U - EXEMPLE DE FONCTION CONTINUE SUR R \ Q UNIQUEMENT

U - EXEMPLE DE FONCTION CONTINUE
SUR R\QUNIQUEMENT
Cette fonction va être introduite comme limite de certaines suites.
On définit trois suites récurrentes par la donnée de a0,b0,c0, dans R, et les relations
(1) 
an+1 =|bn−cn|
bn+1 =|cn−an|
cn+1 =|an−bn|
(n≥0) .
1) Les suites (an)n≥1,(bn)n≥1et (cn)n≥1sont décroissantes positives et convergent, l’une vers 0,
les deux autres vers une valeur commune positive notée f(a0, b0, c0).
On a, pour n≥0, à cause des inégalités triangulaires
an+2 =|bn+1 −cn+1|=||cn−an| − |an−bn|| ≤ |cn−bn|=an+1 ,
ce qui montre que (an)n≥1est décroissante. La démonstration est analogue pour les autres suites.
Les suites étant décroissantes et minorées par 0convergent vers des limites notées α,β, et γrespecti-
vement. On peut supposer par exemple que
α≤β≤γ .
Alors, par passage à la limite dans (1), on tire
α=γ−β
β=γ−α
γ=β−α
,
d’où,
γ=β−α=β−(γ−β) = 2β−γ ,
ce qui implique
β=γpuis α= 0 .
2) Quel que soit n≥1, un des nombres an,bn,cnest égal à la somme des deux autres.
Si l’on a par exemple, pour n≥1,
an−1≤bn−1≤cn−1,

U 2
alors
an=cn−1−bn−1
bn=cn−1−an−1
cn=bn−1−an−1
,
et donc
bn=an+cn.
Propriétés de la fonction f
a) Si (an),(bn),(cn)sont les suites construites à partir de (a, b, c), on a, pour tout n≥0
f(a, b, c) = f(an, bn, cn).
b) La fonction fest homogène de degré 1: quels que soient (λ, a, b, c)dans R4,
f(λa, λb, λc) = |λ|f(a, b, c).
c) Pour toute permutation σde (a, b, c), on a
f◦σ=f .
d) quels que soient (λ, a, b, c)dans R4,
f(a+λ, b +λ, c +λ) = f(a, b, c).
e) f(1,1,0) = 1.
a) résulte du fait que les limites des suites ne dépendent pas des premiers termes.
b) Si l’on multiplie a,b,cpar λ, tous les termes des suites sont multipliés par |λ|à partir du rang 1,
et donc les limites également.
c) résulte de la symétrie des définitions des suites.
d) Ajouter la même valeur λàa0,b0,c0ne modifie pas les suites à partir du rang 1.
e) Si l’on part de (1,1,0), on s’aperçoit que les trois suites sont constantes. La limite non nulle vaut
donc 1.
3) Si une des suites (an),(bn),(cn)construites à partir de (a, b, c)est nulle à partir d’un certain
rang, les deux autres suites sont elles aussi stationnaires et sont égales à partir d’un certain rang à
leur limite commune f(a, b, c).

U 3
Supposons par exemple que cnsoit nulle pour n > n0. Alors, si n≥n0,
|an−bn|=cn+1 = 0 .
Donc, si n > n0, on a
f(a, b, c) = f(an, bn,0) = anf(1,1,0) = an=bn.
4) Si f(a, b, c)est non nul, les suites (an),(bn),(cn)construites à partir de (a, b, c)sont station-
naires.
Supposons par exemple que (cn)converge vers 0. Alors il existe n0tel que n≥n0implique
0≤cn< f(a, b, c)≤inf(an, bn).
Donc, si n≥n0, on a
an+1 =bn−cnet bn+1 =an−cn.
Alors
cn+2 =|an+1 −bn+1|=|bn−an|=cn+1 .
Alors (cn)est stationnaire, et comme elle converge vers 0elle est nulle à partir d’un certain rang, et
les deux autres suites sont stationnaires d’après 3).
5) Si a,b,csont entiers
f(a, b, c) = PGCD(|a−b|,|b−c|,|c−a|).
Les suites (an),(bn)et (cn)construites à partir de (a, b, c)sont des suites décroissantes d’entiers positifs.
Elles sont donc stationnaires. On a aussi
f(a, b, c) = f(|a−b|,|b−c|,|c−a|).
Une récurrence immédiate, montre que si λest le PGCD de a1,b1,c1, il divise an,bn,cnpour tout
entier n≥1, et donc divise également f(a, b, c)qui est égal à un des termes d’une de ces suites.
Supposons que l’on ait
an+1 =bn+1 =f(a, b, c) et cn+1 = 0 ,
et montrons par une récurrence décroissante, qu’alors f(a, b, c)divise ap,bp,cppour tout pcompris
entre 1et n+ 1.
Supposons par hypothèse de récurrence, que f(a, b, c)divise ap+1,bp+1 et cp+1. Un des nombres ap,bp,
cpest la somme des deux autres. Par exemple
cp=ap+bp.

U 4
Alors
ap+1 =|bp−cp|=apet bp+1 = [cp−ap|=bp.
Donc f(a, b, c)divise apet bppuis cp.
Finalement f(a, b, c)divise a1,b1et c1.
On a donc bien
f(a, b, c) = PGCD(a1, b1, c1).
6) Quels que soient pet qentiers premiers entre eux
f(p, q, 0) = 1 .
Si pet qsont premiers entre eux, alors, les nombres
a1=|q|, b1=|p|, c1=|p−q|
sont aussi premiers entre eux, et d’après 5), on en déduit que
f(a, b, c) = PGCD(a1, b1, c1) = 1 .
7) Soit gla fonction définie sur Rpar
g(x) = f(x, 1,0) .
La fonction fest entièrement déterminée par g.
En utilisant les propriétés de f, on a, si best différent de c,
f(a, b, c) = f(a−c, b −c, 0) = |b−c|fa−c
b−c,1,0=|b−c|ga−c b−c,
et si b=c,
f(a, b, c) = f(a−c, 0,0) = |a−c|f(1,0,0) = |a−c|f(0,1,0) = |a−c|g(0) .
8) On a
g(x) = 
0si xest irrationnel
1
qsi x=p qavec pet qpremiers entre eux et q > 0
1si x= 0
.

U 5
On a d’après 6)
g(0) = f(0,1,0) = 1
et
gp
q=fp q,1,0=1 qf(p, q, 0) = 1 q.
Il reste à étudier le cas des valeurs irrationnelles.
Notons (an(x)),(bn(x)) et (cn(x)) les suites construites à partir de (x, 1,0). Pour tout n≥0, on définit
ainsi des applications an,bn,cnde Rdans R+.
Lemme Pour tout n≥0, les fonctions an,bn,cnsont des fonctions affines par intervalles, dont
les angles se trouvent en des points rationnels.
Pour démontrer le lemme, montrons par récurrence le résultat suivant :
pour tout n≥0, il existe des rationnels t1< t2<··· < trtels que an,bn,cnsoient linéaires affines à
coefficients entiers sur chacun des intervalles de Rlimités par t1,...,tr.
C’est vrai à l’ordre 0, puisque a0,b0et c0sont affines à coefficients entiers. Supposons la propriété
vraie à l’ordre n. Il existe une subdivision de Rformée de points rationnels telle que, sur chacun des
intervalles Ide la subdivision, on ait
an(x) = λx +µet bn(x) = λ′x+µ′
avec λ,λ′,µ,µ′entiers. Alors
cn+1(x) = |(λ−λ′)x+ (µ−µ′)|.
Si le nombre
s=µ′−µ
λ−λ′
n’est pas dans I, la fonction cn+1 est affine sur Iet à coefficients entiers.
Dans le cas contraire, on rajoute sà la subdivision. C’est un nombre rationnel et cn+1 est affine et à
coefficients entiers sur les deux nouveaux intervalles ainsi créés.
Le résultat est analogue pour an+1 et bn+1.
Montrons maintenant que gest nulle aux points irrationnels. On raisonne par l’absurde en supposant
qu’il existe un irrationnel x0tel que g(x0)ne soit pas nul. Alors d’après 4), les suites (an(x0)),(bn(x0))
et (cn(x0)) sont stationnaires. L’une de ces suites est nulle à partir d’un certain rang. Supposons que
ce soit (cn(x0)). Alors, à partir d’un certain rang,
an(x0) = bn(x0) = g(x0).