MP / 1 8

X Physique MP 2009 — Énoncé 1/8
ÉCOLEPOLYTECHNIQUEFILIÈREMP
CONCOURSD’ADMISSION2009
COMPOSITIONDEPHYSIQUE
(Durée :4heures)
L’utilisation descalculatricesestautorisée pourcette épreuve.
⋆ ⋆ ⋆
Compression delamatièreparondedechoc
Ons’intéressedansce problèmeàl’étuded’étatsdelamatièredansdesconditionsextrêmes
detempérature etdepression,soitplusieursmilliersdekelvinsetplusd’un million defoisla
pressionatmosphérique.Detelsétatsdelamatièresont rendusaccessiblesaumoyen d’un laser
depuissance,quipermetde"déposer"del’énergiesurdepetites surfacespendantdesdurées
trèsbrèves.Lamatière estlocalementportée àl’étatdeplasmaetelle estlesiègedephénomènes
complexescommelapropagation d’ondesde chocquivontaboutirauxcompressionsextrêmes
évoquéesplushaut.Onseproposededécrirequelquesunsdesaspectsdelaphysiquedela
matièreàhautedensitéd’énergie,ainsiquel’un desdiagnosticsutiliséspourmesurerl’état
thermodynamiquedu système.
Lestroisparties sontindépendantes.
Donnéesnumériques
Massedu proton:mp=1,67 ×10−27 kg
Massedel’électron:me=9,1×10−31 kg
Charge élémentaire:e=1,6×10−19 C
ConstantedeBoltzmann :kB=1,38 ×10−23 J·K−1
Nombred’Avogadro:NA=6,02 ×1023 mol−1
Permittivitédu vide:ε0=8,85 ×10−12 F·m−1
Perméabilitédu vide:µ0=4π×10−7H·m−1
Vitessedelalumièredanslevide:c=(ε0µ0)−1/2=3,0×108m·s−1
Formulaire−→
rot−→ rot~a=−−→ grad div~a−~ ∆~a
ÉquationsdeMaxwell
div~ E=ρ
ε0
−→
rot~ E=−∂~
B
∂t
div~ B=0−→ rot~ B=µ0~
j+ε0µ0
∂~ E
∂t
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X Physique MP 2009 — Énoncé 2/8
I.Interactiononde électromagnétique-plasma
I.1Onconsidèreun plasmaneutre composéd’ions,pfoisionisés,demassemietdedensitévolu-
miqueni,ainsiqued’électronsdemassemeetdedensiténe.Traduire enéquationlaneutralité
électriquedu plasma.
Ons’intéresseaucouplagede ce plasma avec uneonde électromagnétiqueplaneprogressive
sepropageantdanslesensdeszcroissants,devecteurd’onde~ k=k~ez.
On utiliseralesnotationscomplexesavec :
~
E=E0expi(ωt−~
k·~r)~ex,~ B=B0expi(ωt−~ k·~r)~ey
I.2Onsupposeleplasmasuffisammentdiluépourquelesionsetlesélectronspuissentêtre consi-
déréscommeindépendantslesunsdesautres.Depluson négligel’action du champmagnétique.
Écrirelarelationfondamentaledeladynamiquepourlesionsetlesélectrons.En déduire
que,pourdesparticulesdevitessesinitialesnulles, lesdéplacements s’effectuentselonOx,per-
pendiculairementà~ k.
I.3En utilisantlanotationcomplexe,exprimerlesvitessesdesions~vietdesélectrons~veen
fonction du champélectrique.En déduirel’expressionlocaledeladensitéde courant~ jenfonction
de~ E.Justifierqueseulslesélectronscontribuenten pratiqueaucourantdansleplasma.
I.4Établirlarelation dedispersion desondesélectromagnétiquesdansleplasma,c’est-à-direla
relationk(ω).On définirala "fréquence plasma" ωpparωp=»nee2/ε0me.
Tracerl’alluredelacourbek(ω);on préciseraen particulierlatangente enk=0etlaforme
asymptotiqueauxgrandesfréquences.
I.5Àquelle conditionl’onde électromagnétiquesepropage-t-elle effectivementdansleplasma?
Pourunepulsationωdonnée,en déduirequ’il existeunedensité électronique critiquenCau-delà
delaquellel’ondenepeutplus sepropager.
I.6Quesepasse-t-il lorsqu’uneonde électromagnétique,sepropageantdanslevide,pénètre
dansun plasmadedensité électroniquetellequeωp>ω?En particulier,ya-t-il dissipation
énergétique?
I.7Application numérique.Leslasersdepuissance enservice danslemonde(installation
OMEGAauxUSA,Ligned’IntégrationLaserenFrance)ouencoursde construction(Laser
Mégajoule,NationalIgnitionFacility)fonctionnentàlalongueurd’ondeλL=351 nm.
Calculerladensité critique correspondante.Lacompareràladensité électroniqued’un métal
quiestdel’ordrede1×1023 cm−3.
I.8L’expérience montrequelefaisceau d’un laserdepuissance,focalisésurun échantillon, l’ionise
enformantun plasmaetqu’il estabsorbé,essentiellementauvoisinagedelapositionoùladensité
électronique estvoisinedeladensité critiquenC.Pourpouvoirinterpréterce phénomène,quelle
hypothèse effectuée au débutde cettepartiefaut-il remettre encause?
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X Physique MP 2009 — Énoncé 3/8
I.9Pourpréciserl’étatd’un plasmadedensité électroniquene,onconsidèredeuxélectrons.
Àquelledistance rLleurénergied’interactioncoulombienne est-elle égaleàl’énergied’agitation
thermiquekBTcorrespondantàlatempératureT?
On prend cettedistance commeordredegrandeurpourestimerlelibreparcoursmoyenℓ
d’un électron parl’expressionℓ=1/πr2
Lne.
CalculerrLetℓpourne=1×1022 cm−3etkBT=10 eV.Commenter.
I.10 Uneonde électromagnétique,arrivantorthogonalementàlasurface d’un milieuabsorbant,
exerce surce milieu desforces setraduisantparunepressionpégaleàlamoyennetemporelle
deladensitévolumique énergétiquedel’onde:p=huemi.Àquellegrandeurphysiquedel’onde
peut-onassociercesforcesdepression?
Unlaserdepuissance typique émetpendantunedurée τ=5nsune énergieEL=5kJ
concentrée surunetachefocaledel’ordrede1mm2.Calculerlapressionqu’il exerce surune
surface absorbante; l’exprimeren bar (1bar=1×105Pa∼
=1atm).
Enfait,unetelleimpulsionlasercrée danslematériau uneondede chocavec unepression
quiatteintladizainedeMbar (cf. partieII).Cettevaleurest-elle compatibleavec lapression de
radiationcalculée ci-dessus?
II.Ondedechoc;aspectsthermodynamiques
L’interaction d’un rayonnementlaserdefortepuissance avec un matériauinitialementau
reposengendre,aprèsionisation du milieueteffetsthermiques,unebrusquemise enmouvement
parcompression.Onseproposed’obtenirdanscettepartielesrelationsthermodynamiques
régissantl’évolution ultérieuredu milieu.
Figure1.Propagationd’uneondede choc
dansuntube Figure2.Bilans surunetranchede gaz
Dansune conduite cylindriquedesection d’aireS,onconsidèreun gazinitialementaurepos,
depressionP0,detempératureT0etdemassevolumiqueρ0.Cegaz estmisenmouvementet
il seformeunediscontinuitédepressionou"ondede choc"quisepropagedanslaconduiteà
unevitesseD.Lapression du gazpassedeP0àP1, lavitessedu gazdev0=0àv1,etlamasse
volumiquedeρ0àρ1.Leprocessusestsupposéadiabatique.LapressionP1du gazaprèspassage
del’ondeseraprise commeparamètre.Onseproposededéterminerlamassevolumiqueρ1etla
températureT1aprèspassagedel’ondede choc etdedéterminerlavitesseDde celle-ci.
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X Physique MP 2009 — Énoncé 4/8
II.1Onconsidèreun tronçonfixeABdelaconduite contenantinitialementunemasseδmde
gaz.Ilest traverséparladiscontinuitépendantl’intervalledetemps[t,t+δt](figure2).
II.1.1Déterminerlesvolumesoccupésparlamasseδmauxinstantstett+δt.En déduire
unerelationentreρ0,ρ1,v1etD.
II.1.2Toujourspourlamasseδm,exprimerlebilan dequantitédemouvemententreles
instantstett+δt;en déduireunerelationentreρ0,P0,P1,v1etD.On négligeratoutfrottement
du gazsurlaparoidelaconduite.
II.1.3Exprimerletravail δWdesforcesextérieuresdepressionexercées surlamasseδm
pendantl’intervalledetempsδt.
II.1.4Lamasseδmsubitunevariation d’énergieinterne etacquiert del’énergie cinétique.
Onappellerae0ete1lesénergiesinternesmassiquesdu gazrespectivementavantetaprèsle
passagedeladiscontinuité.Exprimerlebilanénergétiquedeδmentretett+δt.
II.1.5Aumoyen desrelationsétabliesenII.1.1,II.1.2etII.1.4,montrerque:
e1−e0=1
21 ρ0
−1
ρ1(P1+P0)
II.1.6P1étantsupposé connu, les3relationsétabliesenII.1.1,II.1.2etII.1.5,
ditesd’Hugoniot-Rankine,sont-elles suffisantesàladéterminationthermodynamique complète
du système?
II.2Onconsidèrele casparticulierd’un gazparfait.
II.2.1Montrerquel’énergieinternemassiqueedu gaz estdonnée par:e=P/[ρ(γ−1)]
avec γ=CP/CV,CPetCVétantlescapacitésthermiquesmassiquesdu gaz.
II.2.2En déduirequelerapport de compressionρ1
ρ0
estdonné,enfonction du rapport des
pressionsP1
P0
,par:ρ1
ρ0
=(γ−1)+(γ+1)(P1/P0)
(γ+1)+(γ−1)(P1/P0)
II.2.3Exprimerégalementlerapport destempératuresT1
T0
enfonction deγetdeP1
P0
.
Onconsidèremaintenantune compressionfortepourlaquelleP1/P0>> 1.
II.2.4Montrerquelerapport desmassesvolumiquestend versunevaleurlimite.Calculer
cettelimitepourun gazparfaitmonoatomique.
II.2.5Qu’enest-il du rapport destempératures?Quelsphénomènespouvantavoirdel’im-
portance ontéténégligés?
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X Physique MP 2009 — Énoncé 5/8
II.3Ons’intéressemaintenantàlacéléritéDdel’ondede choc,toujourspourun gazparfait.
II.3.1Lavitessec0desondes sonoresdanslegaz estdonnée par:c0=γP0
ρ0
.Quelen
estl’ordredegrandeurdansl’air,demassemolairemoyenneMA=29 g,souslesconditions
normalesdetempérature etdepression?
II.3.2ExprimerDenfonction dec0,γetdu rapport P1
P0
.
II.3.3Applicationaucasd’un gazparfaitmonoatomiquepourun rapport depressionP1
P0
=3.
CalculerD
c0
,ρ1
ρ0
etT1
T0
.
II.3.4L’entropiemassiqued’un gazparfaitestdelaforme:s=CVln[Pρ−γ]+s0.Avec
lesvaleursnumériquesobtenuesenII.3.3,calculerlavariation d’entropiemassique enfonction
deCV;qu’enconcluez-vous?
II.4Ons’intéressemaintenantsuccinctementaucasdelapropagation d’uneondede chocdans
un solide.LesbilansétablisenII.1restentvalides.
Uneloiempiriquedonnelarelationsuivante entrelavitessedepropagation del’ondede choc
etlavitessev1pourlaplupart des solides:D=av1+b.
II.4.1En utilisantlarelationétablie enII.1.2,établirlaformedelacourbeP1=f(v1),
dénommée polairede choc.
II.4.2Pourl’aluminium:ρ0=2,7g·cm−3etD=1,2v1+6, lesvitessesDetv1étant
expriméesenkm·s−1.Onchercheàcomprimerce matériauàρ1=8g·cm−3.
EstimerlacéléritéDdel’ondede chocnécessaire,ainsiquelavitessev1delamatière.
En déduirel’ordredegrandeurdelapressionP1à appliquer.L’exprimeren bar
(1bar=1×105Pa).Compareràlapressionatmosphériquestandard.
II.4.3Onadmetqu’uneloid’échellerelielapression del’ondede choc engendrée parun
laserdepuissance (delongueurd’onde351 nm)etl’intensitélaserdirectementincidentesurle
matériau.SoitI15 l’intensitélaseren unitéde1015 W·cm−2.Laloidonne:P(Mbar)=80(I15)2/3.
Quelle estl’intensitélasernécessairepourengendrerlapressioncalculée enII.4.2?Cedo-
maine est-il accessibleavec lelaserde caractéristiquesdonnéesenI.10 ?
II.4.4Pourdesconsidérationsgéométriques, lelaserMégajoulepermetde concentrersur
lacibleune énergiedel’ordrede500 kJpendantunedurée de25 ns,avec unetachefocalede
1mm2.En déduireun ordredegrandeurdelapressionmaximaleaccessible.
Lapressionàl’intérieurdu noyauterrestre estdel’ordrede100 à 350 GPa.Cetyped’expé-
riencesde compressiona-t-il un intérêtengéophysique etenastrophysique?
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