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MASTER RECHERCHE
« GESTION DES RISQUES
EN FINANCE ET ASSURANCE »
COURS DE MISE A NIVEAU
POUR ETUDIANTS ISC
COURS
DE
PROBABILITES ELEMENTAIRES

Contents
1 Pr´erequis
D´enombrements
Th´eorie des ensembles 5
1.1 D´enombrement. Analyse combinatoire . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Principe multiplicatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Permutations sans r´ep´etitions . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Les arrangements sans r´ep´etition . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4 Combinaisons sans r´ep´etitions . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Th´eorie sommaire des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 D´efinitions......................... 9
1.2.2 Propri´et´es......................... 10
1.2.3 Notion de cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Introduction au calcul des probabilit´es 11
2.1 Du langage ensembliste `a celui des ´ev`enements . . . . . . . . . 11
2.2 D´efinition des probabilit´es dans le cas Ω fini . . . . . . . . . . 12
2.3 Probabilit´es : D´efinition axiomatique . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Probabilit´es conditionnelles.
Notion d’ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Variables al´eatoires et lois de probabilit´es 25
3.1 Espace probabilis´e et loi de probabilit´e . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.1 D´efinition ......................... 25
3.1.2 Exemples ......................... 25
3.1.3 Lois discr`etes et lois continues . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Notion de variable al´eatoire et loi de probabilit´e d’une variable
al´eatoire.............................. 26
3

4CONTENTS
3.2.1 Exemple introductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.2 D´efinitions......................... 27
3.2.3 Exemples ......................... 28
3.2.4 Fonction de r´epartition d’une loi de probabilit´e d’une
v.a............................. 29
3.3 Variables al´eatoires discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.1 Rappel de statistique descriptive univari´ee . . . . . . . 29
3.3.2 D´efinitions d’une v.a.d. et de sa loi de probabilit´e . . . 29
3.3.3 Fonction de r´epartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.4 Exemples ......................... 31
3.4 Variables al´eatoires continues (v.a.c) . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4.1 D´efinition - Fonction de r´epartition . . . . . . . . . . . 32
3.4.2 Fonction densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4.3 Exemples ......................... 34
3.5 Caract´eristiques d’une variable al´eatoire . . . . . . . . . . . . 34
3.5.1 Introduction........................ 34
3.5.2 Esp´erance ......................... 35
3.5.3 Variances ......................... 38
3.5.4 Moments.......................... 39
3.5.5 M´ediane et Mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5.6 Fonction d’une variable al´eatoire . . . . . . . . . . . . 41
4 Lois discr`etes usuelles 45
4.1 Introduction............................ 45
4.2 Sch´ema de Bernouilli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3 Lesh´emaBinomial ........................ 47
4.4 Le sch´ema hyperg´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.5 Loi g´eom´etrique et loi de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.6 LoidePoisson........................... 55

Chapter 1
Pr´erequis
D´enombrements
Th´eorie des ensembles
1.1 D´enombrement. Analyse combinatoire
Elle a pour but de d´enombrer les diff´erentes dispositions que l’on peut former
`a partir d’un ensemble d’´el´ements.
dispositions : sous ensembles ordonn´es ou non d’un ensemble.
1.1.1 Principe multiplicatif
Principe
Soit ξune exp´erience qui comporte 2 ´etapes : la 1`ere qui a pr´esultats possibles
et chacun de ces r´esultats donne lieu `a qr´esultats lors de la 2`eme. Alors
l’exp´erience a p×qr´esultats possibles.
Remarque : Le principe multiplicatif peut s’´enoncer ainsi : si un ´ev`enement
Apeut se produire de pfa¸cons et si un ´ev`enement Bpeut se produire de q
fa¸cons, la r´ealisation de Asuivie de Bpeut se produire de p×qfa¸cons.
Exemple 1
On jette 3 d´es identiques. Combien y-a-t-il de r´esultats possibles ?
63
5

6CHAPTER 1. PR ´ EREQUISD ´ ENOMBREMENTSTH ´ EORIE DES ENSEMBLES
Exemple 2
Une urne contient 1R, 1B, 1N, 1V. On effectue 2 tirages successifs avec
remise. Combien y-a-t-il de r´esultats possibles ?
4×4 = 16
(cela correspond au principe multiplicatif)
Cons´equence
Si une exp´erience ξconsiste `a r´ep´eter nfois de fa¸con ind´ependante une mˆeme exp´erience
ξ0qui a pr´esultats possibles, alors ξapn=p×p×. . . ×p
| {z }
fois
issues possibles.
1.1.2 Permutations sans r´ep´etitions
Exemple :
On a 3 lettres a, b, c
Les permutations sont les sous-ensembles ordonn´es de {a, b, c}
abc acb bac cab cba bca
D´efinition
Une permutation de n´el´ements est une disposition ordonn´ee sans r´ep´etition de ces
n´el´ements. (une fa¸con de ranger cˆote `a cˆote ces n´el´ements)
R´esultat
Si Pnest le nombre de permutations de n´el´ements alors
Pn=n!
preuve :
Soit n´el´ements a1, a2, . . . , an.
a1: on peut le mettre dans n’importe quelle case
a2: dans n−1 cases
an: dans une case.
Exemple 1
De combien de mani`ere peut-on classer 4 individus.
P4= 4! = 24