Conductivité dans les conducteurs Centrale-MP-2015-Extrait

Centrale-MP-2015-Extrait
Conductivité dans les conducteurs
III-A-1) La valeur moyenne de l’énergie cinétique pour un gaz monoatomique est :
3
𝐸𝑐 = 2 𝑘𝐵 𝑇
1
2
Comme l’énergie cinétique vaut 𝐸𝑐 = 2 𝑚𝑒 𝑣𝑚
: on en déduit l’expression de la vitesse
3𝑘𝐵 𝑇
microscopique d’un électron à la température 𝑇 : 𝑣𝑚 = √
𝑚𝑒
= 1,15. 105 𝑚. 𝑠 −1
III-A-2-a) Entre deux chocs, l’électron ne subit aucune force. Sa vitesse se conserve :
𝑣⃗𝑖 = 𝑣⃗𝑖′
III-A-2-b) Comme après chaque choc l’électron repart de façon aléatoire, on a < 𝑣⃗𝑚 >= ⃗0⃗
III-B- En présence d’un champ électrique, l’électron a toujours des chocs aléatoires mais il est
accéléré quand sa direction est dans le sens de la force électrique, c’est-à-dire dans le sens
opposé à 𝐸⃗⃗ et il est freiné quand sa direction est dans le sens opposé à la force électrique
c’est-à-dire dans le sens de 𝐸⃗⃗ . Globalement l’électron a une vitesse moyenne dans le sens
opposé à 𝐸⃗⃗ . ce qui donne le schéma suivant :
𝐸⃗⃗
III-C-1) Le terme mésoscopique désigne une échelle d’observation telle qu’un volume
élémentaire contiennent un très grand nombre d’électrons de conduction.
III-C-2) On se place dans le référentiel lié au cristal supposé galiléen. On néglige le poids de
l’électron par rapport à la force électrique. On applique le principe fondamental de la
dynamique à un électron: 𝑚𝑒
⃗⃗
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=−
𝑚𝑒
𝜏
𝑣⃗ − 𝑒𝐸⃗⃗𝑜 .
𝑚
On se place en régime stationnaire. L’équation devient : ⃗0⃗ = − 𝜏𝑒 𝑣⃗ − 𝑒𝐸⃗⃗𝑜 ce qui donne :
𝑒𝜏
𝑣⃗ = − 𝑚 𝐸⃗⃗𝑜 . La mobilité de l’électron est :
𝑒
𝑒𝜏
𝜇=𝑚
𝑒
III-C-3) Le vecteur densité de courant vaut : 𝑗⃗ = −𝑛𝑜 𝑒𝑣⃗ ce qui donne : 𝑗⃗ =
𝑛𝑜 𝑒 2 𝜏
𝑚𝑒
La loi d’Ohm locale est : 𝑗⃗ = 𝛾𝐸⃗⃗𝑜 . On en déduit l’expression de la conductivité :
𝛾=
𝑛𝑜 𝑒 2 𝜏
𝑚𝑒
𝛾𝑚𝑒
III-C-4) D’après la question précédente on a : 𝜏 = 𝑛
𝑜𝑒
2
= 2,5. 10−14 𝑠
𝐸⃗⃗𝑜
La distance moyenne entre deux chocs est 𝑙 = 𝑣𝜏 = 2,9. 10−9 𝑚 en prenant pour 𝑣 la valeur
de la température thermique.
⃗⃗
𝑑𝑣
III-D-1) Lorsque le champ électrique varie en fonction du temps, on a 𝑚𝑒 𝑑𝑡 +
𝑚𝑒
𝜏
𝑣⃗ = −𝑒𝐸⃗⃗𝑜
𝑒𝜏
𝑡
qui a pour solution : 𝑣⃗ = − 𝑚 𝐸⃗⃗𝑜 (1 − exp (− 𝜏))
𝑒
𝜏 représente le temps pour que l’électron soit en régime permanent. Il faut donc que le champ
𝑒𝜏
électrique varie lentement par rapport à 𝜏 pour pouvoir supposer 𝑣⃗ = − 𝐸⃗⃗𝑜 . Comme 𝜏 est
𝑚𝑒
très faible, ça n’est pas une contrainte dans le cadre de l’ARQS. Il faut des fréquences de
champ électrique supérieure à 1014 𝐻𝑧 pour que la loi d’Ohm locale ne soit plus valable.
III-D-2) Il y a une contradiction entre la phrase « la distance moyenne parcourue par un
électron dans le cuivre peut atteindre quelques milliers de paramètres de maille » et le calcul
de la distance moyenne entre deux chocs qui vaut environ 10−9 𝑚 et le paramètre de maille
qui dans a structure compact du cuivre est de l’ordre de grandeur du rayon atomique soit
0,2. 10−9 𝑚. Le modèle de Drude ne semble pas valable même s’il donne les bons résultats.
III-E-1) On reprend le principe fondamental appliqué à l’électron en ajoutant la force
⃗⃗𝑜 ) = −𝑒𝑦̇ 𝐵𝑜 𝑒⃗𝑥 + 𝑒𝑥̇ 𝐵𝑜 𝑒⃗𝑦 à la force électrique 𝐹⃗𝑒 = −𝑒𝐸⃗⃗𝑜 =
magnétique : 𝐹⃗𝑚 = −𝑒(𝑣⃗ ∧ 𝐵
−𝑒𝐸𝑜𝑥 𝑒⃗𝑥 − 𝑒𝐸𝑜𝑦 𝑒⃗𝑦 ce qui donne :
⃗⃗
𝑑𝑣
𝑚𝑒 𝑑𝑡 = −
𝑚𝑒
𝜏
⃗⃗𝑜 ) = ⃗⃗
𝑣⃗ − 𝑒𝐸⃗⃗𝑜 − 𝑒(𝑣⃗ ∧ 𝐵
0 soit en projetant sur les axes :
0 = −𝑒𝑦̇ 𝐵𝑜 − 𝑒𝐸𝑜𝑥 −
0 = 𝑒𝑥̇ 𝐵𝑜 − 𝑒𝐸𝑜𝑦 −
𝑚𝑒
𝑚𝑒
𝜏
𝜏
𝑥̇
𝑦̇
Soit en multipliant par −𝑛𝑜 𝑒 :
0 = 𝑛𝑜 𝑒 2 𝑦̇ 𝐵𝑜 + 𝑛𝑜 𝑒 2 𝐸𝑜𝑥 + 𝑛𝑜 𝑒
𝑚𝑒
𝜏
0 = −𝑛𝑜 𝑒 2 𝑥̇ 𝐵𝑜 + 𝑛𝑜 𝑒 2 𝐸𝑜𝑦 + 𝑛𝑜 𝑒
𝑥̇
𝑚𝑒
𝜏
𝑦̇
On a 𝑗𝑥 = −𝑛𝑜 𝑒𝑥̇ et 𝑗𝑦 = −𝑛𝑜 𝑒𝑦̇
Ce qui donne :
𝑚
0 = −𝑗𝑦 𝑒𝐵𝑜 + 𝑛𝑜 𝑒 2 𝐸𝑜𝑥 − 𝜏𝑒 𝑗𝑥
0 = 𝑗𝑥 𝑒𝐵𝑜 + 𝑛𝑜 𝑒 2 𝐸𝑜𝑦 −
𝑚𝑒
𝜏
𝑗𝑦
L’énoncé nous dit que le courant est suivant 𝑒⃗𝑥 . On a donc : 0 = 𝑛𝑜 𝑒 2 𝐸𝑜𝑥 −
retrouve la relation 𝑗𝑥 =
𝑛𝑜 𝜏𝑒 2
𝑚𝑒
𝑚𝑒
𝜏
𝑗𝑥 et on
𝐸𝑜𝑥 = 𝛾𝐸𝑜𝑥 avec 𝛾 = |−𝑒|𝑛𝑜 𝜇 La conductivité n’est pas
affectée par le champ magnétique.
III-E-2) La deuxième relation donne : 0 = 𝑗𝑥 𝑒𝐵𝑜 + 𝑛𝑜 𝑒 2 𝐸𝑜𝑦 . Il existe donc un champ
𝐵
électrique suivant l’axe 𝑦 : 𝐸𝑜𝑦 = 𝑗𝑥 𝑛 𝑜𝑒. La circulation de 𝐸𝑜𝑦 est la différence de potentiel
𝐵𝑜
𝑜
𝑈𝐻 = 𝑎𝑗𝑥 𝑛 𝑒. Elle permet de mesurer le champ magnétique 𝐵𝑜 et de réaliser une sonde à effet
𝑜
Hall.
Approche microscopique de la conduction électrique
1-a) Une loi de probabilité est valable si la somme de toutes les probabilités vaut 1. La
probabilité pour que la durée d’un choc soit comprise entre 𝜃 et 𝜃 + 𝑑𝜃 est d’après l’énoncé :
1
𝜃
𝑑𝑃 = 𝑝(𝜃)𝑑𝜃 = 𝜏 𝑒𝑥𝑝 (− 𝜏 ) 𝑑𝜃 . La somme de toutes les probabilités de durée de choc, pour
𝜃 variant de 0 à +∞ est :
∞1
∫0
𝜃
1
∞
𝜃
𝑒𝑥𝑝 (− 𝜏 ) 𝑑𝜃 = 𝜏 [−𝜏𝑒𝑥𝑝 (− 𝜏 )] = 1 . Il s’agit bien d’une loi de probabilité.
𝜏
0
1-b) La valeur moyenne de la durée 𝜃 entre deux chocs est donnée par l’expression:
∞
∞1
< 𝜃 >= ∫0 𝜃𝑝(𝜃)𝑑𝜃 = ∫0
𝜃
1
∞
𝜃
∞
𝜃
𝜃𝑒𝑥𝑝 (− 𝜏 ) 𝑑𝜃 = 𝜏 [−𝜏𝜃𝑒𝑥𝑝 (− 𝜏 )] + ∫0 𝑒𝑥𝑝 (− 𝜏 ) 𝑑𝜃
𝜏
0
ce
qui donne : < 𝜃 >= 𝜏
1-c) La valeur moyenne de 𝜃 2 est donnée par l’expression :
∞
∞1
< 𝜃 2 >= ∫0 𝜃 2 𝑝(𝜃)𝑑𝜃 = ∫0
1
∞
𝜃
𝜏
𝜃
𝜃 2 𝑒𝑥𝑝 (− 𝜏 ) 𝑑𝜃 ce qui donne :
∞
𝜃
< 𝜃 2 >= 𝜏 [−𝜏𝜃 2 𝑒𝑥𝑝 (− 𝜏 )] + 2 ∫0 𝜃𝑒𝑥𝑝 (− 𝜏 ) 𝑑𝜃 = 2𝜏 < 𝜃 > soit : < 𝜃 2 >= 2𝜏 2
0
2-a) En absence de champ électrique, les chocs renvoient les particules dans toutes les
directions et toutes les valeurs sont équiprobables. On a donc : < 𝑣⃗ >= ⃗⃗
0
1
3
3𝑘𝐵 𝑇
2-b) On a la relation : 𝐾 = 2 𝑚𝑣𝐾2 = 2 𝑘𝐵 𝑇 ce qui donne : 𝑣𝐾 = √
𝑚
3-a) On se place sur l’intervalle de temps [𝑡𝑘 , 𝑡𝑘+1 ] et on applique à l’électron la relation
⃗⃗
𝑑𝑣
fondamentale de la dynamique : 𝑚 𝑑𝑡 = −𝑒𝐸⃗⃗𝑜 ce qui donne : 𝑚𝑑𝑣⃗ = −𝑒𝐸⃗⃗𝑜 𝑑𝑡
Soit en intégrant : entre le temps 𝑡𝑘 et le temps 𝑡 : 𝑚(𝑣⃗(𝑡) − 𝑣⃗𝑘 ) = −𝑒𝐸⃗⃗𝑜 (𝑡 − 𝑡𝑘 ) soit :
𝑣⃗(𝑡) = −
𝑒𝐸⃗⃗𝑜
𝑚
(𝑡 − 𝑡𝑘 ) + 𝑣⃗𝑘
𝑑𝑟⃗
𝑑𝑟⃗
On a 𝑑𝑡 = 𝑣⃗ ce qui donne : 𝑑𝑡 = −
𝑒𝐸⃗⃗𝑜
𝑚
(𝑡 − 𝑡𝑘 ) + 𝑣⃗𝑘 soit 𝑑𝑟⃗ = −
𝑒𝐸⃗⃗𝑜
𝑚
(𝑡 − 𝑡𝑘 )𝑑𝑡 + 𝑣⃗𝑘 𝑑𝑡 .On
intègre cette relation entre 𝑡𝑘 et 𝑡𝑘+1 ce qui donne :
𝑒𝐸⃗⃗
𝑟⃗𝑘+1 − 𝑟⃗𝑘 = − 2𝑚𝑜 (𝑡𝑘+1 − 𝑡𝑘 )2 + 𝑣⃗𝑘 (𝑡𝑘+1 − 𝑡𝑘 )
Après un grand nombre de chocs on a :
𝑒𝐸⃗⃗
𝑁
2
𝑟⃗𝑘+𝑁 − 𝑟⃗𝑘 = − 2𝑚𝑜 ∑𝑁
⃗𝑘−1+𝑖
𝑖=1(𝑡𝑘+𝑖 − 𝑡𝑘 ) + ∑𝑖=1(𝑡𝑘+𝑖 − 𝑡𝑘 ) 𝑣
2
2
2
On utilise alors les résultats de la question 1) : ∑𝑁
𝑖=1(𝑡𝑘+𝑖 − 𝑡𝑘 ) = 𝑁 < 𝜃 >= 2𝑁𝜏 et
∑𝑁
⃗𝑘−1+𝑖 = ⃗0⃗ car les directions des vitesses sont aléatoires.
𝑖=1(𝑡𝑘+𝑖 − 𝑡𝑘 ) 𝑣
On en déduit donc : 𝑟⃗𝑘+𝑁 − 𝑟⃗𝑘 = −
𝑒𝐸⃗⃗𝑜
𝑚
𝑁𝜏 2
3-b) La vitesse de dérive est donnée par l’expression : 𝑣⃗𝑑 =
de chocs, 𝑡𝑘+𝑁 − 𝑡𝑘 = 𝑁 < 𝜃 >= 𝑁𝜏
𝑒𝜏
On en déduit : 𝑣⃗𝑑 = − 𝐸⃗⃗𝑜
𝑚
𝑟⃗𝑘+𝑁 −𝑟⃗𝑘
𝑡𝑘+𝑁 −𝑡𝑘
. Or sur un grand nombre
3-c) si on fait l’hypothèse d’une force de frottement de friction de la forme 𝐹⃗ = −𝑘𝑣⃗, si on
applique la relation fondamentale de la dynamique à l’électron en régime permanent, on
𝑒
𝑚
obtient : 𝐹⃗ − 𝑒𝐸⃗⃗𝑜 = ⃗0⃗ ce qui donne une vitesse 𝑣⃗ = − 𝐸⃗⃗𝑜 . On trouve donc 𝑘 =
𝑘
𝜏