la somme des mesures des angles interieurs d`un polygone
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MATHEMATIQUE Série 13 Responsable: Sami Hanna M A C T ACTIVITE La somme des mesures des angles intérieurs d'un polygone LA SOMME DES MESURES DES ANGLES INTERIEURS D'UN POLYGONE Sami Hanna C.S.R. de Chambly Note: Cette activité peut s'adresser aux élèves de secondaire III, IV ou mime V. "La somme des mesures des angles intérieurs d'un polygone n'est qu'un prétexte pour introduire l'objectif principal. Activité; Introduction à la méthode dite"scientifique" Obj ectif; Illustrer les étapes de la méthode dite''scientifique par la détermination de la somme des mesures des angles intérieurs d'un polygone. Méthode de travail: En équipe de deux (2) étudiants. Matériel: Une règle, un rapporteur, un compas, une équerre. Expérience: Manipulation 1 Tracez trois (3) triangles de sortes différentes. (Exemple: fig. 1, un triangle scalene, un triangle rectangle, un triangle équilatéral.) Mesurez chacun des angles. Mesure de Triangle 1 2 3 Z XYZ Reproduisez et complétez le tableau suivant: Mesure de / YZX Mesure de / ZXY La somme des mesures des angles 7. Manipulation 4 . Construisez un triangle quelconque ABC (fig. 2). B Tracez un angle congruent a / ARC. C (fig. 2) Nonunez le GFE (fig. 3). (fig. 3) Tracez l'angle congruent à Z CAB, adjacent à EFG, de sommet F et dont FE est un côté. Nommez le EFH (fig. 4). •G (fig. 4) Tracez l'angle congruent à / BCA, adjacent à HEF, de sommet F et dont FH est un côté. Nommez le HFI (fig. 5). G (fig. 5) En quoi les angles du A ABC et ceux de la figure 5 se ressemblent-ils? En quoi diffèrent-ils? Quelle sorte d'angle est / GFI? Quelle est la mesure de / GFI? Que pouvez-vous dire au sujet de la somme des mesures des angles intérieurs du triangle ABC? Manipulation 3 a) Tracez un. carré, un rectangle, un parallélogramme, un trapèze et un quadrilatère quelconque (fig. 6). C B (fig. 6) Mesurez chacun des angles. Reproduisez et complétez le tableau suivant: Mesure de Quadrilatère . / ABC Mesure de Mesure de Mesure de BCD ZCDA Carré • Somme des mesures des angles . Rectangle 1 ir ' ' Parallélograimne Trapèze - • Quelconque Quelle est la somme des mesures des angles intérieurs du carré? , Quelle est la somme des mesures des angles intérieurs du rectangle? Quelle est la somme des mesures des angles intérieurs du parallélogramme? Quelle est la somme des mesures des angles intérieurs du trapèze? Quelle est la somme des mesures des angles intérieurs du quadrilatère quelconque? < Que peut-on dire au sujèt de la somme des mesures des angles intérieurs d'un quadrilatère? 9. Manipulation 4 . Tracez un parallélogramme quelconque ABCD (flg. 7) ou (flg. 8) A B ° (fig. 7) C . Trouvez la somme des mesures des angles intérieurs du quadrilatère ABCD. Tracez la diagonale BD (fig. 9). A B A (fig . 9) Justifiez l'énoncé suivant: Une diagonale divise un parallélogramme en deux triangles congruents? Nommez ces deux triangles... D'après vous, quelle sera la somme des mesures des angles intérieurs de chacun des déux triangles formés par la diagonale? Pourquoi? 10. Manipulation 6 Tracez un pentagone ABCDE et un hexagone MNOPQR (fig. 10). R C D (fig. 10) Mesurez chacun des angles. Construisez un tableau et donnez les mesures des angles intérieurs. Quelle est la somme des mesures des angles intérieurs du pentagone? Quelle est la somme des mesures des angles intérieurs de l'hexagone? Comparez vos résultats avec ceux des autres équipes? Que constatez-vous? 11. Manipulation 6 Référez-vous à la figure 10, manipulation 5. a) En traçant deux (2) diagonales du pentagone, partant d'un même sommet, nous formons ainsi 3 triangles (fig. 11). Quelle relation existe-t-il entre la mesure des angles des triangles ABE, EBC, ECD et celle des angles du pentagone ABCDE? Quelle est la somme des mesures des angles intérieurs du ZI ABE? Quelle est la somme des mesures des angles intérieurs du AEBC? Quelle est la somme des mesures des angles intérieurs du L ECD? Quelle est la somme des mesures des angles intérieurs du pentagone ABCDE? b) Faites le même raisonnement au sujet de l'hexagone. R 0 Quelle est la somme des mesures des angles intérieurs du polygone MNOPQR? 12. RESULTATS ET QUESTIONS; 1. A l'aide de vos réponses,, vos observations et vos tableaux, exprimez vos résultats. 2. A l'aide des manipulations, comparez et décrivez les figures suivantes: le triangle, le quadrilatère, le pentagone et l'hexagone. 3. a) Est-ce que toutes les équipes ont obtenues les mêmes .données? b) Essayez de trouver une explication à votre réponse à la question 3a). c) Pensez-vous que la somme des mesures des angles intérieurs d'un poly^gone dépend du nombre de .ses cotés? de ses angles? d) Tirez vos conclusions. 13. La méthode scientifique Les tableaux et les résultats obtenus peuvent servir de point de départ pour la comparaison des résultats entre les différentes équipes. On peut considérer toutes les étapes de cette première expérimentation comme un exemple des premières étapes de la méthode dite"scientifique" Première étape; L'observation Toute recherche expérimentale repose avant tout sur l'observation. Durant l'expérience, vous avez fait certaines observations, à l'aide d'instruments: l'oeil, un rapporteur d'angle, une règle. Votre expérience comme telle constitue l'observation de départ. Il faut maintenant faire vos observations concernant les résultats. 1. On remarque d'abord que l'expérience porte uniquement sur les polygones. 2. On remarque une régularité (un pattern) quant à la somme des mesures des angles intérieurs d'un polygone. On peut pousser plus loin l'analyse de ces résultats en les comparant avec ceux des autres équipes. 3. La comparaison des résultats obtenus avec ceux des autres équipes révèle ceciî il y a un pattern au sujet de la somme des mesures des angles intérieurs d'un polygone. L'observation permet donc d'établir une relation entre les angles (ou les côtés) d'un polygone et la somme de leurs mesures. Deuxième étape; La elassifleation des observations et la généralisation (ou la recherche de jraits communs) Précisons nos résultats et comparons les résultats obtenus par toutes les équipes. 1. Toutes les figures sont des polygones. 2. La somme des mesures des angles intérieurs d'un polygone à "n" côtés ne change pas quand le nombre de côtés est constant. Dans le cas d'un triangle, par exemple, la somme est égale à 180°, quelle que soit la sorte du triangle. On peut maintenant faire la généralisation suivante: La somme des mesures des angles intérieurs d'un polygone dépend du nombre de ses côtés (ou de ses angles). La généralisation permet donc de résumer de façon simple et utile les observations précédentes. 14. Troisième étape; L'hypothèse (ou la recherche du pourquoi) A partir de notre généralisation, on peut se poser une question importante. Est-ce que toute classe de polygones a une somme de mesures d'angles intérieurs qui lui est propre? Nos résultats nous amènent â émettre cette hypothèse, mais ne la prouvent pas. Cette première question peut nous amener à en poser d'autres. Par exemple: Pourquoi la somme des mesures des angles intérieurs d'un polygone est-elle propre I chaque classe? Quelle relation existet-il entre le nombre de côtés (ou d'angles ) d'un polygone et la somme des mesures de ses angles intérieurs? Etc. L'hypothèse peut donc conduire à une généralisation encore plus grande et à une tentative d'explication de cette généralisation. L'hypothèse doit être vérifiée. Il est important de contrôler soigneusement tout ce qu'on peut en déduire. Vos expériences sur la somme des mesures des angles intérieurs d'un polygone ne sont donc que le point de départ d'une suite d'interrogations et de réponses plausibles qui pourraient constituer une recherche assez élaborée. Aujourd'hui, la réponse, dans un sens affirmatif à notre première question, est le résultat de plusieurs recherches. Le tableau suivant représente ces résultats: 1 Polygones Nombre de côtés Nombre d'angles Somme des mesures des angles Triangle 3 3 180° Quadrilatère 4 4 360° Pentagone 5 5 540° Hexagone 6 6 720° m • • • Dodécagones 1 Polygone à "n" côtés 12 *1 n 12 1 i? 1800° 1 i1 Les réponses aux deux autres questions seront données lors de l'étude détaillée des polygones. 15. Quatrième étape: La théorie Si le retour à de multiples expériences faites par des méthodes variées confirme les hypothèses et que ces hypothèses sont reliées entre elles, on pourra parler de théorie. En reliant les faits entre eux, on explique le pourquoi de la généralisation observée. Cette explication permettra à son tour de prédire de nouveaux résultats. Les théories ont par le fait même un avantage pratique: elles nous guident vers de nouvelles connaissances et nous permettent d'imaginer et de réaliser toutes sortes d'applications pratiques. Vous comprendrez probablement la signification réelle du mot"théorie" seulement lorsque vous aurez étudié des exemples de théories, comme la théorie des nombres, la théorie des ensembles ou encore la théorie de la probabilité. Disons seulement pour le moment que si les prédictions sont toujours exactes, on peut alors parler de loi ou de règle .. Une loi ou une règle est un énoncé d'une relation qui englobe l'ensemble des faits observés. Par exemple, dans notre expérience on peut dire que la somme des mesures des angles intérieurs d'un polygone à "n" côtés est égale à (n-2) * 180°. Une théorie résulte d'un ensemble d'observations qui sont toujours les mêmes quel que soit le nombre de fois que les expériences sont recommencées et qui sont reliées ou expliquées par les mêmes grandes idées ou hypothèses. La mise au point, d'une théorie suppose donc une longue suite d'expérimentations et beaucoup d'imagination. Mais il arrive qu'une théorie n'explique pas certains phénomènes, ou qu'elle prédise mal certains résultats. On peut alors parler d'exceptions et c'est à partir de ce moment que se fait la recherche d'autres suppositions et d'autres théories qui pourraient contenir les cas dits d'exceptions. Par exemple, l'homme au cours des siècles a changé très souvent ses idées concernant "l'infini". Les théories ne sont donc pas nécessairement des vérités, elles ne sont que des tentatives d'explications temporaires. Bien entendu, les théories ne s'élaborent pas toujours selon l'ordre des étapes décrites ci-dessus. L'histoire des mathématiques témoigne de plusieurs cas de grandes découvertes faites par hasard et d'autres faites en inversant plus ou moins l'ordre que nous avons mentionné. Il arrive aussi qu'à l'occasion de recherches dans un but bien précis, on observe des phénomènes nouveaux tout a fait imprévus. Il peut arriver aussi qu'une hypothèse naisse avant toute expérience. Il ne faut donc pas trop considérer l'ordre de ces étapes comme immuable. Cinquième étape: La communication Pour être profitable, toute connaissance doit être communiquée. L'échange des connaissances assure la progression du savoir. De nombreux développements techniques ne se seraient pas réalisés sans la collabora- 16. tion simultanée de nombreux chercheurs de pays différents. La transmission des connaissances se fait selon certaines techniques que vous apprendrez en rédigeant des rapports d'expérimentation. De plus, le travail en équipe devrait contribuer â développer cet esprit de collaboration essentiel à l'avancement d'une recherche scientifique.
