Dipôles linéaires

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CHAPITRE 5 : DIPOLES LINEAIRES
I. INTRODUCTION
Ayant vu les lois générales gouvernant les circuits électriques en régime lentement variables, nous
nous intéresserons dans ce chapitre à décrire certains des éléments entrant dans leur composition :
les dipôles électrocinétiques. Nous aborderons l’étude des circuits en régime stationnaire, retardant
au prochain chapitre leur évolution temporelle.
II. CLASSIFICATION DES DIPÔLES
1) Puissance électrocinétique reçue par un dipôle
Comme nous le verrons dans le cours d’électrostatique, une particule chargée subit une force
conservative qui dérive donc d’une énergie potentielle (il avait déjà été signalé dans le chapitre
deux que toutes les interactions fondamentales de la physique pouvaient être décrites en termes de
potentiel). Celle ci peut s’écrire au point A :
(
)
(
)
PAqVA=E
Le travail accompli par cette force sur un porteur de charge traversant le dipôle de sa borne A à sa
borne B est alors (voir chapitre 2) :
(
)
(
)
(
)
AB P AB
WqVBVAqu=−∆ =− − =E
qui est positif si AB u est positive. Plaçons nous dans l’ARQS, et orientons le courant positivement
de A vers B (i.e. nous orientons de A vers B les sections de conducteur sur lesquelles nous mesurons
le courant) (figure 5.1.). Ce choix d’orientation sera justifié plus bas dans le texte.
Figure 5.1. : Orientation du courant et de la tension d’un dipôle
dans la convention thermodynamique
Pendant une durée élémentaire dt, une charge élémentaire dq entre dans la borne A tandis qu’une
même quantité de charge sort par la borne B. Le travail reçu par le dipôle est alors :
()
(
)
()
(
)
(
)
(
)
AB AB
W dq V B V A q V A V B dt i u dt δ =− − = − =
La puissance électrique reçue par le dipôle s’écrit donc :
AB AB
Wiu
dt
δ
==P
On voit maintenant pourquoi on a orienté le courant de cette manière : si le courant et la tension
sont positifs, la puissance reçue par le dipôle est positive, cela est cohérent avec notre conception du
courant électrique puisqu’il est utilisé pour fournir de l’énergie aux appareils branchés sur le
secteur. Cette convention d’orientation est appelée convention thermodynamique car, dans cette
branche de la physique, on compte comme positif ce qui entre dans le système, elle est utilisée pour
tous les calculs énergétiques en électrocinétique.
B
.
D
A
. AB
u
i

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2) Conventions générateur et récepteur
Un dipôle est un récepteur si il reçoit de l’énergie électrique. La puissance qu’il reçoit dans la
convention thermodynamique est donc positive, i.e. 0 ; 0
AB AB
iu>> ou 0 ; 0
AB AB
iu<<. On utilise
alors pour les orientations du courant et de la tension la convention récepteur, qui coïncide avec la
convention thermodynamique (figure 5.2.a.).
Un dipôle est un générateur si il fournit de l’énergie électrique. La puissance qu’il reçoit dans la
convention thermodynamique est négative, i.e. 0 ; 0
AB AB
iu
<
> ou 0 ; 0
AB AB
iu><.On utilise alors
dans la représentation du circuit électrique la convention générateur, dans laquelle le courant est
pris positif de B à A (cela revient à choisir le sens du courant réel et une tension positive) (figure
5.2.b).
Figure 5.1.a. : Orientation du courant et de la tension
d’un dipôle dans la convention récepteur
Figure 5.1.b. : Orientation du courant et de la tension
d’un dipôle dans la convention générateur
Remarques :
• Les calculs énergétiques se font tout de même en convention thermodynamique, nous ne
changeons donc pas la puissance du dipôle en choisissant orientant différemment le courant
dans un générateur : 0
AB AB BA AB
iu iu==−<P
• Lorsque nous avons affaire à un dipôle inconnu, nous utiliserons au choix l’une des
conventions : le calcul algébrique nous indiquera si nous avons bien choisi.
Un circuit à une maille composé d’un générateur et de deux récepteurs est donc représenté comme
sur la figure 5.3., où le dipôle 3 est le générateur :
Figure 5.3. : Exemple de circuit simple
3) Caractéristique d’un dipôle
a. Définitions
Les dipôles électrocinétiques sont des objets physiques complexes, dont les spécificités
macroscopiques dérivent de leur composition matérielle, de leur géométrie et des lois de
l’électromagnétisme. Nous étudierons cela un peu plus en détail en électrostatique (2ème partie du
programme de 1ère année) et en électromagnétisme (2ème année). Nous nous contenterons ici
d’observer leurs propriétés et de les modéliser par des lois expérimentales. La propriété
B
.
A
. AB
u
R
écepteu
r
iAB
B
.
A
. AB
u
Générateur
iBA
1
u
2
u
3
u
D
2
D
3
+
D
1
i

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macroscopique pertinente d’un dipôle est la relation liant le courant le traversant à la tension
appliquée entre ses bornes, qui peut se déduire du graphe
(
)
ifu=. La caractéristique d’un dipôle
est la courbe
()
ifu= du dipôle figure 5.4.).
Figure 5.4. : Caractéristique d’un dipôle
Chaque point de cette courbe, représentant un état possible du dipôle, est appelé un point de
fonctionnement. Un dipôle est symétrique si sa caractéristique est invariante si on fait le
remplacement :
()( )
,,ui u i→− − , ses deux bornes sont alors équivalentes et on peut choisir
indifféremment le sens de branchement. Un dipôle qui n’exhibe pas cette symétrie est dit polarisé.
On appelle dipôle passif un dipôle dont la caractéristique passe par le point
()
0, 0 (sans tension
appliquée à ses bornes, il ne délivre aucun courant, et sans courant, la tension à ses bornes est
nulle), et dipôle actif un dipôle dont la caractéristique ne passe pas par l’origine (figure 5.5.a.), et ne
peut donc être symétrique.
Figure 5.5.a. : Dipôles actif et passif Figure 5.5.b. : Dipôles générateur et récepteur
On voit que tous les dipôles passifs sont des récepteurs et qu’un générateur peut être actif ou passif
d’après son point de fonctionnement (figure 5.5.b.) ; on appelle u0 la tension en circuit ouvert et i0
l’intensité en court-circuit du générateur.
b. Caractéristiques statique et dynamique
On appelle la caractéristique mesurée en régime stationnaire caractéristique statique du dipôle. En
régime variable, la valeur du courant dépend non seulement de u mais aussi de ses variations
temporelles. On appelle la courbe
(
)
(
)
(
)
(
)
,it f ut ut= la caractéristique dynamique du dipôle.
Cette expression montre que nous allons lier i et u par des équations différentielles.
Les valeurs moyennes u et i des tension et courant fixent donc le point de fonctionnement sur
la caractéristique statique, puis le dipôle fait des excursions autour de ce point, sur la caractéristique
i
u
i
u
dipôle
passif
dipôle
actif
générateur
récepteur
i
u
GENERATEUR
GENERATEUR
R
ECEPTEUR
R
ECEPTEUR
i0
u0

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dynamique (qui peut différer en fonction du point de fonctionnement statique considéré) (figure
5.6.).
Figure 5.6. : Caractéristiques statique et dynamique
c. Puissance maximale
Les dipôles réels ont une puissance maximale qu’ils peuvent supporter avant de se détériorer. La
caractéristique s’arrête donc à un point situé sur les hyperbole max ui
=
P (figure 5.7.).
Figure 5.7. : Puissance maximale
d. Dipôles linéaires
Tout dipôle dont la relation entre i et u peut se mettre sous la forme d’une équation différentielle du
second ordre à coefficients constants est un dipôle linéaire. Toute combinaison linéaire de solutions
de l’équation différentielle satisfaite par u est alors encore une solution du problème.
III. MODELES DES DIPÔLES R, L, C (on se place en convention récepteur)
1) Résistance
a. Relation entre tension et courant
Figure 5.8. : Symbole d’une résistance Figure 5.9. : caractéristique d’une résistance
i
u
max
ui =P
R
u
i
i
u
i
u
Caractéristique
statique
Caractéristique
dynamique au
p
oint de
f
onctionnement
statique :
(
)
,ui

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La résistance est un dipôle symétrique dont la caractéristique est très bien modélisée par une droite
passant par l’origine (figure 5.9.), même en régime variable : la caractéristique dynamique est
confondue avec la caractéristique statique.
Le courant traversant la résistance est proportionnel à la tension à ses bornes. Ce coefficient de
proportionnalité est appelé conductance et noté G :
iGU
=
La conductance a pour unité le Siemens S. Son inverse, appelé résistance et exprimée en Ohms (
Ω
)
permet d’écrire cette relation sous la forme plus connue de la loi d’Ohm :
uRi
=
avec 1
R
G
=
b. Résistance
Les électrons libres, au cours de leur déplacement le long du circuit, entrent constamment en
collision avec les ions du réseau métallique. La résistance est interprétée comme la « difficulté »
qu’ont les électrons libre de se déplacer dans le milieu matériel du fait de ces collisions. Si on
considère un conducteur cylindrique et homogène de section s et de longueur A, on peut montrer
que la résistance du conducteur s’écrit :
Rs
ρ
=A
où le coefficient de proportionnalité
ρ
est la résistivité du matériau1, d’unité .mΩ. Cette relation est
bien naturelle : la résistance augmente avec la longueur de conducteur et diminue lorsque la surface
offerte aux électrons pour passer augmente. La résistivité est un paramètre physique qui peut varier,
selon les matériaux, sur une grande plage d’ordres de grandeur (figure 5.10.).
Matériau
ρ
( .m
Ω
) (à 20°C)
Argent 1,5.10-8
Métaux Cuivre 1,7.10-8
alliage Co/Si/B/Mn 0,13
Semi-conducteurs Germanium 0,46
Eau 2,5.105
Isolants Polychlorure de vinyle 1014
Figure 5.10. : Quelques résistivités
Certains matériaux, appelés super-conducteurs, ont une résistivité qui tend vers zéro au dessous
d’une certaine température critique généralement très proche du zéro absolu : leur résistance
s’annule.
c. Aspects énergétiques
La puissance consommée au cours des chocs par le dipôle est égale à
2
ui Ri==P
L’énergie électrique est cédée par les électrons libres aux ions du réseau sous forme d’énergie
cinétique. L’agitation thermique et donc la température augmentent : c’est l’effet Joule.
2) Condensateur
a. Relation entre tension et courant
Un condensateur est composé de deux surfaces de conducteur en regard, séparées par un isolant
électrique (figure 5.11.).
1 On utilise souvent son inverse : la conductivité, exprimée en S.m-1 : 1
σ
ρ =.