Devoir à la Maison no11 (Corrigé) Mathématiques, MP 933 &934
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x
x−t
t
y
V
Fig. 3 — Un dessin, et tout s’éclaire.
Si t∈V, on écrit alors, inspiré par le dessin précédent :
kx−tk2=
(x−y)
| {z }
=z∈V⊥
+ (y−t)
| {z }
∈V
2=kx−yk2+ky−tk2>kx−yk2.
Ainsi, kx−ykest le minimum des kx−tkpour tdécrivant V, donc d(x; V) = kx−yk.
On note enfin que si y1est un autre élément de Vréalisant ce minimum, Pythagore nous assure que ky−y1k2= 0,
donc y=y1.
p⊥
V(x)est l’unique élément yde Vtel que d(x; V) = kx−yk.
9. Supposons la famille (x1, ..., xn)liée. Quitte à réindexer, on peut supposer par exemple : xn=
n−1
P
k=1
αkxk. L’opération
élémentaire sur les colonnes Cn←Cn−
n−1
P
k=1
αkCkne change pas le déterminant, et transforme la dernière colonne
en
C′=
hx1|vi
.
.
.
hxn|vi
avec v=xn−
n−1
X
k=1
αkxk= 0,
donc C′= 0, donc G(x1, ..., xn) = 0.
Réciproquement,
(et par la contraposée) : supposons la famille E= (x1, ..., xn)libre. Elle constitue alors une base du sous-espace V
qu’elle engendre. Si on note Fune base orthonormée de V, la matrice du produit scalaire (enfin, de sa restriction
àV2; notons le ϕ) dans Fvaut d’une part mat(ϕ, F) = In, et d’autre part (ben oui, c’est dans votre de cours de
première comme de seconde année...) :
mat(ϕ, F) = tP·mat(ϕ, E)·P,
avec Pla matrice de passage de Evers F(à laquelle on ne donnera pas de nom, pour éviter d’irréversibles guerres
de religions). Il reste à noter que mat(ϕ, E)n’est autre que M(x1, ..., xn), puis prendre le déterminant de tout ce
beau monde.
G(x1, ..., xn) = 0 si et seulement si (x1, ..., xn)est liée.
10. Soit x∈E. Notons yle projeté orthogonal de xsur V, puis z=x−y, de sorte que zest orthogonal à Vdonc à
chaque xi. On décompose yselon les xi:y=
n
P
i=1
αixi. L’opération élémentaire Cn+1 ←Cn+1 −
n
P
i=1
αiCidans le
calcul du déterminant de M(x1, ..., xn, x)fournit alors :
G(x1, ..., xn, x) =
hx1|x1i ··· hx1|xni hx1|zi
.
.
..
.
..
.
.
hxn|x1i ··· hxn|xni hxn|zi
hx|x1i ··· hx|xni hx|zi
=hx|ziG(x1, ..., xn)
(tous les termes de la dernière colonne sont nuls, sauf éventuellement le dernier). Il reste à noter que hx|zi=
hy+z|zi=hz|zi=d(x; V)2. En divisant par G(x1, ..., xn)qui est bien non nul d’après la question précédente, on
trouve bien comme demandé :
d(x; V)2=G(x1, ..., xn, x)
G(x1, ..., xn).
Théorème de Müntz DM11.tex