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2.2 *** Un losange est un parallélogramme
Nous allons maintenant prouver que OABC est un parallélogramme. On pose :
•αun argument de l’affixe de −−→
OA ;
•γun argument de l’affixe de −−→
OC ;
•θun argument de l’affixe de −−→
AB ;
•φun argument de l’affixe de −−→
CB.
Cette partie est plus difficile. On s’y permettra pour simplifier les calculs l’usage de la notation modulo : on rappelle
qu’étant donnés (a,b,m)∈R3, la notation "a≡b[m]" signifie ∃k∈Ztq a=b+km.
1. (division par deux dans un modulo : ) Soit (a,b,m)∈R3. Vérifier :
a≡b[m]⇔(a≡b[2m] ou a≡m+b[2m]).
2. Quelles sont les affixes des quatre vecteurs −−→
OA,−−→
OC,−−→
AB et −−→
CB ?
3. En écrivant l’affixe de Bde deux manières différentes, montrer :
eiα+γ
2sin(α−γ
2)=eiφ+θ
2sin(φ−θ
2).
4. En déduire que :
α−γ≡φ−θ[2π] ou α−γ≡θ−φ[2π]
5. Montrer également que :
α+γ≡φ+θ[2π]
6. Montrer que les situations suivantes sont impossibles :
(a) α≡π+θ[2π] ;
(b) γ≡π+φ[2π] ; (c)
α≡θ[2π]
γ≡φ[2π]; (d)
α=π+φ[2π]
θ=π+γ[2π].
indication: Revenir à l’interprétation géométrique de ces nombres. La contradiction recherchée sera que les
points O,A,B,Cne sont pas deux à deux distincts. Faire des dessins !
7. Finalement, démontrer que −−→
OA =−−→
CB et −−→
OC =−−→
AB, autrement dit que OABC est un parallélogramme.
2.3 Les diagonales se coupent en leur milieu
1. Exprimer ben fonction de aet c. On pourra utiliser le résultat de 2.2.
2. Montrer que le milieu de [OB] est égal au milieu de [AC]. indication: Calculer l’affixe du milieu de [OB], du
milieu de [AC] et vérifier que ce sont les mêmes.
On a bien prouvé que les diagonales du losange OABC se coupent à angles droits et en leur milieu.
3 Une équation dans le cercle trigonométrique
Ici, le but est de déterminer les nombres complexes a,b,cde module 1 tels que a+b+c=1 en utilisant quelques
résultats des parties précédentes.
1. Donner un exemple de nombres a,b,cde module 1 et vérifiant a+b+c=1. Dessiner les points du plan
correspondant.
Dans la suite, on fixe a,b,c trois nombres complexes de module 1 vérifiant a +b+c=1. On définit les points
M,N,P tels que −−→
OM =a, −−−→
MN =b, −−→
NP =c.
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