ATELIER PEDAGOGIQUE ~Mathématiques~

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2012-2013
ATELIER PEDAGOGIQUE
~Mathématiques~
La suite est croissante et majorée.
Mais si on note P l'ensemble des nombres premiers (qui est infini!) que l'on écrit
alors la suite n'est pas majorée.
Elle tend vers l'infini quand n tend vers l'infini. (C'est un théorème de Leonhard Euler. Un
référence est le livre "Découvrir l'arithmétique" de Pierre Damphousse (ed. Ellipses, 2000).)
CHARRON ALEXIS
CHAUVIN FREDERIC
BODIN VLADISLAV

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"La mathématique est la reine des Sciences, mais la théorie des nombres est la reine des
sciences mathématiques."
- Carl-Friedrich GAUSS-

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SOMMAIRE
I - Généralités sur les nombres premiers ................................................................................................4
1. Définition
2. Test de primalité
3. Nombres premiers particuliers
4. Théorèmes fondamentaux
5. Fonction π
6. Curiosités des nombres premiers
II - L'infinitude des nombres premiers ......................................................................................................
1. Démonstration d'Euclide
2. Démonstration d'Euler
3. En utilisant la fonction π
III - Somme des inverses des carrés ..........................................................................................................
1. Premières valeurs
2.  croissante
3.  majorée
4.  croissante et majorée donc elle converge vers l
5. Calcul de l
IV - Somme des inverses ............................................................................................................................
1. Premières valeurs
2.  croissante
3.  diverge vers 
V - Fonction ζ de Riemann .........................................................................................................................
1. Définie sur 
2. La suite (ζ(s)) décroissante
3. (ζ(s)) minorée
4. Lien avec les nombres premiers
5. Extension dans \{1}
6. Extension dans \{1}
VI - Somme des inverses des nombres premiers ......................................................................................
1.  croissante
2.  diverge
VII - Biographie ..........................................................................................................................................

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I/ Généralités sur les nombres premiers
Dans toute cette partie nous allons travailler dans .
1) Définition
Définition
Soit 
 est un nombre premier si et seulement si il admet exactement deux diviseurs entiers
positifs distincts (qui sont alors 1 et lui-même).
Sinon  est dit composé.
On note usuellement  l'ensemble des nombres premiers.
Remarque : par convention, 1 (un seul diviseur) et 0 (infinité de diviseurs) ne sont ni
premiers ni composés (pour assurer le théorème fondamental de l'arithmétique TFA).
2) Test de primalité
Exemple du Crible d'Eratosthène pour les nombres premiers de 2 à 100 :
 On répertorie les nombres de 0 à 100.
 On supprime 0 et 1 qui ne sont pas
premiers.
 2 est premier et on élimine tous les
multiples de 2 (en rouge) qui sont de fait
composés.
 De même avec 3 (en bleu), 5 (en
vert), 7 (en jaune).
 Cela suffit car le prochain nombre
premier est 11 et .
Il y a donc 25 nombres entre 0 et 100

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"Merveilleux nombres premiers" page 199.
On constate que la densité des nombres premiers diminue lorsque  augmente. En effet, il a
alors plus de diviseurs potentiels qui ferait de lui un nombre composé. On peut alors se
demander si au delà d'un certain rang tout nombre aura forcément un diviseur donc qu'il y
aura un nombre fini de nombres premiers.
Théorème de raréfaction de Legendre
"l'ensemble des nombres premiers admet une densité limite nulle"
Différents algorithmes pour déterminer si un nombre n est premier ou non
 Un premier algorithme basique consiste à essayer de diviser n par tous les nombres
strictement inférieurs. S'il n'est divisible par aucun d'entre eux il sera premier.
En java :