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X Physique B PC 2013 — Énoncé 1/9
ÉCOLEPOLYTECHNIQUE–ÉCOLESNORMALES SUPÉRIEURES
ÉCOLESUPÉRIEUREDEPHYSIQUE ETDECHIMIEINDUSTRIELLES
CONCOURSD’ADMISSION2013 FILIÈREPC
COMPOSITION DEPHYSIQUE–B–(XELC)
(Durée :4heures)
L’utilisation descalculatricesn’estpasautorisée pourcette épreuve.
Pourlesapplicationsnumériques,onse contenteradedonnerun unique chiffresignificatif.
⋆ ⋆ ⋆
Unegoutted’eau posée suruneplaque chaudes’évapore en unefraction deseconde,émettant
parfoisun "pshitt"caractéristique.Toutefois,si latempératuredelaplaque est très supérieure
àlatempératured’ébullition du liquide,onobservequeletempsdeviedela goutteaugmente
fortement,pouratteindrejusqu’àplusieursminutes.La goutte estalorsisolée thermiquementde
laplaqueparun filmdesaproprevapeur:c’estlephénomènede caléfaction,ou deLeidenfrost,
du nomdu médecin hollandaisquialepremierdécriten détail cetétatparticulier.Danscet
état,onobserve égalementquelesgouttes sont trèsmobilesetglissentsurlefilmdevapeurqui
lesprotège.
Dansce problème,nousproposonsd’expliquerl’épaisseurdu filmdevapeur,d’étudierles
écoulementsensonsein,etde comprendrelestrajectoiresremarquablesdegouttesd’oxygène
liquide caléfiées sousl’influence d’un champmagnétique.
Remarqueimportante:Àplusieursreprisesaucoursde ce problème,on demandeau
candidatderaisonnerparanalysedimensionnelleou d’évaluerun ordredegrandeur.Dansce
cas, le candidatn’essaierapasd’évaluerlescoefficientsmultiplicatifs sansdimension,quiseront
omis.Del’ordredel’unité, ilsn’influencentpasl’ordredegrandeurdu résultat.
Formulaire
Équation deNavier-Stokespourun fluidenewtonienvisqueuxincompressible,demassevo-
lumiqueρetviscositédynamiqueη:
ρÅ∂~v
∂t+Ä~v·~
gradä~vã=ρ~g−~ gradp+η∆~v(1)
Divergence d’un champ devecteursencoordonnéescylindriques:
div(~v)=1
r
∂
∂r(rvr)+1 r
∂vθ
∂θ+∂vz ∂z(2)
Laplacien d’unefonctionencoordonnéescylindriques:
∆f=1
r
∂
∂rÅr∂f ∂rã+1 r2
∂2f
∂θ2+∂2f ∂z2(3)
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Donnéesnumériques:
Enthalpiedevaporisation del’eauà100 ◦C:L=2,3×106J.kg−1
Viscositédelavapeurd’eauà100 ◦C:η=1,3×10−5Pa.s
Conductivitéthermiquedelavapeurd’eau:λ=25 ×10−3W.m−1.K−1
Massevolumiquedelavapeurd’eauà100 ◦C:ρv=0,60 kg.m−3
Massevolumiquedel’eauliquideà100 ◦C:ρl=958 kg.m−3
Tensionsuperficielledel’eauà100 ◦C:γ=59 mN.m−1
1Quelquesrésultatspréliminaires
1.1Formedelagoutte
Nousnousintéressonstoutd’abordàlaformed’unegoutte encaléfaction.Nousadmettrons
quela goutteprend laformed’un paletd’épaisseurhetderayonR,commeindiquésurlafigure
1.Nous supposeronsiciquela goutte est trèsaplatie:h≪R.Levolumedela goutte estalors
Ω=πR2h.
Figure1:Unegrossegoutte encaléfaction prend laformed’un paletderayonRetd’épaisseur
h≪R.Elle estséparée du substratchaud parun filmdesaproprevapeurd’épaisseure0.
1.a)Latensionsuperficielled’un liquide estunegrandeurcaractéristiquequimesurele coût
énergétiquede création d’interface liquide/air.Cettegrandeurest toujourspositive etnousla
noteronsγ.L’énergiedesurface associée àlaformed’unegoutteliquidedevolumeΩdonné
s’exprimedelamanièresuivante:Es=γΣoùγestlatensionsuperficielledel’eauetΣl’airede
l’interface liquide/gazdela goutte.Quelle estladimension delatensionsuperficielleγ?Proposer
une expression deEsenfonction deγ,Ωeth.
1.b)Laformedela goutte estdictée parune compétitionentrelatensionsuperficielle,qui
tend àminimiserl’airedel’interface eau/airdela goutte,etla gravité,quitend à aplatirla
goutte.Quelle estl’expression del’énergiepotentielledepesanteurEgdela goutte?
1.c)Montrerquedanslalimiteoùh≪Rl’énergiepotentielletotales’écritsouslaforme:
Ep=ρΩgh
2+2γΩ h(4)
En déduirel’épaisseurd’équilibrehedela goutte caléfiée enfonction delalongueurcapillairedu
liquideℓc=(γ/ρg)1/2.Donnerune estimation numériquedeℓcetdehe.
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1.2Mesureoptiquedel’épaisseurdu filmdevapeur
1.d)On dirigesousla goutteun faisceaulaserparallèleausubstrat (voirfigure2a).On
observesurun écransituéàunedistance X=50 cmdela gouttelemotifdelafigure2b.
Expliquerce phénomène.
Figure2:Mesureoptiquedel’épaisseurdu filmdevapeursousunegoutte encaléfaction.
(a)Unfaisceaulaserestenvoyéhorizontalemententrela goutte etlaplaque chaude.Onobserve
l’intensitélumineusesurun écran(E)situéàunedistance Xdela goutte.(b)Motiflumineux
observésurl’écran.Lesegmentnoir représente10 mm.
1.e)Enassimilantlefilmdevapeuràuneouverturedelargeure0etdelongueurinfinie,
déterminerl’intensitélumineuseobservée surl’écran.On noteraλL=632,8nmlalongueur
d’ondedu laser.
1.f)Déduiredelafigure2b un ordredegrandeurdel’épaisseure0du filmdevapeurd’eau
sousla goutte.On utiliseracetordredegrandeurdanslasuitedu problème.
1.g)Proposerd’autresmoyensexpérimentauxpermettantd’évaluere0.
2Tempsdevie
Nouscherchonsdanscettepartiedu problèmeàdéterminerladurée devied’unegoutte en
caléfaction,c’est-à-direletempsnécessaireàsonévaporationcomplète.
2.1Transfert thermique
Nousfaisonsici l’hypothèsequelestempératuresdu substratetdela gouttesontuniformes.
Nous supposonségalementquel’épaisseurdu filmdevapeuresthomogène,égaleàe0.Par
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ailleurs, l’expérience montrequee0≪heete0≪R.Pourlesquestionsrelativesauxtransferts
de chaleur,onseplace enrégimestationnaire.
2.a)Expliquerpourquoion peutconsidérerqueleprofildetempératuredanslefilmde
vapeurnedépend quedelacoordonnée z.
2.b)Faireun bilan d’énergiesurunetranched’épaisseurdzdu filmdevapeur.En déduire
l’équationrégissantl’évolution delatempératuredelavapeurd’eauconstituantlefilm.
2.c)Enrégimestationnaire,quelle estlatempératuredela goutted’eauencaléfaction?
Détermineralorsleprofildetempératuredanslefilmdevapeur.
2.d)Déterminerlefluxde chaleur reçu parla goutte enfonction deλ,R,e0et∆Toù
∆T=Tp−Teestladifférence entrelatempératureTpdelaplaque chaude etlatempératurede
la goutteTe=100 ◦C.
2.e)Montrerquelamassed’eauévaporée parunitédetempsest:
˙m=λ
L
∆T
e0
πR2(5)
oùλestlaconductivitéthermiquedelavapeurd’eau,Lestlachaleurlatented’évaporation
del’eau.Donnerune estimation de˙mpourunegouttederayonR=10 mm suruneplaqueà
températureTp=300 ◦C.En déduireune estimation du tempsdevieτd’unetellegoutte.
2.2Écoulementdelavapeur
Nousallonsmaintenantdécrirel’écoulementdefuitedelavapeurd’eau danslefilmquisou-
tientla goutte.Pourunegouttemaintenueimmobile, lavapeurproduites’échapperadialement,
du centreverslapériphériedela goutte,sousl’effetdelapressioninduiteparlepoidsdela
goutte.Nousallons supposericiquelefilmdevapeurestd’épaisseurhomogènee0(voirfigure
3).Parailleurs,nousconsidéreronsquelesparois supérieure etinférieuredu filmsontplanes
etsolides.L’écoulementsefaitsousl’influence deladifférence depression∆pentrele centre
(r=0)etlapériphérie(r=R)du filmdevapeur.
Figure3:(a)Danslefilm, lavapeurd’eaus’écouledu centreverslapériphériedela goutte,
sousl’effetdelapressionexercée parla gouttesurlefilm.L’épaisseure0du filmestsupposée ho-
mogène.(b)Nousdécrivonsl’écoulementdansun systèmede coordonnéescylindriques.L’origine
estsituée àlasurface delaplaque chaude,àlaverticaledu centredela goutte.
2.f)Donnerlesensphysiquedetouslestermesdel’équation deNavier-Stokesdonnée au
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débutde ce problème.
2.g)Expliquerpourquoi il estnatureldesupposerquelacomposanteorthoradialevθdela
vitessed’écoulementdelavapeurdanslefilmestnulle.
2.h)Enécrivantlacondition d’incompressibilitédu fluidesousformedimensionnelle,montrer
quelavitessed’écoulementhorizontale est très supérieureàlavitesseverticale:vr≫vz.
L’écoulementdelavapeurestdonc essentiellement radial : ~v=vr(r,θ,z)~ur.
2.i)L’épaisseurdu filmdevapeursousla goutte est typiquement100 µm.Letempsdevie
d’unegoutte centimétrique estdel’ordredequelquesminutes.En déduireun ordredegrandeur
delavitessed’écoulementVdelavapeurd’eausousla goutte.
2.j)Montrerqueletermeinertieldel’équation deNavier-Stokesestdel’ordredeρvV2/R
oùρvestlamassevolumiquedelavapeur,Vestlavitessetypiquedel’écoulement.
2.k)Expliquerpourquoi letermevisqueuxdel’équation deNavier-Stokesestdel’ordrede
ηV/e2
0.
2.l)Rappelerlasignification physiquedu nombredeReynoldsassociéàun écoulement.
ExprimerlenombredeReynoldsrelatifàcetécoulement,eten donnerlavaleur typique.Montrer
qu’enrégimestationnaire, l’équation deNavier-Stokes seréduitàl’équation deStokes:
~
gradp=η∆~v(6)
Nousadmettonsdanstoutelasuitede cettepartiequel’écoulementest régiparcette équa-
tion.
2.m)Pourquoi le champ devitessenedépend-il pasdelacoordonnée θ?
2.n)Montrerquel’équation6seréduità:
∂p
∂r=η∂2vr ∂z2(7)
2.o)Onadmetquelapressionpdanslefilmnedépend pasdez.Intégrerl’équation7et
donnerl’expression devrenfonction deη,∂p/∂r,e0etz.
2.p)On noteQledébitvolumiquedevapeuràunedistance rdu centredu film.Montrer
que:
Q=−πr
6η
∂p
∂re3
0(8)
2.q)L’évaporation dela gouttenourritlefilmdevapeur.IlenrésultequeQdépend der.
Nousnotonsjvlevolumedevapeurproduitsousla goutteparunitédesurface etparunité
detemps.Nousadmettonsquejvesthomogènesousla goutte.Quelestlelienentrejvetla
variation demassedela goutteparunitédetemps˙m?Montrerparun bilanadéquatque:
∂Q
∂r=2˙m ρvR2r(9)
En déduire,en utilisantlerésultatdelaquestion2.p une équation différentiellevérifiée par
lapressionpdanslefilmdevapeur.
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