12 Construction de triangles

Maths 5e12. Construction de triangles 2012-2013
12 Construction de triangles
Pour construire un triangle il faut connaître soit :
–leslongueursdestroiscôtés;
–leslongueursdedeuxdescôtésetlamesured’unangle;
–lalongueurd’undescôtésetlesmesuresdedeuxdestroisangles.
12.1 Construction connaissant les trois côtés
Si on connaît les trois côtés d’un triangle, il suffit de tracer l’un des côtés (il est conseillé
de commencer par le plus grand), puis de construire les deux autres en reportant leurs
mesures au compas.
Si l’inégalité triangulaire est vérifiée, alors le triangle est constructible.
Exemples :(touteslesdimensionssontdonnéesencm)
a. Construire un triangle ABC suivant sachant que AB =4,BC =5etAC =6.
b. Construire un triangle DEF isocèle en Etel que DE =5etDF =4.
c. Construire un triangle IJK équilatéral de côté 5.
d. Peut-on construire un triangle LMN tel que LM =8,MN =5etLN =3?Expliquer.
e. Même question pour le triangle PQR tel que QP =8,QR =3etPR =4?Expliquer.
Solution (voir figures ci-dessous à l’échelle 1/2 et commentaires pour d. et e.):
a.
AB
C
b.
DF
Ec.
IJ
Kd.
LM
N
e.
PQ
R?
d. On peut construire un tel triangle LMN,maisMN +LN =5+3=8=LM donc le point N
appartient nécessairement au segment [LM]:lestroispointsL,Met Nsont donc alignés et le triangle
ainsi construit est un triangle plat.
e. On ne peut pas construire un tel triangle PQR,carlalongueurQP =8estsupérieureàlasomme
des longueurs des deux autres côtés QR +PR =3+4=7(siontracelecôté[QP ]lesommetRn’est
pas constructible, car les cercles de centres respectifs Pet Qet de rayons 4 et 3 ne se coupent pas). !
Remarque :Pourchaquetriangleconstructibleilyaplusieurssolutions symétriques entre
elles par rapport à un des côtés, sa médiatrice ou son milieu.
12.2 Construction connaissant deux côtés et un angle
Si on connaît les longueurs de deux des côtés et un angle, il faut tracer un côté adjacent
àl’angleconnu(c’est-à-direqui touche l’angle connu). Il faut ensuite construire le second
côté de l’angle et y reporter la mesure du second côté connu pour construire le troisième
sommet.
Exemples :(touteslesdimensionssontdonnéesencm)
a. Construire un triangle ABC tel que AB =5,BC =7et ! ABC =50
o.
b. Construire un triangle DEF rectangle en Etel que DE =6etEF =4.
c. Construire un triangle IJK rectangle en Itel que IJ =6etJK =8.
d. Construire un triangle LM N isocèle en Mtel que LM =5et " LMN =50
o.
e. Construire un triangle PQR isocèle en Qtel QP =6et ! QRP =70
o.
F.Bonomi – 28/36 – prog 2006

Maths 5e12. Construction de triangles 2012-2013
f. Construire un triangle STU tel que ST =7,SU =4et ! STU =30
o.
g. Peut-on construire un triangle STU tel que ST =7,SU =4et! STU =45
o?Expliquer.
Solution :(voir figures ci-dessous à l’échelle 1/2 et commentaires pour f. et g.):
a.
A
BC
50o
b.
DE
F
c.
IJ
K
d.
LM
N
50o
e.
70o
PQ
Rf. et g.
30o45o
ST
U1
U2
f. Le cercle de centre Set de rayon 4 recoupe l’angle en deux points : il y a donc deux solutions pour
placer le point U.
g. Le triangle ne peut pas être construit, car le cercle de centreSet de rayon 4 ne coupe pas la droite
faisant un angle de 45oavec (ST), : il n’est donc pas possible de construire le point U.!
12.3 Construction connaissant un côté et deux angles
Si on connaît les deux angles adjacents au côté de longueur connue, alors il est facile de
construire le triangle. Sinon il suffit de calculer le troisième angle sachant que la somme
des trois angles d’un triangle est égale à un angle plat.
Exemples :(touteslesdimensionssontdonnéesencm)
a. Construire un triangle ABC tel que AB =5, ! ABC =50
oet !
BAC =70
o.
b. Construire un triangle DEF isocèle en Etel que DF =4et" EDF =70
o.
c. Construire un triangle IJK rectangle en Jtel que IJ =4et! JIK =50
o.
d. Construire un triangle LM N rectangle en Ntel que LM =6et " MLN =60
o.
e. Construire un triangle PQR isocèle et rectangle en Ptel que QR =6.
Solution :(voir figures ci-dessous à l’échelle 1/2 et commentaires pour d. et e.)
a.
50o70o
AB
C
b.
70o70o
D
E
F
c.
50o
IJ
K
d.
60o30o
LM
N
e.
45o45o
P
QR
d. Tracer le côté [LM ]etunedroiteissuedeLfaisant un angle de 60oavec (LM ), puis construire la
perpendiculaire à cette droite issue de M:lesdeuxdroitessecoupentenN.
Autre méthode :sachantquelesanglesaigusd’untrianglerectanglesontcomplémentaires, calculer le
second angle aigu du triangle LMN ;traceralorslecôté[LM]etlesdeuxanglesadjacentsdontlescôtés
sécants se coupent en N.
e. Dans un triangle à la fois isocèle et rectangle les angles à la base sont à la fois égaux et complémentaires,
donc de mesure 45o;tracerlecôté[QR], puis les deux angles adjacents égaux à 45odont les côtés sécants
se coupent en P.!
F.Bonomi – 29/36 – prog 2006