chapitre4

INTEGRATION NUMERIQUE
1
1- On lance une fusée verticalement du sol et l’on mesure
l’accélération pendant les premières 80s on obtient le tableau
suivant :
T(s)
0
ɤ (m/s2) 30
10
20
30
40
50
60
70
80
31,63 33,44 35,47 37,74 40,33 43,29 46,70 50,67
Calculer la vitesse de la fusée à l’instant t= 70s
2- calculer l’intégrale:
2  cos(1  x ) 0.5 x
0 1  0,5. sin( x) e dx
2
3/ 2
2
Dans certaines situations, le calcul de l’intégrale
d’une fonction est difficile voir même impossible,
ceci est étant dû, soit à l’expression analytique
complexe de la fonction,
ou du fait que
l’intégrande n’est pas donné sous forme
analytique, mais numériquement en un nombre de
valeurs discrètes.
D’où la nécessité d’approcher cette intégrale
numériquement.
3
Les méthodes numériques d'intégration d'une
fonction sont nombreuses et les techniques très
diverses.
Dans ce chapitre, on s’intéressera aux méthodes des
rectangles, des trapèzes et de Simpson.
4
Méthode des rectangles
La méthode consiste à diviser l’intervalle [a,b] en n
parties et à approximer la surface de chaque tranche
par un rectangle.
y
y
y
0
x
y
0
x
1
…
y
2
1
x
3
2
x
y
n-1
3
x
x
n-1
5
La méthode des rectangles présente trois techniques de
résolution:
Point
gauche
Point
milieu
Point droit
La seule différence réside sur la considération de x et de f(x)
pour chaque tranche
6
Somme à gauche:
Cette méthode consiste à approximer l’aire sous une
courbe à l’aide des sommes d’aires de rectangles, dont
les hauteurs sont calculées en utilisant les extrémités
gauches des sous-intervalles.
y
y
f (xi)
f (xi-1)
y0
x0
xi-1
xi
y1
x1
y2
x2
y3 …
x3
y
n-1
x
xn-1
x
7
Dans ce cas, pour chaque sous-intervalle de la forme [xi-1, xi],
on construit un rectangle dont la hauteur correspond à f(xi-1).
L’intégrale est alors la somme des aires de tous les rectangles
ainsi construits. On suppose que les xi sont équidistants.
On écrit ainsi :
b
A

f ( x ) dx 
n 1
A
i 1
a
i
 hf ( x0 )  hf ( x1 )   hf ( xn 1 )
n 1
n 1
i 0
i 0
 h  f ( xi )  h  f ( x0  ih )
Avec
h  xi  xi 1
ba

n 1
8
Méthode de droite :
Elle consiste à approximer l’aire sous une courbe à
l’aide des sommes d’aires de rectangles dont les
hauteurs sont calculées en considérant les extrémités
droites des sous-intervalles.
y
y
f (xi)
f (xi-1)
y1
xi-1
xi
x
x0
y2
x1
x2
y3 … …
x3
yn
x
xn
9
Dans ce cas, pour chaque sous-intervalle de la forme [xi-1, xi],
on construit un rectangle dont la hauteur correspond à f(xi).
L’intégrale est alors la somme des aires de tous les rectangles
ainsi construits. On écrit ainsi :
b
A

f ( x ) dx 
n 1
A
i
i 1
a
 hf ( x1 )  hf ( x2 )   hf ( xn )
n
n
i
i 1
 h  f ( xi )  h  f ( x0  ih )
Avec
h  xi  xi 1
ba

n 1
10
Méthode du point mileu:
La méthode « du point milieu » consiste à approximer
l’aire sous une courbe à l’aide des sommes d’aires de
rectangles dont les hauteurs sont calculées en utilisant
les milieux mi des sous-intervalles.
y
y
f (mn)
xi
f (m3)
mi
f (m2)
xi-1
x
f (m1)
f (mi)
m1
m2
m3
mn
x
11
Dans ce cas, pour chaque sous-intervalle de la forme [xi, xi+1],
on construit un rectangle dont la hauteur correspond à f(mi)
avec mi est le milieu des points xi et xi+1. L’intégrale est alors
la somme des aires de tous les rectangles ainsi construits. On
écrit ainsi :
b
I 

f ( x ) dx 
n 1
A
i 1
a
i
 hf ( m1 )  hf ( m1 )   hf ( mn 1 )
n 1
 h
i 1
Avec
n 1
h
f ( mi )  h  f ( x0  ih  )
2
i 0
ba
h  xi  xi 1 
12
n 1
4
1 2
0 ( 8 x  1)dx
Calculons l’intégrale :
1 2
y  x 1
8
0 x4
4
1 2
A   ( x  1)dx
8
0
3
2
1
0
1
2
4
1 3
A
x x
24
0
3
20
A
3
4
6,66667
13
3
Calcul par la méthode du
point gauche
1 2
y  x 1
8
2
1
0 x4
0
3
3
i 0
i 0
1
2
3
4
A  h  f ( xi )  h  f ( x0  ih )
ba
40

1
n
4
1
1
9
A  1

1
 1  5.75
8
2
8
h 
Très sous estimée !!!
14
La méthode de point
droit:
3
2
1 2
y  x 1
8
0 x4
1
0
4
4
i 1
i 1
1
2
3
4
A  h  f ( xi )  h  f ( x0  ih )
h 1
A
1
4
9
16
1
1
1
 1  7,75
8
8
8
8
Trop surestimée !!!
15
3
2
La méthode du point
milieu:
0 x4
1 2
y  x 1
8
3
3
i 1
i 1
1
0
A  h  f ( mi )  h  f ( x0  ih 
1
2
3
4
h
)
2
h 1
A
1 1
1 9
1 25
1 49
.
1 .
1 .
1 .
 1  6,625
8 4
8 4
8 4
8 4
16
La Méthode des trapèzes
La méthode des trapèzes consiste à remplacer la
courbe f(x) par une ligne brisée et à calculer l’aire
de chaque trapèze. L’intégrale est alors approximée
en additionnant l’aire de chaque trapèze adjacent
permettant l’approximation de l’aire sous la courbe
d’une fonction f(x).
y
y0
x0
y1
y2
x1
y3
x2
…
x3
…
yn
xn
x
17
La Méthode des trapèzes
Si Ai est l’aire du ieme trapèze, la hauteur de
chacun des trapèzes est donnée par h et les
bases sont données par yi-1, et yi, on aura alors :
b
n2
a
i 0
A   f ( x)   Ai
n2
h n 1
h
  ( f i  f i 1 )  ( f 0  2 f i  f n 1 )
2 i 0
2
i 1
18
3
Reprenons l’exemple
précédent:
2
1
1 2
y  x 1
8
0 x4
0
1
2
3
4
1  9  1  9 3  1  3 17  1  17

T  1              3 
2 8 28 2 22 8  2 8

1  9 9 3 3 17 17

T  1        3 
2 8 8 2 2 8 8

1  27 
T  
2 2 
27

 6.75
4
19


0
x 2 sin( 2 x )dx
n=2
I = -1.4239 e-15
Exact = -4. 9348
20


0
x 2 sin( 2 x )dx
n=4
I = -3.8758
Exact = -4. 9348
21


0
x 2 sin( 2 x )dx
n=8
I = -4.6785
Exact = -4. 9348
22


0
x 2 sin( 2 x )dx
n = 16
I = -4.8712
Exact = -4. 9348
23
Remarque:
n 1
h
A   Ai  ( f 0  2 f i  f n )
2
i 1
i 1
h
 ( f 0  f1  f 2   f n 1 )  ( f1  f 2   f n )
2
1
 h( f 0  f1  f 2   f n 1 )  h( f1  f 2   f n )
2
n
1 n 1
 (h f i h f i )
2 i 0
i 1
n
24
Méthode de Simpson
Elle consiste à remplacer, entre trois points, la
fonction par l’arc de parabole passant par fi-1, fi
et fi+1. et on montre que :
h
Ai  ( f i  4 f i  f i 1 )
3
25
Méthode de Simpson
L’aire totale est obtenue en sommant toutes
les aires élémentaires Ai. On aura alors:
b
A

a
f ( x ) dx 
n 1
A
i 1
i
h
  ( ( f i  4 f i  f i 1 ))
3
26
Méthode de Simpson
27
Méthode de Simpson
 Le calcul de l’intégrale est donné par:
x2
x4
xn
x0
x2
xn 2
A   f ( x)dx   f ( x)dx    
f ( x)dx
 Soit:
f ( x0 )  4 f ( x1 )  f ( x2 )
f ( x2 )  4 f ( x3 )  f ( x4 )
Ah
h
3
3
f ( xn  2 )  4 f ( xn 1 )  f ( xn )
 h
3
28
Méthode de Simpson
 On obtient finalement
n2
n 3

h
A   f ( x0 )  4  f ( xi )  2  f ( x j )  f ( xn 1 )
3
i 1,i impaire
j  2 ,i paire

Avec
ba
x0  a, xn  b, h 
n
29
L’algorithme de la méthode de Simpson
•
•
•
•
h=(b-a)/(n-1)
Aire=0
X=a
pour i=1 à n-2 faire
–
–
–
–
X= x+h
Si(i modulo 2 =0) alors Aire=Aire+4*f(x)
Sinon alors
Aire=Aire+2*f(x+h)
Finsi
• Finpour
• Aire=(h/3)*(Aire+f(a)+f(b))
• Fin
30
La formule de Newton-COTES
Pour une fonction f connue en un nombre de points
xi(i=0,1…..,n), on peut construire un polynôme
d’interpolation Pn(x) passant par ces points et
l’intégrer. On suppose que ces points sont équidistants,
et on écrit:
b

b
f ( x) dx 
a
P
n
a
où
x0  a,
( x) dx 
n
xi 1
 P
i 0
n
( x) dx
xi
ba
h
n 1
31
La formule de Newton-COTES
Si on considère le polynôme Pn d’interpolation de Lagrange,
on a:
n
Pn ( x)   f ( xi ) Li ( x)
i 0
Le calcul d’intégrale est alors:
b
A

a
b
f ( x) dx 
n
 P ( x)dx   
n
a
i 0
i
f ( xi )
b
Avec
i   Li ( x)dx
a
32
La formule de Newton-COTES
Si on considère le polynôme Pn d’interpolation de Lagrange,
on a:
n
Pn ( x)   f ( xi ) Li ( x)
i 0
Le calcul d’intégrale est alors:
b
A

a
b
f ( x) dx 
n
 P ( x)dx   
n
a
i 0
i
f ( xi )
b
Avec
i   Li ( x)dx
a
C’est la formule de Newton-COTES
33
Méthode des trapèzes
• Pour n=1, le polynôme de Lagrange s’écrit :
P1 ( x) 
x  x0
x  x1
f ( x0 ) 
f ( x1 )
x0  x1
x1  x0
xa
dx
On a : a  x 0 , b  x1 , t 
, dt 
; h ba
ba
h
 x  a  t  0

  P1 (t )  (1  t ) f ( a )  (t ) f (b)
x  b  t  1 

b
a
f ( x ) dx 

b
a
1
P1 ( x) dx  h  P1 (t ) dt
0
1
1
0
0
 f ( a ) h  (1  t ) dt  f (b) h  tdt
 f ( a ) h(t 
2
1
2 1
t
t
)  f (b) h
2 0
2
0

h
 f (a)  f (b)
2
34
Méthode de Simpson
Pour n=2, le polynôme de Lagrange s’écrit :
( x  x0 )( x  x2 )
( x  x1 )( x  x2 )
P2 ( x) 
f ( x0 ) 
f ( x1 )
( x0  x1 )( x0  x2 )
( x1  x0 )( x1  x2 )

( x  x0 )( x  x1 )
f ( x2 )
( x2  x0 )( x2  x1 )
ab
2
ba
x  x1
dx
h
,t 
, dt 
2
h
h
 x  x0  t  1

 x  x1  t  0
x  x  t  1
2

Soit
x 0  a, x 2  b, x1 
P2 (t ) 
t (t  1)
t (t  1)
f ( x0 )  (1  t 2 ) f ( x1 ) 
f ( x2 )
35
2
2
t (t  1)
t (t  1)
2
P2 (t ) 
f ( x0 )  (1  t ) f ( x1 ) 
f ( x2 )
2
2

b
a
h
f ( x ) dx  h  P2 (t ) dt  f ( x0 )
1
2
1
1

1
t (t  1) dt
h
 f ( x1 ) h  ( 1  t ) dt  f ( x2 )
0
2
1
 f ( x0 )
2
3
2
1
1

1
t (t  1) dt
3
1
h t
t
t
(  )  f ( x1 ) h(t  )
2 3
2 1
3 1
3
2
1
h t
t
 f ( x2 ) (  )
2 3
2 1

b
a
h
f ( x )dx   f ( x0 )  4 f ( x1 )  f ( x 2 )
3
36