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Mines Physique 1 PSI 2012 — Énoncé 1/5
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ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO(ISAE),ENSTAPARISTECH,
TELECOMPARISTECH,MINES PARISTECH,
MINESDESAINT–´ ETIENNE,MINESDENANCY,
T´ EL ´ ECOMBRETAGNE,ENSAEPARISTECH (FILI` ERE MP)
´
ECOLE POLYTECHNIQUE(FILI` ERE TSI)
CONCOURS D’ADMISSION 2012
PREMI ` ERE´ EPREUVEDEPHYSIQUE
Fili` ere PSI
(Dur´ ee del’´ epreuve:3heures)
L’usagedelacalculatrice estautoris´ e
Sujet mis ` adisposition desconcours:Cycle international, ENSTIM,TELECOMINT,TPE–EIVP
Lescandidats sontpri´ esdementionnerdefac¸on apparentesurla premi` erepagedelacopie:
PHYSIQUEI—PSI.
L’´ enonc´ ede cette´ epreuve comporte5 pages.
–Si, aucoursdel’´ epreuve,un candidatrep` ere ce quiluisemble ˆ etreune erreurd’´ enonc´ e,il estinvit´ e` ale
signalersursa copie et` apoursuivresa compositionenexpliquant lesraisonsdes initiativesqu’il aura´ et´ e
amen´ e` aprendre.
–Ilnefaudrapash´ esiter` aformulerlescommentaires(incluantdesconsid´ erationsnum´ eriques)quivous
semblerontpertinents,mˆ eme lorsquel’´ enonc´ enele demandepasexplicitement. Lebar` eme tiendra compte
de ces initiativesainsiquedesqualit´ esder´ edaction dela copie.
R´ ESONANCES&PLASMONSDESURFACE
Leprobl` emese composedetroispartieslargement ind´ ependantes.Lapremi` erepartiepr´ esenteun
mod` elequiserviradanslapartiesuivantepour r´ esoudrequalitativementparanalogiequelquesques-
tions,avec descalculsplus simples.Lad´ eriv´ ee par rapportautempstd’unefonction x(t)estnot´ ee ˙x.
HormisjdanslapartieIetidanslapartieII,lesnombres susceptiblesd’avoirunepartieimaginaire
non nullesontsoulign´ es.Lanotation Re(z)signifiepartier´
eelledu nombre complexez.Lesvecteurs
sontnot´ esavec un chapeaus’ils sontunitairesb ex,avec unefl` eche−→ vdansle casg´ en´ eral.Lesappli-
cationsnum´ eriquespeuvent toutesˆ etre effectu´ ees sanscalculatrice,il n’estdoncdemand´ edefournir
qu’un ordredegrandeurcorrect.
I.—R´ esonance enm´ ecanique
Danstoute cettepartieon noterajlenombre complexetelquej2=−1.
I.A.—L’oscillateurharmoniqueamortientretenu.
Unemassemsuppos´ ee ponctuelle etdont l’abscisse estrep´ er´ ee parlafonction x(t),peutsed´ eplacer
surun plan horizontalsousl’action d’un ressortderaideurk0.On posera
ω
0=pk0/m.Elle est
soumise` auneforce defrottementvisqueux proportionnelle` alavitesse−→ Fv=−f˙xb ex,cr´ e´ ee parun
amortisseur` a aircommerepr´ esent´ esurlafigure1.Enfaisantapparaˆ ıtreun facteurd’amortissement
sansdimension
ξ >0,le coefficientfpeutˆ etremis souslaformef=2 ξω
0m.`
Al’instantt=0
lamasse estabandonn´ ee sansvitesseinitialed’uneposition x(t=0)=x0>0.Onentretient les
oscillationsdu syst` eme enexerc¸antsurlamassemet` apartirdet=0,uneforce sinuso¨ ıdalede
pulsation
ω quis’´ ecrit −→ Fe=k0x0Reej
ω tb
ex.L’originedel’axedesxcorrespond ` alaposition dela
masselorsqueleressortn’estni´ etir´ enicompress´ e.
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Mines Physique 1 PSI 2012 — Énoncé 2/5
m
k
f
mex
x
FIGURE1 – Oscillateurmobile amorti
1—D´ eterminerl’´ equation diff´ erentiellev´ erifi´ ee parx(t)etd´ ecrivant lemouvementdem.On
utiliserales seulsparam` etres
ξ , ω
0,
ω etx0.
2—R´ esoudrel’´ equation obtenue` alaquestion 1 dansle casg´ en´ eral.On noteXml’amplitudedu
mouvementdanslalimitet≫(
ξω
0)−1,exprimerdanscettelimite
–lavaleur
ω
Mde
ω rendantmaximalelafonction Xm( ω ).Onexprimera ω
Menfonction de
ω
0et
ξ ;
–lavaleurXM=Xm(
ω
M)danslalimite
ξ ≪1;
–lalargeurdelabandepassante∆
ω =| ω
2−
ω
1|avec Xm(
ω
2)=Xm(
ω
1)=XM/√2,toujoursdans
lalimite
ξ ≪1.
3—Enconsid´ erant lavariable χ = ω / ω
0,tracerunerepr´
esentation graphique approximativede
lafonction g
ξ
( χ )=Xm( χ )/x0pour ξ =0,05 et ξ =0,2.
I.B.—Interaction ´ electrom´ ecanique.
FIGURE2 – Vue encouped’un couplage´ electrom´ ecanique
Uneondesonoreplanesinuso¨ ıdaleprogressiveincidentesepropagedelagaucheversladroitedans
un tubeTcommerepr´ esent´ e encoupesurlafigure2.L’onder´ efl´ echiesurunemembraned’aireΣse
propagequant` a elledeladroiteverslagauchesurcettemˆ emefigure.Lasurpression due` al’onde
incidente estnot´ ee pi,etcelledue` al’onder´ efl´ echiepr.` Al’ext´ erieurdu tubelapression p0est
suppos´ ee constante,` al’int´ erieurdu tube elles’´ ecrit p=p0+pi+pr.
Cettemembrane estsolidaired’un sol´ eno¨ ıde constitu´ eparun fildelongueurtotaleℓ,quis’enfilesur
un aimantdetellemani` ereque ce fil,surtoutesalongueur,soit soumis` aun champmagn´ etique−→ B
radial(doncperpendiculaire aufilquiestorthoradial)d’intensit´ eB=k−→ Bkuniformedansl’espace
etconstantedansletemps.L’ensembledu dispositif: tube,sol´ eno¨ ıde,aimant,poss` edelasym´ etriede
r´ evolution autourdel’axedesx.
Lefilestreli´ e` aun circuit R,L,Ca.Lesensdu courantchoisiest telquei>0 donneuneforce
deLAPLACEorient´ ee commel’axedesx.Onsupposeque cetteforce est int´ egralement transmise
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Mines Physique 1 PSI 2012 — Énoncé 3/5
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alamembranequiest´ egalementsoumise aux forcesdepression maislibredetoute autreforce.
Cettemembrane coulisselibrement lelong del’axedesx.On n´ egligetoutfrottementm´ ecanique,
ainsiquel’´ emission ´ eventuelled’uneondesonoreversladroiteparlamembrane.Larepr´ esentation
complexedel’abscissedelamembranes’´ ecrit x(t)=Xej
ω t.Onrappellequepouruneondesonore,
lasurpression est tellequepi=
ρ csvi,pourl’ondeincidentesepropageantversladroite,etpr=
−
ρ csvrpourl’onder´ efl´ echiesepropageant lagauche.Leparam` etre ρ d´ esignelamassevolumique
moyennedel’air,csla c´ el´ erit´ edu son dansl’airetvietvrlavitessedel’airau passagedesondes
correspondantes.On pourrautiliserlesrepr´ esentationscomplexesde cesdeux vitessesvi=Viej
ω tet
vr=Vrej
ω t.
4—´ Ecrireleprincipefondamentaldeladynamique en projection surl’axedesxappliqu´ e au
syst` ememembrane-sol´ eno¨ ıde ensupposantquesamasse estnulle.
5—Eneffectuantun bilan depuissance,exprimerlaforce ´ electromotrice (f´ em)Einduitedansle
circuit enfonction deB,ℓet˙x.En d´ eduirel’´ equation diff´ erentiellev´ erifi´ ee pari.
6—On d´ efinit le coefficientder´ eflexion λ parlarelation pr= λ pi,montrerque
1+
λ
1− λ
=Rm
R+jΩ( ω )avec Ω(
ω )=L ω −(Ca ω )−1
o` ul’on exprimeraRmenfonction deB,ℓ,
ρ ,csetΣ.On v´ erifieraqueRmesthomog` ene` aune
r´ esistance.
7—Interpr´ eterlesvaleursde λ cor-
respondant` aB=0et` aB→+∞.
8—Dansquellesconditionspeut-on
obtenir|
λ |=0?Quelnomdonner` a cet
ajustement?Calculerlavaleurnum´ erique
deBcorrespondant` a cetajustementpour
ℓ=4m;Σ=10cm2;
ρ =6
5kg.m−3;cs=
1
3·103m.s−1etR=100Ω.
9—Calculer| λ |enfonction de
Rm,RetΩ(
ω ).D´ eterminerlavaleur
num´ eriquede|
λ |siCa=10 µ F;L=
0,1H;Rm=150Ω;R=100Ωet
ω =
√2·103rad.s−1.En utilisant lesdivers
r´ esultatsdelaquestion 2,interpr´ eteret
commenterlesdiff´ erentescourbesdela
figure3 quirepr´ esente|
λ |enfonction de
ω pourRm=66;100 et150Ω.FIGURE3 – Moduledu coefficientder´
eflexion λ enfonc-
tion delapulsation
ω pourdiff´ erentesvaleursdeRm
FIN DELA PARTIEI
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Mines Physique 1 PSI 2012 — Énoncé 4/5
II.—Lesplasmonsdesurface
Danstoute cettepartieon noterailenombre complexetelquei2=−1.
II.A.—Propagation d’uneondesurun plan m´ etallique
Onconsid` ereun planconducteurinfini(Π=xOz,voirfi-
gure4)plong´ edanslevide.Ce planestparcouru pardesondes
´
electromagn´ etiquesde c´ el´ erit´ eccaract´ eris´ eesparunedensit´ esur-
faciquede courant−→ jsind´ ependantedex,etdont larepr´ esentation
complexes’´ ecrit −→
js=jsMei(Kz−
ω t)b
ez
o` ujsMetKsontdesconstantesr´
eellesetpositives.FIGURE4 – G´
eom´ etriedu plan
10 —Enadaptant l’´ equation de conservation dela charge aucasdedistributions surfaciques,
d´ eterminerladensit´ esurfaciquede charge
σ (z,t)associ´ ee ` a−→ js.
11 —Montrerquele champ´ electrique−→ Ecr´ e´ eparladensit´ ede charges σ estdelaforme
−→
E=Eyb
ey+Ezb
ez
o` uEyetEzsontdeux fonctionsdesvariablesy,zett.
12 —D´ eterminerlalimitedelafonction Ey(y,z,t)lorsquey→0+.
13 —Onsupposequek= ω /c<K.Danslar´ egion y>0,d´ eterminerl’expression deEy(y,z,t)
puiscelledeEz(y,z,t)enfonction desparam` etresK,jsM,
ε
0,
ω etketdesvariablesy,zett.Pour
cettederni` ere expression,on pourra calculerdiv~ E.
14 —Quelles sont lespropri´ et´ esdel’ondequiexistedanslar´ egion y>0?
Onseplace dansle caso` uleplanestun m´ etal infinimentfincontenantdeschargeslibres sousla
formed’´ electrons(chargee<0etmassem).Lenombrede ces´ electronsparunit´ edesurface estnot´ e
ρ ,il estsuppos´ e constant.Onfait l’hypoth` eseque ces´ electronspeuventsed´ eplacersansinteraction
(frottement)avec ler´ eseaucristallinconstituant lem´ etal.Onsuppose enfin que ces´ electronsrestent
dansleplany=0etquelemoduledeleurvitessev=k~vkest toujoursn´ egligeabledevant la c´ el´ erit´ e
delalumi` erec.
15 —En´ ecrivant larelation fondamentaledeladynamique,d´ eterminerl’expression delavitesse
d’un ´ electron danslem´ etal.
16 —En d´ eduirelarelation dedispersion reliant ω etKpourdesondeslibres sepropageantdans
leplanm´ etallique.Detellesondes sontappel´ eesplasmonsdesurface.Onintroduiralapulsation
ΩS=
ρ e2
ε
0mc
17 —Pourquoiuneonde´ electromagn´ etiqueplaneprogressiveincidente,danslevide,nepeut-elle
pasexciterun plasmon desurface surlem´ etal?
II.B.—Excitation deplasmonsgrˆ ace` alar´ eflexion totale
Onconsid` ere(figure5)un demi-cylindredeverred’indice n.Uneonde´ electromagn´ etiqued’intensit´ e
Iearriveperpendiculairementau plantangentenA` alasurface du verre.Ellep´ en` etredoncleverre en
Asansd´ eviation.Onsupposedeplusqu’ellesubit uner´ eflexion totale enOpour ressortirdu demi
cylindre enBavec uneintensit´ eIr.
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Mines Physique 1 PSI 2012 — Énoncé 5/5
FIGURE5 – Excitation desplasmonsdansla
configuration deOTTO
18 —Montrerqu’il existeuneonde´ evanescente
danslevided’´ epaisseurdentrelem´ etalet ledemi
cylindredeverre.On pourrasupposerquelaloi
delar´ efraction s’applique encore,maisavec un
angleder´ efraction rquiestun nombre complexe
telque cosr=i
β avec β r´ eeletpositif.On´ ecrira
lad´ ependance enz,y,ettdu champ´ electrique en
proc´ edantparanalogie avec le caso` urestr´ eel.
19 —Montrerque cetteonde,quiexiste alors
dansl’espace vide entreleverre et lem´ etal,peut
exciterun plasmon danslem´ etal.
20 —D´ eterminerl’expression delapulsation
ω de ce plasmon desurface enfonction de α ,n,et
ΩS.
21 —Commentvasemanifesterl’excitation deplasmonsdanslem´ etal?On pourraparexemple
consid´ ererlerayon ´ emergeantenB.
Lorsd’une exp´ erience on mesurelerapportgd(
α )=Ir/Iepourdiff´ erentesincidences α etdiff´ erentes
valeursdeddansle casd’uneplaque enargent,d’un demi-cylindre en verre,etd’un rayon incident
de633 nmdelongueurd’onde.Pourchacunedestroisvaleursdedutilis´ ees(d1=581 nm;d2=918
nmetd3=951 nm),on areport´ esurlafigure6la courbegd(
α )exp´ erimentale.
22 —En utilisant lesdiff´ erentsr´ esultatsdelapartieI,proposerune explication qualitativedes
r´ esultatsexp´ erimentaux rassembl´ es surlafigure6.
FIGURE6 – Proportion d’intensit´ er´ efl´ echie enfonction del’angled’incidence.Chaque courbe a ´ et´ e
obtenuepourunevaleurdiff´ erentedel’´ epaisseurdevided.
23 —Si l’on place un liquide entrelasurface du m´ etalet ledemicylindredeverre,en quoi
lesph´ enom` enespr´ ec´ edents sont ilsmodifi´ es.Commentun teldispositifpermet-il ded´ etecterdes
impuret´ esdansun liquide ?
FIN DELA PARTIEII
FIN DE L’´ EPREUVE
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