Algorithmes d’approximation et Big Data Lionel Eyraud-Dubois et Olivier Beaumont 2015-2016

Algorithmes d’approximation
et Big Data
Lionel Eyraud-Dubois et Olivier Beaumont
2015-2016

Dans ce cours : Algorithmes d’approximation
ID´efinition
IAlgorithmes gloutons : Vertex Cover, TSP, Bin Packing
IApproximation pour l’ordonnancement
I`
A base de programmes lin´eaires
ISch´emas d’approximation : Sac `a Dos
I´
Enum´eration partielle :

Probl`emes d’optimisation
D´efinition : (probl`eme d’optimisation)
Un probl`eme d’optimisation est d´efini par un ensemble d’instances
I, et pour chaque instance I∈ I :
Iun ensemble de solutions valides S(I)
IUne fonction objective f:S(I)→Q(ou N)
D´efinition : (probl`eme de d´ecision associ´e)
Le probl`eme de d´ecision associ´e `a un probl`eme d’optimisation P
est DecPd´efini par :
IIDecP=IP×Q
II+
DecP={(I,v)/∃s,fI(s)≤v}(≥vsi maximisation)

Algorithmes d’approximation
D´efinition : (approximation relative)
Un algorithme Aest une ρ-approximation d’un probl`eme Psi :
1. Il r´esoud P:∀I∈ IP,A(I)∈ SP(I)
2. En temps polynomial :∃ppoly,∀I∈ IP,temps(A,I)≤p(|I|)
3. De mani`ere approch´ee :∀I∈ IP,∀s∈ SP(I),f(A(I)) ≤ρf(s)
(≥si maximisation)
IValeur optimale de fpour l’instance I:
Opt(I) = mins∈S(I)f(s), parfois not´ee f∗(I)
IAlors (3) devient ∀I∈ IP,f(A(I)) ≤ρOpt(I).
IRatio d’approximation de A:
le plus petit ρtel que Aest une ρ-approximation.
IApproximation additive : ∀I∈ IP,f(A(I)) ≤Opt(I) + µ

Plan du cours
Algorithmes gloutons