examen corrige phys 2 1ere annee st 07 08

Université A. Mira de Béjaia Année 2007/2008
Faculté de la Technologie 18 Juin 2008
Département des Sciences et Techniques (ST) 1
ère
année Durée : 02 heures
Bon courage
~ Epreuve de moyenne durée ~
Module: Physique 2 (Electricité et Magnétisme)
Exercice n°1 (03 pts)
On place trois charges électriques qq1+= , q2q2−= et qq 2
3
3−= (q
> 0) aux
sommets d'un triangle équilatéral de coté a (figure ci-contre).
1. Dans la base )j,i,O(
r
r
, exprimer puis représenter les forces agissant sur la
charge q2 située au point O
.
2. On donne : q=4µC, a=1.2m et K=1/(4 πε
0)=9 109 N.m2.C -2.
Déterminer le module de la force totale 2 F
r
s'exerçant sur q2.
Exercice n°2 (05 pts)
1. Un disque plan circulaire, de rayon R, porte une distribution surfacique de charge
avec une densité
σ constante et positive (figure ci-contre). Un point M de l’axe
de révolution du disque est repéré par sa distance z au centre O du disque.
a. Calculer le potentiel V(M) créé au point M par le disque chargé.
b. En déduire le champ électrique )M(E
r créé au point M.
2. Un plan indéfini (P) est percé d’une ouverture circulaire de centre O et de rayon R. Il porte une
distribution surfacique de charge avec une densité
σ constante et positive. En utilisant les
résultats obtenus dans la question 1, calculer le champ électrique créé en un point M de la droite
perpendiculaire au plan (P) en O (OM=z).
Exercice n°3 (02.5 pts)
Une sphère conductrice et homogène, de centre O et de rayon R, porte une charge électrique
totale Q
. En appliquant le théorème de Gauss, déterminer le champ électrostatique E
r créé par la
sphère en tout point M de l’espace
(OM=r). Tracer l’évolution du champ électrique E
r
en fonction de r.
Exercice n°4 (05 pts)
1. On considère deux sphères conductrices, de rayons R1=2cm et R2=3cm , très éloignées l’une de
l’autre. Elles portent les charges électriques Q1=10µC et Q2=15µC, respectivement. On relie les
deux sphères avec un fil conducteur très fin. Si on néglige la charge portée par le fil,
a. Calculer les nouvelles charges Q1’ et Q2’ des deux sphères.
b. Calculer la quantité de charge qui a traversé le fil. Commenter le résultat.
2. Soit le montage ci-contre. Initialement, les condensateurs C2 et C3 étaient non
chargés et le condensateur C1 portait la charge Q0. On prendra C1=C2=C3=C.
A l’équilibre, déterminer la ddp VA-VB et les charges Q1, Q2 et Q3 des trois
condensateurs en fonction de C et Q0.
Exercice n°5 (04.5 pts)
On considère trois résistances R1=30 Ω , R2=120 Ω et R3=40 Ω et un générateur
de f.e.m e=120volts.
1. On monte les trois résistances et le générateur comme le montre la figure
ci-contre. Trouver les courants circulant dans les trois résistances ainsi
que celui débité par le générateur.
2. On assemble maintenant les trois résistances et le générateur comme le
montre la figure ci-contre. Calculer les courants I1, I2 et I3 qui traversent
les résistances R1, R2 et
R3.
q1
q2 q3
i
r
j
r
O
A
B
C2
C1 C3
R1
R2
R3
e
A
B
C
R1
e
R3
R2
I3
I2
I1
A B
C
σ
zM
O
k
r
Z

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année Durée : 02 heures
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~ Corrigé de l’Epreuve de moyenne durée ~
Physique 2 : Electricité et Magnétisme
Exercice n°1 (03 pts)
1. Expressions des forces agissant sur la charge q2 située au point O :
1
2
2
1
221
2/1 u
a
q
K2u
aqq
KF rr
r−==
3
2
2
3
223
2/3 3u
a
q
Ku
a
qq
KF rr
r==
Avec : )j
2
3
i
2
1
()j60sini60cos(u1
rrrr
r−−=−−= et iu
r
r
−=
3
2.
Calcul du module de la force totale
2
F
r
:
[
]
ji
a
q
Ku
a
q
Ku
a
q
KFFF rr
rr
rrr 3232 2
2
3
2
2
1
2
2
2/32/12 +−=+−=+=
A.N :
Exercice n°2 (05 pts)
1. a. Calcul du potentiel V(M) créé au point M par le disque chargé :
Chaque élément de surface ds
( figure ci-contre ) crée en M le potentiel dV:
l
dq
KdV =
avec : dsdq
σ
= et 22 zr +=l
En coordonnées polaires, dans le plan xOy, ds s’écrit :
θ
ddrrds
=
avec )r,i( ∧
=r
r
θ
→ 22 zr
ddrr
KdV + =
θ
σ
∫∫
== +
=
R
0r
2
022 zr
ddrr
K)M(V
π
θ
θ
σ
, →
N.B : On peut prendre drr2ds
π
=
(couronne de rayon r et d’épaisseur dr) et on intègre dV de r= 0 à R
b. Calcul du Champ électrique )M(E
r
:
Symétrie → )M(E
r est porté par l’axe Oz : k
z
V
)M(E
r
r
∂
∂
−=
→
2.
Calcul du champ créé au point M de l’axe Oz :
D’après le principe de superposition :
DisquePercéPlanIndéfiniPlan EEE
r
r
r
+=
On a:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−=
=
k
zR
z
E
kE
Disque
IndéfiniPlan
r
r
r
r
22
0
0
1
2
2
ε
σ
ε
σ
D’où :
Représentation des forces agissant
sur la charge q2
2/3
F
r
2/1
F
r
3
u
r
1
u
r
q1
q2 q3
i
r
j
r
O
=
2
F
r
0.2646 N.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−+= zzR
2
)M(V 22
0
ε
σ
k
zR
z
1
2
)M(E 22
0
r
r
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−=
ε
σ
k
zR
z
EEE DisqueIndéfiniPlanPercéPlan
r
r
r
r
22
0
2+
=−=
ε
σ
0,5 point
0,5 point
0,5 point
0,5 point
0,5 point 0,5 point
0,5 point
0,5 point
0,5 point
01 point
01 point
0,5 point
01 point
R
Plan Indéfini, Percé,
de densité
de charge
σ
z M
O
σ
z M
O i
r
j
r
k
r
X
Y
ds
l
r
r
Z

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Exercice n°3 (02.5 pts)
Calcul du champ électrique créé par la sphère en tout point M de l’espace ( OM=r ) :
Comme la sphère est conductrice, la charge Q est répartie en surface.
Théorème de Gauss : ∫∫ ∑
==Φ
S
GausS
Q
SdE 0
.int
ε
r
r
Symétrie sphérique → surface fermée de Gauss ≡ sphère de rayon r. On distingue deux cas :
r < R (intérieur de la sphère) :
Surface de Gauss considérée : sphère de rayon r
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
==Φ
∑OQ
rESE
GaussS.int
2
intint 4..
π
r > R (extérieur de la sphère) :
Surface de Gauss considérée : sphère de rayon r
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
==Φ
∑QQ
rESE
GaussS
extext
.int
2
4.. π
Exercice n°4 (05 pts)
1. a. Calcul des nouvelles charges Q1’ et Q2’ des deux sphères :
Potentiels des deux sphères après la connexion :
1
1
1R'Q
K'V =,
2
2
2R'Q
K'V =
A l’équilibre, 'V'V 21 = →
2
2
1
1R'Q
R'Q =……………….…(Eq.1)
Conservation de la charge : Q1+Q2=Q1’+Q2’………(Eq.2)
De (1) et (2), on trouve : )QQ(
RR R
'Q 21
21
1
1+
+
= A.N :
)QQ(
RR R
'Q 21
21
2
2+
+
= A.N :
b.
Calcul de la quantité de charge qui a traversé le fil :
On a Q1’= Q1 et Q2’= Q2. Ceci implique qu’il n’y a pas eu de transfert de charge.
Avant la connexion des deux sphères, elles étaient au même potentiel. Après leur
connexion, l’équilibre (potentiel=constante) s’établit donc sans transfert de charge.
2.
Détermination de la ddp VA-VB et des charges Q1, Q2 et Q3 des trois
condensateurs en fonction de
C et Q0 :
On a :
AB
AB
BA C
Q
VV =−
avec : 0AB QQ = (Conservation de la charge, seul C1 était initialement chargé)
C
2
3
CC CC
CC 32
32
1AB =
+
+= (Condensateur équivalent entre A et B)
D’où :
OEint =
2
0
ext r
Q
41
E
πε
=
Q1
’
=10µ
C
C
Q
3
2
C
Q
VV 0
AB
0
BA ==−
0BA11 Q
3
2
)VV(CQ =−= 0BA
32
32
23Céqui32 Q
3
1
)VV(
CC CC
QQQ =−
+
===
A
B
C2
C1C3
A
B
C
A
B
≡
0,5 point
0,5 point
0,5 point
2
ext r1
E∝
0Eint =
r
E(r)
R
0
Evolution du champ électrique E en
fonction de r
01 point
0,5 point
0,5 point
0,5 point
Q2
’
=15µ
C
0,5 point
0,5 point
0,5 point
0,5 point
0,5 point 01
p
oint
S.Gauss
R
r
Q
O
R
r
Q
O
S.Gauss

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Exercice n°5 (04.5 pts)
1. Calcul des courants circulant dans les trois résistances et celui débité par le générateur :
Courant traversant R1 : (VA=VB)
Courant traversant R2 :
Courant traversant R3 :
Courant débité par le générateur
:
Au nœud C, on a :
2. Calcul des courants I1, I2 et I3 :
Le circuit peut être simplifié comme l’indique
la figure ci-contre (Schéma 1
→ Schéma 2) :
On a :
Ω 60
RR RR
RR 32
32
1AC =
+
+=
1AC IRe = → AC
1Re
I=
A.N:
On remplace R2 et
R3 par la résistance équivalente et on obtient le Schéma 3:
Avec :
Ω 30
RR RR
R32
32
BC =
+
=
D’où : 1BCCB IRVV =− =60 volts
Du Schéma 1, on a : 22CB IRVV =− → 2
CB
2RVV
I
−
=
A.N :
Loi des nœuds en B : I1=I2+I3
→ I3=I1-I2 A. N :
A0
RVV
I1
BA
1=
−
=
A1
R
e
RVV
I22
CA
2==
−
=
A3
R
e
RVV
I33
CB
3==
−
=
e
Ie
R1
R2
R3
A
B
C
I2 I3
A4III 32e =+=
I
3=1.5 A
I
1 =2 A
Schéma 1
R1
e
R3
R2
I3
I2
I1
A B
C
e
R
AC
I1
A
C
R1
e
RB
C
I1
A B
C
Schéma 2
Schéma 3
I
2=0.5 A
0,5 point
0,5 point
0,5 point
0,5 point
0,5 point
0,5 point
0,5 point
0,5 point
0,5 point
End