chapitre 1 - Moodle Paris Diderot

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EXERCICES SUR LE CHAPITRE I
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EXERCICES SUR LE CHAPITRE I

I-1 Conservation locale de la charge électrique En écrivant que le taux de variation de la
charge électrique q(t )   V d 3r (r,t ) comprise à l’intérieur d’un volume mathématique V
est dû à l’intensité i(t )    j(r,t ).d du courant électrique au travers de la surface  qui le
délimite, montrer que /t  divj  0 en utilisant le théorème d’Ostrogradski. Vérifier que
les équations
 de Maxwell sont compatibles avec cette relation. Montrer que, dans un milieu
matériel, les charges liées et les charges libres obéissent séparément à la relation en question.


I-2 Onde plane progressive dans le vide Une onde électromagnétique dans l’espace libre
possède le champ électrique E( z,t )  ux f (t  z/c) . Déterminer l’expression du champ
magnétique de cette onde. Quelle est la nature de l’onde si f (t )  E0 cost ? si
f (t )  E0 exp(t 2 / 2 ) cost (avec  1 «  ) ?


I-3 Potentiels vecteur et scalaire Déduire des équations de Maxwell qu’il existe des


potentiels vecteur A(r,t ) et scalaire U (r,t ) permettant d’exprimer un champ
électromagnétique {E, B} sous la forme E  A/t  gradU , B  rotA ; quelles équations
suivent A(r,t ) et U (r,t ) ? Vérifier que les potentiels A'  A grad et U' U  /t
correspondent au même champ électromagnétique que celui donné par A et U, quelle que soit


2

(r,t
)
la fonction
.
Dans
la
jauge
de

 Lorentz divA c U/t  0 , montrer que les équations

pour A(r,t) et U (r,t ) se découplent.


Dimension transverse d’un faisceau
I-4
lumineux Dans l’espace libre, une onde optique de
  est formée d’une superposition à poids égaux d’ondes planes progressives de
 pulsation
même pulsation, dont les vecteurs d’onde sont (avec k0  /c ) k( )  k0cosuz  k0sinux ,
|  | <  « 1 : son champ électrique est E( z, x,t ) R e{uy E y ( z, x,t )} avec

x

E y ( z, x,t )  E 0  d exp[i(t  k0cos z  k0sin
 x)] .
k( )
y .




z
(L’onde est polarisée linéairement suivant y.)

a) En utilisant k( ) exprimé à l’ordre 1 en  , montrer que l’onde possède une extension


transverse x  1/ , c’est-à-dire x  1/k avec k  2k0 .

k( ) jusqu’à l’ordre 2 en  , montrer que l’onde possède
b) En poussant le développement de 

.
également
une
divergence,
d’ouverture








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