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CCP Physique 1 PSI 2001 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) ; il a été relu par Vincent
Fourmond (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (ENS Lyon).
Ce sujet traite, dans le premier problème, du phénomène de précession de l’orbite
des satellites de la Terre et, dans le second problème, de la cinétique de charge des
gouttes formées par la brisure d’un jet capillaire.
• Après quelques rappels sur le champ gravitationnel créé par une masse sphérique, le premier problème aborde la non-sphéricité de la Terre due à sa rotation.
On étudie par la suite comment la modélisation simple de cette non-sphéricité
va légèrement perturber le potentiel gravitationnel créé par la Terre. Enfin,
après avoir traité le cas d’un satellite soumis au potentiel non perturbé, on
calcule l’effet de cette perturbation sur le satellite.
• Le second problème, quant à lui, se déroule en trois temps. Après avoir étudié
un modèle discret de charge d’un barreau fixe, on s’intéresse au modèle continu.
La dernière partie traite du cas où l’électrode permettant de charger le barreau
n’est pas directement accolée à l’origine du barreau.
Ce sujet, très classique et bien guidé, ne présente pas de grosses difficultés (les
questions 10 des deux problèmes demandent cependant de la réflexion). Il utilise des
outils de mécanique céleste et un zeste d’hydrostatique pour le premier problème
ainsi que des outils d’électrocinétique élémentaire (circuits RC) pour le second.
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Indications
Premier problème
2 Prendre garde aux constantes d’intégration.
6 Penser à la force d’inertie d’entraînement dans le référentiel tournant.
8 La surface terrestre est définie comme la surface de pression nulle.
10 Bien décomposer le vecteur courant sur le cercle suivant les différents axes. Penser
à ses formules de trigonométrie et aux valeurs moyennes de cos β et cos2 β afin
d’obtenir la formule demandée.
→
−
16 Comment L varie-t-il ?
17 Utiliser l’énoncé pour vérifier son application numérique.
Second problème
2 Prendre garde aux conventions d’orientation choisies.
3 Établir une équation différentielle pour V(t).
5 Faire un dessin et choisir une convention pour le courant.
7 Séparer les variables. S’inspirer de la question 10 pour prendre directement les
bonnes notations.
10 Décomposer le créneau en série de Fourier.
16 Regarder la variation de tc ′′ en fonction de a.
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Premier problème
Précession de l’orbite des satellites de la Terre
Si la Terre était ronde. . .
−−→
−
1 Projetons la relation (1) →
g = − grad V(r) sur rb, on obtient :
+G
D’où, avec V(∞) = 0,
m0
dV
=+
r2
dr
V(r) = −
Gm0
r
Lors de pareilles intégrations, il ne faut pas omettre les constantes que l’on
détermine par la suite grâce aux conditions aux limites. Dans la situation
présente, la constante est nulle, mais ce ne sera pas toujours le cas.
2 Procédons par analogies. La masse m0 (dépendant de la particule) s’apparente à
la charge q0 (dépendant elle aussi de la particule créant le champ). Il ne reste que les
constantes : −G s’apparente à 1/ (4 π ε0 ).
ZZ
→ −
−
→ Qint
Le théorème de Gauss s’écrit
E . dS =
ε0
Transposé au cas gravitationnnel, cela donne
ZZ
→
−
→
−
g . d S = −4 π G Mint
où Mint est la masse comprise à l’intérieur de la sphère d’intégration.
Le système est à symétrie sphérique. Tout axe passant par le centre de la sphère est
donc axe de symétrie du système. Le champ gravitationnel étant un vrai vecteur tout
comme le champ électrique, il est dirigé selon les éléments de symétrie du système.
Il est donc dirigé suivant rb et ne dépend pas de la direction du vecteur position mais
juste de sa norme.
On intègre sur une sphère de rayon r et de centre O : comme g y est constant, il
suffit de le multiplier par la surface de la sphère. L’intégrale donne donc simplement
4 π r2 g(r).
On distingue alors deux cas :
• Si r > R, la masse interne est simplement M.
GM
r2
D’où
g(r) = −
En utilisant (1)
V(r) = −
GM
r
• Si r < R, la masse interne s’écrit, puisque ρ =
Mint =
3M
:
4 π R3
4
r3
π r3 ρ = M 3
3
R
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D’où
g(r) = −
En utilisant (1)
V(r) =
GM
r
R3
GM 2
r + Cte
2 R3
On détermine la constante d’intégration en utilisant la continuité de V en R.
Il vient
V(r) =
GM 2 3 GM
r −
2 R3
2R

GM


 g(r) = − 2
r
Si r > R

GM

 V(r) = −
r

GM


 g(r) = − 3 r
R
si r < R

GM
3 GM
 V(r) =

r2 −
2 R3
2R
En résumé
Évolution du potentiel gravitationnel en fonction de r :
V(r)
R
r
GM
R
3 GM
−
2R
−
3 La loi de l’hydrostatique s’écrit :
−−→
→
−
grad P = ρ Φ
avec
ρ=
3M
4 π R3
→
−
où Φ représente la densité massique de forces à distance.
→ →
−
Dans notre cas, on a simplement Φ = −
g . À l’intérieur de la Terre :
−−→
3 GM2 r
grad P = −
rb
4 π R6
4 En projetant cette relation sur rb et en intégrant de R à r, il vient
Z r
Z r
dP
3 GM2 r′ ′
dr = −
dr
R6
R dr
R 4π
"
#
2 R
3 GM2 r′
P(r) − P(R) =
4 π 2 R6
r
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