Dipôles linéaires

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CHAPITRE 5 : DIPOLES LINEAIRES
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CHAPITRE 5 : DIPOLES LINEAIRES
I.
INTRODUCTION
Ayant vu les lois générales gouvernant les circuits électriques en régime lentement variables, nous
nous intéresserons dans ce chapitre à décrire certains des éléments entrant dans leur composition :
les dipôles électrocinétiques. Nous aborderons l’étude des circuits en régime stationnaire, retardant
au prochain chapitre leur évolution temporelle.
II.
CLASSIFICATION DES DIPÔLES
1) Puissance électrocinétique reçue par un dipôle
Comme nous le verrons dans le cours d’électrostatique, une particule chargée subit une force
conservative qui dérive donc d’une énergie potentielle (il avait déjà été signalé dans le chapitre
deux que toutes les interactions fondamentales de la physique pouvaient être décrites en termes de
potentiel). Celle ci peut s’écrire au point A :
EP ( A ) = qV ( A )
Le travail accompli par cette force sur un porteur de charge traversant le dipôle de sa borne A à sa
borne B est alors (voir chapitre 2) :
WAB = −∆EP = − q (V ( B ) − V ( A ) ) = qu AB
qui est positif si u AB est positive. Plaçons nous dans l’ARQS, et orientons le courant positivement
de A vers B (i.e. nous orientons de A vers B les sections de conducteur sur lesquelles nous mesurons
le courant) (figure 5.1.). Ce choix d’orientation sera justifié plus bas dans le texte.
i
.
A
u AB
D
.
B
Figure 5.1. : Orientation du courant et de la tension d’un dipôle
dans la convention thermodynamique
Pendant une durée élémentaire dt, une charge élémentaire dq entre dans la borne A tandis qu’une
même quantité de charge sort par la borne B. Le travail reçu par le dipôle est alors :
δ W = − dq (V ( B ) − V ( A ) ) = q (V ( A ) − V ( B ) ) dt = iAB u AB dt
La puissance électrique reçue par le dipôle s’écrit donc :
δW
P=
= iAB u AB
dt
On voit maintenant pourquoi on a orienté le courant de cette manière : si le courant et la tension
sont positifs, la puissance reçue par le dipôle est positive, cela est cohérent avec notre conception du
courant électrique puisqu’il est utilisé pour fournir de l’énergie aux appareils branchés sur le
secteur. Cette convention d’orientation est appelée convention thermodynamique car, dans cette
branche de la physique, on compte comme positif ce qui entre dans le système, elle est utilisée pour
tous les calculs énergétiques en électrocinétique.
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2) Conventions générateur et récepteur
Un dipôle est un récepteur si il reçoit de l’énergie électrique. La puissance qu’il reçoit dans la
convention thermodynamique est donc positive, i.e. iAB > 0 ; u AB > 0 ou iAB < 0 ; u AB < 0 . On utilise
alors pour les orientations du courant et de la tension la convention récepteur, qui coïncide avec la
convention thermodynamique (figure 5.2.a.).
Un dipôle est un générateur si il fournit de l’énergie électrique. La puissance qu’il reçoit dans la
convention thermodynamique est négative, i.e. iAB < 0 ; u AB > 0 ou iAB > 0 ; u AB < 0 .On utilise alors
dans la représentation du circuit électrique la convention générateur, dans laquelle le courant est
pris positif de B à A (cela revient à choisir le sens du courant réel et une tension positive) (figure
5.2.b).
iAB
.
A
u AB
Récepteur
.
iBA
B
Figure 5.1.a. : Orientation du courant et de la tension
d’un dipôle dans la convention récepteur
.
A
u AB
Générateur
.
B
Figure 5.1.b. : Orientation du courant et de la tension
d’un dipôle dans la convention générateur
Remarques :
• Les calculs énergétiques se font tout de même en convention thermodynamique, nous ne
changeons donc pas la puissance du dipôle en choisissant orientant différemment le courant
dans un générateur : P = iAB u AB = −iBAu AB < 0
• Lorsque nous avons affaire à un dipôle inconnu, nous utiliserons au choix l’une des
conventions : le calcul algébrique nous indiquera si nous avons bien choisi.
Un circuit à une maille composé d’un générateur et de deux récepteurs est donc représenté comme
sur la figure 5.3., où le dipôle 3 est le générateur :
u2
D2
u3
D3
D1
+
u1
i
Figure 5.3. : Exemple de circuit simple
3) Caractéristique d’un dipôle
a. Définitions
Les dipôles électrocinétiques sont des objets physiques complexes, dont les spécificités
macroscopiques dérivent de leur composition matérielle, de leur géométrie et des lois de
l’électromagnétisme. Nous étudierons cela un peu plus en détail en électrostatique (2ème partie du
programme de 1ère année) et en électromagnétisme (2ème année). Nous nous contenterons ici
d’observer leurs propriétés et de les modéliser par des lois expérimentales. La propriété
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macroscopique pertinente d’un dipôle est la relation liant le courant le traversant à la tension
appliquée entre ses bornes, qui peut se déduire du graphe i = f ( u ) . La caractéristique d’un dipôle
est la courbe i = f ( u ) du dipôle figure 5.4.).
i
u
Figure 5.4. : Caractéristique d’un dipôle
Chaque point de cette courbe, représentant un état possible du dipôle, est appelé un point de
fonctionnement. Un dipôle est symétrique si sa caractéristique est invariante si on fait le
remplacement : ( u , i ) → ( −u , −i ) , ses deux bornes sont alors équivalentes et on peut choisir
indifféremment le sens de branchement. Un dipôle qui n’exhibe pas cette symétrie est dit polarisé.
On appelle dipôle passif un dipôle dont la caractéristique passe par le point ( 0, 0 ) (sans tension
appliquée à ses bornes, il ne délivre aucun courant, et sans courant, la tension à ses bornes est
nulle), et dipôle actif un dipôle dont la caractéristique ne passe pas par l’origine (figure 5.5.a.), et ne
peut donc être symétrique.
i
dipôle
passif
i
GENERATEUR
RECEPTEUR
générateur
i0
dipôle
actif
récepteur
u0
u
u
RECEPTEUR
Figure 5.5.a. : Dipôles actif et passif
GENERATEUR
Figure 5.5.b. : Dipôles générateur et récepteur
On voit que tous les dipôles passifs sont des récepteurs et qu’un générateur peut être actif ou passif
d’après son point de fonctionnement (figure 5.5.b.) ; on appelle u0 la tension en circuit ouvert et i0
l’intensité en court-circuit du générateur.
b. Caractéristiques statique et dynamique
On appelle la caractéristique mesurée en régime stationnaire caractéristique statique du dipôle. En
régime variable, la valeur du courant dépend non seulement de u mais aussi de ses variations
temporelles. On appelle la courbe i ( t ) = f ( u ( t ) , u ( t ) ) la caractéristique dynamique du dipôle.
Cette expression montre que nous allons lier i et u par des équations différentielles.
Les valeurs moyennes u et i des tension et courant fixent donc le point de fonctionnement sur
la caractéristique statique, puis le dipôle fait des excursions autour de ce point, sur la caractéristique
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dynamique (qui peut différer en fonction du point de fonctionnement statique considéré) (figure
5.6.).
i
Caractéristique
statique
Caractéristique
dynamique
au
point
de
fonctionnement
statique :
u
(
u , i
)
Figure 5.6. : Caractéristiques statique et dynamique
c. Puissance maximale
Les dipôles réels ont une puissance maximale qu’ils peuvent supporter avant de se détériorer. La
caractéristique s’arrête donc à un point situé sur les hyperbole ui = Pmax (figure 5.7.).
i
ui = Pmax
u
Figure 5.7. : Puissance maximale
d. Dipôles linéaires
Tout dipôle dont la relation entre i et u peut se mettre sous la forme d’une équation différentielle du
second ordre à coefficients constants est un dipôle linéaire. Toute combinaison linéaire de solutions
de l’équation différentielle satisfaite par u est alors encore une solution du problème.
III.
MODELES DES DIPÔLES R, L, C (on se place en convention récepteur)
1) Résistance
a. Relation entre tension et courant
i
u
i
R
Figure 5.8. : Symbole d’une résistance
u
Figure 5.9. : caractéristique d’une résistance
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La résistance est un dipôle symétrique dont la caractéristique est très bien modélisée par une droite
passant par l’origine (figure 5.9.), même en régime variable : la caractéristique dynamique est
confondue avec la caractéristique statique.
Le courant traversant la résistance est proportionnel à la tension à ses bornes. Ce coefficient de
proportionnalité est appelé conductance et noté G :
i = GU
La conductance a pour unité le Siemens S. Son inverse, appelé résistance et exprimée en Ohms ( Ω )
permet d’écrire cette relation sous la forme plus connue de la loi d’Ohm :
u = Ri avec R = 1 G
b. Résistance
Les électrons libres, au cours de leur déplacement le long du circuit, entrent constamment en
collision avec les ions du réseau métallique. La résistance est interprétée comme la « difficulté »
qu’ont les électrons libre de se déplacer dans le milieu matériel du fait de ces collisions. Si on
considère un conducteur cylindrique et homogène de section s et de longueur A , on peut montrer
que la résistance du conducteur s’écrit :
ρA
R=
s
où le coefficient de proportionnalité ρ est la résistivité du matériau1, d’unité Ω.m . Cette relation est
bien naturelle : la résistance augmente avec la longueur de conducteur et diminue lorsque la surface
offerte aux électrons pour passer augmente. La résistivité est un paramètre physique qui peut varier,
selon les matériaux, sur une grande plage d’ordres de grandeur (figure 5.10.).
Matériau
ρ ( Ω.m ) (à 20°C)
Argent
Cuivre
alliage Co/Si/B/Mn
Semi-conducteurs
Germanium
Eau
Isolants
Polychlorure de vinyle
Figure 5.10. : Quelques résistivités
Métaux
1,5.10-8
1,7.10-8
0,13
0,46
2,5.105
1014
Certains matériaux, appelés super-conducteurs, ont une résistivité qui tend vers zéro au dessous
d’une certaine température critique généralement très proche du zéro absolu : leur résistance
s’annule.
c. Aspects énergétiques
La puissance consommée au cours des chocs par le dipôle est égale à
P = ui = Ri 2
L’énergie électrique est cédée par les électrons libres aux ions du réseau sous forme d’énergie
cinétique. L’agitation thermique et donc la température augmentent : c’est l’effet Joule.
2) Condensateur
a. Relation entre tension et courant
Un condensateur est composé de deux surfaces de conducteur en regard, séparées par un isolant
électrique (figure 5.11.).
1
On utilise souvent son inverse : la conductivité, exprimée en S.m-1 : σ = 1 ρ .
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u
i
+q
–q
C
Figure 5.11. : Symbole d’un condensateur
Lorsque le courant circule dans le sens conventionnel, il apporte des charges positives à la plaque
située à gauche sur le schéma, nous orientons donc le condensateur comme indiqué.
Pendant une durée dt, une section quelconque du circuit se fait traverser par une charge élémentaire
i.dt = dq , y compris la section collée contre l’armature ⊕ du condensateur : la charge de celle-ci
augmente donc de dq pendant une durée dt et on peut écrire : dq = i.dt d’où
q=i
(où q est la charge de l’armature ⊕ )
On peut donc identifier la dérivée temporelle de la charge aux borne de l’armature ⊕ et le courant
électrique circulant dans le circuit. On montrera dans le cours d’électrostatique que dans le cadre de
l’ARQS, la charge sur l’armature ⊕ est proportionnelle à la tension aux bornes du condensateur :
q = Cu
où le coefficient de proportionnalité C est la capacité du condensateur, s’exprimant en Farad (F)2
(comme nous le verrons, elle dépend des propriétés de l’isolant et de la forme du condensateur). En
combinant les deux expressions ci-dessus, on obtient :
i = Cu
b. Aspects énergétiques
Le puissance électrocinétique reçue par le condensateur en régime variable a pour expression :
d ⎛1
⎞
P = ui = Cuu = ⎜ Cu 2 ⎟ = Ee
dt ⎝ 2
⎠
2
où Ee = Cu 2 est l’énergie électrostatique stockée par le condensateur (on a choisi la constante
d’intégration nulle). L’énergie étant fournie par une source extérieure, elle varie de manière
continue, la tension aux bornes d’un condensateur est donc une fonction continue du temps.
En régime stationnaire, la tension aux bornes du condensateur est maximale, de valeur U 0 . Le
courant est donc nul : le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert en régime
stationnaire et l’énergie électrique qu’il a stockée est égale à Ee = CU 02 2 .
3) Bobine idéale
a. Relation entre courant et tension
Une bobine est un enroulement de fil conducteur en N spires (figure 5.12.).
u
i
L
Figure 5.12. : Symbole d’une bobine idéale
2
Les capacités usuelles sont très faibles (µF ou pF).
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On peut montrer3 que la relation courant-tension d’une bobine idéale est :
di
u=L
dt
où le coefficient de proportionnalité L est l’inductance de la bobine, exprimée en Henry (H).
b. Aspects énergétiques
La puissance reçue par le dipôle est :
di d ⎛ 1 2 ⎞
= ⎜ Li ⎟ = Em
dt dt ⎝ 2
⎠
4
2
où Em = Li 2 est l’énergie magnétique emmagasinée dans la bobine. L’énergie fournie par
l’extérieur variant de manière continue, l’intensité traversant une bobine est donc une fonction
continue du temps.
En régime stationnaire, un courant i0 traversant la bobine, la tension à ses bornes est nulle et elle se
comporte comme un court-circuit. L’énergie magnétique stockée par la bobine prend alors la valeur
Em = Li02 2 .
P = ui = Li
IV.
ASSOCIATION DE RESISTANCES
1) Association de résistances en série
Soient les résistances R1 et R2 branchées en série (figure 5.13.a).
i
u1
u2
i
R1
R2
u
R=R1+R2
Figure 5.13.a. : association en série de deux
résistances
Figure 5.13.b. : résistance équivalente
L’additivité des tensions et la relation tension-courant d’une résistance permettent d’écrire la
tension u aux bornes du dipôles « résistances 1 et 2 associées en série » :
u = u2 + u1 = ( R1 + R2 ) i = Ri où R = R1 + R2
Le dipôle équivalent à deux résistances en série est donc une résistance R telle que R=R1+R2 (figure
5.13.b.). En itérant le processus pour un nombre n de résistances associées en série, on
obtient comme expression de la résistance équivalente :
n
R = ∑ Rj
j =1
Pour n résistances identiques R, la résistance équivalente est égale à nR.
2) Association de résistances en dérivation
Soient les résistances R1 et R2 branchées en dérivation (figure 5.14.a). L’égalité des tensions aux
bornes des deux dipôles impose :
u1 = u2 = u ⇒ R1i1 = R2i2
3
4
voir le cours d’électromagnétisme de deuxième année.
l’origine de cette appellation sera élucidée en deuxième année.
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En appliquant la loi des nœuds et cette relation, on obtient :
⎛ 1
1 ⎞
i = i1 + i2 = ⎜ + ⎟ u = ( G1 + G2 ) u = Gu où G = G1 + G2
⎝ R1 R2 ⎠
En associant des résistances en parallèle, ce sont donc les conductances qui s’additionnent. En
généralisant par itération à n résistances associées en dérivation, on obtient l’expression de la
conductance équivalente :
n
G = ∑Gj
j =1
D’où on peut déduire l’expression vérifiée par la résistance équivalente :
−1
⎛ n
⎞
ou R = ⎜ ∑ R −j 1 ⎟
⎝ j =1
⎠
Pour n résistances identiques R, la résistance équivalente est égale à R/n.
n
1
1
=∑
R j =1 R j
i1
u
u1
i
R1
i
G=G1+G2
u2
i2
u
R2
Figure 5.14.a. : association en dérivation de deux
résistances
Figure 5.14.b. : résistance équivalente
3) Ponts diviseur de tension et diviseur de courant
i
a. Pont diviseur de tension
Rn
Une association de résistances en série permet de prélever un
échantillon de la tension, elle constitue alors un pont diviseur de
tension (figure 5.15.).
La tension aux bornes de l’ensemble des résistances (R1, …, Rk) s’écrit,
si le courant sortant du nœud est négligeable ( i′ i , i.e. si la
résistance de cette branche du circuit est suffisamment élevée) :
Rn-1
u
i′ 0
k
⎛ k
⎞
uk = ⎜ ∑ R j ⎟ i =
⎝ j =1 ⎠
∑R
j =1
n
∑R
j =1
j
u
Rk
j
Un voltmètre a une résistance élevée ( R ∼ M Ω ), il permet ainsi de ne
pas prélever de courant pour mesurer une tension.
uk
R1
Exemple :
Dans le cas de deux résistances, la tension prise dans le pont diviseur
de tension est, avec les mêmes notations que sur la figure 5.15. :
R1
u1 =
u .
R1 + R2
Figure 5.15. :
Pont diviseur de tension
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u
b. Pont diviseur de courant
Une association de résistances en dérivation peut être utilisée
pour prélever une partie du courant circulant dans la maille ;
on réalise ainsi un pont diviseur de courant (figure 5.16.). Le
courant circulant dans la k-ième maille s’écrit, à condition
que la différence de potentiel uk ' dans le reste de la branche
soit négligeable ( uk ′ u ) :
G
ik = Gk u ⇒ ik = n k i où Gk = 1 Rk
∑Gj
Rn
uk ′
0
ik
i2
i
uk
Rk
R2
R1
i
Figure 5.16. : Pont
diviseur de courant
j =1
Un ampèremètre a une conductance élevée, il permet ainsi
de ne pas prélever de tension pour mesurer un courant.
Exemple :
Dans le cas de deux résistances, le courant circulant dans le pont diviseur de courant est, avec les
mêmes notations que sur la figure 5.16. :
G1
i1 =
i .
G1 + G2
V.
MODELE DE DIPÔLES ACTIFS
(nous adoptons la convention générateur)
1) Sources idéales
Les dipôles actifs peuvent se comporter comme des générateurs ou sources d’énergie électrique,
générant de l’énergie électriques pour des dipôles récepteurs. On peut a priori envisager deux
modèles idéaux : le dipôle actif est une source de courant ou de tension.
a. Source de courant
Une source idéale de courant fournit un courant i0 quelle que soit la tension à ses bornes (figures
5.17. Remarquer que, en convention générateur, les quadrants correspondant aux générateurs et aux
récepteurs sont inversés par rapport à la figure 5.5.b.).
i
u
i0
i0
u
Figure 5.17.a. : Symbole de la source idéale de courant
Figure 5.17.b. : Caractéristique d’une source idéale de
courant
b. Source de tension
Une source idéale de tension fournit entre ses bornes une tension u0 quelle que soit le courant la
traversant (figures 5.18. rapport à la figure 5.5.b.).
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i
u0
i
u0
Figure 5.18.a. : Symbole de la source idéale de tension
u
Figure 5.18.b. : Caractéristique d’une source idéale de
tension
2) Modélisation d’un dipôle actif linéaire
a. Caractéristique expérimentale
La caractéristique d’une alimentation stabilisée est bien modélisée par une droite de pente négative
(figure 5.19.).
i
η ≡ i0
e ≡ u0 u
Figure 5.19. : Caractéristique d’un dipôle actif dans la zone
« générateur » du dipôle
Deux modélisations de ce dipôle actif sont possible : il peut être considéré, de manière équivalente,
comme un générateur de courant (représentation de Norton) ou comme un générateur de tension
(représentation de Thévenin). Nous aurons donc la liberté de choisir entre ces deux modélisations en
fonction de la situation.
b. Modélisation de Thévenin d’un dipôle actif linéaire
On considère que le dipôle actif génère une tension u. La relation tension-courant de ce dipôle est
alors, compte tenu de la forme rectiligne de la caractéristique :
u = e − ri
i.e. la relation tension-courant d’une source idéale de tension montée en série avec une résistance r
(la relation tension-courant de la résistance est prise en convention récepteur) (figure 5.20.).
La puissance reçue par ce dipôle a pour expression (convention thermodynamique) :
PT = −ui = − ( e − ri ) i = −ei + ri 2
la contribution négative étant l’apport d’énergie électrique au circuit et la contribution positive étant
la puissance dissipée par effet Joule.
c. Modélisation de Norton d’un dipôle actif linéaire
On considère que le dipôle actif génère un courant i. La caractéristique se modélise alors par
l’expression :
u
i =η −
r
(où r a la même valeur que dans le cas du modèle de Thévenin), i.e. la relation courant-tension d’une
source idéale de courant branchée en parallèle avec une résistance r (figure 5.21.).
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La puissance reçue a alors la forme :
u⎞
u2
⎛
PN = −ui = −u ⎜η − ⎟ = −uη +
r⎠
r
⎝
i
u
η
ur = ri
e
ir = u r
r
u
i
r
Figure 5.20. : Modélisation de Thévenin d’un générateur
(générateur de tension)
Figure 5.21. : Modélisation de Norton
d’un générateur
(générateur de courant)
d. Equivalence entre les modèles
Les deux modélisations correspondent à la même caractéristique. Annulons u dans la relation
tension-courant du modèle de Thévenin, il vient : i = η et la relation devient : η = e r . On peut donc
passer d’une modélisation à l’autre librement (figure 5.22.) :
Thévenin
r
u
Norton
i
η =e r
i
u
r u2
⇔ PN = −uη +
r
u = e − ri ⇔ i = η −
e
PT = −ei + ri 2
η
u
r
Figure 5.22. : Equivalence entre les modélisations
L’équivalence des puissances s’obtient aisément en injectant dans l’expression de PT les valeurs de
i et e en fonction des variables η et u utilisées dans le modèle de Norton.