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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/16
X Maths 1 MP 2009 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Thomas Chomette (Professeur en CPGE) ; il a été
relu par Guillaume Dujardin (Chercheur à l’INRIA) et Lætitia Borel-Mathurin
(ENS Cachan).
Le titre de cette épreuve, « Exponentielles d’endomorphisme, intégrales et séries »,
en résume assez bien le contenu. Le sujet se compose de deux parties indépendantes
et de difficulté progressive, la seconde se corsant sur la fin.
•La première partie s’intéresse à l’endomorphisme Ade C∞(R)défini par
Af(x) = xf′(x)
On veut établir, pour toute fonction fdéveloppable en série entière, l’identité
+∞
P
n=0
tn
n!(Anf)(x) = f(etx)
À cette fin, on commence par établir le résultat pour des fonctions polynômes,
puis on écrit l’opérateur Ansous la forme d’une somme, de façon à exprimer
f(etx)comme une somme double dans laquelle on permute ensuite les deux
sommations. On montre alors que l’expression obtenue est valable, plus géné-
ralement, pour toute fonction développable en série entière, avant de conclure
en permutant à nouveau les deux sommations lorsque c’est possible.
•Dans la seconde partie, on s’intéresse au produit de convolution, d’expression
f∗g:x7→ ZR f(x−y)g(y) dy
Dans un premier temps, on établit quelques propriétés générales. On montre
ainsi que l’espace Fdes fonctions fà décroissance rapide, c’est-à-dire telles
que pour tout entier naturel kla fonction x7→ xkf(x)est bornée, est stable
par convolution. On étudie également les moments de la convoluée de deux
fonctions.
Pour finir, on étudie le comportement d’une suite de fonctions de la forme
Fn=f1∗ · · · ∗ fnoù les fonctions fisont d’intégrale 1sur Ret vérifient
certaines conditions sur leurs moments d’ordre 1et 2. On montre qu’asymp-
totiquement, les fonctions x7→ nFn(nx)se comportent comme la mesure de
Dirac. Autrement dit, l’étalement de la « masse » dû à la convolution est plus
que compensé par le passage de Fnàx7→ nFn(nx), qui tend à concentrer la
masse autour de l’origine.
La première partie, plus abordable dans l’ensemble, comporte quelques questions
élémentaires quoique techniques. Il faut être à l’aise avec la notion de famille som-
mable pour en venir à bout. La seconde présente la difficulté supplémentaire de faire
appel à l’initiative du candidat : certaines questions sont ouvertes, et leur résultat est
parfois utile pour la suite. Enfin, le sujet se termine par quelques questions ardues.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/16
Indications
Première partie
2 Commencer par traiter le cas d’un polynôme de la base canonique de R[X], puis
utiliser la linéarité.
3 Fixer une fonction f∈C∞(R)et calculer DnXfgrâce à la formule de Leibnitz.
5 Décomposer fsur la base canonique de R[X]. Si gest un élément de la base
canonique de R[X], montrer que la suite double
tn
n!µn,kxkg(k)(x)16k6n
vérifie les hypothèses du théorème de Fubini. À cette fin, on pourra utiliser le
résultat de la question 2.
7.c Ne pas oublier de justifier l’identification qui s’impose. Pour cela, utiliser à nou-
veau les polynômes de la base canonique de R[X].
7.e Séparer les variables xet t. Pour la série en x, utiliser la propriété (P).
Deuxième partie
9.a Borner fet majorer |g|par une fonction intégrable.
9.b Écrire xk= (x−y+y)k, puis intervertir les intégrations en xet ygrâce au
théorème de Fubini.
12.a Pour faire apparaître un majorant en m2(TnFn), utiliser le fait que α26x2
pour tout x∈[α; +∞[.
12.b Découper l’intégrale en trois morceaux en exploitant la continuité de hen 0.
13.a Penser à l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
13.c Majorer l’intégrale Z+∞
α
(TnFn)(x) dxpar 1
α4m4(TnFn)en utilisant une tech-
nique analogue à celle de la question 12.a.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 3/16
Première partie
1Soient f∈C∞(R)et x∈R. Écrivons la fonction t7→ (Φtf)(x) = f(etx), dérivable
sur R. En dérivant, on obtient la fonction t7→ xetf′(etx), dont la valeur en 0est
xf′(x) = (Af)(x)
2Commençons par étudier le cas d’un élément de la base canonique de R[X].
Soient p∈Net g:x7→ xp. Si p6= 0, on a g′:x7→ pxp−1donc Ag:x7→ pxp, résultat
encore valable lorsque p= 0. Une récurrence immédiate donne alors Ang:x7→ pnxp,
pour tout entier naturel n. Pour tous réels xet t, la série
P
n>0
tn
n!(Anf)(x) = P
n>0
pntn
n!xp
est donc convergente, de somme eptxp=g(etx) = (Φtg)(x).
Reste alors à exploiter la linéarité des endomorphismes An, pour tout entier n,
et Φt, pour tout réel t, afin de conclure dans le cas général. Soit fune fonction
polynôme, d’expression
f(x) =
p
P
k=0
akxkavec a0,...,ap∈R
Pour tout entier naturel n, on a Anf:x7→
p
P
k=0
akknxk. Donc, pour tous réels xet t,
P
n>0
tn
n!(Anf)(x) = P
n>0
p
P
k=0
ak
kntn
n!xk
=
p
P
k=0 P n>0
ak
kntn
n!xk=
p
P
k=0
akektxk
P
n>0
tn
n!(Anf)(x) = f(etx)
Autrement dit P
n>0
tn
n!(Anf)(x) = (Φtf)(x)
Dans le calcul précédent, l’interversion des deux signes sommes ne pose pas
de problème, la seconde étant une somme finie de séries convergentes. Dès lors
que
p
P
k=0 P n>0
ak
kntn
n!xka un sens, la série P
n>0
p
P
k=0
ak
kntn
n!xkconverge également
et les deux termes sont égaux.
3Soient nun entier strictement positif et f∈C∞(R). Par définition, pour tout
réel x, on a (Xf)(x) = xf (x). Autrement dit, Xfest le produit de fpar la fonction
identité, et DnXfest la dérivée nede ce produit, qui se calcule grâce à la formule
de Leibnitz :
∀x∈R(DnXf)(x) =
n
P
k=0n
kid (k)(x)f(n−k)(x) = xf(n)(x) + nf (n−1)(x)
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/16
En effet, id (k)étant identiquement nulle pour k>2, seuls deux termes restent dans
la somme. On a ainsi établi la propriété
∀x∈R(DnXf)(x) = (XDnf+nDn−1f)(x)
soit DnXf= (XDn+nDn−1)f
Cette égalité est valable pour toute application f∈C∞(R), si bien qu’on a l’identité
DnX = XDn+nDn−1
4L’énoncé suggère ici une récurrence, puisque sont demandées des expressions
des nombres µn,k en fonction des nombres µn−1,p. Soit, pour tout entier n∈N∗,
P(n)la propriété :
« Il existe des réels positifs (µn,k )16k6ntels que An=
n
P
k=1
µn,kXkDk. »
•P(1) est vraie car A = XD, soit l’expression voulue avec µ1,1= 1.
•P(n−1) =⇒P(n): On suppose P(n−1) pour un entier n>2. On a alors
An= An−1A = An−1XD. D’après l’hypothèse de récurrence, il existe des réels
positifs (µn−1,k)16k6n−1tels que
An−1=
n−1
P
k=1
µn−1,kXkDk
Par conséquent, en utilisant le résultat de la question précédente
An−1X =
n−1
P
k=1
µn−1,kXkDkX
=
n−1
P
k=1
µn−1,kXk(XDk+kDk−1)
An−1X =
n−1
P
k=1
µn−1,kXk+1Dk+kXkDk−1
En composant à droite par D, il vient
An=
n−1
P
k=1
µn−1,kXk+1Dk+1 +kXkDk
=
n
P
k=2
µn−1,k−1XkDk+
n−1
P
k=1
k µn−1,kXkDk
On obtient la forme souhaitée An=
n
P
k=1
µn,kXkDken posant µn,1=µn−1,1,
µn,n =µn−1,n−1et pour tout entier k∈[[ 2 ; n−1 ]],µn,k =k µn−1,k +µn−1,k−1.
•Conclusion : Pour tout n∈N∗, il existe des réels positifs (µn,k )16k6ntels que
An=
n
P
k=1
µn,kXkDk
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