PC / 1 7

X Physique 2 PC 2010 — Énoncé 1/7
ÉCOLEPOLYTECHNIQUE
ÉCOLESUPÉRIEUREDEPHYSIQUE ETDECHIMIEINDUSTRIELLES
CONCOURSD’ADMISSION2010 FILIÈREPC
DEUXIÈMECOMPOSITIONDEPHYSIQUE
(Durée :4heures)
L’utilisation descalculatricesestautorisée pourcette épreuve.
⋆ ⋆ ⋆
Réponseoptiquedenano-objetsmétalliques
Lorsquelatailled’un objetest réduiteàl’échelledequelquesnanomètres,soninteractionavec
uneonde électromagnétiquedansledomaineoptique estmodifiée par rapport àcelledu matériau
massifdontil estconstitué.L’étude expérimentale etlamodélisation de cettemodificationainsi
quel’utilisation despropriétésoptiquesd’un nano-objetpourdesapplicationsconstituentun
thèmemajeurdesnanosciencesetdesnanotechnologies.L’objetde ce problème estd’analyser
quelquesaspectsdelaréponseoptiquedenanoparticulesmétalliquesnon-magnétiques.
Donnéesnumériques
Permittivitédiélectriquedu vide:ε0=8,85 ×10−12 F·m−1
Charge élémentaire:e=1,6×10−19 C
Massedel’électron:m=9,1×10−31 kg
Vitessedelalumièredanslevide:c=3,0×108m·s−1
Formulaire
Champélectromagnétique,encoordonnées sphériques,créé parun dipôleoscillant~p=p(t)~uz
situédanslevideau pointO:
~
E(~r,t)=
Er=1
4πε0
2cosθhp(t′)
r3+˙p(t′) r2cit′=(t−r/c)
Eθ=1
4πε0
sinθhp(t′)
r3+˙p(t′) r2c+¨p(t′) rc2it′=(t−r/c)
Eϕ=0
~
B(~r,t)=µ0
4πsinθh˙p(t′) r2+¨p(t′) rcit′=(t−r/c)~uϕ
Puissance instantanée rayonnée :Pray=¨p(t)2
6πε0c3.
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .

X Physique 2 PC 2010 — Énoncé 2/7
I.Résonanceoptiqued’un agrégatmétallique
Ons’intéresseàlaréponseoptiqued’uneparticulemétallique,sphérique,dequelques
nanomètresderayon,placée danslevideau pointO(Fig.1).Danscettepremièrepartie,son
interactionavec uneonde électromagnétique estanalysée àl’aidedu modèlesuivant: l’ensemble
desélectronsde conduction du métaletl’ensembledesionsformantleréseausontdécritschacun
paruneboulederayona,uniformémentchargée,négativementpourlesélectrons,positivement
pourlesions.Lesdensitésvolumiques,électronique etionique,sontégalesetdésignéesparN.
Figure1
I.1.Montrerqu’entoutpointdel’espace, le champélectrique~ E+créé parlabouleionique est
radial. Établirlesexpressionsde ce champau pointM(~r),pourr<aetr>a.
En déduirele champ~ E−créé enMparlaboule électronique.
I.2.Onappliqueun champélectrostatiqueuniforme:~ ES=ES~uz.
I.2.1.Justifierqualitativementquelesboulesélectronique etioniquesedéplacentl’unepar
rapport àl’autresuivantOz.
Onsupposeradanstoutelasuitequelabouleioniqueresteimmobile,de centreO,etque
ledéplacementélectronique estuniforme.On notera~ δ=δ~uz=−→ OO′ledéplacementdelaboule
électroniquede centreO′;onadmettraquel’amplitude|δ|de ce déplacementest trèspetite
devanta,hypothèsequel’onvérifieraa posteriori.
I.2.2.Exprimeren un pointMintérieurauxdeuxboulesle champélectrique~ Ed=~ E++~ E−
dû auxionsetauxélectronsàl’aidede~ δ.
En déduirelaforce exercée parce champsurun électron de conduction.
I.2.3.Entenantcomptedu champélectrostatiqueappliqué,exprimerlaforce totalequi
s’exerce surun électron.Montrerqu’il yauneposition d’équilibrepourun déplacement~ δsque
l’onexplicitera.
Quellehypothèse exprimée enI.2.1.setrouvejustifiée parlerésultat?
Quevautle champélectriquetotaldanscettesituation d’équilibre?
I.2.4.L’amplitudedu champstatique estES=106V·cm−1.Ladensitéd’électronsde
conduction danslesodiumestNNa≈2,5×1028 m−3.Justifierl’hypothèsefaitesurδ.
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .

X Physique 2 PC 2010 — Énoncé 3/7
I.2.5.Laséparation deschargesdonneàlaboulemétalliqueun momentdipolaire électrique
~p0.L’exprimerenfonction du champappliqué~ ES.En déduirelapolarisabilitéstatiqueα0dela
boule,définiepar~p0=ε0α0~ ES.
I.3.Le champélectriqueappliquévariemaintenantsinusoïdalement,soiten notationcomplexe
~
E0=E0exp(iωt)~uz.Onlesupposeuniforme,sansphénomènedepropagation.Soit~ δ(t)le
déplacementélectronique.
I.3.1.En utilisantlesrésultatsdeI.2.2,écrirel’équation du mouvementd’un électronsoumis
auchampappliqué etauchamp~ Ed.
On poseωp=»Ne2/ε0m,appelée « pulsation plasma».Exprimeràl’aidedeωplapulsation
propreω0du mouvement.
I.3.2.Expliciter~ δ(t)enrégimesinusoïdalpermanent.Que constate-t-on pourω→ω0?
I.3.3.Lemodèleprécédents’appliqueauxmétauxalcalins.Donnerlavaleurdelapulsation
derésonance pourlesodium(NNa≈2,5×1028 m−3).
Lesmesuresexpérimentalesd’absorption(cf. II)donnentωexp
0≈4,9×1015 s−1pourle
sodium.Àqueldomainespectralcorrespond cettepulsation?Compareràlavaleur théorique.
I.4.Le champélectriqueoscillantestenfaitceluid’uneonde électromagnétiqueplanemonochro-
matiquedepulsationω,polarisée linéairementsuivantz,etsepropageantsuivantx.Le champ
estdonné en notationcomplexepar:~ E0=E0expi(ωt−kx)~uz.
I.4.1.Onsupposequelasphèreaun rayon de5nanomètresetquel’onde électromagnétique
estdansledomainevisible.Justifierquel’on puissenégligerlavariationspatialede~ E0sur
l’extension delaparticule.
On prendradoncparlasuitele champenx=0.
I.4.2.Onsupposequelemouvementdesélectronsestamortipardescollisions;ceteffetpeut
êtredécritphénoménologiquementparuneforce defrottementfluides’opposantaumouvement
de chaque électron:~ Ff=−mγ˙
~
δ,avec γ≪ω0.
Donnerl’équation du mouvementd’un électron.En déduirel’expression du déplacement
δ=δ0eiωtenrégimesinusoïdalpermanentàlapulsationω.
Exprimer|δ0|enfonction deω.En donnerlavaleurmaximale|δ0|maxàrésonance.
I.4.3.L’onde électromagnétiqueincidente,produiteparun laserfocalisé,auneintensité
I0=105W·cm−2.Vérifierl’hypothèsedefaibledéplacementdansle casdu sodium,avec les
données suivantes:NNa≈2,5×1028 m−3,γNa≈3×1013 s−1.
I.4.4.Donnerl’expression du champélectriquetotal interne~ Eintàlapulsationωen un point
Màl’intérieurdelananoparticule,enfonction deω,ω0,γet~ E0au pointO.Montrerqu’il existe
unerésonance enamplitudepour~ Eintauvoisinagedelapulsationω0.
Quevautle champinternepourω≪ωp?Commenterce résultat.
Cetterésonance dansl’amplitudedu champélectriqueàlapulsationω0correspond àune
augmentation delaréponseoptiquedesnanoparticules;elle estappelée résonance plasmon de
surface delaparticule.
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .

X Physique 2 PC 2010 — Énoncé 4/7
I.4.5.Donnerl’expression de|f(ω)|=|~ Eint|/|~ E0|auvoisinagedeω0.Tracerl’alluredesa
variationenfonction deω.Quevautce rapport àrésonance dansle casdu sodium?
I.5.Ons’intéressemaintenantauchampexterne.
I.5.1.Montrerquele champ~ Eecréé parlaparticule en un pointMextérieuràcelle-ci, sous
l’action del’onde électromagnétique,correspond àceluid’un dipôleoscillant.Montrerque ce
dipôle~ppeutsemettresouslaforme:
~p=βω2
0
ω2
0−ω2+iγω~
E0(O)
oùon donneral’expression deβ.
I.5.2.Onseplace en un pointM(~r)auvoisinageimmédiatdelananoparticule(r≪λ).
Représenterlavariation du rapport entrel’amplitudedu champtotaletcelledu champincident
àlapulsation delarésonance ω0,enfonction deladistance raucentredelaparticulepourun
pointMsituésurl’axeOx.
II.Rayonnementetabsorption
Avec l’accroissementdelasensibilitédesméthodesdespectroscopieoptique, il estmainte-
nantpossibled’observerexpérimentalementladiffusionoul’absorption delalumièreparune
nanoparticulemétalliqueunique.L’effetd’un grand nombredeparticules seraensuiteanalysé.
Comme enI, l’onde électromagnétiqueplanemonochromatiqueincidente,d’intensitéI0,se
propageselonladirectionx;elle estpolarisée linéairementsuivantz.Onsupposequelespar-
ticules sontsuffisammentpetitespourqueleur réponseindividuellepuisse êtreassimilée àcelle
d’un dipôle.
Pourlesapplicationsnumériquesde cettepartie,on prendralesvaleurscorrespondantau
sodiumω0=4,9×1015 s−1etγ=3×1013 s−1.
II.1.Puissance rayonnée.
SoitI0l’intensitédu faisceaulumineuxde champélectrique~
E0=E0expi(ωt−kx)~uzen
notationcomplexe.
II.1.1.ExprimerI0àl’aidede|E0|.
II.1.2.En utilisantlerésultatdeI.5.1.,donnerl’expression delapuissance moyennePd
rayonnée parunenanoparticuleuniquesousl’action del’onde électromagnétique,enfonction de
I0.Cettepuissance correspond àlapuissance diffusée parlaparticule.
II.1.3.Onsupposequel’on peutcollecterl’ensembledelalumièrediffusée dansledemi-
espace y>0delafigure1.Leseuil dedétection du détecteurutilisé estde10−9W.
Quelle estlatailleminimaledelananoparticulequipeutêtreobservée parcetteméthode
pouruneintensitéincidenteI0=103W·cm−2?
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .

X Physique 2 PC 2010 — Énoncé 5/7
II.2.Puissance dissipée.
II.2.1.Exprimerlapuissance moyennePadissipée parlaforce defrottementintroduite
enI.4.2,pourl’ensembledesélectronsdelananoparticule,enfonction deI0,ω0,ω,γ,aetc.
II.2.2.Exprimerlerapport Pd/Pa.Pourquellevaleurdealapuissance dissipée àlarésonance
devient-t-ellesupérieureàcellediffusée par rayonnement?
II.2.3.Onconcentreun faisceaulaseràlapulsationω0surunetachefocaledediamètre
1µmaucentredelaquellesetrouvelaparticule.Onadmettraqueladescription précédente en
termed’ondeplane est toujoursvalable etquel’énergie estuniformément répartiesurlatache
focale.Unchangement relatifdepuissance du faisceau del’ordrede10−4peutêtredétecté.En
prenantle casdu sodium,quelle estlatailleminimaledelaparticulequipeutêtreobservée ?
II.3.Laplupart desétudesexpérimentales surdesnanoparticulesd’alcalinsontétéréalisées
surdesnanoparticules sousvide.L’interaction d’uneonde électromagnétiqueavec un grand
nombredeparticulesestalorsréalisée.Onsupposeraquelesparticules sontidentiques(sphèresde
rayona)eton noteNpleurdensitévolumique.
II.3.1.Onsupposequel’interaction desparticulesestnégligeablesi leurscentres sontséparés
d’unedistance supérieureà8a.Justifiez cetteapproximationenvousappuyantsurlerésultatde
I.5.2.EstimerladensitémaximaleNMdeparticulespourlaquelle cettehypothèse estvérifiée
poura=5nm.Exprimerlafractiongdevolumedu milieuoccupéparlesnanoparticulesen
fonction deNp.DonnersavaleurpourNp=NM.
II.3.2.Lafractionvolumiquegestde2×10−4.Exprimerlapolarisation du milieuformépar
cesnanoparticules.En déduiresapermittivité complexe∼
εetsonindice deréfractioncomplexe
∼
n=n′−in′′ ;onsupposeran′′ ≪n′etonjustifieraquen′resteprochede1malgrélacontribution
desnanoparticules.
II.3.3.Montrerque,aprèspropagationsurunelongueurL, l’intensitéd’uneonde électroma-
gnétiqueincidentesurlemilieuestdonnée parI=I0exp(−αL)oùle coefficientd’absorptionα
estdelaforme:
α=Bω2γ
(ω2−ω2
0)2+γ2ω2.
OnexprimeraBenfonction deg,ωpetc.
Calculernumériquementα−1pourdesnanoparticulesdesodium,àrésonance.
III.Extension du modèle
L’étude effectuée enIdel’interaction d’unenanobouleavec uneonde électromagnétique
peutêtrereprise etgénéralisée entraitantlemilieumétallique commeun milieu diélectrique
particulier.Lepassageaucasd’unenanoparticuleinsérée dansun milieu diélectriquesera alors
facilité.
III.1.Lananoparticulemétallique estsphérique, immobilede centreOetderayona,placée
danslevide etglobalementneutre.Comme enI.4.1,onlasupposesuffisammentpetitepour
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .