Coup de foudre

Coup de foudre
1) Dans ce problème, on néglige les effets de bord et on suppose que les distributions
volumiques de charge ne dépendent que de . Elles sont donc invariantes par translation par
rapport à  et . On en déduit  .
Les plans  , et  , sont des plans de symétrie de la distribution de charge. Le
champ 
 appartient à ces plans.
On en déduit : 
2) On prend une surface fermée  composée d’un cylindre d’axe , de hauteur , de sections 
dans les plans  et . Le flux de  à travers cette surface vaut :
soit comme  et 
  : 
On applique le théorème de Gauss : 
Dans la surface fermée  on a une charge :  
On a donc : 
 ce qui donne :
L’énoncé nous donne la valeur du champ électrique pour . On en déduit :
La charge totale contenue dans la couche d’épaisseur  est :
3) Deux méthodes pour montrer que le champ est uniforme :
Méthode 1 : on applique l’équation de Maxwell-Gauss : 
 ce qui donne dans le vide
 . Comme 
, on a 
  donc  ne dépend pas de .
Méthode 2 : on applique le théorème de Gauss à un cylindre d’axe , de sections dans les
plans  et , avec  et  entre  et . Le flux de  à travers cette surface vaut :
On applique le théorème de Gauss : 
. On en déduit .
Le champ est donc uniforme.
Le champ électrique créé par des distribution volumiques de charge est continu. On en déduit
que pour , 
4) L’énoncé nous dit que la densité volumique de charge est linéaire en fonction de  avec
 et .
On a donc  avec  et  ce qui donne la loi :

5) On applique l’équation locale de Maxwell-Gauss : 
 ce qui donne
 soit : 
Le champ est continu. On doit donc avoir 
soit : 
 ce qui donne :
. Le champ électrique dans le nuage vaut finalement :
6) L’allure de  en fonction de  est la suivante :
7) L’énoncé donne la valeur maximale du champ électrique dans le nuage, valeur
correspondant à la norme du champ électrique en 
.
On obtient 
  .
On a alors : 
La charge portée par la moitié du nuage chargée positive est donnée par l’expression :
 ce qui donne :
Soit :  
 ce qui donne :
Le Coulomb étant une unité très « forte » cette valeur est énorme mais le nuage également.
8) Le potentiel électrostatique est défini par la relation  dV soit : 
 .
Pour  on a 
 ce qui donne 
L’énoncé nous dit de prendre . On a alors : 
Pour  on a 
 ce qui donne 

Le potentiel est continu en  donc  soit : 
 soit
, d’où 
Récapitulatif :
Pour  , 
Pour 
La différence de potentiels entre le sol et le nuage est :  ce qui
donne : 
9) Entre le sol et le nuage, le champ électrostatique maximal est de  alors que le
champ disruptif est de . A priori le champ électrostatique créé par l’orage est
insuffisant en l’absence d’obstacles pour ioniser l’air et créer une décharge.
10) Le champ et le potentiel électrostatiques créés en  par une sphère chargée sont :
 et 
On en déduit la relation entre  créé au voisinage immédiat et  :
11) Dans les deux cas on a 
.
Pour  on trouve  et pour  on trouve 
Plus on monte en altitude, moins les objets ont besoin d’être pointus pour ioniser l’air.
12) On peut estimer l’intensité du courant électrique en considérant que la charge  portée par
le nuage est transférée pendant un temps .
On a alors  
13) La puissance libérée par le coup de foudre est donnée par la relation : .
L’énergie libérée par le coup de foudre pendant le temps  est donc :
Cette énergie va servir à chauffer l’air. On suppose que la foudre correspond à un cylindre de
hauteur , de rayon .
On peut estimer le nombre de moles d’air dans ce cylindre en supposant qu’avant le coup de
foudre, la température est de  et la pression .
L’air étant un gaz parfait on a la relation  ce qui donne 
La variation d’enthalpie de cette colonne d’air est égale à l’énergie dissipée par le coup de
foudre ce qui donne :  avec  
soit :  

Mines-MP-2015- Extrait
Nature de la gravitation
II-Corriger la gravitation universelle classique ?
11- En électrostatique on a l’équation de Maxwell-Gauss : 
 et l’équation de
Maxwell-Faraday : 
En magnétostatique on a l’équation   et l’équation de Maxwell-Ampère 
La distribution proposée à des équations semblables à celle de l’électrostatique mais pas à
celle du magnétostatique.
On définit le potentiel gravitationnel par la relation : 
On a 
 ce qui donne 
 soit
12- Un point  de masse  subit la force   ce qui donne en introduisant
le vecteur unitaire 
:
La force obtenue est une force centrale. Si on introduit 
 le moment cinétique par rapport à
O du point matériel, on a  . Le moment cinétique est une constante. Le
mouvement du point matériel se fait dans le plan perpendiculaire au moment cinétique.
Dans ce plan, 
. L’expression  représente  la constante des aires.
13- Si le point matériel est en orbite circulaire, sa vitesse est 
 et son accélération est
. On applique la loi de la quantité de mouvement au pont matériel situé en , de
masse :  ce qui donne : 
 soit 
. On en déduit
l’expression de la vitesse :
14- Dans le modèle keplerien, le potentiel est : 
 ce qui donne 
d’où l’expression de la vitesse circulaire :
Ce modèle est dit keplerien car c’est le modèle qui conduit aux lois de Kepler.
15- La courbe montre qu’en dehors du bulbe, la vitesse du mouvement circulaire est une
constante et ne dépend pratiquement pas de . Le modèle képlerien n’est donc pas valable.

16- Le potentiel total est la somme du potentiel de la masse noire et de celui de la masse
visible.
On a donc : 
 et 
Pour calculer le potentiel de la matière noire on a l’équation de Poisson du potentiel :
 ce qui donne en géométrie sphérique : 
 soit
 . On intègre cette expression de  à  :
Ce qui donne 
On a donc : 
La vitesse du mouvement circulaire est toujours donnée par l’expression : 
 soit :
Dès que  (grandeur d’environ ) on a 
 et la vitesse
devient constante :  ce qui donne l’expression de 
En prenant pour la vitesse  la valeur , on obtient pour
L’énoncé nous donne la masse du Soleil :  et l’unité de distance : 
 ce qui permet de convertir la constante  en unité de masse solaire et de parsec :
17- L’énoncé nous donne la densité volumique de masse de la matière noire : 
.
Pour trouver la masse de la matière noire sur toute la galaxie il faut écrire :
 . comme la distribution de masse ne dépend que de r, on peut prendre
comme élément de volume une coquille sphérique élémentaire et écrire :
. On retrouve l’intégrale donnée par l’énoncé d’où :
Avec ce modèle, la matière noire représente  de la masse de la galaxie.
On estime la matière noire à  de la masse de l’univers.
18- La grandeur  est sans dimension. On a  
Le potentiel gravitationnel est en  donc   est en .