chapitre 1 - Moodle Paris Diderot

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EXERCICES SUR LE CHAPITRE I
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EXERCICES SUR LE CHAPITRE I
I-1 Conservation locale de la charge électrique En écrivant que le taux de variation de la
charge électrique
q(t)d3r (r,t)
V
comprise à l’intérieur d’un volume mathématique V
est dû à l’intensité
i(t)j(r,t)
 .d
du courant électrique au travers de la surface qui le
délimite, montrer que
/ tdivj0
en utilisant le théorème d’Ostrogradski. Vérifier que
les équations de Maxwell sont compatibles avec cette relation. Montrer que, dans un milieu
matériel, les charges liées et les charges libres obéissent séparément à la relation en question.
I-2 Onde plane progressive dans le vide Une onde électromagnétique dans l’espace libre
possède le champ électrique
E(z,t)uxf(tz/c)
. Déterminer l’expression du champ
magnétique de cette onde. Quelle est la nature de l’onde si
f(t)E0 cos
t
? si
f(t)E0 exp(t2/
2) cos
t
(avec
1
« ) ?
I-3 Potentiels vecteur et scalaire Déduire des équations de Maxwell qu’il existe des
potentiels vecteur
A(r,t)
et scalaire
U(r,t)
permettant d’exprimer un champ
électromagnétique
{E,B}
sous la forme
E  A/
tgradU
,
BrotA
; quelles équations
suivent
A(r,t)
et
U(r,t)
? Vérifier que les potentiels
A'Agrad
et
U'U
/ t
correspondent au même champ électromagnétique que celui donné par A et U, quelle que soit
la fonction
(r,t)
. Dans la jauge de Lorentz
divAc2
U/ t0
, montrer que les équations
pour
A(r,t)
et
U(r,t)
se découplent.
I-4 Dimension transverse d’un faisceau lumineux Dans l’espace libre, une onde optique de
pulsation est formée d’une superposition à poids égaux d’ondes planes progressives de
même pulsation, dont les vecteurs d’onde sont (avec
k0
/c
)
k( )k0cos
uzk0sin ux
,
|
|
< « 1 : son champ électrique est
E(z,x,t)Re{uy Ey(z,x,t)}
avec
Ey(z,x,t)  E0d
 exp[i(
tk0cos
zk0sin x)]
.
(L’onde est polarisée linéairement suivant y.)
a) En utilisant
k(
)
exprimé à l’ordre 1 en , montrer que l’onde possède une extension
transverse
x
1/
, c’est-à-dire
x
1/ k
avec
k2 k0
.
b) En poussant le développement de
k(
)
jusqu’à l’ordre 2 en , montrer que l’onde possède
également une divergence, d’ouverture .
z
x
k( )
.
y

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