télécharger le PDF

c Éditions H&K
Publié dans les Annales des Concours
1/16
X Maths 1 MP 2009 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Thomas Chomette (Professeur en CPGE) ; il a été
relu par Guillaume Dujardin (Chercheur à l’INRIA) et Lætitia Borel-Mathurin
(ENS Cachan).
Le titre de cette épreuve, « Exponentielles d’endomorphisme, intégrales et séries »,
en résume assez bien le contenu. Le sujet se compose de deux parties indépendantes
et de difficulté progressive, la seconde se corsant sur la fin.
• La première partie s’intéresse à l’endomorphisme A de C ∞ (R) défini par
Af (x) = xf ′ (x)
On veut établir, pour toute fonction f développable en série entière, l’identité
+∞
P tn
n=0 n !
(An f )(x) = f (et x)
À cette fin, on commence par établir le résultat pour des fonctions polynômes,
puis on écrit l’opérateur An sous la forme d’une somme, de façon à exprimer
f (et x) comme une somme double dans laquelle on permute ensuite les deux
sommations. On montre alors que l’expression obtenue est valable, plus généralement, pour toute fonction développable en série entière, avant de conclure
en permutant à nouveau les deux sommations lorsque c’est possible.
• Dans la seconde partie, on s’intéresse au produit de convolution, d’expression
Z
f ∗ g : x 7→ f (x − y)g(y) dy
R
Dans un premier temps, on établit quelques propriétés générales. On montre
ainsi que l’espace F des fonctions f à décroissance rapide, c’est-à-dire telles
que pour tout entier naturel k la fonction x 7→ xk f (x) est bornée, est stable
par convolution. On étudie également les moments de la convoluée de deux
fonctions.
Pour finir, on étudie le comportement d’une suite de fonctions de la forme
Fn = f1 ∗ · · · ∗ fn où les fonctions fi sont d’intégrale 1 sur R et vérifient
certaines conditions sur leurs moments d’ordre 1 et 2. On montre qu’asymptotiquement, les fonctions x 7→ nFn (nx) se comportent comme la mesure de
Dirac. Autrement dit, l’étalement de la « masse » dû à la convolution est plus
que compensé par le passage de Fn à x 7→ nFn (nx), qui tend à concentrer la
masse autour de l’origine.
La première partie, plus abordable dans l’ensemble, comporte quelques questions
élémentaires quoique techniques. Il faut être à l’aise avec la notion de famille sommable pour en venir à bout. La seconde présente la difficulté supplémentaire de faire
appel à l’initiative du candidat : certaines questions sont ouvertes, et leur résultat est
parfois utile pour la suite. Enfin, le sujet se termine par quelques questions ardues.
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .
c Éditions H&K
Publié dans les Annales des Concours
2/16
Indications
Première partie
2 Commencer par traiter le cas d’un polynôme de la base canonique de R[X], puis
utiliser la linéarité.
3 Fixer une fonction f ∈ C ∞ (R) et calculer Dn Xf grâce à la formule de Leibnitz.
5 Décomposer f sur la base canonique de R[X]. Si g est un élément de la base
canonique de R[X], montrer que la suite double
n
t
µn,k xk g (k) (x)
n!
16k6n
vérifie les hypothèses du théorème de Fubini. À cette fin, on pourra utiliser le
résultat de la question 2.
7.c Ne pas oublier de justifier l’identification qui s’impose. Pour cela, utiliser à nouveau les polynômes de la base canonique de R[X].
7.e Séparer les variables x et t. Pour la série en x, utiliser la propriété (P).
Deuxième partie
9.a Borner f et majorer |g| par une fonction intégrable.
9.b Écrire xk = (x − y + y)k , puis intervertir les intégrations en x et y grâce au
théorème de Fubini.
12.a Pour faire apparaître un majorant en m2 (Tn Fn ), utiliser le fait que α2 6 x2
pour tout x ∈ [ α ; +∞ [.
12.b Découper l’intégrale en trois morceaux en exploitant la continuité de h en 0.
13.a Penser à l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
Z +∞
1
13.c Majorer l’intégrale
(Tn Fn )(x) dx par 4 m4 (Tn Fn ) en utilisant une techα
α
nique analogue à celle de la question 12.a.
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .
c Éditions H&K
Publié dans les Annales des Concours
3/16
Première partie
1 Soient f ∈ C ∞ (R) et x ∈ R. Écrivons la fonction t 7→ (Φt f )(x) = f (et x), dérivable
sur R. En dérivant, on obtient la fonction t 7→ xet f ′ (et x), dont la valeur en 0 est
xf ′ (x) = (Af )(x)
2 Commençons par étudier le cas d’un élément de la base canonique de R[X].
Soient p ∈ N et g : x 7→ xp . Si p 6= 0, on a g ′ : x 7→ pxp−1 donc Ag : x 7→ pxp , résultat
encore valable lorsque p = 0. Une récurrence immédiate donne alors An g : x 7→ pn xp ,
pour tout entier naturel n. Pour tous réels x et t, la série
P p n tn p
P tn n
(A f )(x) =
x
n>0 n !
n>0 n !
est donc convergente, de somme ept xp = g(et x) = (Φt g)(x).
Reste alors à exploiter la linéarité des endomorphismes An , pour tout entier n,
et Φt , pour tout réel t, afin de conclure dans le cas général. Soit f une fonction
polynôme, d’expression
f (x) =
p
P
ak xk
avec
a0 , . . . , ap ∈ R
k=0
Pour tout entier naturel n, on a An f : x 7→
p
P
ak k n xk . Donc, pour tous réels x et t,
k=0
p
P tn n
P P
k n tn k
(A f )(x) =
ak
x
n!
n>0 n !
n>0 k=0
p P
p
P
P
k n tn k
=
ak
ak ekt xk
x =
n!
k=0 n>0
k=0
P tn n
(A f )(x) = f (et x)
n>0 n !
Autrement dit
P tn n
(A f )(x) = (Φt f )(x)
n>0 n !
Dans le calcul précédent, l’interversion des deux signes sommes ne pose pas
de problème, la seconde étant une somme finie de séries convergentes. Dès lors
p P
p
P
P P
k n tn k
k n tn k
que
ak
x a un sens, la série
ak
x converge également
n!
n!
k=0 n>0
n>0 k=0
et les deux termes sont égaux.
3 Soient n un entier strictement positif et f ∈ C ∞ (R). Par définition, pour tout
réel x, on a (Xf )(x) = xf (x). Autrement dit, Xf est le produit de f par la fonction
identité, et Dn Xf est la dérivée ne de ce produit, qui se calcule grâce à la formule
de Leibnitz :
n
(k)
P
n
∀x ∈ R (Dn Xf )(x) =
(x)f (n−k) (x) = xf (n) (x) + nf (n−1) (x)
k id
k=0
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .
c Éditions H&K
4/16
Publié dans les Annales des Concours
En effet, id (k) étant identiquement nulle pour k > 2, seuls deux termes restent dans
la somme. On a ainsi établi la propriété
∀x ∈ R
soit
(Dn Xf )(x) = (XDn f + nDn−1 f )(x)
Dn Xf = (XDn + nDn−1 )f
Cette égalité est valable pour toute application f ∈ C ∞ (R), si bien qu’on a l’identité
Dn X = XDn + nDn−1
4 L’énoncé suggère ici une récurrence, puisque sont demandées des expressions
des nombres µn,k en fonction des nombres µn−1,p . Soit, pour tout entier n ∈ N∗ ,
P(n) la propriété :
« Il existe des réels positifs (µn,k )16k6n tels que An =
n
P
µn,k Xk Dk . »
k=1
• P(1) est vraie car A = XD, soit l’expression voulue avec µ1,1 = 1.
• P(n − 1) =⇒ P(n) : On suppose P(n − 1) pour un entier n > 2. On a alors
An = An−1 A = An−1 XD. D’après l’hypothèse de récurrence, il existe des réels
positifs (µn−1,k )16k6n−1 tels que
An−1 =
n−1
P
µn−1,k Xk Dk
k=1
Par conséquent, en utilisant le résultat de la question précédente
An−1 X =
n−1
P
µn−1,k Xk Dk X
k=1
=
n−1
P
µn−1,k Xk (XDk + kDk−1 )
k=1
An−1 X =
n−1
P
µn−1,k Xk+1 Dk + kXk Dk−1
k=1
En composant à droite par D, il vient
An =
n−1
P
µn−1,k Xk+1 Dk+1 + kXk Dk
k=1
=
n
P
µn−1,k−1 Xk Dk +
k=2
n−1
P
k µn−1,k Xk Dk
k=1
On obtient la forme souhaitée An =
n
P
µn,k Xk Dk en posant µn,1 = µn−1,1 ,
k=1
µn,n = µn−1,n−1 et pour tout entier k ∈ [[ 2 ; n−1 ]], µn,k = k µn−1,k +µn−1,k−1 .
• Conclusion : Pour tout n ∈ N∗ , il existe des réels positifs (µn,k )16k6n tels que
An =
n
P
µn,k Xk Dk
k=1
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .