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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/21
Centrale Maths 2 PC 2003 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Walter Appel (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Antoine Gloria (École Polytechnique) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan).
Ce sujet, assez long, est composé de cinq parties largement indépendantes. Toutes
les questions délicates contiennent suffisamment d’indications et l’énoncé correct de
la formule de Taylor avec reste intégral est fort gentiment rappelé. Par ailleurs,
certaines parties (la deuxième notamment) sont des « hors-programme classiques » :
ils ont été vus par un grand nombre d’élèves en exercice, problème ou séance de TD.
Ainsi, la plus grande difficulté de ce problème est sa longueur ; pour cela, pas de
miracle : seule une connaissance du cours ne laissant pas de place à l’hésitation et
un entraînement intensif aux diverses techniques d’algèbre et d’analyse permettent
d’être rapide et de s’en tirer un jour d’écrit.
Plusieurs questions d’algorithmique (ne nécessitant aucune connaissance spéci-
fique mais seulement un peu de bon sens mathématique) et d’applications numériques
sont présentes ; les bons candidats, à l’aise dans les calculs, doivent se jeter dessus
car elles rapportent d’autant plus de points qu’elles sont souvent mal traitées !
Voyons le contenu des cinq parties :
•Une première partie d’algèbre linéaire, sans surprise, propose d’étudier une
famille de matrices paramétrées.
•Une deuxième partie établit quelques propriétés « classiques » (c’est-à-dire hors
programme, mais qui devraient être sues par tous les candidats) des matrices
symétriques et définies positives (qui sont au programme en filière MP mais
pas en PC).
•La troisième partie démontre un théorème de décomposition M = L tL
d’une matrice définie positive Men un produit d’une matrice triangulaire
inférieure Let de sa transposée (c’est la factorisation de Choleski). La preuve,
par récurrence, est par ailleurs constructive, c’est-à-dire qu’elle se transpose
sous la forme d’un algorithme simple que l’on demande de décrire en dernière
question.
•La courte partie IV spécialise les résultats précédents au cas des matrices
« tridiagonales » de la partie I. La dernière question propose de dénombrer
les opérations nécessaires pour résoudre un système linéaire.
•Enfin, la cinquième partie montre comment utiliser les résultats précédents pour
résoudre numériquement (de manière approchée) une équation différentielle
linéaire simple. Des applications numériques y sont demandées.
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