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X Physique A PC 2012 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (ENS Ulm) ; il a été relu par Rémi
Lehe (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).
Ce sujet traite des oscillations d’une bulle d’air seule, plongée dans un bain d’eau
d’extension infinie. Il comporte quatre parties liées qu’il est souhaitable de traiter
dans l’ordre proposé.
• Dans la première partie, il s’agit d’étudier les oscillations libres de la bulle.
On montre que le système se comporte comme un ressort, dont la raideur est liée
à la compressibilité de l’air et dont l’inertie est due à l’eau qui entoure la bulle.
La conservation de l’énergie mécanique de l’eau permet d’aboutir à une équation
d’oscillateur harmonique, sans second membre, pour le rayon de la bulle.
• L’étude des oscillations forcées est réalisée dans la deuxième partie. À partir de l’équation d’Euler, de la continuité de la pression à l’interface gaz/eau
et de l’incompressibilité de l’écoulement, on établit une équation d’oscillateur
harmonique, cette fois avec second membre, en raison de l’excitation par un
haut-parleur. Une étude de la réponse du système en régime sinusoïdal forcé
est alors menée.
• La troisième partie modélise l’amortissement selon la physique des ondes acoustiques, en régime libre : l’eau est traitée comme un fluide compressible. L’énoncé
invite à comprendre la forme des solutions, de type « onde sphérique », qu’il
faut utiliser pour résoudre le problème. Via les équations de la dynamique, on
montre que le rayon de la bulle est solution de l’équation différentielle d’un
oscillateur amorti libre.
• Dans la quatrième partie, les calculs précédents sont repris mais en ajoutant,
cette fois, l’excitation du haut-parleur. L’étude est menée en régime sinusoïdal
forcé. On doit alors confronter les résultats théoriques à des courbes expérimentales, ce qui est l’occasion de commenter la modélisation.
Le sujet n’est ni long, ni réellement difficile, mais nécessite une bonne connaissance
des méthodes de résolution des trois domaines du programme auxquels il touche :
la physique des oscillateurs, la physique des ondes et la mécanique des fluides.
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Indications
Partie I
I.1 Appliquer la loi de Laplace à l’air à l’intérieur de la bulle. La pression dans la
bulle est P0 + pa (t).
I.2 Raisonner sur l’eau comprise entre r = R0 + r1 et r ≫ R0 .
I.3 Montrer que dVa ≃ 4π R0 2 dr1 .
I.4 L’incompressibilité permet de montrer que r2 v1 (r, t) est indépendant de r.
I.5 Raisonner d’abord sur une coquille sphérique d’épaisseur dr située en r, puis
intégrer sur le rayon.
I.6 Traduire la conservation de l’énergie mécanique et dériver.
Partie II
II.3 La pression est continue à la traversée de l’interface gaz/eau.
II.5 Utiliser l’expression établie à la question II.2, évaluée en r = d.
II.8 La bulle tend spontanément à monter... pourquoi ?
Partie III
III.2 Il suffit de vérifier qu’une fonction y de la forme
r − R0
1
+
y(r, t) = f t −
r
cs
est solution de l’équation de d’Alembert.
III.3 ψ décrit une onde convergente.
III.6 Traduire la continuité de la pression à l’interface gaz/eau.
Partie IV
IV.6 d/R0 s’obtient en évaluant pm0 /pe0 à une fréquence donnée.
IV.7 Utiliser le résultat de la question I.6.
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Oscillations d’une bulle
I. Oscillations libres d’une bulle d’air
I.1 Appliquons la loi de Laplace à l’air, considéré comme un gaz parfait en évolution
adiabatique réversible,
γ
4π
3
γ
(P0 + pa ) V = P0
R0
3
où V est le volume de la bulle. Puisque la bulle est supposée sphérique à tout instant,
γ
γ
4π
4π
(P0 + pa (t)) ×
(R0 + r1 (t))3 = P0
R0 3
3
3
si bien que
pa (t) =
P0
− P0
(1 + r1 (t)/R0 )3γ
Puisque |r1 | ≪ R0 , linéarisons cette expression,
pa (t) = −
3γ P0
r1 (t)
R0
Il est cohérent d’obtenir que pa et r1 sont de signe opposé, car pour une
évolution isentropique d’un gaz parfait, P Vγ = Cte impose que P et V varient
en sens contraire.
I.2 Considérons l’eau comprise entre les sphères de rayon intérieur R0 + r1 et de
rayon extérieur R1 , avec R1 ≫ R0 . Le travail des forces pressantes en r = R0 +r1 vaut
δW(R0 + r1 ) = (P0 + pa ) dVa
En r = R1 , la pression est P0 et le travail de ces forces s’écrit
δW(R1 ) = −P0 dVa
Dans les deux travaux, la variation de volume est dVa car l’eau est supposée incompressible donc seul le volume de l’air dans la bulle varie. En sommant les travaux
reçus, il apparaît que
δW = pa dVa
I.3 Remplaçons pa par son expression obtenue à la question I.1. Il vient
δW = −
Puisque
on déduit,
Va =
3γ P0
r1 dVa
R0
4π
[R0 + r1 (t)]3
3
dVa = 4π [R0 + r1 (t)]2 dr1
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c’est-à-dire que
dVa ≃ 4π R0 2 dr1
Ainsi,
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car (|r1 | ≪ R0 )
δW = −12π γ P0 R0 r1 dr1
Le coefficient multipliant dr1 s’identifie à la résultante des forces de pression s’exerçant sur l’eau qui dérive du potentiel U(r1 ), tel que
dU
= 12π γ P0 R0 r1
dr1
Alors la résultante des forces de pression s’exerçant sur l’eau dérive de
U(r1 ) =
1
Kr1 2
2
avec
K = 12π γ P0 R0
I.4 Notons Dm (r, t) le débit massique à l’instant t, à travers la sphère de rayon r,
centrée en O. Puisque l’écoulement est supposé incompressible,
Dm (r, t) = Dm (r + dr, t)
∂Dm
=0
∂r
Comme Dm (r, t) = 4π ρ0 r2 v1 (r, t), on en déduit que
ce qui prouve que
Le produit r2 v1 (r, t) est indépendant de r.
Évaluons ce produit en r = R0 : par continuité de la vitesse normale à l’interface
eau/gaz, il vient
r2 v1 (r, t) = R0 2 ṙ1 (t)
d’où
v1 (r, t) =
R0 2
ṙ1 (t)
r2
I.5 L’énergie cinétique de la coquille sphérique d’eau d’épaisseur dr située en r est
1
ρ0 4π r2 dr × v1 2 (r, t)
2
2
2
1
R0
2
= ρ0 4π r dr ×
ṙ1 (t)
2
r2
dEc =
1
dr
ρ0 4π ṙ1 2 (t) R0 4 2
2
r
Puisque l’eau occupe l’espace compris entre r = R0 et r → +∞, il suffit d’intégrer
sur r entre ces deux valeurs,
Z +∞
1
dr
Ec =
ρ0 4π ṙ1 2 (t) R0 4 2
2
r
R0
Z +∞
1
dr
= ρ0 4π ṙ1 2 (t) R0 4
2
r2
R0
+∞
1
1
= ρ0 4π ṙ1 2 (t) R0 4 −
2
r R0
donc
Par conséquent,
dEc =
Ec =
1
M ṙ1 2
2
avec
M = 4π ρ0 R0 3
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