Conductivité dans les conducteurs Centrale-MP-2015-Extrait

Centrale-MP-2015-Extrait
Conductivité dans les conducteurs
III-A-1) La valeur moyenne de l’énergie cinétique pour un gaz monoatomique est :
Comme l’énergie cinétique vaut
: on en déduit l’expression de la vitesse
microscopique d’un électron à la température : 
 
III-A-2-a) Entre deux chocs, l’électron ne subit aucune force. Sa vitesse se conserve :
 
III-A-2-b) Comme après chaque choc l’électron repart de façon aléatoire, on a  
III-B- En présence d’un champ électrique, l’électron a toujours des chocs aléatoires mais il est
accéléré quand sa direction est dans le sens de la force électrique, c’est-à-dire dans le sens
opposé à
et il est freiné quand sa direction est dans le sens opposé à la force électrique
c’est-à-dire dans le sens de
. Globalement l’électron a une vitesse moyenne dans le sens
opposé à
. ce qui donne le schéma suivant :
III-C-1) Le terme mésoscopique désigne une échelle d’observation telle qu’un volume
élémentaire contiennent un très grand nombre d’électrons de conduction.
III-C-2) On se place dans le référentiel lié au cristal supposé galiléen. On néglige le poids de
l’électron par rapport à la force électrique. On applique le principe fondamental de la
dynamique à un électron: 


.
On se place en régime stationnaire. L’équation devient :

ce qui donne :
  
. La mobilité de l’électron est :
  
III-C-3) Le vecteur densité de courant vaut :   ce qui donne :
La loi d’Ohm locale est :
. On en déduit l’expression de la conductivité :
III-C-4) D’après la question précédente on a :   

𝐸
La distance moyenne entre deux chocs est      en prenant pour la valeur
de la température thermique.
III-D-1) Lorsque le champ électrique varie en fonction du temps, on a 

 
qui a pour solution :   


représente le temps pour que l’électron soit en gime permanent. Il faut donc que le champ
électrique varie lentement par rapport à pour pouvoir supposer    
. Comme est
très faible, ça n’est pas une contrainte dans le cadre de l’ARQS. Il faut des fréquences de
champ électrique supérieure à  pour que la loi d’Ohm locale ne soit plus valable.
III-D-2) Il y a une contradiction entre la phrase « la distance moyenne parcourue par un
électron dans le cuivre peut atteindre quelques milliers de paramètres de maille » et le calcul
de la distance moyenne entre deux chocs qui vaut environ  et le paramètre de maille
qui dans a structure compact du cuivre est de l’ordre de grandeur du rayon atomique soit
. Le modèle de Drude ne semble pas valable même s’il donne les bons résultats.
III-E-1) On reprend le principe fondamental appliqué à l’électron en ajoutant la force
magnétique :
  
 à la force électrique
 
 ce qui donne :
  


soit en projetant sur les axes :
  
  
Soit en multipliant par  :
  
  
On a   et  
Ce qui donne :
  
  
L’énoncé nous dit que le courant est suivant . On a donc : 
et on
retrouve la relation
  avec  La conductivité n’est pas
affectée par le champ magnétique.
III-E-2) La deuxième relation donne : . Il existe donc un champ
électrique suivant l’axe : 
. La circulation de  est la différence de potentiel
. Elle permet de mesurer le champ magnétique et de réaliser une sonde à effet
Hall.
Approche microscopique de la conduction électrique
1-a) Une loi de probabilité est valable si la somme de toutes les probabilités vaut . La
probabilité pour que la durée d’un choc soit comprise entre et  est d’après l’énoncé :
   

 . La somme de toutes les probabilités de durée de choc, pour
variant de à  est :




. Il s’agit bien d’une loi de probabilité.
1-b) La valeur moyenne de la durée entre deux chocs est donnée par l’expression:
   






ce
qui donne :    
1-c) La valeur moyenne de est donnée par l’expression :
  


ce qui donne :
 




    soit :   
2-a) En absence de champ électrique, les chocs renvoient les particules dans toutes les
directions et toutes les valeurs sont équiprobables. On a donc :  
2-b) On a la relation :  
ce qui donne : 
3-a) On se place sur l’intervalle de temps  et on applique à l’électron la relation
fondamentale de la dynamique :
  
ce qui donne :  

Soit en intégrant : entre le temps et le temps :  
 soit :
 
On a 
 ce qui donne :
  
soit   
 .On
intègre cette relation entre et  ce qui donne :
 
  
Après un grand nombre de chocs on a :
 
  
 

On utilise alors les résultats de la question 1) :  
     et
 

car les directions des vitesses sont aléatoires.
On en déduit donc :  

3-b) La vitesse de dérive est donnée par l’expression :

 . Or sur un grand nombre
de chocs,      
On en déduit :  
3-c) si on fait l’hypothèse d’une force de frottement de friction de la forme
 , si on
applique la relation fondamentale de la dynamique à l’électron en régime permanent, on
obtient :

ce qui donne une vitesse  
. On trouve donc  
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