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Devoir en temps libre : autour du losange
Ce problème contient trois exercices indépendants et de difficulté croissante sur le
thème du losange.
On démontrera notamment à l’aide des nombres complexes quelques résultats de
géométrie bien connus depuis le collège. A priori on ne s’autorise que les résultats
proprement démontrés dans le cours de CPGE ; lorsqu’un théorème vu dans le cycle
secondaire sera nécessaire, l’énoncé le précisera explicitement.
On définit un losange comme un quadrilatère plan dont les quatre côtés sont de
même longueur, et dont les sommets sont deux à deux distincts.
Pour ces trois exercices, le plan est muni d’un repère orthonormé direct O,~ı,~ .
1. Dessiner un quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur mais qui
n’est pas un losange.
Indication : Relire attentivement la définition d’un losange donnée par l’énoncé !
Vu la définition, un tel quadrilatère aura certains sommets égaux. Par exemple :
1
1
0
Il faudra avoir à l’esprit ce genre de cas particuliers dans la suite du problème !
Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en
leur milieu et à angle droit est un losange
Pour simplifier nous étudierons un quadrilatère dont un des sommets est l’origine.
Soient donc A,B,et Ctrois points. Nous supposons que O, A, B, C sont deux à deux
distincts et que les diagonales du quadrilatère OABC sont orthogonales et se coupent
en leur milieu. Le but est de démontrer que OABC est un losange.
On notera a, b, c les affixes respectives de A, B, C.
Remarque : Si les points n’étaient pas deux à deux distincts, les diagonales pourraient
tout simplement ne pas exister, et cet exercice n’aurait plus de sens !
1. Faire une figure.
Comme il s’agit d’un problème de début d’année, on vous demande explicitement
de faire une figure, mais en général n’attendez pas qu’on vous le demande pour en
faire à chaque fois que possible ! Au brouillon, elle est indispensable pour guider
votre réflexion, et au propre, une bonne figure mettra le correcteur en de bonnes
dispositions et pourra même vous rapporter quelque point, même si vous n’avez pas
su trouver le raisonnement formel.