Nº : 32009 MATHEMATIQUES Série S Fiche Cours

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MATHEMATIQUES Série S
Nº : 32009
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Fiche Cours
Plan de la che
I - Les listes
II - Arrangements
III - Permutations
IV - Combinaisons
V - Binôme de Newton
VI - Principe fondamental du dénombrement
I - Les listes
p-liste
E est un ensemble ni de n éléments (n entier, n ≥ 1) et p un entier (p ≥ 1).
Une p-liste est une suite ordonnée de p éléments de E (éléments non nécessairement distincts).
Exemple
On joue quatre fois à pile ou face, et on note à chaque lancer le résultat obtenu (P pour pile et F pour face).
Un résultat de cette expérience est une succession ordonnée de P et de F, par exemple (P, P, F, F) : les résultats sont
des 4-listes de l’ensemble {P, F}.
Couple, triplet
Un couple (a,b) est une 2-liste
Un triplet (a,b,c) est une 3-liste
Ordre
Dans une liste, on tient compte de l’ordre.
( ) ( )
P,P,F,F P,F,P,F≠
Ne pas confondre avec les ensembles :
{ } { }
P,P,F,F P,F=
car dans un ensemble l’ordre n’intervient pas et on ne répète pas
plusieurs fois le même élément.
Dénombrement
Le nombre de p-listes prises parmi n objets est
p
n
car :
• il y a n façons de choisir le premier élément ;
• il y n façons de choisir le second élément (les répétitions sont autorisées) ;
• il y a n façons de choisir le troisième élément (les répétitions sont autorisées) ; et ainsi de suite…
Exemple
Dans l’exemple précédent, il y a
4
2 16=
listes à 4 éléments pris dans l’ensemble
{ }
P,F
.
Un code de téléphone portable est une 4-liste de chiffres pris dans l’ensemble
{ }
0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
car on tient
compte de l’ordre et les répétitions sont autorisées.
Le nombre de codes est donc
4
10 10000=
.
Fiche 9 : Dénombrement

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Fiche Cours
II - Les arrangements
p-arrangement
E est un ensemble ni comportant n éléments (n entier, n ≥ 1) et p est un entier (p ≥ 1).
Un p-arrangement d’éléments de E est une p-liste d’éléments de E qui sont deux à deux distincts.
Dénombrement
Le nombre de p-arrangements de n objets est
( ) ( ) ( )
n n 1 n 2 .................. n p 1×−×−× ×−+
car :
• il y a n façons de choisir le premier élément ;
• il y a n – 1 façons de choisir le second élément (les répétitions ne sont pas autorisées) ;
• il y a n – 2 façons de choisir le troisième élément (les répétitions ne sont pas autorisées) : et ainsi de suite…
•… n – (p – 1) façons de choisir le p-ième élément (on en a tiré p – 1 auparavant).
Ce nombre correspond à la touche nPr des calculatrices.
III - Permutations
Permutations de E
E est un ensemble ni de n éléments (n entier, n ≥ 1)
Une permutation de E est un n-arrangement d’éléments de E.
On peut aussi dire que c’est une n-liste d’éléments deux à deux distincts de E.
Exemple
Les six permutations de
{ }
E a, b, c=
sont :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a, b, c , a, c, b , b, a, c , b, c, a , c, a, b , c, b, a
Attention aux notations : E est un ensemble, ses éléments sont énumérés entre deux accolades, les permutations de E sont des
listes, elles sont notées entre deux parenthèses.
Dénombrement
Le nombre de permutations de E est le nombre de n-arrangements de E, il est donc égal à :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n 1 n 2 ........... n n 1 n n 1 n 2 ........... 1 .×−×−× ×−+=×−×−× ×
Factorielle
Dénition : n! est l’entier naturel déni par :
0! = 1 et
( ) ( ) ( )
n1!n!n1+=×+
pour tout entier naturel n.
Par exemple : 1! = 1 ; 2! = 2 ; 3! = 6 ; 4! = 24 ; 5! = 120…
On démontre par récurrence que
( ) ( ) ( )
n n 1 n 2 ........... 1 n!.×−×−××=
Par conséquent le nombre de permutations d’un ensemble comportant n éléments est n!.
IV - Les combinaisons
p-combinaison de n objets
Une combinaison de p éléments de E est une partie de E contenant p éléments (0 ≤ p ≤ 1).
La distinction entre p-arrangements et p-combinaisons est que dans la seconde, on ne tient pas compte de l’ordre.
Dénombrement
Le nombre de p-combinaisons de n objets est noté
n.
p

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Lire « p parmi n »
Formules :
nn (n 1) (n 2) ........................ (n p 1)
pp!
nn!
pp! (n p)!
 ×−×−× ×−+
=
=
 ×−
Les nombres
n
p
s’appellent aussi les nombres binomiaux.
Ce nombre correspond à la touche nCr des calculatrices.
► À SAVOIR
Propriétés des nombres binomiaux
Pour tout entier naturel n et tout entier naturel p tel que p ≤ n :
•
n
p
est un entier ;
•
nn
pnp−
=
;
n
0
1 =
;
n
1n
=
Formule de Pascal : pour tout entier naturel non nul n et pour tout entier naturel p tel que 1 ≤ p ≤ n – 1 :
nn1n1
ppp1
−−
=+
−
V - Le binôme de Newton
► À SAVOIR
Formule de binôme de Newton
( )nn0 n11 n22 0n
nnnn
a b a b a b a b ... a b
012n
−−
+= + + ++
On note :
( ) kn
nnkk
k0
n
ab ab
k
=−
=
+=
∑
.
Elle est souvent utilisée dans le cas a = x et b = 1 :
( )nn n1 n2 nk
nnn n n
x 1 x x x ... x ...
012 k n
−−−
+= + + ++ ++
On note
( ) kn
nnk
k0
n
x1 x.
k
=−
=
+=
∑
Nombre de parties d’un ensemble
En posant x = 1 dans la formule précédente, il vient :
( )nn n1 n2 nk
nnn n n
1 1 1 1 1 ... 1 ... .
012 k n
−−−
+= + + ++ ++
Soit
kn
n
k0
nnnnnn
2 ... ... .
012k nk
=
=
=++++++=
∑

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Ainsi
n
2
est la somme :
• du nombre de parties de E à 0 élément (l’ensemble vide) ;
• avec le nombre de parties de E à 1 élément (les singletons) ;
• avec le nombre de parties de E à 2 éléments (les paires) ;
• avec le nombre de parties à n éléments (la partie pleine).
En conclusion,
n
2
représente le nombre de parties d’un ensemble à n éléments.
VI - Principe fondamental du dénombrement
Lorsqu’il s’agit de choisir p éléments parmi n, on doit se poser les deux questions suivantes :
• Peut-on tirer deux fois le même élément ?
• L’ordre dans lequel on choisit les éléments est-il important ?
Ce tableau récapitule tous les cas que l’on peut rencontrer à l’examen et qui sont au programme.
Avec répétition Sans répétition
Avec ordre
Sans ordre
liste
hors programme
arrangement
combinaison
 Méthode : « Principes fondamentaux », che exercices n°9 « Dénombrement ».
 Méthode : « Principe de l’événement contraire », che exercices n°9 « Dénombrement ».
 Méthode : « Comprendre un énoncé », che exercices n°9 « Dénombrement ».