Nº : 32009 MATHEMATIQUES Série S Fiche Cours

Fiche Cours
Nº : 32009
MATHEMATIQUES
Série S
Fiche 9 : Dénombrement
Plan de la fiche
I - Les listes
II - Arrangements
III - Permutations
IV - Combinaisons
V - Binôme de Newton
VI - Principe fondamental du dénombrement
I - Les listes
p-liste
E est un ensemble fini de n éléments (n entier, n ≥ 1) et p un entier (p ≥ 1).
Une p-liste est une suite ordonnée de p éléments de E (éléments non nécessairement distincts).
Exemple
On joue quatre fois à pile ou face, et on note à chaque lancer le résultat obtenu (P pour pile et F pour face).
Un résultat de cette expérience est une succession ordonnée de P et de F, par exemple (P, P, F, F) : les résultats sont
des 4-listes de l’ensemble {P, F}.
Couple, triplet
Un couple (a,b) est une 2-liste
Un triplet (a,b,c) est une 3-liste
Ordre
Dans une liste, on tient compte de l’ordre.
(P, P, F, F ) ≠ (P, F, P, F )
Ne pas confondre avec les ensembles : {P, P, F, F} = {P, F} car dans un ensemble l’ordre n’intervient pas et on ne répète pas
plusieurs fois le même élément.
Dénombrement
Le nombre de p-listes prises parmi n objets est n p car :
• il y a n façons de choisir le premier élément ;
• il y n façons de choisir le second élément (les répétitions sont autorisées) ;
• il y a n façons de choisir le troisième élément (les répétitions sont autorisées) ; et ainsi de suite…
Exemple
Dans l’exemple précédent, il y a 24 = 16 listes à 4 éléments pris dans l’ensemble {P, F} .
Un code de téléphone portable est une 4-liste de chiffres pris dans l’ensemble {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9} car on tient
compte de l’ordre et les répétitions sont autorisées.
Le nombre de codes est donc 104 = 10000.
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II - Les arrangements
p-arrangement
E est un ensemble fini comportant n éléments (n entier, n ≥ 1) et p est un entier (p ≥ 1).
Un p-arrangement d’éléments de E est une p-liste d’éléments de E qui sont deux à deux distincts.
Dénombrement
Le nombre de p-arrangements de n objets est n × (n − 1) × (n − 2 ) × .................. × (n − p + 1) car :
• il y a n façons de choisir le premier élément ;
• il y a n – 1 façons de choisir le second élément (les répétitions ne sont pas autorisées) ;
• il y a n – 2 façons de choisir le troisième élément (les répétitions ne sont pas autorisées) : et ainsi de suite…
•… n – (p – 1) façons de choisir le p-ième élément (on en a tiré p – 1 auparavant).
Ce nombre correspond à la touche nPr des calculatrices.
III - Permutations
Permutations de E
E est un ensemble fini de n éléments (n entier, n ≥ 1)
Une permutation de E est un n-arrangement d’éléments de E.
On peut aussi dire que c’est une n-liste d’éléments deux à deux distincts de E.
Exemple
Les six permutations de E = {a, b, c} sont :
(a, b, c ), (a, c, b ), (b, a, c ), (b, c, a ), (c, a, b ), (c, b, a )
Attention aux notations : E est un ensemble, ses éléments sont énumérés entre deux accolades, les permutations de E sont des
listes, elles sont notées entre deux parenthèses.
Dénombrement
Le nombre de permutations de E est le nombre de n-arrangements de E, il est donc égal à :
n × (n − 1) × (n − 2 ) × ........... × (n − n + 1) = n × (n − 1) × (n − 2 ) × ........... × (1).
Factorielle
Définition : n! est l’entier naturel défini par :
0! = 1 et (n + 1)! = (n!) × (n + 1) pour tout entier naturel n.
Par exemple : 1! = 1 ; 2! = 2 ; 3! = 6 ; 4! = 24 ; 5! = 120…
On démontre par récurrence que n × (n − 1) × (n − 2 ) × ........... × (1) = n!.
Par conséquent le nombre de permutations d’un ensemble comportant n éléments est n!.
IV - Les combinaisons
p-combinaison de n objets
Une combinaison de p éléments de E est une partie de E contenant p éléments (0 ≤ p ≤ 1).
La distinction entre p-arrangements et p-combinaisons est que dans la seconde, on ne tient pas compte de l’ordre.
Dénombrement
n
p
Le nombre de p-combinaisons de n objets est noté   .
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Lire « p parmi n »
Formules :
 n  n × (n − 1) × (n − 2) × ........................ × (n − p + 1)
 =
p!
p
n
n!
 =
p
p!
×
(n
− p)!
 
n
p
Les nombres   s’appellent aussi les nombres binomiaux.
Ce nombre correspond à la touche nCr des calculatrices.
► À SAVOIR
Propriétés des nombres binomiaux
Pour tout entier naturel n et tout entier naturel p tel que p ≤ n :
n
p
•   est un entier ;
n
 n 
n
n
•  =
  ;   = 1  ;  1  = n
 
p n − p 0
Formule de Pascal : pour tout entier naturel non nul n et pour tout entier naturel p tel que 1 ≤ p ≤ n – 1 :
 n   n − 1  n − 1
 =
+

 p   p   p − 1
V - Le binôme de Newton
► À SAVOIR
Formule de binôme de Newton
(a + b )
n
=
n
 0a b
 
n
0
n
a
1
+
n −1
n
a
2
b +
1
k =n
n
k =0
 
n−2
n
a b
n
b + ... + 
2
0
n
On note : (a + b ) = ∑   a n − k b k .
k
n
Elle est souvent utilisée dans le cas a = x et b = 1 :
(x + 1)
n
n
n
n
n
n
=   x n +   x n −1 +   x n − 2 + ... +   x n − k + ... +  
0
1
 2
k
n
k =n
n
k =0
 
On note (x + 1) = ∑   x n − k .
k
n
Nombre de parties d’un ensemble
En posant x = 1 dans la formule précédente, il vient :
(1 + 1)
n
n
n
n
n
n
=  1n +  1n −1 +  1n − 2 + ... +  1n − k + ... +   .
0
1
2
k
 
 
 
 
n
n n n
n
n
k =n
n
Soit 2n =   +   +   + ... +   + ... +   = ∑  .
0 1  2
k
 n  k =0  k 
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Ainsi 2n est la somme :
• du nombre de parties de E à 0 élément (l’ensemble vide) ;
• avec le nombre de parties de E à 1 élément (les singletons) ;
• avec le nombre de parties de E à 2 éléments (les paires) ;
• avec le nombre de parties à n éléments (la partie pleine).
En conclusion, 2n représente le nombre de parties d’un ensemble à n éléments.
VI - Principe fondamental du dénombrement
Lorsqu’il s’agit de choisir p éléments parmi n, on doit se poser les deux questions suivantes :
• Peut-on tirer deux fois le même élément ?
• L’ordre dans lequel on choisit les éléments est-il important ?
Ce tableau récapitule tous les cas que l’on peut rencontrer à l’examen et qui sont au programme.
Avec ordre
Sans ordre
Avec répétition
Sans répétition
liste
hors programme
arrangement
combinaison
 Méthode : « Principes fondamentaux », fiche exercices n°9 « Dénombrement ».
 Méthode : « Principe de l’événement contraire », fiche exercices n°9 « Dénombrement ».
 Méthode : « Comprendre un énoncé », fiche exercices n°9 « Dénombrement ».
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