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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/21
CCP Physique 1 PSI 2001 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) ; il a été relu par Vincent
Fourmond (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (ENS Lyon).
Ce sujet traite, dans le premier problème, du phénomène de précession de l’orbite
des satellites de la Terre et, dans le second problème, de la cinétique de charge des
gouttes formées par la brisure d’un jet capillaire.
•Après quelques rappels sur le champ gravitationnel créé par une masse sphé-
rique, le premier problème aborde la non-sphéricité de la Terre due à sa rotation.
On étudie par la suite comment la modélisation simple de cette non-sphéricité
va légèrement perturber le potentiel gravitationnel créé par la Terre. Enfin,
après avoir traité le cas d’un satellite soumis au potentiel non perturbé, on
calcule l’effet de cette perturbation sur le satellite.
•Le second problème, quant à lui, se déroule en trois temps. Après avoir étudié
un modèle discret de charge d’un barreau fixe, on s’intéresse au modèle continu.
La dernière partie traite du cas où l’électrode permettant de charger le barreau
n’est pas directement accolée à l’origine du barreau.
Ce sujet, très classique et bien guidé, ne présente pas de grosses difficultés (les
questions 10 des deux problèmes demandent cependant de la réflexion). Il utilise des
outils de mécanique céleste et un zeste d’hydrostatique pour le premier problème
ainsi que des outils d’électrocinétique élémentaire (circuits RC) pour le second.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/21
Indications
Premier problème
2 Prendre garde aux constantes d’intégration.
6 Penser à la force d’inertie d’entraînement dans le référentiel tournant.
8 La surface terrestre est définie comme la surface de pression nulle.
10 Bien décomposer le vecteur courant sur le cercle suivant les différents axes. Penser
à ses formules de trigonométrie et aux valeurs moyennes de cos βet cos2βafin
d’obtenir la formule demandée.
16 Comment −→ Lvarie-t-il ?
17 Utiliser l’énoncé pour vérifier son application numérique.
Second problème
2 Prendre garde aux conventions d’orientation choisies.
3 Établir une équation différentielle pour V(t).
5 Faire un dessin et choisir une convention pour le courant.
7 Séparer les variables. S’inspirer de la question 10 pour prendre directement les
bonnes notations.
10 Décomposer le créneau en série de Fourier.
16 Regarder la variation de tc
′′ en fonction de a.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 3/21
Premier problème
Précession de l’orbite des satellites de la Terre
Si la Terre était ronde. . .
1Projetons la relation (1)−→ g=−−−→ grad V(r)sur br, on obtient :
+G m0
r2= + dV dr
D’où, avec V(∞) = 0,V(r) = −Gm0
r
Lors de pareilles intégrations, il ne faut pas omettre les constantes que l’on
détermine par la suite grâce aux conditions aux limites. Dans la situation
présente, la constante est nulle, mais ce ne sera pas toujours le cas.
2Procédons par analogies. La masse m0(dépendant de la particule) s’apparente à
la charge q0(dépendant elle aussi de la particule créant le champ). Il ne reste que les
constantes : −Gs’apparente à 1/(4 π ε0).
Le théorème de Gauss s’écrit ZZ −→ E.d
−→
S = Qint
ε0
Transposé au cas gravitationnnel, cela donne
ZZ
−→ g . d
−→
S = −4πG Mint
où Mint est la masse comprise à l’intérieur de la sphère d’intégration.
Le système est à symétrie sphérique. Tout axe passant par le centre de la sphère est
donc axe de symétrie du système. Le champ gravitationnel étant un vrai vecteur tout
comme le champ électrique, il est dirigé selon les éléments de symétrie du système.
Il est donc dirigé suivant bret ne dépend pas de la direction du vecteur position mais
juste de sa norme.
On intègre sur une sphère de rayon ret de centre O : comme gy est constant, il
suffit de le multiplier par la surface de la sphère. L’intégrale donne donc simplement
4π r2g(r).
On distingue alors deux cas :
•Si r > R, la masse interne est simplement M.
D’où g(r) = −GM
r2
En utilisant (1) V(r) = −GM
r
•Si r < R, la masse interne s’écrit, puisque ρ=3 M
4πR3:
Mint =4
3π r3ρ= M r3 R3
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/21
D’où g(r) = −GM
R3r
En utilisant (1) V(r) = GM
2 R3r2+ Cte
On détermine la constante d’intégration en utilisant la continuité de Ven R.
Il vient V(r) = GM
2 R3r2−3 GM 2 R
En résumé
Si r > R
g(r) = −GM
r2
V(r) = −GM
r
si r < R
g(r) = −GM
R3r
V(r) = GM
2 R3r2−3 GM 2 R
Évolution du potentiel gravitationnel en fonction de r:
rR
V(r)
−GM
R
−3 GM
2 R
3La loi de l’hydrostatique s’écrit :
−−→
grad P = ρ−→ Φavec ρ=3 M
4πR3
où −→ Φreprésente la densité massique de forces à distance.
Dans notre cas, on a simplement −→ Φ = −→ g. À l’intérieur de la Terre :
−−→
grad P = −3
4π
GM2r
R6br
4En projetant cette relation sur bret en intégrant de Ràr, il vient
Zr
R
dP
drdr=−Zr
R
3
4π
GM2r′
R6dr′
P(r)−P(R) = "3
4π
GM2r′2
2 R6#R
r
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