Analyse Numérique - Institut de Mathématiques de Toulouse

UNIV.JEANPAULCALVI.COM / 1
ANALYSE NUMÉRIQUE
JEAN-PAUL CALVI
1R2
UPS
Université de Toulouse

UNIV.JEANPAULCALVI.COM / 1
©2013-14 Jean-Paul Calvi
ISNB 978-2-9546609-0-5
R2 Décembre 2014
L’ouvrage est disponible en ligne sur les pages suivantes :
— http://univ.jeanpaulcalvi.com
— http://www.math.univ-toulouse.fr/˜calvi
Il est interdit de déposer ce documents sur une page ou dans une archive électronique sans l’autori-
sation écrite de l’auteur.

UNIV.JEANPAULCALVI.COM / 1
At my hut
All that I have to offer you,
Is that the mosquitoes are small.
Bashô

UNIV.JEANPAULCALVI.COM / 1

UNIV.JEANPAULCALVI.COM / 1
Préface
J’attribue mon intérêt - tardif - pour l’analyse
numérique à deux accidents non entièrement indé-
pendants et conjointement à l’origine de ce livre.
Le premier, qui permit le second, remonte à ma
rencontre avec Len Bos, aujourd’hui professeur
à l’université de Vérone, un remarquable numé-
ricien - et très passable fermier - tandis que le
second se produisit un peu plus tard lorsque le Dé-
partement de Mathématiques de l’Université Paul
Sabatier me confia, il y a déjà une dizaine d’an-
nées, un cours d’analyse numérique destiné à des
étudiants de la filière informatique. Si la Providence
seule explique le premier, le cours d’informatique
en question m’échut par une méthode intéressante
que j’appelle celle du dernier reste : le départe-
ment me fit plusieurs fois l’honneur de m’attribuer
un enseignement dont aucun de mes collègues ne
voulait, attention que j’ai toujours tenté de m’ex-
pliquer, même difficilement, par l’évidence de mes
qualités pédagogiques. J’abordai la préparation de
ce cours avec une intention hérétique, celle de
m’adresser au public auquel il était destiné, en sui-
vant un syllabus à la fois laconique et banal, dans
l’idée de procurer une culture numérique rudimen-
taire mais cohérente à qui ne se risquerait pas à
lire une seule des démonstrations qu’il contien-
drait. En réalité, je rencontrai au début plusieurs
promotions d’étudiants remarquables qui me dis-
suadèrent de supprimer les démonstrations qu’ils
n’étaient pas contraints de lire et firent en sorte
que mon cours ne prenne jamais la direction d’une
introduction purement informelle. Si bien qu’un pu-
blic plus expert s’intéressa au texte et je fus par
la suite conduit à développer le contenu jusqu’à
inclure quelques éléments surtout destinés à des
lecteurs qui se spécialisaient en mathématiques, en
avertissant les autres par le symbole ∗. Pour rester
cohérent avec mon objectif, je me suis appuyé sur
des bases mathématiques modestes : une connais-
sance raisonnable de l’analyse des fonctions d’une
variable réelle, disons, du théorème des valeurs in-
termédiaires jusqu’à la formule de Taylor (qui sera
rappelée) et une certaine familiarité avec le calcul
matriciel. J’ai inséré d’assez nombreux exercices,
souvent élémentaires, y compris dans le cours du
texte, dans l’espoir d’aider à la compréhension.
J’ai aussi inclus les codes de fonctions SCILAB qui
implémentent les algorithmes fondamentaux ; ces
codes ne sont pas nécessairement les plus efficaces
ni les plus élégants. Mes goût personnels se sont
insinués au travers de quelques codes de calculs for-
mels adaptés au logiciel MAXIMA ∗.
Au final, le texte contient un traitement assez
substantiel de l’interpolation polynomiale, du cal-
cul approché des intégrales et de l’approximation
des racines des équations, trois thèmes qui forment
souvent l’essentiel d’une introduction à l’analyse
numérique. Par contre, les quatrième et cinquième
chapitre, consacrés à l’analyse numérique matri-
cielle ne sont sans doute que des esquisses. Les
exercices donneront aux lecteurs intéressés une ap-
proche plus riche du sujet.
Les questions de complexité et de stabilité des
procédés numériques sont introduites de manière
concrète et informelle, et sont abordées chaque fois
que c’est possible sans être excessivement tech-
nique. J’ai toujours jugé qu’il n’y avait pas de plus
décourageante manière de commencer un cours
d’analyse numérique que par un chapitre sur l’étude
des erreurs.
Des versions préliminaires ont été progressive-
ment mises en ligne depuis 2008 et y ont été souvent
téléchargées, plus de vingt mille fois dans la der-
nière année et, dans les deux tiers des cas, hors de
France. Il est possible qu’une future seconde édition
élargie prenne la forme d’une publication classique
si elle existe encore au moment où je l’aurai com-
plétée.
Foix, Juin 2013
Jean-Paul Calvi †
∗. Les logiciels SCILAB et MAXIMA sont des logiciels libres téléchargeables sur internet et adaptés à tous les systèmes d’exploi-
tations
†. Université de Toulouse, UPS, Institut de Mathématiques de Toulouse (CNRS UMR 5219), F-31062 Toulouse, France. Cour-
riel : [email protected]