THÉORIE DES ENSEMBLES

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THÉORIEDESENSEMBLES
Sommaire
1.Lesensembles.........................................................................................................................1
1.1.L'ensemblevide...............................................................................................................2
1.2.Élémentd'unensemble...................................................................................................2
1.3.Lessous‐ensembles.........................................................................................................2
1.4.Opérationssurlesensembles.........................................................................................3
Exercicerécapitulatif.......................................................................................................................5
1. Lesensembles
Unensembleestunecollectionbiendéfinied'objetsqu'onnommeéléments.
Exemple
 SoitΩ,l'ensembledetouslesrésultatsobtenusenfaisantlasommede2dés:
Ω 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12;
Lesvaleurs2, 3, 4, … , 12sontlesélémentsdel'ensemble
Lesensemblesdesnombresemployésleplusfréquemmentetauxquelsilestbon
d'accorderuneattentionparticulièresontlessuivants:
 Ensembledesnombresnaturels0,1,2,3,4,5…;
 Ensembledesnombresentiers  … , 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … ;
 Ensembledesnombresrationnelsℚ(touslesnombrespouvants'écriresous
formedefraction);
 Ensembledesnombresréels(formédestouslesnombresrationnelset
irrationnels).
Parconvention,l'emploidessymboles, , ℚetserestreindracesensembles.

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1.1. L'ensemblevide
Ondénotepar∅l'ensemblevide,celuicomposéd'aucunélément.
1.2. Élémentd'unensemble
Lesymbole∈indiquequ'unélémentappartientàunensemble.Àl'inverse,lesymbole∉
identifieunélémentquin'appartientpasàunensemble.
Exemple
  ∈,,,,,
  ∉,,,,,
 2 ∈ 
 0,5 ∉ 
1.3. Lessous‐ensembles
L'ensembleestditunsous‐ensembledesietseulementsitouslesélémentsde
sontaussidesélémentsde.Onditalorsquel'ensembleestinclusdansl'ensemble
.Lanotation⊆estemployéepoursymboliserl'inclusiondedans.
Lesymbole⊄indiquepoursapartqu'unensemblen'estpasinclusdansunautre.
⊄exprimedoncqu'aumoinsunélémentden'estpasunélémentde.
Exemple
SoitΩ,l'ensembledesnombrespossiblesd'obtenirdelasommededeuxdés
Ω 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
Voiciquelquessous‐ensemblesdeΩ:
ensembledesrésultatspairs=2, 4, 6, 8, 10, 12;
 ensembledesrésultatsinférieursouégauxà6=2,3,4,5,6;
 ensembledesrésultatssupérieursà12=∅;
 ensembledesrésultatsdivisiblespar11=11.

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Exemple
 ⊆
 ⊆ℚ
 0, 1, 2, 3, 4, 5⊆0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
 ⊄
 0, 1, 2, 3, 4, 5⊄1,3,5,7,9,11
1.4. Opérationssurlesensembles
Ilnousfaudraparfoiseffectuerdesopérationssurlesensembles.Parexemple,nous
voudronspeut‐êtretrouverdesélémentscommunsàplusieursensemblesouceuxqui
appartiennentàunseuldecesensembles.Lasectionsuivantevousprésenteles
opérationsensemblisteslesplusimportantes,ainsiqueleurnotationsymbolique.
Complémentde
:l'ensembledetouslesélémentsquinesontpasdans.
Intersectiondedeuxensembles(⋂:ensembledetouslesélémentsappartenantà
lafoisàetà.

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Uniondedeuxensembles(∪:ensembledetouslesélémentsappartenantàl'un,à
l'autre,ouencoreauxdeuxensembles, .
Différencededeuxensembles(∖):l'ensembledetouslesélémentsdequi
n'appartiennentpasà.

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Exercicerécapitulatif
Considéronsl'ensembleΩ,l'ensembledetouslesrésultatsquipeuventêtreobtenusen
faisantlasommededeuxdés.
Soientlessous‐ensemblesdeΩ:
lesrésultatspairs
 lesrésultats6
 lesrésultats12
 lesrésultatsdivisiblespar11
Écrirelesélémentsdessous‐ensemblesobtenusparlesopérationssuivantes:
Lesensemblescomplémentaires
̅é
é  6
̅é  12
lesrésultatsnondivisiblespar11
solutions
a. 3, 5, 7, 9, 11
b. 7, 8, 9, 10, 11, 12
c. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
d. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12
Intersection
⋂ ∶ é  6
⋂ ∶ é  12
⋂ ∶ é  6  6
⋂ ∶ é  6  12
Ω⋂ ∶ é11