Etude de la somme d`une série entière

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Etude de la somme d’une série entière
Exercice 1 [ 00980 ] [correction]
Soit Panznune série entière de rayon de convergence R > 0et de somme f.
a) Exprimer
+∞
P
n=0
a2nz2nen fonction de fpour |z|< R.
b) Même question avec
+∞
P
n=0
a3nz3n.
Exercice 2 [ 00981 ] [correction]
Soit f(x) =
+∞
P
n=0
anxnla somme d’une série entière de rayon de convergence 1.
On pose pour tout n∈N
Sn=
n
X
k=0
aket g(x) =
+∞
X
n=0
Snxn
a) Déterminer le rayon de convergence de la série entière définissant g.
b) Pour tout x∈]−1,1[, exprimer g(x)en fonction de f(x).
Exercice 3 [ 00982 ] [correction]
Soit (an)une suite de réels strictement positifs. On pose Sn=
n
P
k=0
aket on suppose
Sn→+∞et an/Sn→0
Déterminer le rayon de convergence des séries entières P
n>0
anxnet P
n>0
Snxnpuis
former une relation entre leur somme.
Exercice 4 [ 00983 ] [correction]
Soit (an)une suite non nulle et Tpériodique (avec T∈N?).
a) Déterminer le rayon de convergence de la série entière P
n>0
anxn.
b) Simplifier
nT −1
P
k=0
akxk. En déduire que
+∞
P
n=0
anxnest, pour tout x∈]−1,1[, une
fraction rationnelle en x.
Exercice 5 [ 00984 ] [correction]
Soit S(x) =
+∞
P
n=0
anxnde rayon de convergence R > 0.
On suppose qu’il existe α > 0tel que sur [0, α]on ait S(x)=0.
Montrer que S= 0.
Exercice 6 [ 02844 ] [correction]
a) Soit (an)une suite complexe. On suppose que la série entière Panxna pour
rayon de convergence R. Déterminer les rayons de convergence de
X(anln n)xnet X an
n
X
k=1
1
k!xn
b) Donner un équivalent simple de
+∞
P
n=1
ln(n)xnquand x→1−.
Exercice 7 [ 02854 ] [correction]
Soit une série entière
∞
P
n=0
anznde rayon de convergence R > 0et de somme f(z).
a) Montrer que pour 0< r < R,
∞
X
n=0 |an|2r2n=1
2πZ2π
0f(reiθ)
2dθ
b) Que dire de fsi |f|admet un maximum local en 0 ?
c) On suppose maintenant que R= +∞et qu’il existe P∈RN[X]tel que
|f(z)|6P(|z|)pour tout zcomplexe. Montrer que f∈CN[X].
Exercice 8 [ 02856 ] [correction]
Soient B={z∈C,|z|61}et fune fonction continue de Bdans Cdont la
restriction à B◦est somme d’une série entière. Montrer qu’il existe une suite
(Pk)k>0de polynôme convergeant uniformément vers fsur B.
Exercice 9 [ 03067 ] [correction]
Soit (un)une suite réelle bornée et pour n∈N
Sn=
n
X
k=0
uk
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a) Quels sont les rayons de convergence des séries entières
Xun
n!xnet XSn n!xn?
b) On note uet Sleurs sommes respectives. Former une relation entre S, S0et u0.
c) On suppose que la suite (Sn)converge vers un réel `. Déterminer
lim
x→+∞e−xS(x)
d) Dans cette question, on choisit un= (−1)n. Déterminer
lim
x→+∞e−xS(x)
Exercice 10 [ 03201 ] [correction]
Soit
f:x7→
+∞
X
n=1
sin 1
√nxn
a) Déterminer le rayon de convergence Rde la série entière définissant f.
b) Etudier la convergence en −Ret en R.
c) Déterminer la limite de f(x)quand x→1−.
d) Montrer que quand x→1−
(1 −x)f(x)→0
Exercice 11 [ 03653 ] [correction]
Pour xréel, on pose
f(x) =
+∞
X
n=1
xn
√n
a) Déterminer le rayon de convergence Rde la série entière définissant f.
b) Etudier la convergence de la série entière en 1 et en −1.
c) Etablir la continuité de fen −1.
d) Déterminer la limite de fen 1.
Exercice 12 [ 03663 ] [correction]
On pose
∀z∈C, c(z) =
+∞
X
n=0
(−1)n
(2n)! z2net s(z) =
+∞
X
n=0
(−1)n
(2n+ 1)!z2n+1
Montrer que
∀z∈C, c(z)2+s(z)2= 1
Exercice 13 [ 03747 ] [correction]
a) Donner l’ensemble de définition de
f(x) =
+∞
X
n=1
ln 1 + 1
nxn
b) Calculer f(−1) et R1
0
(−1)E(1/x)
xdxoù Eest la fonction partie entière.
c) Donner un équivalent de fen x= 1
Exercice 14 [ 03890 ] [correction]
a) Donner l’intervalle de définition Ide la fonction squi au réel xassocie
s(x) =
+∞
X
n=1
xn
√n
b) Quel est le signe de s0sur I∩R+?
Quelle est la limite de sen l’extrémité droite de I∩R+?
c) Ecrire (1 −x)s0(x)sous forme d’une série et en déduire le signe de s0sur I.
d) Etudier la convexité de fdéfinie sur R+par
f(x) = √x+ 1 −√xx
En déduire que la fonction sest convexe.
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Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
a) 1
2(f(z) + f(−z)) = 1 2
+∞
P
n=0
an(zn+ (−1)nzn) =
+∞
P
p=0
a2pz2p.
b) 1
3f(z) + f(jz) + f(j2z)=1 3
+∞
P
n=0
an1 + jn+j2nzn=
+∞
P
p=0
a3pz3p.
Exercice 2 : [énoncé]
a) Notons Rle rayon de convergence de g.
Pour x∈]0, R[,P
n>0
Snxnest absolument convergente donc la série de terme
général
anxn=Snxn−xSn−1xn−1
l’est aussi et donc x61. Par suite R61.
Pour x∈]0,1[,
|Snxn|6
n
X
k=0 |ak|xk
or P
k>0
akxkest absolument convergente donc (Snxn)est bornée.
Par suite x6Ret donc 16R. Finalement R= 1.
b)
∀x∈]−1,1[ ,
N+1
X
n=0
anxn=
N+1
X
n=0
Snxn−x
N+1
X
n=1
Sn−1xn−1=SN+1xN+1+(1−x)
N
X
n=0
Snxn
A la limite quand N→+∞, on obtient f(x) = (1 −x)g(x)et donc
g(x) = f(x)
1−x
Exercice 3 : [énoncé]
Puisque Sn→+∞, on a Ra61.
Comme an6Sn, on a aussi Ra>Rs.
Enfin Sn/Sn+1 = 1 −an+1/Sn+1 →1permet par la règle de d’Alembert d’obtenir
Rs= 1.
On conclut Ra=Rs= 1.
Pour |x|<1,
+∞
X
n=0
Snxn=
+∞
X
n=0
n
X
k=0
akxkxn−k=
+∞
X
n=0
anxn
+∞
X
n=0
xn=1
1−x
+∞
X
n=0
anxn
Exercice 4 : [énoncé]
a) an=O(1) donc R>1.an6 →0donc R61et ainsi R= 1.
b) En réorganisant les termes sommés
nT −1
X
k=0
akxk=
T−1
X
k=0
n−1
X
p=0
apT +kxpT +k=
T−1
X
k=0
akxk1−xnT
1−xT
et donc +∞
X
n=0
anxn=1
1−xT
T−1
X
k=0
akxk
Exercice 5 : [énoncé]
On a an=S(n)(0)
n!= 0 compte tenu de l’hypothèse. On peut conclure que S= 0.
Exercice 6 : [énoncé]
a) On sait que les séries entières Panxnet Pnanxnont le même rayon de
convergence R(notamment car une série entière et sa série dérivée ont le même
rayon de convergence). Puisque an=o(anln n)et anln n=o(nan)on peut
affirmer par encadrement que la série entière P(anln n)xna aussi pour rayon de
convergence R. De plus
an
n
X
k=1
1
k∼anln n
donc la série entière Pan
n
P
k=1
1
kxna encore pour rayon de convergence R.
b) Notons que Pln n xna pour rayon de convergence R= 1. On sait
n
X
k=1
1
k= ln n+γ+o(1)
donc le terme générale
ln n−
n
X
k=1
1
k
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est borné par un certain M.
Par suite
+∞
X
n=1
ln(n)xn−
+∞
X
n=1
n
X
k=1
1
kxn
6
+∞
X
n=1
Mxn=Mx
1−x=O1 1−x
quand x→1−.
Or par produit de Cauchy
+∞
X
n=1
n
X
k=1
1
kxn=−ln(1 −x) 1−x
donc +∞
X
n=1
ln(n)xn∼
x→1−−ln(1 −x)
1−x
Exercice 7 : [énoncé]
a) Pour 0< r < R, il y a absolument convergence de Panrn. On a
f(reiθ)
2=
+∞
X
n=0
anrneinθ
+∞
X
n=0
anrne−inθ
Par produit de Cauchy de séries absolument convergentes, on obtient
f(reiθ)
2=
+∞
X
n=0
n
X
k=0
akan−kei(2k−n)θrn
Puisque P|anrn|et P|anrn|sont absolument convergentes, par produit de
Cauchy, on peut affirmer que Pn
P
k=0 |ak||an−k|rnconverge. On en déduit que la
série des fonctions continues θ7→
n
P
k=0
akan−kei(2k−n)θrnest normalement
convergente et donc on peut permuter somme et intégration :
Z2π
0f(reiθ)
2dθ=
+∞
X
n=0 Z2π
0
n
X
k=0
akan−kei(2k−n)θrndθ
Or R2π
0eipθ dθ= 0 pour tout p∈Z?donc, après simplification des termes nuls,
1
2πZ2π
0f(reiθ)
2dθ=
+∞
X
m=0 |am|2r2m
b) Pour 0< r < R suffisamment petit
+∞
X
n=1 |an|2r2n=
∞
X
n=0 |an|r2n− |a0|2=1
2πZ2π
0f(reiθ)
2− |f(0)|2dθ
Par intégration, d’une fonction négative, on obtient
+∞
P
n=1 |an|2r2n60. Or il s’agit
d’une somme de termes positifs, ils sont donc tous nuls et on en déduit
∀n∈N?, an= 0
La fonction fest alors constante.
c) Posons
fN(z) =
N
X
n=0
anzn
Pour tout r > 0,
+∞
X
n=N+1 |an|2r2n=
+∞
X
n=0 |an|2r2n−
N
X
n=0 |an|2r2n=1
2πZ2π
0f(reiθ)−fN(reiθ)
2dθ
Pour p>N+ 1, on obtient
+∞
X
n=N+1 |an|2r2n
r2p=1 2πZ2π
0f(reiθ)−fN(reiθ)
2
r2pdθ
Or
06Z2π
0f(reiθ)−fN(reiθ)
2
r2pdθ62π
(P(r))2+N
P
n=0 |an|rn2
r2p=O(r2N) r2p
donc
1
2πZ2π
0f(reiθ)−fN(reiθ)
2
r2pdθ−−−−−→
r→+∞0
Pour p=N+ 1,
+∞
X
n=N+1 |an|2r2n
r2p=|aN+1|2+
+∞
X
n=N+2 |an|2r2(n−N−1)
avec
06
+∞
X
n=N+2 |an|2r2(n−N−1) 61
r2
+∞
X
n=N+2 |an|2−−−−−→
r→+∞0
On en déduit aN+1 = 0 puis, en reprenant la démarche avec p=N+ 2, . . ., on
obtient successivement aN+2 = 0, . . . et finalement f=fN∈CN[X]
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Exercice 8 : [énoncé]
Notons Panznla série entière dont la somme est égale à fsur B◦.
La fonction fest continue sur un compact donc uniformément continue.
Pour tout ε > 0, il existe δ > 0vérifiant
∀z, z0∈B, |z−z0|6δ⇒ |f(z)−f(z0)|6ε
Considérons alors r= 1 −δet gr:z7→ f(rz).
Pour tout z∈B,|z−rz|=δ|z|6δdonc |f(z)−g(z)|6ε. Ainsi kf−gk∞,B 6ε
Puisque la série entière Panznconverge uniformément vers fsur tout compact
inclus dans B◦, la série entière Panrnznconverge uniformément vers gsur B. Il
existe donc un polynôme Pvérifiant kP−gk∞,B 6εpuis kf−Pk∞,B 62εce
qui permet de conclure.
Exercice 9 : [énoncé]
a) un=O(1) donc un/n! = O(1/n!).
Or la série entière exponentielle Pxn
n!est de rayon de convergence R= +∞.
On en déduit que la série entière Pun
n!xnest aussi de rayon de convergence +∞.
Puisque un=O(1),Sn=O(n)et donc Sn/n! = O(1/(n−1)!).
Comme ci-dessus, on peut conclure que PSn
n!xnest de rayon de convergence +∞.
b) Pour x∈R,S0(x) =
+∞
P
n=0
Sn+1
n!xndonc
S0(x)−S(x) =
+∞
X
n=0
Sn+1 −Sn
n!xn=
+∞
X
n=0
un+1
n!xn=u0(x)
c) Pour tout x∈R,
e−xS(x)−`= e−x +∞
X
n=0
Sn−`
n!xn!
Soit ε > 0, il existe N∈Ntel que pour tout n>N,|Sn−`|6ε.
On a alors, pour x>0
e−xS(x)−`6e−x" N−1
X
n=0
|Sn−`|
n!xn!+ +∞
X
n=N
ε
n!xn!#
Or +∞
X
n=N
ε
n!xn!6εex
et N−1
X
n=0
|Sn−`|
n!xn!=
x→+∞o(ex)
donc pour xassez grand
e−xS(x)−`6e−x[εex+εex]=2ε
Ainsi e−xS(x)−−−−−→
x→+∞`.
d) Si un= (−1)nalors
Sn=1si nest pair
0sinon
Par suite
S(x) =
+∞
X
p=0
1
(2p)!x2p=chx
et donc
e−xS(x)−−−−−→
x→+∞
1
2
Exercice 10 : [énoncé]
a) Posons
an= sin 1
√n
Puisque an+1/an→1, on peut affirmer R= 1.
b) La suite (an)décroît vers 0 donc par le critère spécial des séries alternée, la
série entière converge en x=−1.
Puisque an∼1/√n, par équivalence de séries à termes positifs, la série entière
diverge en x= 1.
c) Par positivité des termes sommés, on a pour x∈[0,1],
f(x)>
N
X
n=1
sin 1
√nxn
Or N
X
n=1
sin 1
√nxn−−−−→
x→1−
N
X
n=1
sin 1
√n
Puisque
N
X
n=1
sin 1
√n−−−−−→
N→+∞
+∞
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