 𝜑(𝑥)
1) 0 < 𝐸 < 𝑉𝑜 ; 2) Pour |𝑥| > 𝑎 on a − 2𝑚
ℏ2 𝑑2 𝜑(𝑥)
− 2𝑚
𝑑𝑥 2
𝑑𝑥 2
+ 𝑉𝑜 𝜑(𝑥) = 𝐸𝜑(𝑥) ; pour |𝑥| < 𝑎 on a
= 𝐸𝜑(𝑥) ; ce qui donne pour 𝑥 > 𝑎: 𝜑(𝑥) = 𝐴 exp(−𝐾𝑥) ; pour −𝑎 < 𝑥 < 𝑎:
𝜑(𝑥) = 𝐵 exp(𝑖𝑘𝑥) + 𝐶𝑒𝑥𝑝(−𝑖𝑘𝑥) ; pour 𝑥 < −𝑎: 𝜑(𝑥) = 𝐴 exp(+𝐾𝑥) ; 3) Si la fonction
d’onde est paire on a 𝑘𝑡𝑎𝑛(𝑘𝑎) = 𝐾 et si la fonction d’onde est impaire on a 𝑘𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(𝑘𝑎) =
−𝐾𝑎 ; 4) 𝑘 2 𝑎2 =
2𝑚𝐸𝑎2
ℏ2
et 𝐾𝑎2 =
2𝑚𝑎2 (𝑉𝑜 −𝐸)
ℏ2
d’où la relation : (𝑘𝑎)2 + (𝐾𝑎)2 =
2𝑚𝑎2 𝑉𝑜
ℏ2
;5)
Les solutions possibles sont les intersections du cercle avec les courbes bleues ou rouges ; 6)
Il y a toujours une solution ; pour avoir une seule solution il faut
1
𝜋𝑛ℏ 2
𝑎√2𝑚𝑉𝑜
ℏ
<
𝜋
2
; 7) plus 𝑉𝑜
augmente, 𝐸𝑛 = 2𝑚 ( 2𝑎 ) (solutions du puits infini).
5) Molécule de 𝜷-carotène :
𝑎 = 16 𝑛𝑚~𝑎′ /2 . L’ordre de grandeur est correct mais le modèle est trop simpliste.
6) Le corail quantique :
1) La pointe du STM capte une intensité proportionnelle à la densité moyenne en électrons,
donc |𝜓(𝑥, 𝑡)|2 ;2) 𝐸𝑛 =
𝑛2 𝜋 2 ℏ2
8𝑚𝑅 2
avec 𝑛 ∈ ℕ∗ ; 3) Sur la photo on compte 9 oscillations ce qui
6
donne 𝑛 = 9 soit 𝐸9 =
𝐴𝐽𝑜 (
√2𝑚𝐸
).
ℏ
81𝜋 2 ℏ2
8𝑚𝑅 2
= 2,4. 10−20 𝐽 = 0,15 𝑒𝑉 ; 4) La solution est
𝜑(𝑟) =
En partant du centre de la photo on compte 4 oscillations ce qui correspond
d’après le document à 𝑢~15 pour 𝑟 = 𝑅 soit 15 = 𝑅
√2𝑚𝐸
ℏ
travail à une dimension donne un très bon ordre de grandeur.
donc 𝐸 =
225ℏ2
2𝑚𝑅 2
= 0,17 𝑒𝑉. Le