Conductivité dans les conducteurs Centrale-MP-2015-Extrait

Centrale-MP-2015-Extrait
Conductivité dans les conducteurs
III-A-1) La valeur moyenne de l’énergie cinétique pour un gaz monoatomique est :
Comme l’énergie cinétique vaut 
 : on en déduit l’expression de la vitesse
microscopique d’un électron à la température  : 
III-A-2-a) Entre deux chocs, l’électron ne subit aucune force. Sa vitesse se conserve :
III-A-2-b) Comme après chaque choc l’électron repart de façon aléatoire, on a   
III-B- En présence d’un champ électrique, l’électron a toujours des chocs aléatoires mais il est
accéléré quand sa direction est dans le sens de la force électrique, c’est-à-dire dans le sens
opposé à  et il est freiné quand sa direction est dans le sens opposé à la force électrique
c’est-à-dire dans le sens de  . Globalement l’électron a une vitesse moyenne dans le sens
opposé à  . ce qui donne le schéma suivant :
III-C-1) Le terme mésoscopique désigne une échelle d’observation telle qu’un volume
élémentaire contiennent un très grand nombre d’électrons de conduction.
III-C-2) On se place dans le référentiel lié au cristal supposé galiléen. On néglige le poids de
l’électron par rapport à la force électrique. On applique le principe fondamental de la
dynamique à un électron: 
.
On se place en régime stationnaire. L’équation devient : 
 ce qui donne :
 . La mobilité de l’électron est :
III-C-3) Le vecteur densité de courant vaut :   ce qui donne :  
La loi d’Ohm locale est : 
. On en déduit l’expression de la conductivité :
III-C-4) D’après la question précédente on a :   
𝐸

La distance moyenne entre deux chocs est      en prenant pour  la valeur
de la température thermique.
III-D-1) Lorsque le champ électrique varie en fonction du temps, on a 
qui a pour solution :    
 représente le temps pour que l’électron soit en régime permanent. Il faut donc que le champ
électrique varie lentement par rapport à  pour pouvoir supposer    
. Comme  est
très faible, ça n’est pas une contrainte dans le cadre de l’ARQS. Il faut des fréquences de
champ électrique supérieure à  pour que la loi d’Ohm locale ne soit plus valable.
III-D-2) Il y a une contradiction entre la phrase « la distance moyenne parcourue par un
électron dans le cuivre peut atteindre quelques milliers de paramètres de maille » et le calcul
de la distance moyenne entre deux chocs qui vaut environ  et le paramètre de maille
qui dans a structure compact du cuivre est de l’ordre de grandeur du rayon atomique soit
. Le modèle de Drude ne semble pas valable même s’il donne les bons résultats.
III-E-1) On reprend le principe fondamental appliqué à l’électron en ajoutant la force
magnétique : 
  à la force électrique 
 ce qui donne :
soit en projetant sur les axes :
Soit en multipliant par  :
On a   et  
Ce qui donne :
L’énoncé nous dit que le courant est suivant . On a donc :   
 et on
retrouve la relation 
   avec    La conductivité n’est pas
affectée par le champ magnétique.
III-E-2) La deuxième relation donne :  . Il existe donc un champ
électrique suivant l’axe  :  
. La circulation de  est la différence de potentiel
. Elle permet de mesurer le champ magnétique  et de réaliser une sonde à effet
Hall.
Approche microscopique de la conduction électrique

1-a) Une loi de probabilité est valable si la somme de toutes les probabilités vaut . La
probabilité pour que la durée d’un choc soit comprise entre  et  est d’après l’énoncé :
 . La somme de toutes les probabilités de durée de choc, pour
 variant de  à  est :
 . Il s’agit bien d’une loi de probabilité.
1-b) La valeur moyenne de la durée  entre deux chocs est donnée par l’expression:
 ce
qui donne :    
1-c) La valeur moyenne de  est donnée par l’expression :
 ce qui donne :
     soit :   
2-a) En absence de champ électrique, les chocs renvoient les particules dans toutes les
directions et toutes les valeurs sont équiprobables. On a donc :   
2-b) On a la relation :   
 ce qui donne : 
3-a) On se place sur l’intervalle de temps  et on applique à l’électron la relation
fondamentale de la dynamique : 
 ce qui donne :  
Soit en intégrant : entre le temps  et le temps  :   
 soit :
On a 
  ce qui donne :   soit     .On
intègre cette relation entre  et  ce qui donne :
Après un grand nombre de chocs on a :
On utilise alors les résultats de la question 1) :   
      et
car les directions des vitesses sont aléatoires.
On en déduit donc :  
3-b) La vitesse de dérive est donnée par l’expression : 
 . Or sur un grand nombre
de chocs,       
On en déduit :  

3-c) si on fait l’hypothèse d’une force de frottement de friction de la forme 
 , si on
applique la relation fondamentale de la dynamique à l’électron en régime permanent, on
obtient :  ce qui donne une vitesse   
. On trouve donc   